4.2 《由平行线截得的比例线段》---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，AC=10，则AE的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴
∵AD=2，BD=3，AC=10，
∴
∴AE=4.
故选：D.
【分析】根据平行线分线段成比例由DE//BC得到，然后根据比例的性质可求出AE.
2．（2025·龙港模拟）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C；直线分别交，，于点D，E，F．若，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
，
，
故选：C．
【分析】
两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例．
3．（2025九上·上城期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：C．
【分析】如果两条直线被一组平行线所截，那么所截的对应线段成比例，据此建立方程，求解即可.
4．（2024九上·山丹期末）如图，已知直线，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理定理解答即可．
5．（2024九上·衡阳期中）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，
解得：；
故答案为：D．
【分析】由平行线分线段成比例定理得，数据代入求解即可.
6．（2025九上·成都月考）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=3，BC=4，EF=8，则DE= .
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵a//b//c，
∴
即
∴DE =6.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案.
7．（2024九上·锦江期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、C、E和点B、D、F，已知，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴EC=AE-AC=5，
∵，DF=4.4
∴，即
∴．
故答案为：.
【分析】先由线段的和差算出CE的长，然后根据两条直线被一组平行线所截的对应相等成比例建立方程可求出BD的长.
8．（2024九上·武侯期中）如图，，若，，，则的长度是 ．
【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例建立方程，求解即可.
9．（2024九上·上城期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且．
（1）如果，求的长；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到的值，然后设，则，由的长得到关于的方程并解之即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即的长为5．
10．（2023九上·大名月考）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
【答案】（1）解：∵，∴，即，解得；
（2）解：∵，∴，即，解得.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例。
（1）根据得，则可知；
（2）根据得，根据 得，得.
二、能力提升
11．（2025九上·西湖期末）如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．9
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于，
∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理计算即可．
12．（2025九上·成都月考）如图所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，EF/AB.
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，BD=EF
∵DE//BC，
∴，，
∵EF/AB，
∴，，
∴
故选：C.
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案.
13． 如图，△ABC的中线AD，BE 相交于点F，过点 E 作EG∥AD 交BC 于点G，则 EG： AF的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中线
【解析】【解答】解： 连接DE.
∵ △ABC 的中线AD，BE 相交于点 F，
∴ AE=EC，BD=
即 AD，
故答案为： C.
【分析】连接DE，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD，再根据ED//AD得，即可求解.
14．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD=4：1，BC=10，则CE的长为 .
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的中点
【解析】【解答】解：过点D作DH//AE交BC于H，
∴，
∵D是AC的中点，BF：FD=4：1，BC=10，
∴CD=DA，BF=4FD.
∴，，
∴CH=HE，BE=4EH，
∴BE=2CE，
∴10=BC=BE+CE=2CE+CE，
∴
即CE的长为，
故答案为：.
【分析】过点D作DH//AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到BE=2CE，计算即可.
15．（2023九上·济南期末）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=，
∴点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为-，
∴OC=，
∴BE=，
∵AB∥CD，
∴，
∴EF=OE=，OF=OE=，
∴S△BEF=EF BE=××=，
S△ODF=OD OF=×a×=，
∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=．
故答案为：．
【分析】设A（a，），a＞0，进一步求出点B的纵坐标为，点B的横坐标为-，根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例可得EF=OE=，OF=OE=，根据三角形的面积公式即可求解.
16．（2023九上·保定月考）如图，是的中线．
①若为的中点，射线交于点，则的值为 ；
②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 ．
【答案】；
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：①过点D作于点G，
∴，，
∵是的中线，
∴，
∴，即，
∵为的中点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
②∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】①过点D作于点G，根据平行线分线段成比例可得，，再由是的中线，为的中点，可得，，再进行等量替换即可求出答案.
②根据，可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．（2024九上·衡阳月考）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长．
【答案】解：∵，
，
∵，
∴，，
∵，
，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】先利用两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例建立方程求出EF=6，然后根据BE=BF+EF，算出BE的长，进而再根据平行线分线段成比例定理建立方程求出CE的长.
18．（2022九上·嘉定期中）如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
19．（2023九上·浦东期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O．过点D作，交AC于点F．
（1）联结OE，若，求证：；
（2）若且，求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形ABED为平行四边形
又∵
∴四边形ABED为矩形
∴，
又∵
∴
，
∴
，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例求证。由，，得到，得比例式：，根据已知的OF AD=EC AO，得比例式：，于是有，则；
（2）根据矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例求证。先证明四边形ABED为矩形，得，根据ASA证明，得到，根据得到比例式，又，得到，即可证明.
三、综合拓展
20．（2024九上·朝阳开学考）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作．交的延长线于．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______．
【答案】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于，
，，，
，
，
，
；
（2）
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（2）解：，，，
，
平分，
，即，
，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，再根据直线平行性质可得，，则，即，即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得，再根据角平分线性质可得，代值计算可得，再根据勾股定理可得，再根据三角形周长即可求出答案.
21．（2021九上·姜堰月考）△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点， ，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得 ；
（3）若F为AD的中点，设 ，请求出m、n之间的等量关系.
【答案】（1）解：作DG∥BE交AC于G，
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴ ＝ ＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴ ＝ ，
∵ ，EG＝GC，
∴ ＝1，
∴ ＝1.
∴AF＝FD；
（2）解：作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；
（3）解：作DG∥BE交AC于G.
∵DG∥BE，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，
∵EF∥DG，
∴ ＝ ，
∵F为AD的中点，
∴ 即 .
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作DG∥BE交AC于G， 由于DG∥BE，根据平行线等分线段定理得出EG=CG，再由EF∥DG，根据平行线分线段成比例得出，结合EG=GC，推出 ＝1，即可解答；
（2）根据垂直平分线的作法分别求出BC的中点D和AD的中点F，连接BF交AC于E，则E点为所求；
（3）作DG∥BE交AC于G，DG∥BE， 根据平行线分线段成比例的性质求出 ，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，由EF∥DG，再根据平行线分线段成比例的性质推出 ＝ ，结合F为AD的中点，即可求得结果.
1 / 14.2 《由平行线截得的比例线段》---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，AC=10，则AE的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
2．（2025·龙港模拟）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C；直线分别交，，于点D，E，F．若，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2025九上·上城期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
4．（2024九上·山丹期末）如图，已知直线，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024九上·衡阳期中）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（ ）
A．7 B． C．8 D．
6．（2025九上·成都月考）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=3，BC=4，EF=8，则DE= .
7．（2024九上·锦江期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、C、E和点B、D、F，已知，，，则的长为 ．
8．（2024九上·武侯期中）如图，，若，，，则的长度是 ．
9．（2024九上·上城期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且．
（1）如果，求的长；
（2）如果，，求的长．
10．（2023九上·大名月考）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
二、能力提升
11．（2025九上·西湖期末）如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．9
12．（2025九上·成都月考）如图所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
13． 如图，△ABC的中线AD，BE 相交于点F，过点 E 作EG∥AD 交BC 于点G，则 EG： AF的值是( )
A． B． C． D．
14．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD=4：1，BC=10，则CE的长为 .
15．（2023九上·济南期末）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
16．（2023九上·保定月考）如图，是的中线．
①若为的中点，射线交于点，则的值为 ；
②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 ．
17．（2024九上·衡阳月考）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长．
18．（2022九上·嘉定期中）如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
19．（2023九上·浦东期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O．过点D作，交AC于点F．
（1）联结OE，若，求证：；
（2）若且，求证：．
三、综合拓展
20．（2024九上·朝阳开学考）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作．交的延长线于．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______．
21．（2021九上·姜堰月考）△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点， ，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得 ；
（3）若F为AD的中点，设 ，请求出m、n之间的等量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴
∵AD=2，BD=3，AC=10，
∴
∴AE=4.
故选：D.
【分析】根据平行线分线段成比例由DE//BC得到，然后根据比例的性质可求出AE.
2．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
，
，
故选：C．
【分析】
两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例．
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：C．
【分析】如果两条直线被一组平行线所截，那么所截的对应线段成比例，据此建立方程，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理定理解答即可．
5．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，
解得：；
故答案为：D．
【分析】由平行线分线段成比例定理得，数据代入求解即可.
6．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵a//b//c，
∴
即
∴DE =6.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案.
7．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴EC=AE-AC=5，
∵，DF=4.4
∴，即
∴．
故答案为：.
【分析】先由线段的和差算出CE的长，然后根据两条直线被一组平行线所截的对应相等成比例建立方程可求出BD的长.
8．【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例建立方程，求解即可.
9．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到的值，然后设，则，由的长得到关于的方程并解之即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即的长为5．
10．【答案】（1）解：∵，∴，即，解得；
（2）解：∵，∴，即，解得.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例。
（1）根据得，则可知；
（2）根据得，根据 得，得.
11．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于，
∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理计算即可．
12．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，EF/AB.
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，BD=EF
∵DE//BC，
∴，，
∵EF/AB，
∴，，
∴
故选：C.
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案.
13．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中线
【解析】【解答】解： 连接DE.
∵ △ABC 的中线AD，BE 相交于点 F，
∴ AE=EC，BD=
即 AD，
故答案为： C.
【分析】连接DE，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD，再根据ED//AD得，即可求解.
14．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的中点
【解析】【解答】解：过点D作DH//AE交BC于H，
∴，
∵D是AC的中点，BF：FD=4：1，BC=10，
∴CD=DA，BF=4FD.
∴，，
∴CH=HE，BE=4EH，
∴BE=2CE，
∴10=BC=BE+CE=2CE+CE，
∴
即CE的长为，
故答案为：.
【分析】过点D作DH//AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到BE=2CE，计算即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=，
∴点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为-，
∴OC=，
∴BE=，
∵AB∥CD，
∴，
∴EF=OE=，OF=OE=，
∴S△BEF=EF BE=××=，
S△ODF=OD OF=×a×=，
∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=．
故答案为：．
【分析】设A（a，），a＞0，进一步求出点B的纵坐标为，点B的横坐标为-，根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例可得EF=OE=，OF=OE=，根据三角形的面积公式即可求解.
16．【答案】；
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：①过点D作于点G，
∴，，
∵是的中线，
∴，
∴，即，
∵为的中点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
②∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】①过点D作于点G，根据平行线分线段成比例可得，，再由是的中线，为的中点，可得，，再进行等量替换即可求出答案.
②根据，可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：∵，
，
∵，
∴，，
∵，
，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】先利用两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例建立方程求出EF=6，然后根据BE=BF+EF，算出BE的长，进而再根据平行线分线段成比例定理建立方程求出CE的长.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
19．【答案】（1）解：∵，，
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形ABED为平行四边形
又∵
∴四边形ABED为矩形
∴，
又∵
∴
，
∴
，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例求证。由，，得到，得比例式：，根据已知的OF AD=EC AO，得比例式：，于是有，则；
（2）根据矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例求证。先证明四边形ABED为矩形，得，根据ASA证明，得到，根据得到比例式，又，得到，即可证明.
20．【答案】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于，
，，，
，
，
，
；
（2）
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（2）解：，，，
，
平分，
，即，
，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，再根据直线平行性质可得，，则，即，即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得，再根据角平分线性质可得，代值计算可得，再根据勾股定理可得，再根据三角形周长即可求出答案.
21．【答案】（1）解：作DG∥BE交AC于G，
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴ ＝ ＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴ ＝ ，
∵ ，EG＝GC，
∴ ＝1，
∴ ＝1.
∴AF＝FD；
（2）解：作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；
（3）解：作DG∥BE交AC于G.
∵DG∥BE，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，
∵EF∥DG，
∴ ＝ ，
∵F为AD的中点，
∴ 即 .
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作DG∥BE交AC于G， 由于DG∥BE，根据平行线等分线段定理得出EG=CG，再由EF∥DG，根据平行线分线段成比例得出，结合EG=GC，推出 ＝1，即可解答；
（2）根据垂直平分线的作法分别求出BC的中点D和AD的中点F，连接BF交AC于E，则E点为所求；
（3）作DG∥BE交AC于G，DG∥BE， 根据平行线分线段成比例的性质求出 ，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，由EF∥DG，再根据平行线分线段成比例的性质推出 ＝ ，结合F为AD的中点，即可求得结果.
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