6.7角的和差
【题型1】角的和差及其表示 2
【题型2】角的和、差、倍、分关系运算 4
【题型3】角的平分线有关的运算 5
【知识点1】角的计算 角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 1.（2024秋 冠县期末）根据如图所示，下列式子错误的是（ ） A．∠AOB=∠AOC+∠COBB．∠BOC=∠AOB-∠AOCC．D．∠AOC=∠BOA-∠COB
【题型1】角的和差及其表示
【典型例题】把一副三角尺的两个锐角的一条边和顶点重合（如图），这两个角的差是（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【举一反三1】如图，将一副三角尺（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则下列说法错误的是（ ）
A.∠A＝∠B＝45°
B.∠AOC＝∠BOD＝70°
C.∠BOC+∠AOD＝180°
D.∠BOC+∠D＝60°
【举一反三2】如图，下列说法错误的是（ ）
A.∠B与∠CBA表示同一个角
B.∠α可以用∠O表示
C.∠ACO是∠ACB与∠OCB的差
D.∠1可以用∠ACO表示
【举一反三3】如图所示，∠AOD﹣∠AOC等于（ ）
A.∠AOC B.∠BOC C.∠BOD D.∠COD
【举一反三4】如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A点处（两块三角板看成在同一平面内），下列结论一定成立的是（ ）
A.∠BAD＝∠CAD B.∠EAC≠∠BAD C.∠BAE﹣∠CAD＝90° D.∠BAE+∠CAD＝180°
【举一反三5】角的和差：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另 ；如果一个角的度数是另两个角的差，那么这个角就叫作 ，两个角的和差仍是一个角．
例如：如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB﹣∠2．
【举一反三6】角的和差关系：
∠AOB是∠AOC与∠COB的和，记作∠AOB＝ +∠COB；
∠AOC是∠AOB与∠COB的差，记作∠AOC＝∠AOB﹣ ．
【举一反三7】按图填空：
（1）∠AOB+∠BOC＝ ；
（2）∠AOC+∠COD＝ ；
（3）∠BOD﹣∠COD＝ ；
（4）∠AOD﹣ ＝∠AOB．
【题型2】角的和、差、倍、分关系运算
【典型例题】如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1=15°，∠2=105°，则∠AOC的度数是( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 125°
【举一反三1】已知∠AOB=50°，∠COB=30°，则∠AOC等于( )
A. 80° B. 20° C. 80°或20° D. 无法确定
【举一反三2】已知∠AOB=3∠BOC，若∠BOC=25°，则∠AOC的度数为 ．
【举一反三3】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
(1)在图1中，求∠AOC和∠BOC的度数．
(2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，求∠CON的度数；
(3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在∠BOC的内部，求∠BON-∠COM的度数．
【题型3】角的平分线有关的运算
【典型例题】如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是( )
A. 69° B. 60° C. 59° D. 70°
【举一反三1】如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是( )
A. 59° B. 60° C. 69° D. 70°
【举一反三2】一个钝角的平分线和这个角的一边形成的角一定是( )
A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 平角
【举一反三3】如图，∠AOC＝40°，OA平分∠COE，∠BOE＝ ．
【举一反三4】如图，OC平分∠AOB，若∠BOC＝22°，则∠AOB＝________.
【举一反三5】如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB＝90°，∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．
【举一反三6】如图，OD是∠AOB内部的一条射线，OC是∠AOD内部的一条射线．
(1)如图1，OC平分∠AOD，∠AOC＝33°，∠BOD＝57°，求∠AOB的大小；
(2)如图2，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOB＝110°，∠MON＝∠AOB，求∠COD的大小．6.7角的和差
【题型1】角的和差及其表示 2
【题型2】角的和、差、倍、分关系运算 6
【题型3】角的平分线有关的运算 8
【知识点1】角的计算 角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 1.（2024秋 冠县期末）根据如图所示，下列式子错误的是（ ） A．∠AOB=∠AOC+∠COBB．∠BOC=∠AOB-∠AOCC．D．∠AOC=∠BOA-∠COB
【答案】C 【分析】根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项． 【解答】解：A、∠AOB=∠AOC+∠COB，故本选项正确，不符合题意；
B、∠BOC=∠AOB-∠AOC，故本选项正确，不符合题意；
C、∠AOC=∠AOC+∠COB，故∠AOC=∠BOC错误，符合题意；
D、∠AOC=∠BOA-∠COB，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【题型1】角的和差及其表示
【典型例题】把一副三角尺的两个锐角的一条边和顶点重合（如图），这两个角的差是（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【答案】C
【解析】如图所示：
由题可知：∠ABE＝60°，∠CBD＝45°，
∴∠1＝∠ABE﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
故选：C．
【举一反三1】如图，将一副三角尺（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则下列说法错误的是（ ）
A.∠A＝∠B＝45°
B.∠AOC＝∠BOD＝70°
C.∠BOC+∠AOD＝180°
D.∠BOC+∠D＝60°
【答案】D
【解析】∵△AOB和△COD是一副三角尺，
∴∠A＝∠B＝45°，
故选项A正确，不符合题意；
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣160°＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣20°＝70°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠AOC＝∠BOD＝70°，
故选项B正确，不符合题意；
∵∠BOC＝20°，∠AOD＝160°，
∴∠BOC+∠AOD＝20°+160°＝180°，
故选项C正确，不符合题意；
∵∠D＝30°，∠BOC＝20°，
∴∠BOC+∠D＝30°+20°＝50°，
故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三2】如图，下列说法错误的是（ ）
A.∠B与∠CBA表示同一个角
B.∠α可以用∠O表示
C.∠ACO是∠ACB与∠OCB的差
D.∠1可以用∠ACO表示
【答案】B
【解析】A、∠B与∠CBA表示同一个角，故A说法正确，不符合题意；
B、点O处有三个角，∠α可以用∠BOC表示，故B说法不正确，符合题意；
C、∠ACO是∠ACB与∠OCB的差，故C说法正确，不符合题意；
D、∠1可以用∠ACO表示，故D说法正确，不符合题意；．
故选：B．
【举一反三3】如图所示，∠AOD﹣∠AOC等于（ ）
A.∠AOC B.∠BOC C.∠BOD D.∠COD
【答案】D
【解析】结合图形，显然∠AOD﹣∠AOC＝∠COD．
故选：D．
【举一反三4】如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A点处（两块三角板看成在同一平面内），下列结论一定成立的是（ ）
A.∠BAD＝∠CAD B.∠EAC≠∠BAD C.∠BAE﹣∠CAD＝90° D.∠BAE+∠CAD＝180°
【答案】D
【解析】由题意得∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠EAC，
∴A、B选项不成立，
∵∠BAE﹣∠DAB＝∠BAE﹣∠EAC＝90°，
∴C选项不成立；
∵∠BAE+∠CAD＝∠BAC+∠EAC+∠CAD＝∠BAC+DAE＝90°+90°＝180°，
∴D选项成立，
故选：D．
【举一反三5】角的和差：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另 ；如果一个角的度数是另两个角的差，那么这个角就叫作 ，两个角的和差仍是一个角．
例如：如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB﹣∠2．
【答案】两个角的和；另两个角的差
【解析】如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的差，那么这个角就叫作另两个角的差，两个角的和差仍是一个角．
故答案为：两个角的和；另两个角的差．
【举一反三6】角的和差关系：
∠AOB是∠AOC与∠COB的和，记作∠AOB＝ +∠COB；
∠AOC是∠AOB与∠COB的差，记作∠AOC＝∠AOB﹣ ．
【答案】∠AOC；∠COB
【解析】∠AOB是∠AOC与∠COB的和，记作∠AOB＝∠AOC+∠COB；
∠AOC是∠AOB与∠COB的差，记作∠AOC＝∠AOB﹣∠COB；
故答案为：∠AOC；∠COB．
【举一反三7】按图填空：
（1）∠AOB+∠BOC＝ ；
（2）∠AOC+∠COD＝ ；
（3）∠BOD﹣∠COD＝ ；
（4）∠AOD﹣ ＝∠AOB．
【答案】（1）AOC
（2）AOD
（3）BOC
（4）BOD
【解析】（1）由图可得，∠AOB+∠BOC＝∠AOC；
故答案为：∠AOC．
（2）∠AOC+∠COD＝∠AOD；
故答案为：∠AOD．
（3）∠BOD﹣∠COD＝∠BOC；
故答案为：∠BOC．
（4）∠AOD﹣∠BOD＝∠AOB．
故答案为：∠BOD．
【题型2】角的和、差、倍、分关系运算
【典型例题】如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1=15°，∠2=105°，则∠AOC的度数是( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 125°
【答案】B
【解析】∵∠2=105°，∴∠BOC=180°-∠2=75°，∴∠AOC=∠1+∠BOC=15°+75°=90°．故选B．
【举一反三1】已知∠AOB=50°，∠COB=30°，则∠AOC等于( )
A. 80° B. 20° C. 80°或20° D. 无法确定
【答案】C
【解析】①如图1，OC在∠AOB内，∵∠AOB=50°，∠COB=30°，
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=50°-30°=20°；
②如图2，OC在∠AOB外，∵∠AOB=50°，∠COB=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=50°+30°=80°；
综上所述，∠AOC的度数是20°或80°．故选C．
【举一反三2】已知∠AOB=3∠BOC，若∠BOC=25°，则∠AOC的度数为 ．
【答案】50°或100°
【解析】∵∠BOC=25°，∴∠AOB=3∠BOC=3×25°=75°，OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=75°-25°=50°，OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=75°+25°=100°，综上所述，∠AOC的度数50°或100°．故答案为：50°或100°．
【举一反三3】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
(1)在图1中，求∠AOC和∠BOC的度数．
(2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，求∠CON的度数；
(3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在∠BOC的内部，求∠BON-∠COM的度数．
【答案】解 (1)∵点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°.
(2)∵由(1)可知：∠AOC=120°，∠MON=90°，∠AOC=∠MON+∠CON，
∴∠CON=∠AOC-∠MON=120°-90°=30°.
(3)由图可知：∠BOC=60°，∠MON=90°，∠BON=∠MON-∠BOM，∠COM=∠BOC-∠BOM，
则∠BON-∠COM=90°-∠BOM-(60°-∠BOM)=30°，
即∠BON-∠COM的度数是30°．
【题型3】角的平分线有关的运算
【典型例题】如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是( )
A. 69° B. 60° C. 59° D. 70°
【答案】A
【解析】∵∠COB＝42°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠DOC＝＝×138°＝69°．
故选：A．
【举一反三1】如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是( )
A. 59° B. 60° C. 69° D. 70°
【答案】C
【解析】∵∠COB＝42°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠DOC＝＝＝69°．
故选：C．
【举一反三2】一个钝角的平分线和这个角的一边形成的角一定是( )
A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 平角
【答案】A
【解析】设这个角的度数是α°，
则90＜α＜180，
两边都除以2得：45＜α＜90，
即是锐角．
故选：A．
【举一反三3】如图，∠AOC＝40°，OA平分∠COE，∠BOE＝ ．
【答案】140°
【解析】∵OA平分∠COE，
∴∠AOE＝∠AOC，
∵∠AOC＝40°，
∴∠AOE＝40°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝140°．
故答案为：140°．
【举一反三4】如图，OC平分∠AOB，若∠BOC＝22°，则∠AOB＝________.
【答案】44°
【解析】由题意知∠AOB＝2∠BOC＝44°.
【举一反三5】如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB＝90°，∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．
【答案】解 ∵OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，
∴∠EOB＝∠AOB＝×90°＝45°，
又∵∠EOB+∠BOD＝∠EOD＝70°，
∴∠BOD＝25°，
又∵∠BOC＝2∠BOD，
∴∠BOC＝2×25°＝50°．
∴∠BOC的度数是50°
故答案为50°．
【举一反三6】如图，OD是∠AOB内部的一条射线，OC是∠AOD内部的一条射线．
(1)如图1，OC平分∠AOD，∠AOC＝33°，∠BOD＝57°，求∠AOB的大小；
(2)如图2，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOB＝110°，∠MON＝∠AOB，求∠COD的大小．
【答案】解 (1)∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOC，
∵∠AOC＝33°，
∴∠AOD＝66°，
∵∠BOD＝57°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝66°+57°＝123°；
(2)设∠AOM＝x，∠BON＝y，∠COD＝z，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM＝x，∠DON＝y，
∵∠AOB＝110°，
∴2x+2y+z＝110°①，
∵∠MON＝∠AOB，
∴x+y+z＝66°②，
由①②解得z＝22°，
即∠COD＝22°．
