4.1 《比例线段》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·杭州开学考）下列线段能成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．（2025·龙岗模拟）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知ab=mn，则下列比例式中错误的是( )
A． B． C． D．
4．（2024九上·八步期末）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·馆陶期末）某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2025九上·鄞州期末）若 4 个成比例的数满足 ，则这个数 是 ．
7．（2024九上·武侯月考）若线段、、、是成比例线段，且，，，则 ．
8．（2024九上·覃塘期中）在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是 米.
9．（2024九上·定边期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长．
10．已知线段a，b，c，d是成比例线段，满足，其中a=12cm，b=4cm，c=6cm．求线段d的长度．
二、能力提升
11．（2024九上·郫都期中）若a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段d的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024九上·合肥期中）下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
13．已知△ABC的三边a，b，c，a=2，b=4，c=3，ha，hb，hc分别为a，b，c上的高，则ha：hb：hc=
14．点 P，Q在线段AB 上中点的同一侧，点 P 分AB 为2：3两部分，点Q分AB 为3：4两部分.若PQ=2cm，则AB的长为 .
15．（2023九上·闵行期中）若，那么 ．
16．已知线段，请另确定一条线段的长度，使这4条线段为成比例线段 .
17．已知，且，则 .
18．（2023九上·临平月考）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
19．已知△ABC与△DEF在网格中的位置如图所示，每个小正方形的边长都是1．
（1）求，，的值．
（2）写出两组比例线段．
20．如图所示，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2．
（1）求下列各线段的比：
（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，BF这六条线段中的比例线段．（写一组即可）
三、综合拓展
21．已知与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1.
（1）求的值.
（2）求的周长与的周长之比.
（3）在这六条线段中，指出其中三组成比例线段.
22．【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图①，△ABC 与△ABD 是以 AB 为 公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质如下：连结DC 并延长，交AB 于点E，则
【问题解决】如图②，在△ABC 中，D 为BC的中点，E为 AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F，连结DF.
（1）找出以 BF 为公共边的所有“共边三角形”.若△ABC 的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积.
（2）求证：
（3） 若将“D为BC 的中点”改为“BD ： DC=2：3”，则AF：CF= .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴，，，四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
B、∵1×4＝，∴，，，四条线段成比例，故此选项符合题意；
C、∵，∴，，，四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
D、∵2×5≠3×4，∴，，， 四条线段不成比例，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】如果a、b、c、d四条线段成比例，且a＞b＞c＞d，则ad=bc，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据成比例线段的意义，列出比例式，转化为关于c的方程求解．
3．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵的两个外项是m、n，两个内项是a、b，∴ab＝mn，∴A正确，不符合题意；
B、∵的两个内项是n、m，两个外项是a、b，∴ab＝mn，∴B正确，不符合题意；
C、∵的两个内项是a、n，两个外项是m、b，∴an＝bm，∴C错误，符合题意；
D、∵的两个外项是a、b，两个内项是n、m，∴ab＝mn，∴D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用比例线段的定义（在比例式中，两内项之积等于两外项之积）逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a：b＝c：d，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，
∴2：4＝3：d，
解得：d＝6，
∴d的值是6cm.
故答案为：D．
【分析】将数据直接代入a：b＝c：d，可得2：4＝3：d，再求出d的值即可.
5．【答案】C
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解：由题意得在地图上的距离与实际的距离之比是20：600000，
∴
故答案为：C
【分析】根据比例尺结合“某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米”即可求解。
6．【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：由题可得
，
故答案为：6.
【分析】根据比例的内项之积等于两外项之积解题即可.
7．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：线段、、、是成比例线段，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【分析】若四条线段满足，则线段、、、是成比例线段，据此列出比例式求解即可.
8．【答案】300
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵比例尺为1：10000，A，两地的距离是3cm，
设A，B两地的实际距离为cm，
∴
∴，
∵，
∴A，B两地的实际距离为300米．
故答案为：300．
【分析】设A，B两地的实际距离为cm，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】解：已知，，，是成比例线段，
根据成比例线段的定义得，
代入，，得：，
解得：，
∴线段的长为
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据成比例线段的性质，可得ad=bc；将已知a、b、c的值代入，即可解得d的值.
10．【答案】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段 ，且，
故将a=12，b=4，c=6代入可得：
，
解得：d=2，
∴.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据，再把a、b、c、d的值代入，进行计算即可得出答案．
11．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．利用已知可得到，然后将a，b及c的值代入即可求得d．
12．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A. a = 3，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，A不符合题意；
B. ，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，B不符合题意；
C. ，，，；
，，，a、b、c、d是成比例线段，C符合题意；
D. ，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据比例线段的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
13．【答案】6：3：4
【知识点】三角形的面积；比例线段
【解析】【解答】解：设△ABC的面积为S，
则S===，
∵a=2，b=4，c=3，
∴，，，
故ha：hb：hc=6：3：4；
故答案为：6：3：4.
【分析】根据三角形面积公式计算即可得出结果.
14．【答案】70cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；线段的比
【解析】【解答】解：如图1所示，
∵点 P分AB 为2：3，点 Q分AB 为3：4，
∵PQ=2cm，
解得AB=70；
如图2所示，
∵点 P 分AB 为2：3，点 Q分AB 为3：4，
∵PQ=2cm，
解得AB=70.
故答案为：70cm.
【分析】本题因为条件“ 点 P，Q在线段AB 上中点的同一侧 ”，可以分在中点的左侧同侧和在中点的右侧同侧，画图并且列式计算即可得出AB的长度。
15．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设 ，则：x=2k，y=3k，z=5k，
∴ 。
故答案为：。
【分析】设设 ，则：x=2k，y=3k，z=5k，然后代入代数式求值即可得出答案。
16．【答案】3或12或
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设线段d的长度为x，
由题意得4×6=2x或4×2=6x或4x=6×2，
∴x=12或或3.
故答案为：12或或3.
【分析】设线段d的长度为x，分三种情况：①d是最长的线段，②最短的线段，③D的长度介于2与6之间，分别根据两内项之积等于两外项之积，列出方程，求解即可.
17．【答案】4
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：∵x∶y∶z=3∶5∶6，
∴，
∴设x=3k，y=5k，z=6k，
∵2x-y+3z=38，
∴6k-5k+18k=38，
∴19k=38，
∴k=2；
∴x=6，y=10，z=12，
∴3x+y-2z=3×6+10-2×12=4.
故答案为：4.
【分析】根据等比设参可设x=3k，y=5k，z=6k，再结合2x-y+3z=38，可求出k的值，从而得到x、y、z的值，最后代入待求式子，含加减乘除运算的运算顺序计算可得答案.
18．【答案】（1）解：∵＝，
∴＝，
∴＝，
（2）解：设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3．
【知识点】比例线段；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
(1)根据已知得出a：b的值，再求a+b/b的值即可。
(2)设比值为k，用k表示出 a，b，c，再根据a+b+c=27列方程求出k .
19．【答案】（1）解：AB=，BC=6，AC=，DE=，EF=3，DF=，
∴=2
=2
（2）解：，AB，DE，BC，EF是一组比例线段；
，AB，DE，AC，DF是一组比例线段．
(或，BC，EF，AC，DF是一组比例线段)
【知识点】勾股定理；比例线段
【解析】【分析】（1）根据网格和勾股定理求出AB、BC、AC、DE、EF、DF的长度，即可解答；
（2）根据成比例线段的概念找出成比例的线段.
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，，，
，
；
（2）解：由（1）得：
，，
∴
∴EF，CF，BF，AB是比例线段.（答案不唯一）
【知识点】比例线段；线段的比
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质结合题意得到，进而即可求解；
（2）根据（1）中的比可知，结合题意得到EF，CF，BF，AB是比例线段.（答案不唯一）
21．【答案】（1）解：易知，
；
（2）解：，
，
的周长与的周长之比为2：1；
（3）解：∴是成比例线段；
是成比例线段；
是成比例线段.
【知识点】勾股定理；比例线段
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及勾股定理分别算出AB、BC、AC、DE、EF及DF的长，再分别求出对应的比值即可；
（2）根据等比的性质即可求出答案；
（3）根据成比例线段的概念找出成比例的线段即可.
22．【答案】（1）解：由题意，得以BF 为公共边的“共边三角形”为△ABF 和△DBF，△ABF 和△CBF，△DBF 和△CBF.由“共边三角形”的性质，得
∵D，E 分别为BC，AD的中点，
∵△ABC 的面积为45，
（2）证明：由“共边三角形”的性质，得
由(1)，知
（3）2：5
【知识点】三角形的面积；比例线段
【解析】【解答】(3)由“共边三角形”的性质，得 CF=2：5.
故答案为：2：5.
【分析】(1)根据“共边三角形”的概念可求解，则有 进而问题可求解；
(2)由(1)及题意可进行求解；
(3)由题意易得进而问题.可进行求解.
1 / 14.1 《比例线段》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·杭州开学考）下列线段能成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴，，，四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
B、∵1×4＝，∴，，，四条线段成比例，故此选项符合题意；
C、∵，∴，，，四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
D、∵2×5≠3×4，∴，，， 四条线段不成比例，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】如果a、b、c、d四条线段成比例，且a＞b＞c＞d，则ad=bc，据此逐一判断得出答案.
2．（2025·龙岗模拟）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据成比例线段的意义，列出比例式，转化为关于c的方程求解．
3．已知ab=mn，则下列比例式中错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵的两个外项是m、n，两个内项是a、b，∴ab＝mn，∴A正确，不符合题意；
B、∵的两个内项是n、m，两个外项是a、b，∴ab＝mn，∴B正确，不符合题意；
C、∵的两个内项是a、n，两个外项是m、b，∴an＝bm，∴C错误，符合题意；
D、∵的两个外项是a、b，两个内项是n、m，∴ab＝mn，∴D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用比例线段的定义（在比例式中，两内项之积等于两外项之积）逐项分析判断即可.
4．（2024九上·八步期末）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a：b＝c：d，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，
∴2：4＝3：d，
解得：d＝6，
∴d的值是6cm.
故答案为：D．
【分析】将数据直接代入a：b＝c：d，可得2：4＝3：d，再求出d的值即可.
5．（2024九上·馆陶期末）某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解：由题意得在地图上的距离与实际的距离之比是20：600000，
∴
故答案为：C
【分析】根据比例尺结合“某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米”即可求解。
6．（2025九上·鄞州期末）若 4 个成比例的数满足 ，则这个数 是 ．
【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：由题可得
，
故答案为：6.
【分析】根据比例的内项之积等于两外项之积解题即可.
7．（2024九上·武侯月考）若线段、、、是成比例线段，且，，，则 ．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：线段、、、是成比例线段，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【分析】若四条线段满足，则线段、、、是成比例线段，据此列出比例式求解即可.
8．（2024九上·覃塘期中）在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是 米.
【答案】300
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵比例尺为1：10000，A，两地的距离是3cm，
设A，B两地的实际距离为cm，
∴
∴，
∵，
∴A，B两地的实际距离为300米．
故答案为：300．
【分析】设A，B两地的实际距离为cm，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2024九上·定边期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长．
【答案】解：已知，，，是成比例线段，
根据成比例线段的定义得，
代入，，得：，
解得：，
∴线段的长为
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据成比例线段的性质，可得ad=bc；将已知a、b、c的值代入，即可解得d的值.
10．已知线段a，b，c，d是成比例线段，满足，其中a=12cm，b=4cm，c=6cm．求线段d的长度．
【答案】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段 ，且，
故将a=12，b=4，c=6代入可得：
，
解得：d=2，
∴.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据，再把a、b、c、d的值代入，进行计算即可得出答案．
二、能力提升
11．（2024九上·郫都期中）若a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段d的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．利用已知可得到，然后将a，b及c的值代入即可求得d．
12．（2024九上·合肥期中）下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A. a = 3，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，A不符合题意；
B. ，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，B不符合题意；
C. ，，，；
，，，a、b、c、d是成比例线段，C符合题意；
D. ，，，；
，，，a、b、c、d不是成比例线段，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据比例线段的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
13．已知△ABC的三边a，b，c，a=2，b=4，c=3，ha，hb，hc分别为a，b，c上的高，则ha：hb：hc=
【答案】6：3：4
【知识点】三角形的面积；比例线段
【解析】【解答】解：设△ABC的面积为S，
则S===，
∵a=2，b=4，c=3，
∴，，，
故ha：hb：hc=6：3：4；
故答案为：6：3：4.
【分析】根据三角形面积公式计算即可得出结果.
14．点 P，Q在线段AB 上中点的同一侧，点 P 分AB 为2：3两部分，点Q分AB 为3：4两部分.若PQ=2cm，则AB的长为 .
【答案】70cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；线段的比
【解析】【解答】解：如图1所示，
∵点 P分AB 为2：3，点 Q分AB 为3：4，
∵PQ=2cm，
解得AB=70；
如图2所示，
∵点 P 分AB 为2：3，点 Q分AB 为3：4，
∵PQ=2cm，
解得AB=70.
故答案为：70cm.
【分析】本题因为条件“ 点 P，Q在线段AB 上中点的同一侧 ”，可以分在中点的左侧同侧和在中点的右侧同侧，画图并且列式计算即可得出AB的长度。
15．（2023九上·闵行期中）若，那么 ．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设 ，则：x=2k，y=3k，z=5k，
∴ 。
故答案为：。
【分析】设设 ，则：x=2k，y=3k，z=5k，然后代入代数式求值即可得出答案。
16．已知线段，请另确定一条线段的长度，使这4条线段为成比例线段 .
【答案】3或12或
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设线段d的长度为x，
由题意得4×6=2x或4×2=6x或4x=6×2，
∴x=12或或3.
故答案为：12或或3.
【分析】设线段d的长度为x，分三种情况：①d是最长的线段，②最短的线段，③D的长度介于2与6之间，分别根据两内项之积等于两外项之积，列出方程，求解即可.
17．已知，且，则 .
【答案】4
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：∵x∶y∶z=3∶5∶6，
∴，
∴设x=3k，y=5k，z=6k，
∵2x-y+3z=38，
∴6k-5k+18k=38，
∴19k=38，
∴k=2；
∴x=6，y=10，z=12，
∴3x+y-2z=3×6+10-2×12=4.
故答案为：4.
【分析】根据等比设参可设x=3k，y=5k，z=6k，再结合2x-y+3z=38，可求出k的值，从而得到x、y、z的值，最后代入待求式子，含加减乘除运算的运算顺序计算可得答案.
18．（2023九上·临平月考）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
【答案】（1）解：∵＝，
∴＝，
∴＝，
（2）解：设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3．
【知识点】比例线段；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
(1)根据已知得出a：b的值，再求a+b/b的值即可。
(2)设比值为k，用k表示出 a，b，c，再根据a+b+c=27列方程求出k .
19．已知△ABC与△DEF在网格中的位置如图所示，每个小正方形的边长都是1．
（1）求，，的值．
（2）写出两组比例线段．
【答案】（1）解：AB=，BC=6，AC=，DE=，EF=3，DF=，
∴=2
=2
（2）解：，AB，DE，BC，EF是一组比例线段；
，AB，DE，AC，DF是一组比例线段．
(或，BC，EF，AC，DF是一组比例线段)
【知识点】勾股定理；比例线段
【解析】【分析】（1）根据网格和勾股定理求出AB、BC、AC、DE、EF、DF的长度，即可解答；
（2）根据成比例线段的概念找出成比例的线段.
20．如图所示，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2．
（1）求下列各线段的比：
（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，BF这六条线段中的比例线段．（写一组即可）
【答案】（1）解：∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，，，
，
；
（2）解：由（1）得：
，，
∴
∴EF，CF，BF，AB是比例线段.（答案不唯一）
【知识点】比例线段；线段的比
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质结合题意得到，进而即可求解；
（2）根据（1）中的比可知，结合题意得到EF，CF，BF，AB是比例线段.（答案不唯一）
三、综合拓展
21．已知与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1.
（1）求的值.
（2）求的周长与的周长之比.
（3）在这六条线段中，指出其中三组成比例线段.
【答案】（1）解：易知，
；
（2）解：，
，
的周长与的周长之比为2：1；
（3）解：∴是成比例线段；
是成比例线段；
是成比例线段.
【知识点】勾股定理；比例线段
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及勾股定理分别算出AB、BC、AC、DE、EF及DF的长，再分别求出对应的比值即可；
（2）根据等比的性质即可求出答案；
（3）根据成比例线段的概念找出成比例的线段即可.
22．【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图①，△ABC 与△ABD 是以 AB 为 公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质如下：连结DC 并延长，交AB 于点E，则
【问题解决】如图②，在△ABC 中，D 为BC的中点，E为 AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F，连结DF.
（1）找出以 BF 为公共边的所有“共边三角形”.若△ABC 的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积.
（2）求证：
（3） 若将“D为BC 的中点”改为“BD ： DC=2：3”，则AF：CF= .
【答案】（1）解：由题意，得以BF 为公共边的“共边三角形”为△ABF 和△DBF，△ABF 和△CBF，△DBF 和△CBF.由“共边三角形”的性质，得
∵D，E 分别为BC，AD的中点，
∵△ABC 的面积为45，
（2）证明：由“共边三角形”的性质，得
由(1)，知
（3）2：5
【知识点】三角形的面积；比例线段
【解析】【解答】(3)由“共边三角形”的性质，得 CF=2：5.
故答案为：2：5.
【分析】(1)根据“共边三角形”的概念可求解，则有 进而问题可求解；
(2)由(1)及题意可进行求解；
(3)由题意易得进而问题.可进行求解.
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