4.1 《比例线段》（3）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.若按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，则该雕像的下部设计高度约为(参考数据：( )
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
2．已知 P 是线段AB 的黄金分割点，且 AP>BP，则下列比例式能成立的是( )
A． B． C． D．
3．（2023九上·杭州期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB=2，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·兰溪期中）已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
5． 已知线段a=1，c=5，线段b 是线段a，c 的比例中项，则线段b 的长为( )
A．2.5 B． C．±2.5 D．
6．（2024九上·青羊期中）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台的长为20米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 米．
7．（2025九上·象山月考）点P为线段AB的黄金分割点（AP>BP），若AB=2，则AP= .
8．（2024九上·上海市月考）线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ．
9．（2024九上·瑞安开学考）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ．
10．（2024九上·浙江期中）（1）已知，求x：y的值．
（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．
二、能力提升
11．（2025九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C．6.18cm D．
12． 如图，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4.若 D，E 分别是边 BC 上的两个黄金分割点，则△ADE 的面积为( )
A． B． C． D．
13．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以点F为圆心，以FD的长半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则下列矩形中是黄金矩形的是．( )
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
14．（2024九上·桂林期末）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024九上·洞口开学考）如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 米．
16．（2024九上·重庆市开学考）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号）
17．（2024九上·成都期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ．
18．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
19．（2024·金华月考）已知线段 a 、b 、c 满足 a ： b ： c =3： 2 ： 4，且 a+2b+c=33 .
（1）求 a 、b 、c 的值；
（2）若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值；
（3）将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；
20．（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值．
（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项线段，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长，并思考(1)(2)两题有何区别．
21．（2023九上·瑞安月考）
（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
三、综合拓展
22．阅读下面的材料，并解答问题.
小明参加了一次折叠活动，折叠步骤如下：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB 折到图③所示的AD 处.
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出图④所示的矩形 BCDE.
已知矩形 BCDE 为黄金矩形，你能说明为什么吗((注：当矩形的宽与长的比为 时，我们称这个矩形为黄金矩形)
23．（2024九上·恩平月考）综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该雕像的下部设计高度为x m，则雕像的上部为（2-x）m，
由题意可得，，解得或（舍），
所以.
故答案为：B .
【分析】设该雕像的下部设计高度为x m，由题意可建立方程，解方程即可求解.
2．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ P是线段AB的黄金分割点，且 AP>BP，
∴，即，故选项A正确.
故答案为：A .
【分析】结合条件，利用黄金分割点的定义即可求解.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＞BC，则AC为较长线段；
∴
∴AC=2× = ．
故答案为：A．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较短线段与较长线段的比等于较长线段和整个线段的比，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个比叫黄金比，黄金比为，据此求解即可.
4．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C把线段黄金分割，且，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点， 他们的比值叫做黄金比， 据此即可逐项判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵ 线段b是线段a，c的比例中项，
∴，，
∵ a=1，c=5，
∴，解得，
∴线段b的长度是.
故答案为：B .
【分析】利用比例中项的定义可得，结合已知即可计算出b的长度.应注意比例线段数值不能为负值.
6．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上靠近点的黄金分割点，米，
（米，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点定义即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点且AP>BP
∴AP=.
故答案为：.
【分析】直接由黄金分割比例代入数据进行计算即得AP的长.
8．【答案】
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段AB是线段MN、CD的比例中项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】三条线段a、b、c，如果满足，则线段b就是线段a、c的比例中项，据此建立方程求解即可.
9．【答案】4
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：线段是线段和线段的比例中项，
，
，，
∴b2=16，
∴，
∴b1=4，b2=-4(舍去).
故答案为：4．
【分析】根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则b2=ac，从而代值后利用直接开平方法求解后根据实际问题进行取舍即可.
10．【答案】（1）解：∵，
∴7x＝3x+3y，
∴4x＝3y，
∴x：y＝3：4
（2）解：设c为线段 a，b的比例中项，
则c2＝ab，
即c2＝16，
由于 c＞0，
故c＝4．
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】（1）利用比例基本性质：计算；
（2）根据比例中项定义即可算出.
11．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： m，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；黄金分割；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点 A 作AH⊥BC 于点 H.
∵ AB=AC，AH⊥BC，BC =4，
∴，
在Rt△ABH中， ，
∵ D，E 是边BC上的两个黄金分割点，
∴，，
∴，
，
.
.
故答案为：A .
【分析】利用等腰三角形三线合一可得，在Rt△ABH中，利用勾股定理可得，再利用黄金分割的定义可得，，结合已知条件即可计算出CD、BD、DE的长度，最后利用三角形面积公式即可求解.
13．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
∴BC＝CD＝2a，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠CDH＝180° ∠ADC＝90°，∠DCG＝180° ∠BCD＝90°，
∵GH⊥AD，
∴∠H＝90°，
∴四边形DCGH是矩形，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝a，
在Rt△CDF中，DF＝，
由题意得：DF＝FG＝，
∴CG＝FG FC＝（ 1）a，
∴，
∴矩形DCGH是黄金矩形，
故答案为：D．
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，先求出CF＝BC＝a，利用勾股定理求出DF的长，再利用线段的和差求出CG＝FG FC＝（ 1）a，再求出，即可得到矩形DCGH是黄金矩形.
14．【答案】C
【知识点】三角形的面积；黄金分割；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵
∴
故答案为：C
【分析】先根据黄金分割点得到，进而根据正方形和长方形的面积即可求解。
15．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
所以，
所以米，
故填：．
【分析】由雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比可得，用去表示，再代入即可求解．
16．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
解得：，（舍去），
故答案为：．
【分析】利用黄金分割的定义可得，设，将数据代入可得，即，再求出x的值即可.
17．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质；比例中项
【解析】【解答】解：∵常数m是1和9的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴当时，，
当时，，则，
∴该一次函数的解析式为或，
故答案为：或．
【分析】如果三个数a、b、c满足b2=ac，则称b是ac的比例中项，据此可以求得m的值，根据等比性质可得，，，然后将三个等式相加得再分a+b+c=0 与a+b+c≠0两种情况求得k的值，从而可以写出该一次函数的解析式．
18．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是靠近点的黄金分割点，
∴设BC=x，则AC=100-x，
根据题意可得：，
解得：x=，
∵支撑点是靠近点A的黄金分割点，
∴设AD=y，则BD=100-y，
根据题意可得：，
解得：y=，
∴C、D之间的距离为：100-x-y=，
故答案为：.
【分析】先利用黄金分割点的性质求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
19．【答案】（1）解： 设定未知数：设a=3 k，b=2k，c=4k，代入a+2b+c=33 ，
解方程： 3k+2·2k+4k=33，即3k+4k+4k=33，得到11k=33，
解得k=3 ，
所以得到a=9，b=6，c=12
（2）解：根据比例中项的定义，线段x满足x2=ab。代入a=9，b=6，
解得
（3）解：黄金分割比例是指线段分割成的两段长度之比为，且两段之和等于原线段长度。
根据此比例，线段b=6分割后，较长线段的长度为，
代入b=6，得到，
化简得
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【分析】(1)根据题目中给出的比例和等式设未知数，解方程求解线段a，b，c的长度；
(2)根据比例中项的定义求解线段 x；
(3)根据黄金分割的定义计算线段b分割后的较长线段的长度.
20．【答案】（1）解：∵b是a，c的比例中项，
∴a：b=b：c，
∴b2=ac，
∴b=±．
∵a=4，c=9，
∴b=±=±6，
即b=±6．
（2）解：∵MN是线段，
∴MN>0．
∵线段MN是AB，CD的比例中项线段，
∴MN2=AB·CD，
∴MN=．
∵AB=4cm，CD=5cm，
∴MN=(cm)．
通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而线段MN的长不可以取负值．
【知识点】比例中项
【解析】【分析】（1）利用比例中项的定义可得a：b=b：c，再将数据代入求出b的值即可；
（2）利用比例中项的定义可得MN2=AB·CD，再求出MN的长即可.
21．【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项，
∴c2=ab=4.5×2=9，
解得：c1=3，c2=-3，
∴c为3或-3.
（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4，
∴.
【知识点】黄金分割；比例中项
【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，得到c2=ab，代入即可求解；
（2）根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中，即可求解.
22．【答案】解：由题意可知，BC=2，∠NCB=90°.
由第二步，可得
如题图③，在Rt△ABC中，AB=
∴ 矩形 BCDE 为黄金矩形
【知识点】勾股定理；黄金分割
【解析】【分析】结合已知条件，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，根据图形翻折的性质易得AD=AB，利用线段的和差计算出CD的长，再利用黄金分割的定义即可证明.
23．【答案】（1）
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）令“千斤”下面一截琴弦长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
1 / 14.1 《比例线段》（3）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.若按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，则该雕像的下部设计高度约为(参考数据：( )
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该雕像的下部设计高度为x m，则雕像的上部为（2-x）m，
由题意可得，，解得或（舍），
所以.
故答案为：B .
【分析】设该雕像的下部设计高度为x m，由题意可建立方程，解方程即可求解.
2．已知 P 是线段AB 的黄金分割点，且 AP>BP，则下列比例式能成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ P是线段AB的黄金分割点，且 AP>BP，
∴，即，故选项A正确.
故答案为：A .
【分析】结合条件，利用黄金分割点的定义即可求解.
3．（2023九上·杭州期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB=2，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＞BC，则AC为较长线段；
∴
∴AC=2× = ．
故答案为：A．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较短线段与较长线段的比等于较长线段和整个线段的比，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个比叫黄金比，黄金比为，据此求解即可.
4．（2024九上·兰溪期中）已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C把线段黄金分割，且，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点， 他们的比值叫做黄金比， 据此即可逐项判断得出答案.
5． 已知线段a=1，c=5，线段b 是线段a，c 的比例中项，则线段b 的长为( )
A．2.5 B． C．±2.5 D．
【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵ 线段b是线段a，c的比例中项，
∴，，
∵ a=1，c=5，
∴，解得，
∴线段b的长度是.
故答案为：B .
【分析】利用比例中项的定义可得，结合已知即可计算出b的长度.应注意比例线段数值不能为负值.
6．（2024九上·青羊期中）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台的长为20米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 米．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上靠近点的黄金分割点，米，
（米，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点定义即可求出答案.
7．（2025九上·象山月考）点P为线段AB的黄金分割点（AP>BP），若AB=2，则AP= .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点且AP>BP
∴AP=.
故答案为：.
【分析】直接由黄金分割比例代入数据进行计算即得AP的长.
8．（2024九上·上海市月考）线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ．
【答案】
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段AB是线段MN、CD的比例中项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】三条线段a、b、c，如果满足，则线段b就是线段a、c的比例中项，据此建立方程求解即可.
9．（2024九上·瑞安开学考）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ．
【答案】4
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：线段是线段和线段的比例中项，
，
，，
∴b2=16，
∴，
∴b1=4，b2=-4(舍去).
故答案为：4．
【分析】根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则b2=ac，从而代值后利用直接开平方法求解后根据实际问题进行取舍即可.
10．（2024九上·浙江期中）（1）已知，求x：y的值．
（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．
【答案】（1）解：∵，
∴7x＝3x+3y，
∴4x＝3y，
∴x：y＝3：4
（2）解：设c为线段 a，b的比例中项，
则c2＝ab，
即c2＝16，
由于 c＞0，
故c＝4．
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】（1）利用比例基本性质：计算；
（2）根据比例中项定义即可算出.
二、能力提升
11．（2025九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C．6.18cm D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： m，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
12． 如图，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4.若 D，E 分别是边 BC 上的两个黄金分割点，则△ADE 的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；黄金分割；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点 A 作AH⊥BC 于点 H.
∵ AB=AC，AH⊥BC，BC =4，
∴，
在Rt△ABH中， ，
∵ D，E 是边BC上的两个黄金分割点，
∴，，
∴，
，
.
.
故答案为：A .
【分析】利用等腰三角形三线合一可得，在Rt△ABH中，利用勾股定理可得，再利用黄金分割的定义可得，，结合已知条件即可计算出CD、BD、DE的长度，最后利用三角形面积公式即可求解.
13．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以点F为圆心，以FD的长半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则下列矩形中是黄金矩形的是．( )
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
∴BC＝CD＝2a，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠CDH＝180° ∠ADC＝90°，∠DCG＝180° ∠BCD＝90°，
∵GH⊥AD，
∴∠H＝90°，
∴四边形DCGH是矩形，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝a，
在Rt△CDF中，DF＝，
由题意得：DF＝FG＝，
∴CG＝FG FC＝（ 1）a，
∴，
∴矩形DCGH是黄金矩形，
故答案为：D．
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，先求出CF＝BC＝a，利用勾股定理求出DF的长，再利用线段的和差求出CG＝FG FC＝（ 1）a，再求出，即可得到矩形DCGH是黄金矩形.
14．（2024九上·桂林期末）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；黄金分割；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵
∴
故答案为：C
【分析】先根据黄金分割点得到，进而根据正方形和长方形的面积即可求解。
15．（2024九上·洞口开学考）如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 米．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
所以，
所以米，
故填：．
【分析】由雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比可得，用去表示，再代入即可求解．
16．（2024九上·重庆市开学考）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
解得：，（舍去），
故答案为：．
【分析】利用黄金分割的定义可得，设，将数据代入可得，即，再求出x的值即可.
17．（2024九上·成都期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ．
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质；比例中项
【解析】【解答】解：∵常数m是1和9的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴当时，，
当时，，则，
∴该一次函数的解析式为或，
故答案为：或．
【分析】如果三个数a、b、c满足b2=ac，则称b是ac的比例中项，据此可以求得m的值，根据等比性质可得，，，然后将三个等式相加得再分a+b+c=0 与a+b+c≠0两种情况求得k的值，从而可以写出该一次函数的解析式．
18．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是靠近点的黄金分割点，
∴设BC=x，则AC=100-x，
根据题意可得：，
解得：x=，
∵支撑点是靠近点A的黄金分割点，
∴设AD=y，则BD=100-y，
根据题意可得：，
解得：y=，
∴C、D之间的距离为：100-x-y=，
故答案为：.
【分析】先利用黄金分割点的性质求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
19．（2024·金华月考）已知线段 a 、b 、c 满足 a ： b ： c =3： 2 ： 4，且 a+2b+c=33 .
（1）求 a 、b 、c 的值；
（2）若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值；
（3）将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；
【答案】（1）解： 设定未知数：设a=3 k，b=2k，c=4k，代入a+2b+c=33 ，
解方程： 3k+2·2k+4k=33，即3k+4k+4k=33，得到11k=33，
解得k=3 ，
所以得到a=9，b=6，c=12
（2）解：根据比例中项的定义，线段x满足x2=ab。代入a=9，b=6，
解得
（3）解：黄金分割比例是指线段分割成的两段长度之比为，且两段之和等于原线段长度。
根据此比例，线段b=6分割后，较长线段的长度为，
代入b=6，得到，
化简得
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【分析】(1)根据题目中给出的比例和等式设未知数，解方程求解线段a，b，c的长度；
(2)根据比例中项的定义求解线段 x；
(3)根据黄金分割的定义计算线段b分割后的较长线段的长度.
20．（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值．
（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项线段，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长，并思考(1)(2)两题有何区别．
【答案】（1）解：∵b是a，c的比例中项，
∴a：b=b：c，
∴b2=ac，
∴b=±．
∵a=4，c=9，
∴b=±=±6，
即b=±6．
（2）解：∵MN是线段，
∴MN>0．
∵线段MN是AB，CD的比例中项线段，
∴MN2=AB·CD，
∴MN=．
∵AB=4cm，CD=5cm，
∴MN=(cm)．
通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而线段MN的长不可以取负值．
【知识点】比例中项
【解析】【分析】（1）利用比例中项的定义可得a：b=b：c，再将数据代入求出b的值即可；
（2）利用比例中项的定义可得MN2=AB·CD，再求出MN的长即可.
21．（2023九上·瑞安月考）
（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项，
∴c2=ab=4.5×2=9，
解得：c1=3，c2=-3，
∴c为3或-3.
（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4，
∴.
【知识点】黄金分割；比例中项
【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，得到c2=ab，代入即可求解；
（2）根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中，即可求解.
三、综合拓展
22．阅读下面的材料，并解答问题.
小明参加了一次折叠活动，折叠步骤如下：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB 折到图③所示的AD 处.
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出图④所示的矩形 BCDE.
已知矩形 BCDE 为黄金矩形，你能说明为什么吗((注：当矩形的宽与长的比为 时，我们称这个矩形为黄金矩形)
【答案】解：由题意可知，BC=2，∠NCB=90°.
由第二步，可得
如题图③，在Rt△ABC中，AB=
∴ 矩形 BCDE 为黄金矩形
【知识点】勾股定理；黄金分割
【解析】【分析】结合已知条件，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，根据图形翻折的性质易得AD=AB，利用线段的和差计算出CD的长，再利用黄金分割的定义即可证明.
23．（2024九上·恩平月考）综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）令“千斤”下面一截琴弦长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
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