4.3 《相似三角形》---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·婺城期末）如图，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·拱墅月考）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图 所示， ， 则 的长为( )
A．4 B． C．2 D．3
4．（2024九上·长兴期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5，AC=4.若△ABC∽△ACD，则AD 的长为 .
6． 如图， 在 中， ， 点 在 上且 ， 点 在 上， 连结 ．若 与 相似， 则
7．
（1）如图，若△ABC∽△DEF，则∠C= 度，∠E= 度．
（2）如图，AB与CD相交于点O．若△AOC∽△BOD，则它们的相似比为 ，AC= ，OB= ．
8．（2021九上·余杭月考）如图，已知△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，AB＝9，BC＝16，则BD＝ .
9．（2024九上·婺城开学考）如图，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
10．（2025九上·温州期末）如图， ．求 的度数．
二、能力提升
11．（2025九上·义乌期中）如图，在正方形网格中，△ABC、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边AD，DC 上，△ABE∽△DEF，AB = 6，DE=2，DF=3，则BF 的长是( )
A． B． C． D．
13． 如图，在 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF 的长是( )
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
14．（2024九上·鄞州月考）如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（ ）
A． B． C． D．
15． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC于点M，N，再分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P，射线AP 交边BC 于点 D.若△DAC∽△ABC，则∠B= °.
16．（2025九下·义乌开学考）如图，在中，∠C=900，AC=10cm，BC=8cm，点P从点C出发，以的速沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过 秒后，与相似.
17．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向点C移动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从点C出发沿CD向D移动，速度为每秒1个单位长度，出发 秒后，由C，P，Q三点组成的三角形与△ABC相似．
18．（2024·柯桥模拟）在等边中，D，E分别是边AB，AC上的点，，连结DE，若，则的值为 .
19． 如图， BC， AD 相交于点 C，△ABC ∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3.
（1） 求 EC 的长.
（2） 求证：BC⊥AD.
20． 如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D 是AC 上一点，AD=2cm ，点 P 从点 C 出发沿 C→B→A 的方向，以1cm/s的速度运动至点 A 处，设运动时间为 ts.
（1） 当点 P 在线段 BC 上运动时，BP = ；当点 P 在线段AB 上运动时，BP= (用含 t 的代数式表示).
（2）线段 DP 将△ABC 分成两部分，当其中一部分与△ABC 相似时，求t 的值.
三、综合拓展
21．（2022九上·绍兴月考）如图，抛物线与轴交于点 ，（点 在点的左侧），与轴交于点，作轴，交抛物线于另一点，连结，.
（1）点B的坐标为 .点D的坐标为 .
（2）动点从点出发，以1个单位秒的速度沿线段向终点运动，设运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值.
22．（浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级上册数学12月月考试卷）如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接交于点F．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，当，求的度数（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】
解：∵，，∴．
故选：D．
【分析】由相似三角形的性质知，相似三角形的对应角相等，其中与恰好对应。
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，，的夹角为对应角
又
故选：D．
【分析】如图，根据全等三角形对应角相等可得，再通过三角形的内角和求得，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AD=1，AB=2，
∴，
∴AC=4，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边成比例的性质得，然后代入AD、AB的值，即可求出AC的值.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：由网格可知，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】在网格中得到，再利用相似三角形的对应角相等解题即可．
5．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用相似三角形的性质可得结论.
6．【答案】5 或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当△AEF∽△ABC时
∴，即
解得：
当△AEF∽△ACB时
∴，即
解得：AF=5
综上所述，AF=5 或
故答案为：5 或
【分析】根据相似三角形性质分情况讨论：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时，根据相似比，代值计算即可求出答案.
7．【答案】（1）50；60
（2）；40；50
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1） ∵△ABC∽△DEF，∠F=50°，∠B=60°，
∴∠C=∠F=50°，∠E=∠B=60°，
故答案为：50，60.
（2） ∵△AOC∽△BOD ，OC=20，OD=40，
∴，
∵BD=80，OA=25，
∴AC=40，BO=50，
故答案为：40，50，
【分析】根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例分别求解即可.
8．【答案】12
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴ ，
∴ ，
∴BD=12（负值舍去），
故答案为：12.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，然后将已知条件代入进行计算.
9．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）根据的值，然后代入AE的长求解即可．
（1）∵
∴
（2）∵，
∴．
10．【答案】解：
又∵
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出再根据相似三角形的性质即可求出
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】利用相似三角形的性质，证明 可得结论.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ △ABE∽△DEF，AB=6，DF=3，DE=2，∴ABE= 即 解得AE=9.∵ 四边形 ABCD 为矩形，∴ BC=AD=AE+DE=9+2=11，CD=AB=6，∠C=90°.∴ CF=6-3=3.由勾股定理，得
故答案为：D .
【分析】先根据相似三角形的性质求出AE的长，再由勾股定理即可得出结论 .
13．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ 在 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD的中点，∴CD=10，BC = 6，DE = 3. ∵ △CBF∽△CDE，∴ BF ： DE = BC ： DC.∴ BF：3=6：10.∴ BF=6÷10×3=1.8.
故答案为：D .
【分析】由 根据相似三角形的对应边对应成比例，可知BF：DE=BC：DC，即BF=BC：DC×DE，根据平行四边形的对边相等，可知.BC=AD=6，DC=AD=10，易知DE=3，从而求出BF的长.
14．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设BC与ED交点为H，如图所示：
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB2=16，AC2=9，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=×3×4=6，
∵沿着点A到点C的方向平移到的位置，
∴△ABC∽△CDH，且AD即为△ABC平移的距离，
∴===，
解得：CD=，
∴AD=3-，
∴平移的距离为3-，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理求得△ABC是直角三角形，然后求得△ABC的面积，由平移可得相似三角形，由相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可．
15．【答案】30
【知识点】尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：由作图，可知AD 平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB.∵△DAC∽△ABC，∴∠CAD=∠B.∴∠CAB=2∠B.∵∠CAB+∠B=90°，∴3∠B=90°.∴∠B=30°.
故答案为：30 .
【分析】证明 根据直角三角形两锐角互余，构建方程求解即可.
16．【答案】或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①设经过x秒后
解得
②设经过x秒后
解得
∴经过 秒或 秒， 与 相似.
故答案为： 或
【分析】分两种情况分别计算，①设经过x秒后 得 ②设经过x秒后 得 代入用x表示的线段计算即可.
17．【答案】或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的边长AB=6，BC=8。
假设△CQP∽△ABC，
∴CP：CQ = AB：BC，
∴CP：AB = CQ：BC，
∵ 动点P从B点出发沿着BC向点C移动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从点C出发沿CD向D移动，速度为每秒1个单位长度 ，
设定动点P和Q移动的时间为t，则有：
CP = BC BP = 8 2t ，CQ = t
∴ 8 2t ：t = 6： 8，8 2t： 6 = t ：8
8 2 t： t = 6： 8 ，
化简得到：
8 ( 8 2t ) = 6t，
解这个方程，得到：
t = ，
∵ （8 2t ）：6 = t ：8 ，
化简得到：8 ( 8 2t ) = 6t
解这个方程，得到：
t =
∴当动点P和Q移动的时间t等于 秒或 秒时，C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似.
故答案为：或.
【分析】根据已知条件，假设△CQP∽△ABC，根据相似三角形的性质，CP：CQ = AB：BC，CP：AB = CQ：BC，设定动点P和Q移动的时间为t，根据比例关系，建立方程，解方程，计算出t的值.
18．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在边BC上取一点F，使BF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠B=∠C=∠A=60°，
∵AD=BF=CE，
∴BD=CF=AE，
∴△BDF≌△CFE≌△AED，
∴DF=FE=ED，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
∵， △BDF≌△CFE≌△AED，
∴△DEF的面积=，
∴
故答案为：.
【分析】在边BC上取一点F，使BF=AD，首先根据SAS证明△BDF≌△CFE≌△AED，得出△DEF是等边三角形，从而得出△DEF∽△ABC，然后根据相似三角形相似比与面积比之间的关系，可求得的值.
19．【答案】（1）证明：∵△ABC∽△DEC，
又∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3，
∴ EC=3.1.
（2）证明：∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE.
∵∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACB=∠DCE=90°.
∴ BC⊥AD.
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的性质解答即可；
(2)根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可.
20．【答案】（1）(6-t) cm；(t-6) cm
（2）解：当点 P 在BC 上运动时，如图①，当△CPD∽△CAB 时，
当△CDP'∽△CAB 时，
∴t=2.
当点 P 在AB上运动时，如图②，当△ADP∽△ACB 时，
当△ADP'∽△ABC时，
综上所述，t 的值为 或 2 或 或
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） 当点 P 在线段 BC 上运动时，BP =BC-CP=(6-t)cm； 当点 P 在线段AB 上运动时，BP=CP-BC=(t-6)cm；
故答案为：(6-t)cm；(t-6)cm；
【分析】（1）根据运动的速度和时间表示BP长即可；、
（2）当点 P 在BC 上运动时，分为△CPD∽△CAB和△CDP'∽△CAB两种情况，当点 P 在AB上运动时，分为△ADP∽△ACB和△ADP'∽△ABC两种情况，利用对应边成比例解答即可.
21．【答案】（1）（3，0）；（2，3）
（2）解：由（1）可知， ，
由勾股定理得：，
由题意得：，
，
当以，，为顶点的三角形与相似时，存在两种情况：
①当时，，
即，
；
②当时，，
即，
；
综上所述，的值是或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：令，则，
解得，，
，；
当时，
，
，
，
令，解得或 ；
；
故答案为：（3，0），（2，3）；
【分析】（1）直接把y＝0代入抛物线的解析式求出x的值即可求出B点坐标，再把x＝0代入求出C点的纵坐标，即D点的纵坐标，把D点的纵坐标代入抛物线的解析式求出D点的横坐标，从而即可得出答案；
（2）根据两点间的距离公式算出BC，易得BE=t，从而可表示出 ， ①当△CDE∽△BAC时，②当△CDE∽△BCA时，由相似三角形的对应边成比例建立方程即可得出结论．
22．【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】(1)在圆中，要求 BC 的度数，求出BC 所对的圆周角或圆心角即可；由，平分∠EAC，得，，弧的度数等于所对圆周角度数的2倍，故BC 的度数为.
(2)圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对圆周角相等；由AD平分∠EAC得∠EAD=∠DAC，∠EAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，故DB=DC.
(3) 由DA=DF得，∠DAF=∠DFA，由同弧所对圆周角相等，得∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，故△DAF∽△DBC，∠ADF=∠BDC，由圆内接四边形对角互补得，∠ADF=12∠ADC=90° α2，故∠DAF=∠DFA=(180° ∠ADF)÷2=45°+α4，所以∠DFC=180° ∠DFA=135° α4．
1 / 14.3 《相似三角形》---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·婺城期末）如图，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】
解：∵，，∴．
故选：D．
【分析】由相似三角形的性质知，相似三角形的对应角相等，其中与恰好对应。
2．（2024八上·拱墅月考）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，，的夹角为对应角
又
故选：D．
【分析】如图，根据全等三角形对应角相等可得，再通过三角形的内角和求得，即可求解.
3．如图 所示， ， 则 的长为( )
A．4 B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AD=1，AB=2，
∴，
∴AC=4，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边成比例的性质得，然后代入AD、AB的值，即可求出AC的值.
4．（2024九上·长兴期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：由网格可知，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】在网格中得到，再利用相似三角形的对应角相等解题即可．
5． 如图，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5，AC=4.若△ABC∽△ACD，则AD 的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用相似三角形的性质可得结论.
6． 如图， 在 中， ， 点 在 上且 ， 点 在 上， 连结 ．若 与 相似， 则
【答案】5 或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当△AEF∽△ABC时
∴，即
解得：
当△AEF∽△ACB时
∴，即
解得：AF=5
综上所述，AF=5 或
故答案为：5 或
【分析】根据相似三角形性质分情况讨论：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时，根据相似比，代值计算即可求出答案.
7．
（1）如图，若△ABC∽△DEF，则∠C= 度，∠E= 度．
（2）如图，AB与CD相交于点O．若△AOC∽△BOD，则它们的相似比为 ，AC= ，OB= ．
【答案】（1）50；60
（2）；40；50
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1） ∵△ABC∽△DEF，∠F=50°，∠B=60°，
∴∠C=∠F=50°，∠E=∠B=60°，
故答案为：50，60.
（2） ∵△AOC∽△BOD ，OC=20，OD=40，
∴，
∵BD=80，OA=25，
∴AC=40，BO=50，
故答案为：40，50，
【分析】根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例分别求解即可.
8．（2021九上·余杭月考）如图，已知△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，AB＝9，BC＝16，则BD＝ .
【答案】12
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴ ，
∴ ，
∴BD=12（负值舍去），
故答案为：12.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，然后将已知条件代入进行计算.
9．（2024九上·婺城开学考）如图，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）根据的值，然后代入AE的长求解即可．
（1）∵
∴
（2）∵，
∴．
10．（2025九上·温州期末）如图， ．求 的度数．
【答案】解：
又∵
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出再根据相似三角形的性质即可求出
二、能力提升
11．（2025九上·义乌期中）如图，在正方形网格中，△ABC、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】利用相似三角形的性质，证明 可得结论.
12．如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边AD，DC 上，△ABE∽△DEF，AB = 6，DE=2，DF=3，则BF 的长是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ △ABE∽△DEF，AB=6，DF=3，DE=2，∴ABE= 即 解得AE=9.∵ 四边形 ABCD 为矩形，∴ BC=AD=AE+DE=9+2=11，CD=AB=6，∠C=90°.∴ CF=6-3=3.由勾股定理，得
故答案为：D .
【分析】先根据相似三角形的性质求出AE的长，再由勾股定理即可得出结论 .
13． 如图，在 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF 的长是( )
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ 在 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD的中点，∴CD=10，BC = 6，DE = 3. ∵ △CBF∽△CDE，∴ BF ： DE = BC ： DC.∴ BF：3=6：10.∴ BF=6÷10×3=1.8.
故答案为：D .
【分析】由 根据相似三角形的对应边对应成比例，可知BF：DE=BC：DC，即BF=BC：DC×DE，根据平行四边形的对边相等，可知.BC=AD=6，DC=AD=10，易知DE=3，从而求出BF的长.
14．（2024九上·鄞州月考）如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设BC与ED交点为H，如图所示：
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB2=16，AC2=9，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=×3×4=6，
∵沿着点A到点C的方向平移到的位置，
∴△ABC∽△CDH，且AD即为△ABC平移的距离，
∴===，
解得：CD=，
∴AD=3-，
∴平移的距离为3-，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理求得△ABC是直角三角形，然后求得△ABC的面积，由平移可得相似三角形，由相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可．
15． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC于点M，N，再分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P，射线AP 交边BC 于点 D.若△DAC∽△ABC，则∠B= °.
【答案】30
【知识点】尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：由作图，可知AD 平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB.∵△DAC∽△ABC，∴∠CAD=∠B.∴∠CAB=2∠B.∵∠CAB+∠B=90°，∴3∠B=90°.∴∠B=30°.
故答案为：30 .
【分析】证明 根据直角三角形两锐角互余，构建方程求解即可.
16．（2025九下·义乌开学考）如图，在中，∠C=900，AC=10cm，BC=8cm，点P从点C出发，以的速沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过 秒后，与相似.
【答案】或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①设经过x秒后
解得
②设经过x秒后
解得
∴经过 秒或 秒， 与 相似.
故答案为： 或
【分析】分两种情况分别计算，①设经过x秒后 得 ②设经过x秒后 得 代入用x表示的线段计算即可.
17．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向点C移动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从点C出发沿CD向D移动，速度为每秒1个单位长度，出发 秒后，由C，P，Q三点组成的三角形与△ABC相似．
【答案】或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的边长AB=6，BC=8。
假设△CQP∽△ABC，
∴CP：CQ = AB：BC，
∴CP：AB = CQ：BC，
∵ 动点P从B点出发沿着BC向点C移动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从点C出发沿CD向D移动，速度为每秒1个单位长度 ，
设定动点P和Q移动的时间为t，则有：
CP = BC BP = 8 2t ，CQ = t
∴ 8 2t ：t = 6： 8，8 2t： 6 = t ：8
8 2 t： t = 6： 8 ，
化简得到：
8 ( 8 2t ) = 6t，
解这个方程，得到：
t = ，
∵ （8 2t ）：6 = t ：8 ，
化简得到：8 ( 8 2t ) = 6t
解这个方程，得到：
t =
∴当动点P和Q移动的时间t等于 秒或 秒时，C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似.
故答案为：或.
【分析】根据已知条件，假设△CQP∽△ABC，根据相似三角形的性质，CP：CQ = AB：BC，CP：AB = CQ：BC，设定动点P和Q移动的时间为t，根据比例关系，建立方程，解方程，计算出t的值.
18．（2024·柯桥模拟）在等边中，D，E分别是边AB，AC上的点，，连结DE，若，则的值为 .
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在边BC上取一点F，使BF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠B=∠C=∠A=60°，
∵AD=BF=CE，
∴BD=CF=AE，
∴△BDF≌△CFE≌△AED，
∴DF=FE=ED，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
∵， △BDF≌△CFE≌△AED，
∴△DEF的面积=，
∴
故答案为：.
【分析】在边BC上取一点F，使BF=AD，首先根据SAS证明△BDF≌△CFE≌△AED，得出△DEF是等边三角形，从而得出△DEF∽△ABC，然后根据相似三角形相似比与面积比之间的关系，可求得的值.
19． 如图， BC， AD 相交于点 C，△ABC ∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3.
（1） 求 EC 的长.
（2） 求证：BC⊥AD.
【答案】（1）证明：∵△ABC∽△DEC，
又∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3，
∴ EC=3.1.
（2）证明：∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE.
∵∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACB=∠DCE=90°.
∴ BC⊥AD.
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的性质解答即可；
(2)根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可.
20． 如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D 是AC 上一点，AD=2cm ，点 P 从点 C 出发沿 C→B→A 的方向，以1cm/s的速度运动至点 A 处，设运动时间为 ts.
（1） 当点 P 在线段 BC 上运动时，BP = ；当点 P 在线段AB 上运动时，BP= (用含 t 的代数式表示).
（2）线段 DP 将△ABC 分成两部分，当其中一部分与△ABC 相似时，求t 的值.
【答案】（1）(6-t) cm；(t-6) cm
（2）解：当点 P 在BC 上运动时，如图①，当△CPD∽△CAB 时，
当△CDP'∽△CAB 时，
∴t=2.
当点 P 在AB上运动时，如图②，当△ADP∽△ACB 时，
当△ADP'∽△ABC时，
综上所述，t 的值为 或 2 或 或
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） 当点 P 在线段 BC 上运动时，BP =BC-CP=(6-t)cm； 当点 P 在线段AB 上运动时，BP=CP-BC=(t-6)cm；
故答案为：(6-t)cm；(t-6)cm；
【分析】（1）根据运动的速度和时间表示BP长即可；、
（2）当点 P 在BC 上运动时，分为△CPD∽△CAB和△CDP'∽△CAB两种情况，当点 P 在AB上运动时，分为△ADP∽△ACB和△ADP'∽△ABC两种情况，利用对应边成比例解答即可.
三、综合拓展
21．（2022九上·绍兴月考）如图，抛物线与轴交于点 ，（点 在点的左侧），与轴交于点，作轴，交抛物线于另一点，连结，.
（1）点B的坐标为 .点D的坐标为 .
（2）动点从点出发，以1个单位秒的速度沿线段向终点运动，设运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值.
【答案】（1）（3，0）；（2，3）
（2）解：由（1）可知， ，
由勾股定理得：，
由题意得：，
，
当以，，为顶点的三角形与相似时，存在两种情况：
①当时，，
即，
；
②当时，，
即，
；
综上所述，的值是或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：令，则，
解得，，
，；
当时，
，
，
，
令，解得或 ；
；
故答案为：（3，0），（2，3）；
【分析】（1）直接把y＝0代入抛物线的解析式求出x的值即可求出B点坐标，再把x＝0代入求出C点的纵坐标，即D点的纵坐标，把D点的纵坐标代入抛物线的解析式求出D点的横坐标，从而即可得出答案；
（2）根据两点间的距离公式算出BC，易得BE=t，从而可表示出 ， ①当△CDE∽△BAC时，②当△CDE∽△BCA时，由相似三角形的对应边成比例建立方程即可得出结论．
22．（浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级上册数学12月月考试卷）如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接交于点F．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，当，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】(1)在圆中，要求 BC 的度数，求出BC 所对的圆周角或圆心角即可；由，平分∠EAC，得，，弧的度数等于所对圆周角度数的2倍，故BC 的度数为.
(2)圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对圆周角相等；由AD平分∠EAC得∠EAD=∠DAC，∠EAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，故DB=DC.
(3) 由DA=DF得，∠DAF=∠DFA，由同弧所对圆周角相等，得∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，故△DAF∽△DBC，∠ADF=∠BDC，由圆内接四边形对角互补得，∠ADF=12∠ADC=90° α2，故∠DAF=∠DFA=(180° ∠ADF)÷2=45°+α4，所以∠DFC=180° ∠DFA=135° α4．
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