浙教版数学九年级上册 第4章 相似三角形 单元测试（含答案）

浙教版九年级上 第4章 相似三角形 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．已知△ABC∽△DEF，且AB=3，DE=6，若△ABC的面积为20，则△DEF的面积为（　　）
A．5 B．40 C．80 D．160
2．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OF=3OC，则△ABC与△DEF的面积比是（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1：4 D．1：16
3．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．若P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），AB=2，则PA的长约为（　　）
A．0.382 B．0.764 C．1 D．1.236
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AB上一点O为圆心，OC为半径画弧交BC于点D，若CD：DB=2：3，则AO：OB为（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．2：5
6．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC=5，则线段BM的长为（　　）
A． B．3 C． D．2
7．如图，直线AD∥BE∥CF，DE=2，EF=4．若AC=9，则BC的长为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
8．如图，D、E分别是边BC、AB的中点，若△DEB的面积为3，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且AE：EB=1：2，AC与DE相交于点F，S△AEF=3，则S△ACD为（　　）
A．9 B．12 C．27 D．36
10．如图，在正方形ABCD中，F为CD上一点，AF交对角线BD于点E，过点E作EG⊥AF，交BC于点G，连结AG，交BD于点H．现给出下列结论：①AE=EG；②BG+DF=FG；③AH2=HE HD；④若F为CD的中点，则CG=2BG．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD、BC及AB的延长线于点F、G、H，连接HE，HC、ED，连接CO并延长交AD于点M，则下列结论中：①FG=2AO；②HE=5BH；③OD⊥CM；④OD∥HE；⑤；⑥2OE2=AH DE；正确的结论的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：
①AM=AD+MC；
②AM=DE+BM；
③DE2=AD CM；
④点N为△ABM的外心．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
13．如图，某学生利用一根长0.5米的标杆EC测量一棵树的高度，测得BC=3米，CA=1米，那么树的高度DB为 ______米．
14．=______．
15．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E．
（1）△ABC∽______；
（2）如果，那么=______．
16．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，则EF= ______．
17．如图，正方形ABCD和正方形DEFG中，A，D，E在同一条直线上，AD=2DE，P为BC的中点，延长FG交AB于点Q，连接PQ，CQ，连接PF分别交CQ，CD于点M、N，下列说法：①△FNG≌△PNC；②∠BCQ=∠PFQ；③FN=2PM；④S△CFN：S四边形BPMQ=3：7．其中正确的结论有 ______．
三．解答题（共6小题）
18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D，E，F，G分别在△ABC的边上，四边形DEFG为正方形，求DE的长．
19．如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，连接AE并延长与BC的延长线交于点F．
（1）写出图中的一对相似三角形，并说明理由；
（2）若菱形ABCD的边长为12，DE：AB=3：5，求CF的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上一点，作∠CDE=∠A，过点C作CE⊥CD交DE于E，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：AB⊥BE．
21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC=DF：CG．求证：
（1）△AED∽△ABC；
（2）AG平分∠BAC．
22．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，==．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）若∠BAD=21°，求∠EBC的度数：
（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．
23．（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；
（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
（3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由．
浙教版九年级上第4章相似三角形单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、C 4、D 5、B 6、A 7、C 8、D 9、D 10、D 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、2； 14、； 15、△EDC；； 16、3； 17、①②③；
三．解答题（共6小题）
18、解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵S△ABC=×AB×CH=×AC×BC，
∴6×8=10×CH，
∴CH=4.8，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴
∴DE=
19、解：（1）△ECF∽△ABF，△ECF∽△EDA，△ABF∽△EDA．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ECF∽△EDA，△ECF∽△ABF，
∴△ABF∽△EDA．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，
∵DE：AB=3：5，
∴DE：EC=3：2，
∵△ECF∽△EDA，
∴，
∵菱形ABCD的边长为12，
∴CF=×12=8．
20、证明：（1）∵CE⊥CD，
∴∠DCE=∠ACB=90°
又∵∠CDE=∠A
∴△DCE∽△ACB，
∴；
（2）∵，
∴，
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE=∠A，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE．
21、证明：（1）∵∠DAE=∠CAB，∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC；
（2）∵△AED∽△ABC，
∴∠ADE=∠C，
∵AD：AC=DF：CG，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF=∠CAG，
∴AG平分∠BAC．
22、（1）证明：∵==．
∴△ABC∽△ADE；
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF，
即∠BAD=∠CAE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ADE=∠ABE+∠BAD，
∴∠EBC=∠BAD=21°；
（3）证明：连接CE，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF，
即∠BAD=∠CAE，
∵=．
∴△ABD∽△ACE．
23、
证明：（1）如图1，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，
则FM=GN=AD=BC，且GN⊥FM，设它们的垂足为Q，设EF、GN交于R
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，FM=GN，
∴△GNH≌△FME．
∴EF=GH．
（2）如图2，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°
∴∠ADC+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠A=∠C，AB=BC，
∴FM=AB sinA=BC sinC=GN．
∵∠FEM=∠GNH=90°，
∴△GNH≌△FME．
∴EF=GH．
（3）如图3，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴．
附加题：
已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．
证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°，
∴∠MDN+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠FME=∠GNH=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴．
即GH=mEF．