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相似三角形 单元专项练习提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（ ）
A．2： B．2：5 C．4：5 D．16：25
3．如图，已知是等边三角形，为边上一点，且，作点关于的对称点，连结、与交于点，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．10
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，，则（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点，是边，的中点，若的面积为1，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25
8．如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9． 如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，连结.AD， F是AD 的中点，连结BF 并延长，交AC于点E，则 的值是( )
A． B． C． D．
10．如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m．
12．如图，正方形OABC的边长为8，A、C两点分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y＝ 的图像经过点Q，若S△BPQ＝ S△OQC，则k的值为 .
13．点C是线段MN的黄金分割点，则 = ．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8．
（1） ；
（2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积= ．
15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C； 直线DF交l1，l2，l3，于点D，E，F，已知 ，则 = ．
16．如图，已知平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，且F为的黄金分割点（），那么的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知a：b：c＝2：3：4，求 的值．
18．某施工似在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路产边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.求被削去的部分面积有多大.它的周长是多少
19．一块直角三角形木板的一条直角边 长为3米，面积为6平方米，要把它加工成如图所示的正方形桌面，某同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识求出该同学加工的正方形边长（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
20．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
21．为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度.
22．如图在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
（3）则S△A1B1C1：S△A2B2C2．
23．如图，在 中， ，正方形 的边长是 ，且四个顶点都在 的各边上， ，求 的长.
24．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
25．如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别在上，连接与相交于点与交于点．已知，．
（1）求证：；
（2）若的面积为的面积为，求的值；
（3）设与交于点，求证：．
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相似三角形 单元专项练习提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】D
【解析】【分析】先根据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解答】∵△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，
∴=（)2=．
故选D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
2．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（ ）
A．2： B．2：5 C．4：5 D．16：25
【答案】C
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为4：5，
∴它们对应中线的比为4：5，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质，可知，相似三角形对应边上的中线等于相似比，即可得到答案.
3．如图，已知是等边三角形，为边上一点，且，作点关于的对称点，连结、与交于点，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴设，则，
∴
∵是等边三角形，
∴，，
∵点关于的对称点为，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设，则，得到，然后根据等边三角形的性质以及轴对称的性质得到，，，于是证明出，根据相似三角形对应边成比例的性质得到，从而设，则，进而表示出，，据此可求出与之间的数量关系，于是得，最后求比即可.
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，，则（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AE=2ED，AD=AE+DE=3DE，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
，
，
∴，
，
.
故答案为：B.
【分析】 利用AE=2DE，可得到ED与AD的比值，再利用平行四边形的性质得AD∥BC，BC=AD，再证明△EDF∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出ED与BC的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得到△BCF的面积.
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
设x=2k，y=5k，
∴.
故答案为：D
【分析】利用比例的性质可得到y与x的比值，设x=2k，y=5k，然后代入代数式化简求值.
6．如图，在中，点，是边，的中点，若的面积为1，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点，是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴的面积为4，
∴四边形的面积为3，
故答案为：D.
【分析】先证明DE是的中位线，再利用中位线的性质证明，最后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB
∵DE：CE=2：3
∴DE：AB=2：5
∵DC∥AB
∴△DEF∽△BAF
∴，
∴
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：10：25
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，求出对应边的比，根据等高三角形的面积比等于对应边的比，即可得到答案。
8．如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先证出，可得，再结合，证出，可得 ，再利用等量代换可得，最后将数据代入求出即可.
9． 如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，连结.AD， F是AD 的中点，连结BF 并延长，交AC于点E，则 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点 D 作DH∥BE，交AC 于点 H.
∵ F 为 AD 的中点，∴AF=FD.∵FE∥DH，∴AE：EH=AF：FD=1.∴AE=EH.∵ DH∥BE，
故答案为：A .
【分析】过D点作DH∥BE交AC于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，先利用 得到 即AE=EH，再由 则CE=4AE，从而得到 的值.
10．如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，如图1，
设P点坐标（n， ），
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（n， ），
∴OD=CQ=n，
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= ；
同理可证：BG= BF= PD= ，
∴BE=BG+EG= + ；
∵∠AOB=135°，
∴∠OBE+∠OAE=45°，
∵∠DAO+∠OAE=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
∵在△BOE和△AOD中， ，
∴△BOE∽△AOD；
∴ = ，即 = ；
整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；
故答案为：D．
方法2、如图2，
过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（n， ），
∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ）
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=4，
当y=0时，x=﹣4．
∴OG=4，
∵∠AOB=135°，
∴∠BOG+∠AOC=45°，
∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，
∴∠AGO=∠OCG=45°，
∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，
∴∠OBG=∠AOC，
∴△BOG∽△OAC，
∴ = ，
∴ = ，
在等腰Rt△BFG中，BG= BF= ，
在等腰Rt△ACD中，AC= AD= n，
∴ ，
∴k=8，
故答案为：D．
【分析】方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，如图1，首先求出C，G两点的坐标，从而得出OC=OG，根据等边对等角得出∠OGC=∠OCG=45°再根据平行线的知识得出∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，进而PA=PB，设出P点的坐标，求出OD=CQ.AD的长，然后判断出△BOE∽△AOD；根据相似三角形对应边成比例得出方程，求解即可； 方法2、如图2， 过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，首先求出C，G两点的坐标，从而得出OC=OG，根据等边对等角得出∠OGC=∠OCG=45°再根据平行线的知识得出∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，进而PA=PB， 设出P点的坐标进而得出A，B两点的坐标，找到OC.OG的长，进而判断出△BOG∽△OAC，根据相似三角形对应边成比例得出方程，在等腰Rt△BFG中表示出BG，在等腰Rt△ACD中表示出AC，代入方程求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m．
【答案】12
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∵BE=1.5，AB=2，BC=14，
∴AC=16，
∴ = ，
∴CD=12．
故答案为：12．
【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
12．如图，正方形OABC的边长为8，A、C两点分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y＝ 的图像经过点Q，若S△BPQ＝ S△OQC，则k的值为 .
【答案】－36
【解析】【解答】解：在正方形OABC中，
∵AB//CO，
∴△BPQ∽△OQC，
∵S△BPQ＝ S△OQC，
∴△BPQ与△OQC的相似比为1：3，
即BQ：QO＝1：3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得，
，
∴OQ= ，
∴Q点坐标为（-6，6），
∴k＝ ＝-36
故答案为-36.
【分析】利用正方形的性质证△BPQ∽△OQC，再由面积比求出相似比得到BQ与QO的比值，利用勾股定理求出BO的长，进而求出点Q的坐标，用待定系数法即可求出k值.
13．点C是线段MN的黄金分割点，则 = ．
【答案】 或
【解析】【解答】解：当MC＞NC时， = ；
当MC＜NC时， =1﹣ = ，
故答案为： 或 ．
【分析】分MC＞NC和MC＜NC两种情况，根据黄金比值计算即可．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8．
（1） ；
（2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积= ．
【答案】9；8
15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C； 直线DF交l1，l2，l3，于点D，E，F，已知 ，则 = ．
【答案】2
【解析】【解答】 解：∵ l1∥l2∥l3， ，
∴，
∴，
即=2.
故答案为：2.
【分析】根据平行线截线段成比例得，由线段的比例性质即可得出答案.
16．如图，已知平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，且F为的黄金分割点（），那么的值为 ．
【答案】
【解析】修改分析
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵F为CD的黄金分割点（DF＞CF），
∴，
∴，
∵DF∥AB，
∴∠A＝∠FDE，∠ABE＝∠DFE，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据黄金分割的定义可得，从而可得，再证明△ABE∽△DFE，最后利用相似三角形的性质可得，即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知a：b：c＝2：3：4，求 的值．
【答案】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，（k≠0），
则 ＝ ，
∴原式= ．
【解析】【分析】根据题意可设a=2k，b=3k，c=4k，代入分式求值即可．
18．某施工似在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路产边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.求被削去的部分面积有多大.它的周长是多少
【答案】解：∵ DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
∴△ADE与△ABC的周长比为，面积比为，
∴△ADE的周长为，△ADE的面积为.
【解析】【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，从而可求得相似比，再根据周长比=相似比，面积比=相似比2，即可求出△ADE的周长与面积.
19．一块直角三角形木板的一条直角边 长为3米，面积为6平方米，要把它加工成如图所示的正方形桌面，某同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识求出该同学加工的正方形边长（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
【答案】解：∵ ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
如图，过 点作 于点 交 于点 ，
由 ，
可得 .
∵ ，∴ .
∴ .
∴ .
设 ，
∴ .
∴
【解析】【分析】先根据面积求出BC的长度，再通过勾股定理求出AC长度，过 点作 于点 交 于点 ，求出BM长，再证明 ，得到 ，将值代入即可求出结果.
20．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
【答案】【解答】解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=MDN，
∴△CAD～△MND，
∴，
∴，
∴MN=9.6，
又∵∠EBF=∠MNF=90°，
∠EFB=∠MFN，
∴△EFB～△MFN，
∴，
∴
∴EB≈1.75，
∴小军身高约为1.75米．
【解析】【分析】先证明△CAD～△MND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6，再证明△EFB～△MFN，即可解答．
21．为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度.
【答案】解：根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则 ，即 ，
解得：AB＝6米.
答：树AB的高度为6米.
【解析】【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答.
22．如图在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
（3）则S△A1B1C1：S△A2B2C2．
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）∵△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，∴△A1B1C1与△A2B2C2，关于原点位似，位似比为1：2，∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=1：4．
【解析】【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用对应点横坐标与纵坐同时乘以﹣2，进而得出各点的位置；
（3）利用位似图形的性质得出面积比即可．
23．如图，在 中， ，正方形 的边长是 ，且四个顶点都在 的各边上， ，求 的长.
【答案】解：∵四边形EFGD是正方形，∴DE=EF=DG=6cm，∠GDE=∠DEF=90°，∴∠BDG=∠CEF=90°.
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠CFE=90°，∴∠B=∠CFE，∴△BDG∽△FEC，∴ = ，∴ = ，∴BD=12，∴BC=BD+DE+EC=12+6+3=21（cm）
【解析】【分析】根据正方形的性质得出 DE=EF=DG=6cm，∠GDE=∠DEF=90° ，根据等角的补角相等得出 ∠BDG=∠CEF=90° ，根据同角的余角相等得出 ∠B=∠CFE，从而判断出△BDG∽△FEC，根据相似三角形对应边成比例得出 = ，根据比例式算出BD的长，进而根据 BC=BD+DE+EC 即可算出答案.
24．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴ ．
∴△BMN是等腰直角三角形
（2）解：△MFN∽△BDC．
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC， ．
∵AC＝BD，
∴ ，即 ．
由(1)知△BMN是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵AM⊥BC，
∴∠NMF＋∠FMB＝90°．
∵FM∥AC．
∵∠ACB＝∠FMB．
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB＋∠CBD＝90°．
∴∠CBD＋∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．
【解析】【分析】（1）由题AB=AC，因为M为BC 的中点，所以根据等腰三角形三线合一，∠NMB=90°，根据三角形外角的性质，即可得到∠MNB=45°，所以得出三角形NMB为等腰直角三角形。
（2）由题可得，FM为三角形ABC的中位线，根据（1）中所求的等腰直角三角形，继而可以求得成比例的线段，继而求∠NMF＝∠CBD，根据三角形相似的判定定理，即可求出△MFN∽△BDC。
25．如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别在上，连接与相交于点与交于点．已知，．
（1）求证：；
（2）若的面积为的面积为，求的值；
（3）设与交于点，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，BE⊥AF，
在△ADF和△BAE中，
（2）如解图，过点F作FM⊥AC于点M，过点O作ON∥AD，交BE于点N，
在Rt△ADF和Rt△AMF中，
∴△AEH是等腰三角形，
设AD=AB=x，在Rt△ABD中，由勾股定理得
（3）证明：如解图，
【解析】【分析】（1）证明即可得到结论；
（2）过点F作FM⊥AC于点M，过点O作ON∥AD，交BE于点N，证明，即可得到△AEH是等腰三角形，然后得到OH=ON，进而求出表示DB和OB长即可解题；
（3）证明，求出PO和DE长即可解题 ．
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