6.6角的大小比较
【题型1】角的定义及分类 2
【题型2】角的表示方法 4
【题型3】确定角的个数 6
【题型4】角的度量 10
【题型5】度、分、秒的转化与运算 12
【题型6】时钟问题中的角的计算 13
【知识点1】角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
（2）表示法：
①∠AOB＞∠A′O′B′，
②∠AOB=∠A′O′B′，
③∠AOB＜∠A′O′B′． 1.（2024秋 栾城区校级期末）如图，∠AOC＞∠BOD，则（ ） A．∠AOB＞∠CODB．∠AOB=∠CODC．∠AOB＜∠CODD．以上都有可能
【答案】A 【分析】根据角的和差关系，在∠AOC＞∠BOD的两边同时减去∠BOC即可． 【解答】解：∵∠AOC＞∠BOD，
∴∠AOC-∠BOC＞∠BOD-∠BOC，
即：∠AOB＞∠COD，
故选：A．
【题型1】角的定义及分类
【典型例题】下列说法中，正确的有( )
①直线AB与直线BA不是同一条直线；
②若AB＝BC，则点B为线段AC的中点；
③两点确定一条直线；
④两条射线组成的图形叫做角．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】①在同一图形中，直线AB与直线BA是同一条直线，原来的说法是错误的；
②若A、B、C三点在一条直线上，AB＝BC，则点B是线段AC的中点，原来的说法是错误的；
③两点确定一条直线是正确的；
④有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，原来的说法是错误的．
故选：B．
【举一反三1】下列说法中正确的是( )
①﹣a是负数；②角的大小与边的长短无关；③若线段AC＝BC，则点C是线段AB的中点；④x3+y3是6次多项式；⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥连接两点间的线，叫做这两点间的距离．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】①根据负数的定义可知，﹣a不一定是负数，如a＝0，故①不符合题意．
②根据角的度量知道：角的大小与边的长短无关，故②符合题意．
③点C不在线段AB上时，AC＝BC，点C不是线段AB的中点，故③不符合题意．
④x3+y3是三次二项式，故④不符合题意．
⑤射线AB和射线BA不是同一条射线，故⑤不符合题意．
⑥连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，故⑥不符合题意．
本题说法正确是②，有1个．
故选：A．
【举一反三2】下列说法中，正确的有( )
①直线AB与直线BA不是同一条直线；
②若AB＝BC，则点B为线段AC的中点；
③两点确定一条直线；
④两条射线组成的图形叫做角．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】①在同一图形中，直线AB与直线BA是同一条直线，原来的说法是错误的；
②若A、B、C三点在一条直线上，AB＝BC，则点B是线段AC的中点，原来的说法是错误的；
③两点确定一条直线是正确的；
④有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，原来的说法是错误的．
故选：B．
【举一反三3】下列说法正确的是( )
A. 一点确定一条直线
B. 两条射线组成的图形叫角
C. 两点之间线段最短
D. 若AB＝BC，则B为AC的中点
【答案】C
【解析】A.两点确定一条直线，故本选项错误；
B.应为有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故本选项错误；
C.两点之间线段最短，故本选项正确；
D.若AB＝BC，则点B为AC的中点错误，因为A、B、C三点不一定共线，故本选项错误．
故选：C．
【题型2】角的表示方法
【典型例题】如图所示，下列表示角的方法错误的是( )
A. ∠1与∠AOB表示同一个角
B. ∠β表示的是∠BOC
C. 图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D. ∠AOC也可用∠O来表示
【答案】D
【解析】A.∠1与∠AOB表示同一个角，正确；
B.∠β表示的是∠BOC，正确；
C.图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确；
D.∠AOC不能用∠O表示，错误；故选D．
【举一反三1】下图中能用一个字母表示的角( )
A. 三个 B. 四个 C. 五个 D. 没有
【答案】A
【解析】∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，∴图中能用一个字母表示的角有三个：∠A、∠B、∠C．故选A．
【举一反三2】如图，下列说法正确的是( )
A. ∠1与∠BOC表示同一个角
B. ∠1＝∠2
C. ∠2与∠AOB表示同一个角
D. 图中只有两个角，即∠1和∠2
【答案】A
【解析】A．∠1与∠BOC表示同一个角，该选项正确，故符合题意；
B．∠1＝∠2不一定成立，该选项错误，故不符合题意；
C．∠2与∠AOC表示同一个角，该选项错误，故不符合题意；
D．图中有三个角，分别为∠1、∠2和∠AOB，该选项错误，故不符合题意．
故选：A．
【举一反三3】如图所示，图中小于平角的角有 个，用适当的方法把它们表示出来，分别是 .
【答案】7；∠MAB、∠MAC、∠NAC、∠NAB、∠BAC、∠B、∠C.
【解析】根据角的分类可知图中小于平角的角有7个；分别是∠MAB、∠MAC、∠NAC、∠NAB、∠BAC、∠B、∠C.
【举一反三4】如图所示，写出图中符合下列条件的角．
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以B为顶点的角；
(3)所有小于平角的角．
【答案】解 (1)因为图中以A，C为顶点的角只有一个，所以能用一个大写字母表示的角有∠A，∠C.
(2)以B为顶点的角有3个，分别为∠1(或∠ABD)，∠2(或∠DBC)，∠ABC.
(3)小于平角的角有∠A，∠C，∠1，∠2，∠ABC，∠3，∠4.
【题型3】确定角的个数
【典型例题】如图，在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图(2)顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有( )个角．
A. 465 B. 450 C. 425 D. 300
【答案】A
【解析】在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角；
从图(2)顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
……
若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+(n+1)＝(n+2)(n+1)个角；
∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝(29+2)(29+1)＝465个角；
故选：A．
【举一反三1】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为( )
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【答案】D
【解析】∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；
在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；
在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+(n+1)＝×(n+1)×(n+2)，
∴画19条不同射线，可得锐角×(19+1)×(19+2)＝210．
故选：D．
【举一反三2】如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有( )
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个
【答案】C
【解析】先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把它们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有 ＝6个．
故选：C．
【举一反三3】如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有( )个．
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】∵图中共有四条射线，∴图中小于平角的角共有 =6个．故选A．
【举一反三4】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为( )
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【答案】D
【解析】∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；
在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；
在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+(n+1)＝×(n+1)×(n+2)，
∴画19条不同射线，可得锐角×(19+1)×(19+2)＝210．
故选：D．
【举一反三5】(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；
(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．
【答案】(1)3
(2)6
(3)10
(4)66
(5)(n+1)(n+2)
【举一反三6】如图，以O为顶点的角共有 个．
【答案】10
【解析】以O为顶点的角的射线一共有5条射线，所以角的个数为5×(5-1)÷2=10个角．
【举一反三7】如图，已知D、E是线段BC上的一点，连接AB、AD、AE、AC．下列说法：①∠DAE可记作∠1；②∠2可记作∠E；③图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示；④图中共有10条线段；⑤图中共有10个小于平角的角．其中正确的是 ；(填序号)
【答案】①③④
【解析】角可以用阿拉伯数字(∠1，∠2…)表示，故说法①正确；
唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角，图中以E为顶点的角不只1个，故说法②错误；
图中A、B、C、D、E五个点中，以B、C为顶点的角均只有1个，所以图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示，即∠B，∠C，故说法③正确；
图中共有10条线段，即线段AB、AD、AE、AC、BD、BE、BC、DE、DC、EC，故说法④正确；
图中共有12个小于平角的角，即∠BAD、∠BAE、∠BAC、∠DAE、∠DAC、∠EAC、∠B、∠C、∠ADB、∠ADE、∠AEB、∠AEC，故说法⑤错误．
故答案为①③④．
【题型4】角的度量
【典型例题】足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在( )
A. 点C
B. 点D或点E
C. 线段DE(异于端点) 上一点
D. 线段CD(异于端点) 上一点
【答案】C
【解析】连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，
通过测量可知∠ACB＜∠ADB＜∠AEB，所以射门的点越靠近线段DE，角越大，故最好选择DE(异于端点) 上一点，故选C．
【举一反三1】如图，用量角器测量∠AOB，可读出∠AOB的度数为( )
A. 65° B. 110° C. 115° D. 120°
【答案】C
【解析】看量角器内圈的数字可读出∠AOB的度数为115°．
故选：C．
【举一反三2】如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为( )
A. 45° B. 55° C. 125° D. 135°
【答案】B
【解析】由图形所示，∠AOB的度数为55°，故选B．
【举一反三3】如图中用量角器测得∠ABC的度数是( )
A. 50° B. 80° C. 130° D. 150°
【答案】C
【解析】根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．
故选：C．
【题型5】度、分、秒的转化与运算
【典型例题】1°等于( )
A. 10′ B. 12′ C. 60′ D. 100′
【答案】C
【解析】1°等于60′．故选C．
【举一反三1】计算15°23′×4的结果是( )
A. 60°92′ B. 60.92° C. 60°32′ D. 61°32′
【答案】D
【解析】15°23′×4=60°92′=61°32′，故选D．
【举一反三2】把8.32°用度、分、秒表示正确的是( )
A. 8°3′2″ B. 8°30′20″ C. 8°18′12″ D. 8°19′12″
【答案】D
【解析】0.32°＝(0.32×60)′＝19.2′，
0.2′＝(0.2×60)″＝12″，∴8.32°＝8°19′12″，
故选：D．
【举一反三3】计算：15°37′+42°51′＝ ．
【答案】58°28′
【解析】∵37+51＝88，
∴15°37′+42°51′＝58°28′．
故答案为：58°28′．
【举一反三4】计算：
(1)40°26′+30°30′30″÷6；
(2)13°53′×3﹣32°5′31″．
【答案】解 (1)40°26′+30°30′30″÷6＝40°26′+5°5′5″＝45°31′5″；
(2)13°53′×3﹣32°5′31″＝41°39′﹣32°5′31″＝9°33′29″．
【举一反三5】计算：
(1)131°28′﹣51°32′15″；
(2)58°38′27″+47°42′40″；
(3)34°25′×3+35°42′.
【答案】解 (1)131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″；
(2)58°38′27″+47°42′40″＝106°21′7″；
(3)34°25′×3+35°42′
＝103°15′+35°42′
＝138°57′.
【题型6】时钟问题中的角的计算
【典型例题】当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是( )
A. 115° B. 120° C. 105° D. 90°
【答案】A
【解析】时钟指向上午10：10分，时针与分针相距3+5060=236份，时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是30°×236=115°，故选A．
【举一反三1】钟表上的时间为晚上8点，这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数是( )
A. 120° B. 105° C. 100° D. 90°
【答案】A
【解析】∵钟表上的时间为晚上8点，即时针指向8，分针指向12，∴这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数=(12-8)×30°=120°．故选A．
【举一反三2】时钟的时针在不停的旋转，时针从上午的6时到9时，时针旋转的旋转角是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 9°
【答案】C
【解析】∵时针从上午的6时到9时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故选C．
【举一反三3】聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了 分钟．
【答案】36011
【解析】时针每小时转动360÷12=30°，每分钟转动30÷60=0.5°；分针每分钟转动360÷60=6°；设一休解这道题用了x分钟，则有：6x-0.5x=180°，解得：x=36011分钟；即一休解这道题用了36011分钟．
【举一反三4】钟面上的角的问题．
(1)8点15分，时针与分针的夹角是多少？
(2)从12点整始，至少再过多少时间，分针与时针再一次重合？
【答案】解 (1)8点15分，时针与分针的夹角=8×30°-15×6°+15×0.5°=157.5°；
(2)设至少再过x分钟分针与时针再一次重合，根据题意得x×0.5°+360°=x×6°，解得x=72011，所以从12点整始，至少再过72011分钟，分针与时针再一次重合．
【举一反三5】如图，观察时钟，回答问题：
(1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？
(2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？
(3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？
(4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？
【答案】解 (1)分针60分钟转一圈，它的转速是360÷60＝6(度/分)．
(2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了180°.
(3)从12时到12时30分，分针转动了180°.
(4)根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－×30°＝82.5°.6.6角的大小比较
【题型1】角的定义及分类 2
【题型2】角的表示方法 3
【题型3】确定角的个数 4
【题型4】角的度量 6
【题型5】度、分、秒的转化与运算 7
【题型6】时钟问题中的角的计算 8
【知识点1】角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
（2）表示法：
①∠AOB＞∠A′O′B′，
②∠AOB=∠A′O′B′，
③∠AOB＜∠A′O′B′． 1.（2024秋 栾城区校级期末）如图，∠AOC＞∠BOD，则（ ） A．∠AOB＞∠CODB．∠AOB=∠CODC．∠AOB＜∠CODD．以上都有可能
【题型1】角的定义及分类
【典型例题】下列说法中，正确的有( )
①直线AB与直线BA不是同一条直线；
②若AB＝BC，则点B为线段AC的中点；
③两点确定一条直线；
④两条射线组成的图形叫做角．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【举一反三1】下列说法中正确的是( )
①﹣a是负数；②角的大小与边的长短无关；③若线段AC＝BC，则点C是线段AB的中点；④x3+y3是6次多项式；⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥连接两点间的线，叫做这两点间的距离．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三2】下列说法中，正确的有( )
①直线AB与直线BA不是同一条直线；
②若AB＝BC，则点B为线段AC的中点；
③两点确定一条直线；
④两条射线组成的图形叫做角．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【举一反三3】下列说法正确的是( )
A. 一点确定一条直线
B. 两条射线组成的图形叫角
C. 两点之间线段最短
D. 若AB＝BC，则B为AC的中点
【题型2】角的表示方法
【典型例题】如图所示，下列表示角的方法错误的是( )
A. ∠1与∠AOB表示同一个角
B. ∠β表示的是∠BOC
C. 图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D. ∠AOC也可用∠O来表示
【举一反三1】下图中能用一个字母表示的角( )
A. 三个 B. 四个 C. 五个 D. 没有
【举一反三2】如图，下列说法正确的是( )
A. ∠1与∠BOC表示同一个角
B. ∠1＝∠2
C. ∠2与∠AOB表示同一个角
D. 图中只有两个角，即∠1和∠2
【举一反三3】如图所示，图中小于平角的角有 个，用适当的方法把它们表示出来，分别是 .
【举一反三4】如图所示，写出图中符合下列条件的角．
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以B为顶点的角；
(3)所有小于平角的角．
【题型3】确定角的个数
【典型例题】如图，在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图(2)顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有( )个角．
A. 465 B. 450 C. 425 D. 300
【举一反三1】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为( )
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【举一反三2】如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有( )
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个
【举一反三3】如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有( )个．
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【举一反三4】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为( )
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【举一反三5】(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；
(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．
【举一反三6】如图，以O为顶点的角共有 个．
【举一反三7】如图，已知D、E是线段BC上的一点，连接AB、AD、AE、AC．下列说法：①∠DAE可记作∠1；②∠2可记作∠E；③图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示；④图中共有10条线段；⑤图中共有10个小于平角的角．其中正确的是 ；(填序号)
【题型4】角的度量
【典型例题】足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在( )
A. 点C
B. 点D或点E
C. 线段DE(异于端点) 上一点
D. 线段CD(异于端点) 上一点
【举一反三1】如图，用量角器测量∠AOB，可读出∠AOB的度数为( )
A. 65° B. 110° C. 115° D. 120°
【举一反三2】如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为( )
A. 45° B. 55° C. 125° D. 135°
【举一反三3】如图中用量角器测得∠ABC的度数是( )
A. 50° B. 80° C. 130° D. 150°
【题型5】度、分、秒的转化与运算
【典型例题】1°等于( )
A. 10′ B. 12′ C. 60′ D. 100′
【举一反三1】计算15°23′×4的结果是( )
A. 60°92′ B. 60.92° C. 60°32′ D. 61°32′
【举一反三2】把8.32°用度、分、秒表示正确的是( )
A. 8°3′2″ B. 8°30′20″ C. 8°18′12″ D. 8°19′12″
【举一反三3】计算：15°37′+42°51′＝ ．
【举一反三4】计算：
(1)40°26′+30°30′30″÷6；
(2)13°53′×3﹣32°5′31″．
【举一反三5】计算：
(1)131°28′﹣51°32′15″；
(2)58°38′27″+47°42′40″；
(3)34°25′×3+35°42′.
【题型6】时钟问题中的角的计算
【典型例题】当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是( )
A. 115° B. 120° C. 105° D. 90°
【举一反三1】钟表上的时间为晚上8点，这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数是( )
A. 120° B. 105° C. 100° D. 90°
【举一反三2】时钟的时针在不停的旋转，时针从上午的6时到9时，时针旋转的旋转角是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 9°
【举一反三3】聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了 分钟．
【举一反三4】钟面上的角的问题．
(1)8点15分，时针与分针的夹角是多少？
(2)从12点整始，至少再过多少时间，分针与时针再一次重合？
【举一反三5】如图，观察时钟，回答问题：
(1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？
(2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？
(3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？
(4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？
