第3章 圆的基本性质尖子生训练卷

2016-2017学年浙教版初三数学尖子生训练卷（2）
【圆】
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、下列命题中，不正确的是（ ）
A. 一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外；
B. 一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线；
C. 两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线；
D. 圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点。
2、如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A.40cm B.50cm C.60cm D.80cm
3、在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
4、如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　）
A．25° B．40° C．50° D．65°
5、已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
6、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为(　 )
　A．12.5寸 　　　 B．13寸　　　 C．25寸 　　 D．26寸
7、如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（　　）
　 A． πcm2 B． 2πcm2 C． 4πcm2 D． 8πcm2
8、如图，三个半径为的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是（ ）
A．12+6 B．12+12 C．18+12 D． 18+6
9、如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A． 2015π B． 3019.5π C． 3018π D． 3024π
10、如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　）
　 A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、11、如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 .
12、AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，则∠BAC的度数是 ．
13、如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．

14、如图①，O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．
15、如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
16、一走廊拐角的横截面积如图，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为　 　m．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
18、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．
（1）求证：∠1=∠F．
（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．
19、如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.
(1)求证：AB是圆的切线；
(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4 ,tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．
20、如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．
21、如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．
（1）求证：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）．
22、如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．
23、如图，直线AB的解析式为y=﹣x+6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直于y轴．若点C与点P 同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，试求：
（1）求点A和点B的坐标；
（2）∠ABO的度数；
（3）整个运动过程中直线l与⊙C共有几次相切？分别求出相切时的t值．
24、如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．
（1）求证：BO=2OM．
（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24时，求⊙O的半径．
（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．
【圆】答案详解
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
2、如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A.40cm B.50cm C.60cm D.80cm
【解答】解：设这块扇形铁皮的半径为Rcm，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴×2πR＝2π×.解得R＝40.
故选择A.
3、在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【解答】解：∵OA==，
∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OG=1＜OA，所以点E在⊙O内，
OH==2＞OA，所以点E在⊙O外，
故选A
4、如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　）
A．25° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：连接OC，
∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∵∠A=25°，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．
故选B．
5、已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
【解答】 解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE=2，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE=，
∴⊙O上到直线l的距离为的点在直线l的左边和右边各有两个，共四个，
故选D．
6、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为(　 )
　A．12.5寸 　　　 B．13寸　　　 C．25寸 　　 D．26寸
【解答】 解：根据“垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧”，
知 (寸)，在Rt△AOE中，，
即 ，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).
故选D.
7、如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（　　）
　 A． πcm2 B． 2πcm2 C． 4πcm2 D． 8πcm2
【解答】 解：如图1所示，
S△ABC=?r?（AB+BC+AC）==21r，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，
设CD=x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中，
AD2=AB2﹣BD2=400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣x2=225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2=225﹣x2，
解得：x=9，
∴AD=12，
∴S△ABC==×7×12=42，
∴21r=42，
∴r=2，
该圆的最大面积为：S=πr2=π?22=4π（cm2），
8、如图，三个半径为的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是（ ）
A．12+6 B．12+12 C．18+12 D． 18+6
【解答】 解：如图，∵连接AO、OP、PB、OE、PF、ON；
∴根据相切两圆性质得出OP=PN=ON=2，
∴△ONP是等边三角形，
∴∠OPN=∠PON=∠ONP=60°，
∵根据切线性质得出OE⊥AB，PF⊥AB，
∴OE∥PF，OE=PF，
∴四边形OEFP是矩形，
∴OP∥AB，
同理PN∥BC，ON∥AC，
则∠OPN=∠ABC=60°，∠PON=∠BAC=60°
根据切线长定理∠ABP=∠ABC=30°，∠EAO=30°，
在Rt△AOE中，∠EAO=30°，OE=；
则AE=3，同理可得BF=3；
由于⊙O、⊙P外切，所以OP=2；
故AB=AE+EF+BF=6+2，根据切线长定理可得，AB=BC=AC，
因此△ABC的周长为：18+6．
故选：D．
9、如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A． 2015π B． 3019.5π C． 3018π D． 3024π
【解答】 解：转动一次A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是：，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，
2015÷4=503余3
顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．
故选：D．
10、如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　）
　 A． B． C． D．
【解答】 解：连结OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，
则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．
故选D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 .
【解答】 解：如图，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，
以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
12、AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，则∠BAC的度数是 ．
【解答】解：如图所示，
∵AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，
∴==90°，==60°．
当点C在C1的位置时，
∵优弧=360°﹣90°﹣60°=210°，
∴∠BAC1=×210°=105°；
当点C在C2的位置时，=﹣=90°﹣60°=30°，
∴∠BAC2=×30°=15°．
综上所述，∠BAC的度数是105°或15°．
故答案为：105°或15°．
13、如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．

【解答】 解：由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为
那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上，
设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2
即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2
化简得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4
解得 a=0
即△ABC外接圆圆心为P(1,0)
则
14、如图①，O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．
【解答】 解：O1，O3；O5 ，O1 O3和O2 O4的交点。（答案不唯一）
如图①，过O1 O3与O2 O4交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分。答案不惟一。
如图② ，A O4，E O2，D O3，C O1等均可。答案不惟一。
15、如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
【解答】解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，
解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO?BO=3，
∴CO=，
∴CD=CO+OD=3+，
故答案为：3+．
16、一走廊拐角的横截面积如图，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为　（4﹣2）　m．
【解答】 解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于G，
∵DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点，
∴OE⊥ED，OF⊥FG，
∵AB∥DE，BC∥FG，
∴OG⊥AB，OH⊥BC，
∵∠EOF=90°，∴四边形BGOH是矩形，
∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O半径为1m，
∴OG=OH=2，∴矩形BGOH是正方形，
∴∠BOG=∠BOH=45°，
∵P是的中点，∴OB经过P点，
在正方形BGOH中，边长=2，∴OB=2，
∵OP=1，∴BP=2﹣1，
∵p是MN与⊙O的切点，∴OB⊥MN，
∵OB是正方形BGOH的对角线，∴∠OBG=∠OBH=45°，
在△BPM与△BPN中
∴△BPM≌△BPN（ASA）
∴MP=NP，∴MN=2BP，
∵BP=2﹣1，
∴MN=2（2﹣1）=4﹣2，
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
（2）解：∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故===π，
答：的长为π．
18、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．
（1）求证：∠1=∠F．
（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．
【解答】解：（1）证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；
（2）∵∠1=∠F，
∴AE=EF=2，
∴AB=2AE=4，
在Rt△ABC中，AC=AB?sinB=4，
∴BC==8，
设CD=x，则AD=BD=8﹣x，
∵AC2+CD2=AD2，
即42+x2=（8﹣x）2，
∴x=3，即CD=3．
19、如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.
(1)求证：AB是圆的切线；
(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4 ,tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．
【解答】解：(1)证明：∵BC是直径，∴∠BDC＝90°,∴∠ACB＋∠DBC＝ 90°.
又∵∠ABD＝∠ACB,∴∠ABD＋∠DBC＝90°,∴AB⊥BC.
又∵点B在圆上，∴AB是圆的切线．
解：在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，∴＝，
即AB＝BE＝×4＝．
∵AB∶BC＝2∶3，∴BC＝AB＝×＝10.
∴圆的直径为10.
20、如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．
【解答】解：（1）连接OB，
∵OA=OB=OC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠FAD=15°，
∴∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠BOF=30°，
∴OF⊥AB，
∵CD∥OF，
∴CD⊥AD，
∵AD∥OC，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆O的切线；
（2）∵BC∥OA，
∴∠DBC=∠EAO=60°，
∴BD=BC=AB，
∴AE=AD，
∵EF∥DH，
∴△AEF∽△ADH，
∴，
∵DH=6﹣3，
∴EF=2﹣，
∵OF=OA，
∴OE=OA﹣（2﹣），
∵∠AOE=30°，
∴==，
解得：OA=2．
21、如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．
（1）求证：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）．
【解答】证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD，
∴∠ADO=∠CDA，
∴DA平分∠CDO．
（2）如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，
∴==，
又∵∠AOB=180°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴BD=OB=AB=6，
∵=，
∴AC=BD=6，
∵BE切⊙O于B，
∴BE⊥AB，
∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，
∵CD∥AB，
∴BE⊥CE，
∴DE=BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×=3，
∴的长==2π，
∴图中阴影部分周长之和为2=4π+9+3=4×3.1+9+3×1.7=26.5．
22、如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCO=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵AB是直径，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠3=∠B．
（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=tan45°=1．
②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，
∴△DCA∽△DBC，
∴===，设DC=3k，DB=4k，
∵CD2=DA?DB，
∴9k2=（4k﹣5）?4k，
∴k=，
∴CD=，DB=，
∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，
∴△DCE∽△DBF，
∴=，设EC=CF=x，
∴=，
∴x=．
∴CE=．
23、如图，直线AB的解析式为y=﹣x+6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直于y轴．若点C与点P 同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，试求：
（1）求点A和点B的坐标；
（2）∠ABO的度数；
（3）整个运动过程中直线l与⊙C共有几次相切？分别求出相切时的t值．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+6，分别与x轴、y轴相交于B、A两点，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=6，
∴点A的坐标为：（0，6），点B的坐标为：（6，0）；
（2）由（1）得：OA=6，OB=6，
∴在Rt△AOB中，∴∠ABO=30°；
（3）在Rt△BCD中，BC=2CD，
如图1，直线直线l与⊙C第一次相切，
由题意得：OP=2t，BC=3t，
∴CD=2t﹣1，
∴3t=2（2t﹣1），
解得：t=2；
如图2，直线直线l与⊙C第二次相切，
由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，
∴CD=12﹣2t﹣1，
∴3t=2（12﹣2t﹣1），
解得：t=；
如图3，直线直线l与⊙C第三次相切，
由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，
∴CD=12﹣2t+1，
∴3t=2（12﹣2t+1），
解得：t=．
综上所述：在整个运动过程中直线l与⊙C共有3次相切；相切时的t值分别为：2，，．
24、如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．
（1）求证：BO=2OM．
（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24时，求⊙O的半径．
（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．
【解答】解：（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°．
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD=∠ABC=30°．
∴OB=2OP．
∵OP=OM，
∴BO=2OP=2OM．
（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴BD=2BQ=2AB?cos∠ABQ=AB=18．
设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．
∵EF＞HE，
∴点E，F，G，H均在菱形的边上．
①如图2所示，当点E在AB上时．
在Rt△BEM中，EM=BM?tan∠EBM=r．
由对称性得：EF=2EM=2r，ND=BM=3r．
∴MN=18﹣6r．
∴S矩形EFGH=EF?MN=2r（18﹣6r）=24．
解得：r1=1，r2=2．
当r=1时，EF＜HE，
∴r=1时，不合题意舍
当r=2时，EF＞HE，
∴⊙O的半径为2．
∴BM=3r=6．
如图3所示：
当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18﹣3r．
由对称性可知：NB=MD=6．
∴MB=3r=18﹣6=12．
解得：r=4．
综上所述，⊙O的半径为2或4．
（3）解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO=2r．
当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．
①如图4所示，点E在AD上时．
∵HE与⊙O相切，
∴ME=r，DM=r．
∴3r+r=18．
解得：r=9﹣3．
∴OB=18﹣6．
②如图5所示；
由图形的对称性得：ON=OM，BN=DM．
∴OB=BD=9．
③如图6所示．
∵HG与⊙O相切时，MN=2r．
∵BN+MN=BM=3r．
∴BN=r．
∴DM=FM=GN=BN=r．
∴D与O重合．
∴BO=BD=18．
④如图7所示：
∵HE与⊙O相切，
∴EM=r，DM=r．
∴3r﹣r=18．
∴r=9+3．
∴OB=2r=18+6．
综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为18﹣6或9或18或18+6．