4.4《两个三角形相似的判定》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1． 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边AC，AB上，BD 平分∠ABC，∠ACE=∠ABD，则与△BEF 一定相似的三角形为( )
A．△BFC B．△BDC C．△BDA D．△CEA
2．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是( )
A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角
C．都含有一个80°的内角 D．都含有一个100°的内角
3．（2024九上·杭州期中）如图，在四边形中，，连接交于点E，若，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024九上·奉化期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）．
5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则AD= ．
6．（2023九上·拱墅月考）如图，在梯形中，，，E是延长线上的点，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
7．（2024九上·杭州期中）如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
8．（2023九上·义乌期中）如图，点D在边BC上，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
二、填空题
9． 如图，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB.若 AD =2，AB=6，AC=4，则AE 的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，AB 是半圆O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD 相交于点C，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件.下列拟添加的条件中，错误的是( )
A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE
C． D．AD·AB=AC·BD
11．（2024九上·宁波月考）如图，AB是O的直径，弦于点E，G是弧BC上任意一点，线段AG与DC交于点F，连接AD，GD，CG.若，，则O的直径为（ ）
A．4 B． C． D．
12．（2024九上·宁波月考）正方形ABCD的边长，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
13． 如图， 点 C 在 ∠AOB 的内部，∠OCA=∠BCO，∠OCA 与∠AOB互补.若AC=1.5，BC=2，则OC=
14． 如图，在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，∠BAD=∠C，∠ABC 的平分线分别交AD，AC于点E，F.若AB=28，BC=36，则 的值为 .
15．（2025九上·温州开学考） 如图，点 A，B 分别在反比例函数 ， 的图象上，连结 AB 交 y 轴于点 C，作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连结 AD，线段 AD 恰好经过坐标原点 O，若 ，则 的值为 .
16．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，，连接DE并延长交CB的延长线于点F.连接CE，过点A作AG∥EC交DE于点G，若AG=10，则CE的长为 .
17．（2025九上·义乌期中）如图，已知，．
（1）试说明；
（2）若，，求的长．
18．（2025九上·杭州月考）如图，A，B，C是上的三点，且．过点B作于点E，延长交于点D，连结．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
19． 如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，H 为BE 上的一点， 连结CH 并延长，交AB 于点G，连结GE 并延长，交 AD的延长线于点F.
（1） 求证：
（2） 当∠CGF=90°时，求 的值.
三、综合拓展
20．（2025九上·上城期末）如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
21． 在矩形 ABCD 中，P 是射线 BA 上一个动点，在矩形ABCD 内部(包含边界)作一点 E，使得 PE⊥DE.
（1）如图①，当点 P 在 BA 的延长线上时，PE 与 AD 交于点 M，求证：△AME ∽△PMD.
（2） 当点 P 在边AB 上时，AE 与PD 相交于点 N.
① 如图②，若点 E 在边 BC上，求证：△PNE∽△AND.
② 如图③，若点 E 在矩形 ABCD 内部，求证：PN·DN=AN·EN.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ BD 平分∠ABC，∴ ∠ABD =∠CBD. ∵ ∠ACE =∠ABD，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE.
∵ ∠BFE =∠CFD，∴ ∠BEF =∠BDC.∴△BEF∽△BDC.
故答案为：B .
【分析】根据两角对应相等的两三角形相似解答即可.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵等腰三角形中的一个50°的内角可能是顶角，也可能是底角，∴都含有一个 50°的内角的两个等腰三角形不一定相似.故选项 A 不符合题意.同理，选项 B，C也不符合题意.又∵ 等腰三角形的一个100°的内角只能是顶角，顶角相等的两个等腰三角形的底角都相等，∴都含有一个100°的内角的两个等腰三角形一定相似.故选项 D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出D能判定，A、B、C不能判定.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故答案为：B．
【分析】先证明，再证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
4．【答案】或（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
【分析】由三角形高线定义得 ∠ADC=∠CDB=90°， 利用有两组角相等的两个三角形相似得，然后由同角得余角相等得，进而利用有两组角相等的两个三角形相似得，于是得解．
5．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在和中，
∵，
∴
∴ 即
∴
∴．
故答案为：1
【分析】先根据相似三角形的判定与性质（AA）证明得到，再代入数值即可求解。
6．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，，，
∴．
由（1）知，，
∴，即，
∴．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟知相似三角形的性质和与判定是解题关键.（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：，，再根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可知：，由此可证得结论；
（2）根据线段的和差运算可知：BF=BC-CF=3cm，由(1)知：，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可知：，代入数据可解得：，由此可得出答案.
（1）证明：∵，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，，，
∴．
由（1）知，，
∴，即，
∴．
7．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而可得，进而由相似三角形的判定得证结论；
（2）由相似三角形对应边成比例的性质可得，代入数值求出的长度，最后求的值即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
∴∠BAC＝∠DAE
又∠C＝∠E
∴△ABC∽△ADE
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴BC：DE＝4：5
∵DE＝10
∴BC＝8
∵CD＝2
∴BD＝BC－CD＝6
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由角的构成及等式的性质推出∠BAC=∠DAE，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出结论；
（2）由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出BC：DE=4：5，代值求出BC=8，最后根据BD=BC-CD可算出答案.
（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
∴∠BAC＝∠DAE
又∠C＝∠E
∴△ABC∽△ADE
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴BC：DE＝4：5
∵DE＝10
∴BC＝8
∵CD＝2
∴BD＝BC－CD＝6
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
即
所以AE=3，
故答案为：C .
【分析】根据两角对应相等得到然后根据对应边成比例解答即可.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ∠ADC=∠BDA，∠ACD = ∠DAB，
∴ △DAC ∽△DBA.
∴ A 选项的条件正确.
∵AD = DE，
∴ ∠DAC = ∠E.
∵ ∠B =∠E，
∴ ∠DAC=∠B.
∵∠ADC=∠BDA，
∴ △DAC∽△DBA.
∴ B 选项的条件正确.
由 得 AD ： DB =DC ： DA，
∵∠ADC = ∠BDA，
∴△DAC∽△DBA.
∴ C 选项的条件正确.
由 AD·AB=AC·BD，得AD： BD=AC ： AB，但不能确定∠ABD=∠DAC，即不能确定 D 为弧AE 的中点，
∴ 不能判定△DAC∽△DBA.
∴ D选项的条件错误.
故答案为：D.
【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠DAC=∠B，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定.
11．【答案】C
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接BG，OD，
∵AB是☉O的直径，
∴∠AGB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠AGB，
∴△ABG∽△AFE
∴
∴AE·AB=AG·AF=15，
设☉O的半径是r，OE的长为d，则AB=2r，AE=r+d，OD=r，
∴2r·(r+d)=15①，
r2-d2=3②，
由①②可得，
∴
故答案为：C.
【分析】连接BG，OD，易证△ABG∽△AFE，则AE·AB=AG·AF=15，设☉O的半径是r，OE的长为d，则AB=2r，AE=r+d，OD=r，2r·(r+d)=15①，r2-d2=3②，解①②可得出结论.
12．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵BF//AD
∴△BNF∽△DNA，
∴
而，
∴
又∵AE=BF，∠EAD=∠FBA，AD=AB，
∴△DAE≌△ABF(SAS)，
∴∠AED=∠BFA，
∴△AME∽△ABF，
∴
即：
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据△BNF∽△DNA，可求出AN的长；再根据△AME∽△ABF，求出AM的长，利用MN=AN-AM即可解决.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ∠OCA 与∠AOB 互补， ∴ ∠OCA + ∠AOB = 180°.∵∠OCA +∠COA +∠A = 180°，∴ ∠AOB = ∠COA + ∠A. 又∵∠AOB = ∠COA + ∠COB，∴ ∠A = ∠COB. 又∵ ∠OCA =∠BCO，∴△OCA∽△BCO.∴
故答案为： .
【分析】
通过证明 可得 代入数值计算即可.
14．【答案】
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠ABC=∠CBA
∴△ABD∽△CBA.
∴，∠ADB=∠CAB，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠FBE，
∴△ABF∽△DBE
∴
∴
∵AB=28，BC=36，
∴
∴
解得：
∴
故答案为： .
【分析】由∠BAD=∠C，∠ABC=∠CBA可得△ABD∽△CBA，则有，∠ADB=∠CAB，再由角平分线的定义可得∠ABF=∠FBE，则可判定△ABF∽△DBE，则有，据此计算即可即可求解.
15．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作 轴于F，作 轴于E，如图：
故
又·
故设点A的坐标为 点B的坐标为 ，
则.AF=m，BE=-n，
故点D的坐标为(
设直线AD的解析式为y=kx，
将 代入，得 即
将 代入，得 即 故
整理得
将 代入，得
∴
故答案为：
【分析】作 轴于F，作 轴于E，根据相似三角形的判定和性质得出 结合题意设点A的坐标为 点B的坐标为( ，得出AF=m，BE=-n，求出 根据对称性得出点D的坐标为 根据求一次函数解析式的方法得出 即可求解.
16．【答案】22
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AG∥EC，
∴∠AGE=∠DEC，
∵四边形ABCD为平行四边形，点E是AB中点，
∴AB∥CD， AB=CD=2AE，
∴∠AEG=∠CDE，
∴△AEG∽△CDE，
∴EC=.
故答案为：22.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明△AEG∽△CDE， 根据对应边成比例解答即可.
17．【答案】（1）证明：
即
又∵
（2）解：
解得，
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据题意得到根据两角相等的两个三角形相似证明即可；
(2)根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案.
18．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，即：．
∵，
∴
（2）证明：由（1）知，
∵直径，，
∴．
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOB=2∠ADB=124°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠BOC=∠AOB=62°，进而根据直角三角形的量锐角互余求出∠OBE的度数；
（2）易得∠DAB=∠OEB=62° ，由直径所对的圆周角是直角及垂直定义得出∠DAB=∠BEO=90°，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△ADB∽△EOB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AB=2BE.
（1）解：连接，
∵，
∴，即：．
∵，
∴．
（2）由（1）知，
∵直径，，
∴．
∴，
∴，
∴．
19．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD 为矩形，∴ AB∥CD.
∴ ∠HBG=∠HEC，∠HGB=∠HCE.
∴△EHC∽△BHG.
（2）解：∵∠CGF=90°，
∴∠AGF+∠BGC=90°.
又∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠CBG=∠A =90°，AB = DC，AD=BC.
∴∠AGF+∠AFG=90°.
∴∠BGC=∠AFG.
∴△AFG∽△BGC.
∵ E 为CD的中点，
∴ 易得
又∵AB∥CD，
∴△FDE∽△FAG.
∴ 易得
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形可得AB∥CD，进而得到 ∠HBG=∠HEC，∠HGB=∠HCE，证明△EHC∽△BHG即可得到结论；
（2）根据两角对应相等证明△AFG∽△BGC，根据对应边成比例求出EC长，然后根据AB∥CD得到△FDE∽△FAG，根据对应边成比例解答即可.
20．【答案】（1）证明：∵是的直径，弦∴
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：如图所示，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即是等腰三角形
（3）解：连接，
由（2）可得，又
∴垂直平分，
∴，
又∵是的直径，弦，则垂直平分
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等，即可得证；
（2）根据等弧所对的圆周角相等可得，根据，，根据等角的余角相等得出，结合对顶角相等，等量代换可得，进而根据等角对等边即可得出结论；
（3）根据（2）的结论可得垂直平分，进而可得，进而证明，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程得出：，进而求得，根据，即可求解．
（1）证明：∵是的直径，弦
∴
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
如图所示，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即是等腰三角形
（3）解：连接，
由（2）可得，又
∴垂直平分，
∴，
又∵是的直径，弦，则垂直平分
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
21．【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90°.
∴∠PAD=90°.
∵PE⊥DE，
∴∠PED=90°.
∴∠PAD=∠PED=90°.
∵∠AMP=∠EMD，
∴△APM∽△EDM.
∵∠AME=∠PMD，
∴△AME∽△PMD
（2）证明： ①∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=90°.
∵PE⊥DE，
∴∠PED=90°.
∴ ∠PEB +∠DEC = ∠BPE +∠PEB=90°.
∴∠BPE=∠DEC.
∴△PBE∽△ECD.
∵AB=CD，
∴△ABE∽△DEP.
∴∠BAE=∠PDE.
∵ ∠BAE +∠DAE = ∠DPE +∠PDE=90°，
∴∠DAE=∠DPE.
∵∠AND=∠PNE，
∴△PNE∽△AND.
② 如图，过点E 作GH∥BC交AB 于点G，交 CD 于点 H，则易得 BG=CH，∠AGE=∠DHE=90°.
∵∠PED=90°，
∴ ∠GPE + ∠PEG = ∠PEG +∠DEH=90°.
∴∠GPE=∠DEH.
∴△PGE∽△EHD.
∵AB=CD，
∴AG=DH.
∴△AEG∽△DPE.
∴∠GAE=∠EDP.
∵ ∠DAN +∠GAE = ∠DPE +∠EDP=90°，
∴∠DAN=∠DPE.
∵∠AND=∠PNE，
∴△PNE∽△AND.
∴ PN·DN=AN·EN
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到∠BAD=90°， 由PE⊥DE，得到∠PED=90°，根据相似三角形的性质得到 根据对顶角相等得到∠AME=∠DMP，根据相似三角形的判定定理得到△AME∽△PMD；
(2)①根据矩形的性质得到∠BAD=∠B=∠C=90°， 由PE⊥DE， 得到∠PED=90°， 根据余角的性质得到∠BPE=∠DEC， 推出△PBE∽△EDC， 得到 等量代换得到 根据相似三角形的性质得到∠BAE=∠PDE， 求得∠DAN=∠DPE， 根据相似三角形的判定定理得到结论；
②过E作GH∥BC交AB于G， 交CD于H， 则BG=CH， ∠AGE =∠DHE=90°， 根据余角的性质得到∠GPE=∠DEH， 推出△PGE∽△EHD，得到 等量代换得到 ，根据相似三角形的性质得到∠GAE=∠PDE，求得∠DAN =∠DPE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
1 / 14.4《两个三角形相似的判定》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1． 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边AC，AB上，BD 平分∠ABC，∠ACE=∠ABD，则与△BEF 一定相似的三角形为( )
A．△BFC B．△BDC C．△BDA D．△CEA
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ BD 平分∠ABC，∴ ∠ABD =∠CBD. ∵ ∠ACE =∠ABD，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE.
∵ ∠BFE =∠CFD，∴ ∠BEF =∠BDC.∴△BEF∽△BDC.
故答案为：B .
【分析】根据两角对应相等的两三角形相似解答即可.
2．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是( )
A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角
C．都含有一个80°的内角 D．都含有一个100°的内角
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵等腰三角形中的一个50°的内角可能是顶角，也可能是底角，∴都含有一个 50°的内角的两个等腰三角形不一定相似.故选项 A 不符合题意.同理，选项 B，C也不符合题意.又∵ 等腰三角形的一个100°的内角只能是顶角，顶角相等的两个等腰三角形的底角都相等，∴都含有一个100°的内角的两个等腰三角形一定相似.故选项 D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出D能判定，A、B、C不能判定.
3．（2024九上·杭州期中）如图，在四边形中，，连接交于点E，若，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故答案为：B．
【分析】先证明，再证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
4．（2024九上·奉化期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）．
【答案】或（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定-AA；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：或（答案不唯一）．
【分析】由三角形高线定义得 ∠ADC=∠CDB=90°， 利用有两组角相等的两个三角形相似得，然后由同角得余角相等得，进而利用有两组角相等的两个三角形相似得，于是得解．
5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则AD= ．
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在和中，
∵，
∴
∴ 即
∴
∴．
故答案为：1
【分析】先根据相似三角形的判定与性质（AA）证明得到，再代入数值即可求解。
6．（2023九上·拱墅月考）如图，在梯形中，，，E是延长线上的点，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，，，
∴．
由（1）知，，
∴，即，
∴．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟知相似三角形的性质和与判定是解题关键.（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：，，再根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可知：，由此可证得结论；
（2）根据线段的和差运算可知：BF=BC-CF=3cm，由(1)知：，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可知：，代入数据可解得：，由此可得出答案.
（1）证明：∵，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，，，
∴．
由（1）知，，
∴，即，
∴．
7．（2024九上·杭州期中）如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而可得，进而由相似三角形的判定得证结论；
（2）由相似三角形对应边成比例的性质可得，代入数值求出的长度，最后求的值即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（2023九上·义乌期中）如图，点D在边BC上，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
∴∠BAC＝∠DAE
又∠C＝∠E
∴△ABC∽△ADE
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴BC：DE＝4：5
∵DE＝10
∴BC＝8
∵CD＝2
∴BD＝BC－CD＝6
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由角的构成及等式的性质推出∠BAC=∠DAE，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出结论；
（2）由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出BC：DE=4：5，代值求出BC=8，最后根据BD=BC-CD可算出答案.
（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
∴∠BAC＝∠DAE
又∠C＝∠E
∴△ABC∽△ADE
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴BC：DE＝4：5
∵DE＝10
∴BC＝8
∵CD＝2
∴BD＝BC－CD＝6
二、填空题
9． 如图，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB.若 AD =2，AB=6，AC=4，则AE 的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
即
所以AE=3，
故答案为：C .
【分析】根据两角对应相等得到然后根据对应边成比例解答即可.
10．如图，AB 是半圆O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD 相交于点C，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件.下列拟添加的条件中，错误的是( )
A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE
C． D．AD·AB=AC·BD
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ∠ADC=∠BDA，∠ACD = ∠DAB，
∴ △DAC ∽△DBA.
∴ A 选项的条件正确.
∵AD = DE，
∴ ∠DAC = ∠E.
∵ ∠B =∠E，
∴ ∠DAC=∠B.
∵∠ADC=∠BDA，
∴ △DAC∽△DBA.
∴ B 选项的条件正确.
由 得 AD ： DB =DC ： DA，
∵∠ADC = ∠BDA，
∴△DAC∽△DBA.
∴ C 选项的条件正确.
由 AD·AB=AC·BD，得AD： BD=AC ： AB，但不能确定∠ABD=∠DAC，即不能确定 D 为弧AE 的中点，
∴ 不能判定△DAC∽△DBA.
∴ D选项的条件错误.
故答案为：D.
【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠DAC=∠B，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定.
11．（2024九上·宁波月考）如图，AB是O的直径，弦于点E，G是弧BC上任意一点，线段AG与DC交于点F，连接AD，GD，CG.若，，则O的直径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接BG，OD，
∵AB是☉O的直径，
∴∠AGB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠AGB，
∴△ABG∽△AFE
∴
∴AE·AB=AG·AF=15，
设☉O的半径是r，OE的长为d，则AB=2r，AE=r+d，OD=r，
∴2r·(r+d)=15①，
r2-d2=3②，
由①②可得，
∴
故答案为：C.
【分析】连接BG，OD，易证△ABG∽△AFE，则AE·AB=AG·AF=15，设☉O的半径是r，OE的长为d，则AB=2r，AE=r+d，OD=r，2r·(r+d)=15①，r2-d2=3②，解①②可得出结论.
12．（2024九上·宁波月考）正方形ABCD的边长，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵BF//AD
∴△BNF∽△DNA，
∴
而，
∴
又∵AE=BF，∠EAD=∠FBA，AD=AB，
∴△DAE≌△ABF(SAS)，
∴∠AED=∠BFA，
∴△AME∽△ABF，
∴
即：
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据△BNF∽△DNA，可求出AN的长；再根据△AME∽△ABF，求出AM的长，利用MN=AN-AM即可解决.
13． 如图， 点 C 在 ∠AOB 的内部，∠OCA=∠BCO，∠OCA 与∠AOB互补.若AC=1.5，BC=2，则OC=
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ∠OCA 与∠AOB 互补， ∴ ∠OCA + ∠AOB = 180°.∵∠OCA +∠COA +∠A = 180°，∴ ∠AOB = ∠COA + ∠A. 又∵∠AOB = ∠COA + ∠COB，∴ ∠A = ∠COB. 又∵ ∠OCA =∠BCO，∴△OCA∽△BCO.∴
故答案为： .
【分析】
通过证明 可得 代入数值计算即可.
14． 如图，在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，∠BAD=∠C，∠ABC 的平分线分别交AD，AC于点E，F.若AB=28，BC=36，则 的值为 .
【答案】
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠ABC=∠CBA
∴△ABD∽△CBA.
∴，∠ADB=∠CAB，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠FBE，
∴△ABF∽△DBE
∴
∴
∵AB=28，BC=36，
∴
∴
解得：
∴
故答案为： .
【分析】由∠BAD=∠C，∠ABC=∠CBA可得△ABD∽△CBA，则有，∠ADB=∠CAB，再由角平分线的定义可得∠ABF=∠FBE，则可判定△ABF∽△DBE，则有，据此计算即可即可求解.
15．（2025九上·温州开学考） 如图，点 A，B 分别在反比例函数 ， 的图象上，连结 AB 交 y 轴于点 C，作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连结 AD，线段 AD 恰好经过坐标原点 O，若 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作 轴于F，作 轴于E，如图：
故
又·
故设点A的坐标为 点B的坐标为 ，
则.AF=m，BE=-n，
故点D的坐标为(
设直线AD的解析式为y=kx，
将 代入，得 即
将 代入，得 即 故
整理得
将 代入，得
∴
故答案为：
【分析】作 轴于F，作 轴于E，根据相似三角形的判定和性质得出 结合题意设点A的坐标为 点B的坐标为( ，得出AF=m，BE=-n，求出 根据对称性得出点D的坐标为 根据求一次函数解析式的方法得出 即可求解.
16．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，，连接DE并延长交CB的延长线于点F.连接CE，过点A作AG∥EC交DE于点G，若AG=10，则CE的长为 .
【答案】22
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AG∥EC，
∴∠AGE=∠DEC，
∵四边形ABCD为平行四边形，点E是AB中点，
∴AB∥CD， AB=CD=2AE，
∴∠AEG=∠CDE，
∴△AEG∽△CDE，
∴EC=.
故答案为：22.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明△AEG∽△CDE， 根据对应边成比例解答即可.
17．（2025九上·义乌期中）如图，已知，．
（1）试说明；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：
即
又∵
（2）解：
解得，
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据题意得到根据两角相等的两个三角形相似证明即可；
(2)根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案.
18．（2025九上·杭州月考）如图，A，B，C是上的三点，且．过点B作于点E，延长交于点D，连结．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，即：．
∵，
∴
（2）证明：由（1）知，
∵直径，，
∴．
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOB=2∠ADB=124°，由圆心角、弧、弦的关系得出∠BOC=∠AOB=62°，进而根据直角三角形的量锐角互余求出∠OBE的度数；
（2）易得∠DAB=∠OEB=62° ，由直径所对的圆周角是直角及垂直定义得出∠DAB=∠BEO=90°，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△ADB∽△EOB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AB=2BE.
（1）解：连接，
∵，
∴，即：．
∵，
∴．
（2）由（1）知，
∵直径，，
∴．
∴，
∴，
∴．
19． 如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，H 为BE 上的一点， 连结CH 并延长，交AB 于点G，连结GE 并延长，交 AD的延长线于点F.
（1） 求证：
（2） 当∠CGF=90°时，求 的值.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD 为矩形，∴ AB∥CD.
∴ ∠HBG=∠HEC，∠HGB=∠HCE.
∴△EHC∽△BHG.
（2）解：∵∠CGF=90°，
∴∠AGF+∠BGC=90°.
又∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠CBG=∠A =90°，AB = DC，AD=BC.
∴∠AGF+∠AFG=90°.
∴∠BGC=∠AFG.
∴△AFG∽△BGC.
∵ E 为CD的中点，
∴ 易得
又∵AB∥CD，
∴△FDE∽△FAG.
∴ 易得
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形可得AB∥CD，进而得到 ∠HBG=∠HEC，∠HGB=∠HCE，证明△EHC∽△BHG即可得到结论；
（2）根据两角对应相等证明△AFG∽△BGC，根据对应边成比例求出EC长，然后根据AB∥CD得到△FDE∽△FAG，根据对应边成比例解答即可.
三、综合拓展
20．（2025九上·上城期末）如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的直径，弦∴
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：如图所示，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即是等腰三角形
（3）解：连接，
由（2）可得，又
∴垂直平分，
∴，
又∵是的直径，弦，则垂直平分
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等，即可得证；
（2）根据等弧所对的圆周角相等可得，根据，，根据等角的余角相等得出，结合对顶角相等，等量代换可得，进而根据等角对等边即可得出结论；
（3）根据（2）的结论可得垂直平分，进而可得，进而证明，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程得出：，进而求得，根据，即可求解．
（1）证明：∵是的直径，弦
∴
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
如图所示，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即是等腰三角形
（3）解：连接，
由（2）可得，又
∴垂直平分，
∴，
又∵是的直径，弦，则垂直平分
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
21． 在矩形 ABCD 中，P 是射线 BA 上一个动点，在矩形ABCD 内部(包含边界)作一点 E，使得 PE⊥DE.
（1）如图①，当点 P 在 BA 的延长线上时，PE 与 AD 交于点 M，求证：△AME ∽△PMD.
（2） 当点 P 在边AB 上时，AE 与PD 相交于点 N.
① 如图②，若点 E 在边 BC上，求证：△PNE∽△AND.
② 如图③，若点 E 在矩形 ABCD 内部，求证：PN·DN=AN·EN.
【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90°.
∴∠PAD=90°.
∵PE⊥DE，
∴∠PED=90°.
∴∠PAD=∠PED=90°.
∵∠AMP=∠EMD，
∴△APM∽△EDM.
∵∠AME=∠PMD，
∴△AME∽△PMD
（2）证明： ①∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=90°.
∵PE⊥DE，
∴∠PED=90°.
∴ ∠PEB +∠DEC = ∠BPE +∠PEB=90°.
∴∠BPE=∠DEC.
∴△PBE∽△ECD.
∵AB=CD，
∴△ABE∽△DEP.
∴∠BAE=∠PDE.
∵ ∠BAE +∠DAE = ∠DPE +∠PDE=90°，
∴∠DAE=∠DPE.
∵∠AND=∠PNE，
∴△PNE∽△AND.
② 如图，过点E 作GH∥BC交AB 于点G，交 CD 于点 H，则易得 BG=CH，∠AGE=∠DHE=90°.
∵∠PED=90°，
∴ ∠GPE + ∠PEG = ∠PEG +∠DEH=90°.
∴∠GPE=∠DEH.
∴△PGE∽△EHD.
∵AB=CD，
∴AG=DH.
∴△AEG∽△DPE.
∴∠GAE=∠EDP.
∵ ∠DAN +∠GAE = ∠DPE +∠EDP=90°，
∴∠DAN=∠DPE.
∵∠AND=∠PNE，
∴△PNE∽△AND.
∴ PN·DN=AN·EN
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到∠BAD=90°， 由PE⊥DE，得到∠PED=90°，根据相似三角形的性质得到 根据对顶角相等得到∠AME=∠DMP，根据相似三角形的判定定理得到△AME∽△PMD；
(2)①根据矩形的性质得到∠BAD=∠B=∠C=90°， 由PE⊥DE， 得到∠PED=90°， 根据余角的性质得到∠BPE=∠DEC， 推出△PBE∽△EDC， 得到 等量代换得到 根据相似三角形的性质得到∠BAE=∠PDE， 求得∠DAN=∠DPE， 根据相似三角形的判定定理得到结论；
②过E作GH∥BC交AB于G， 交CD于H， 则BG=CH， ∠AGE =∠DHE=90°， 根据余角的性质得到∠GPE=∠DEH， 推出△PGE∽△EHD，得到 等量代换得到 ，根据相似三角形的性质得到∠GAE=∠PDE，求得∠DAN =∠DPE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
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