4.4《两个三角形相似的判定》（2）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2024九上·衡阳期中）如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·攀枝花期末）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·安化期中）如图所示，小正方形的边长均为1．则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·垦利期末）如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 如图 29-6 所示， 则下列 4 个三角形 （图 29-7） 中， 与 相似的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．下列各组条件中，能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（ ）
A． B．，且∠A=∠C'
C．，且∠B=∠A' D．，且∠B=∠B'
7．（2024九上·天桥期中）下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广州模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽
9．（2024九上·通州期中）如图，在平行四边形中，E为边上一点．若，，．求证：．
10．（2024九上·浙江期中）如图，在中，D是上一点，已知．
（1）求证：；
（2）已知，，求的度数．
二、能力提升
11．如图，点A 在线段BD 上，在 BD 的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD 与BE，AE 分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD=MA·ME； .其中正确的是( ).
A．①②③ B．① C．①② D．②③
12．（2023九上·沭阳月考）如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024九上·邛崃期中）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024九上·昆明期末）如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024九上·宁波期中）如图，若果∠1＝∠2，那么添加下列任何一个条件：（1），（2），（3）∠B＝∠D，（4）∠C＝∠AED， 其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（【拔尖特训】浙教版数学九年级上册测评卷第四章 相似三角形） 如图，在△ABC中，AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD.若E是AD的中点，则EC的长为 .
17． 如图，E，F 分别为AC，BC 的中点，D 是EC上一点，且 .若AC=6，BC=4.2，DF=2，则BE 的长为 .
18．（2025九上·北京月考）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，，请直接写出的度数．
19．如图，E，F 是菱形ABCD 边AB，AD上的点，连接DE，点G 在DE 上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE.
（1）求证：△ADE∽△GDA；
（2）求证：
20． 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E 在边AC 上，且AD2=AE·AB，连结 DE.
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若AB=5，AD=4，DE=2，求 EC的长.
三、综合拓展
21．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴当或时，由有两个角对应相等的两个三角形相似可判定；
当时，由有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
即选项A、B、D不符合题意，而选项C中条件不能判定，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由条件知，已有条件，则可分别添加或，可判定，或添加，可判定，则可得到问题的答案．
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故A不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故B不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故C符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据相似三角形的判定条件，若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，因而只需判断每个选项中剪下的阴影三角形与原三角形∠A=76°的对应角是否相等，即可确定它们是否相似，逐一判断即可解答.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SAS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，，
观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，如图，
则，，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】求出，，，观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，然后求出，，，从而得，，进而由相似三角形的判定证明.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意，A错误；
B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意，B错误；
C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意，C错误；
D、添加不能证明，故此选项符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查相似三角形的判定．先利用角的运算可求出，添加可利用有两组角对应相等的两个三角形相似，据此可判断A选项；添加可利用：有两组角对应相等的两个三角形相似，据此可判断B选项；添加可利用：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此可判断C选项；添加，利用相似三角形的判定定理不能证明，据此可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
A、，但夹角不相等，故该选项是错误的；
B、，但夹角不相等，故该选项是错误的；
C、，夹角都是30度，相等，故该选项是正确的；
D、，但夹角不相等，故该选项是错误的；
故答案为：C
【分析】根据两角对应相等，或者三边成比例，或者两边成比例有夹角相等，进行逐项分析，即可作答．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、，缺失一个条件，故A错误
B、，且∠A=∠C' ，虽满足两边对应成比例，但不是夹角，故B错误
C、两边对应成比例，且夹角相等，故C正确
D、两边对应成比例，但不是夹角，故D错误
故答案为：D.
【分析】
本题考查的是利用两边对应成比例，且夹角相等来判定两个三角形相似，两个条件缺一不可
A、两边对应成比例，但∠A不一定等于∠A'
B、∠ A与∠C'不是夹角
C、即满足两边对应成比例，又满足夹角相等
D、 ∠B与∠B'虽然相等，但不是夹角
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故A能判定；
B、根据不能证明，故B不能判定；
C、∵，
∴，故C能判定；
D、∵．
∴，故D能判定；
故答案为：B．
【分析】
根据相似三角形的判定方法：“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，依次判断即可解答．
8．【答案】证明：设a，
在正方形ABCD中，
a，
∵，
，
∵点E是AD的中点
∴，
，
∽．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；线段的中点；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】设a，根据正方形得性质得到a，；再由已知条件和中点的定义得到，，即可根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可解答．
9．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】根据SAS可证，进而可得出．
10．【答案】（1）证明：，，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）得，
．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可证明，由相似三角形对应角相等即可得证结论；
（2）利用三角形内角和定理可得，由（1）的结论求出，最后根据角的和差关系即可求解.
（1）证明：，，
，
（2）解：，，
，
，
．
11．【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：由已知： ，
，
，
，
所以①正确；
，
，
，
，
，
所以②正确；
由 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以③正确；
故答案为：A.
【分析】由等腰 和等腰三边比例关系可证相似三角形判断①；通过等积式倒推可知，证明 即可判断②；把转化为 证明 判断③解答即可.
12．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A、添加，其夹角不一定相等，不能判定，
∴此选项符合题意；
添加，可用两边及其夹角法判定，
∴此选项不符合题意；
添加，可用两角法判定，
∴此选项不符合题意；
添加，可用两角法判定，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由角的和差可得；根据相似三角形的判定“①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”依次判断即可求解．
13．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴，
∴，
∴AP2 7AP＋6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，
当AP＝1时，由BC＝3，AD＝2，BP＝6，
∴，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
当AP＝6时，由BC＝3，AD＝2，BP＝1，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴，
∴，
∴AP＝．
检验：当AP＝时，∵BP＝，AD＝2，BC＝3，
∴，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、、6，
故答案为：C．
【分析】分类讨论：① 当△APD∽△BCP， ②当△APD∽△BPC，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解得出AP的长度，再检验即可得出结论.
14．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意可得，，
A、当时，，故A不符合题意；
B、当时，，故B不符合题意；
C、当时，，故C不符合题意；
D、当时，不能推断与相似，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
A条件符合角角（AA）相似的条件之一，即两组对应角相等，能直接证明两个三角形相似，可判断A；
B条件也符合角角（AA）相似的条件，也能直接证明两个三角形相似，可判断B；
C条件符合边角边（SAS）相似的条件，即两组对应边成比例，且夹角相等，也能直接证明两个三角形相似，可判断C；
D条件表明两组对应边成比例，但没有提及夹角相等或任何其他角的信息。根据相似三角形的判定条件，仅两组边的比例相同，而没有提及它们夹的角是否相等，不足以证明两个三角形相似，因此，此条件不能直接证明 △ A B C 与 △ A D E 相似，可判断D；对每个选项分别分析、判断即可解答．
15．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，
∴（1）当添加条件“”时，可由“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
（2）当添加条件“”时，不能证明：△ABC∽△ADE；
（3）当添加条件“∠B＝∠D”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
（4）当添加条件“∠C＝∠AED”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
综上可得，添加上述条件中的1个后，能证明△ABC∽△ADE的共有3个.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和角的和差可得：∠DAE=∠BAC；
（1）根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可判断两个三角形相似；
（2）两组对应边的比相等且这两边中其中一边的对角相等的两个三角形不能判断两各三角形相似；
（3）（4）根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可判断两个三角形相似；
16．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解： 2.∵ E 是 AD 的中点，∴ AD = 又∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠EDC=90°.∴ △ADB∽△EDC.∴.∵AB=2，∴EC=1.
故答案为：1．
【分析】先根据线段的倍数关系，得到比例式；再结合垂直条件，利用相似三角形的判定-SAS，证明两个三角形相似；最后根据相似三角形的性质，求出EC的长度，即可得出答案．
17．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：
又∵ ∠C = ∠C，
∴△ABC∽△BDC.
∵ E，F 分别为AC，BC的中点，
∴ BE 和DF 分别是△ABC 和△BDC 对应边上的中线.
故答案为： .
【分析】由BC2=AC·DC可得：，结合公共角∠C，可证得△ABC∽△BDC，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长.
18．【答案】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
，
，
，
在和中，
，
；
（2）．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2），，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
【分析】（1）根据旋转性质可得出，，再根据是等边三角形．可得出，进而可得出，再根据SAS即可得出；
（2）由旋转性质可得出是等边三角形，可得出，，再根据，可得出AD=OC=8，进而根据勾股定理的逆定理可得出∠ADO=90°，进而得出。
19．【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，
∴△ADE∽△GDA；
（2）证明：
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，
∴∠DEA=∠GDC，
∴∠GDC=∠FAG，
即，
∴△GDC∽△GAF，
∴.
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据题意可得到∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，进而利用AA相似即可得到结论；
(2)由(1)得到对应边成比例，对应角相等，然后根据菱形的性质得到AB||CD，AD=CD，从而得到角相等，进一步等量代换得到，然后利用SAS相似证明△GDC∽△GAF，进而利用相似三角形的性质证明结论.
20．【答案】（1）证明：
∵AD 是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE.
（2）解：∵AD2=AE·AB，AB=5，AD=4，DE=2，
∴，
设EC=x，则，
∵∠EDC=∠DAC，∠C=∠C，
∴△EDC∽△DAC，
∴
∴，
∴，
解得，(不符合题意，舍去)
∴EC的长是.
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由AD是∠BAC的角平分线可得出∠BAD=∠EAD，由AD2=AE·AB可得出，进而即可证出△ABD∽△ADE；
(2)由AD2=AE·AB，AB=5，AD=4，求得，设EC=x，则，再证明△EDC∽△DAC，得，则，，于是得，解方程求出符合题意的x值即可.
21．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
1 / 14.4《两个三角形相似的判定》（2）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2024九上·衡阳期中）如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴当或时，由有两个角对应相等的两个三角形相似可判定；
当时，由有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
即选项A、B、D不符合题意，而选项C中条件不能判定，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由条件知，已有条件，则可分别添加或，可判定，或添加，可判定，则可得到问题的答案．
2．（2024九上·攀枝花期末）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故A不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故B不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故C符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据相似三角形的判定条件，若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，因而只需判断每个选项中剪下的阴影三角形与原三角形∠A=76°的对应角是否相等，即可确定它们是否相似，逐一判断即可解答.
3．（2024九上·安化期中）如图所示，小正方形的边长均为1．则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SAS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，，
观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，如图，
则，，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】求出，，，观察四个选项，只有选项A的钝角等于135°，然后求出，，，从而得，，进而由相似三角形的判定证明.
4．（2023八下·垦利期末）如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意，A错误；
B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意，B错误；
C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意，C错误；
D、添加不能证明，故此选项符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查相似三角形的判定．先利用角的运算可求出，添加可利用有两组角对应相等的两个三角形相似，据此可判断A选项；添加可利用：有两组角对应相等的两个三角形相似，据此可判断B选项；添加可利用：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此可判断C选项；添加，利用相似三角形的判定定理不能证明，据此可判断D选项.
5．已知 如图 29-6 所示， 则下列 4 个三角形 （图 29-7） 中， 与 相似的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
A、，但夹角不相等，故该选项是错误的；
B、，但夹角不相等，故该选项是错误的；
C、，夹角都是30度，相等，故该选项是正确的；
D、，但夹角不相等，故该选项是错误的；
故答案为：C
【分析】根据两角对应相等，或者三边成比例，或者两边成比例有夹角相等，进行逐项分析，即可作答．
6．下列各组条件中，能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（ ）
A． B．，且∠A=∠C'
C．，且∠B=∠A' D．，且∠B=∠B'
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、，缺失一个条件，故A错误
B、，且∠A=∠C' ，虽满足两边对应成比例，但不是夹角，故B错误
C、两边对应成比例，且夹角相等，故C正确
D、两边对应成比例，但不是夹角，故D错误
故答案为：D.
【分析】
本题考查的是利用两边对应成比例，且夹角相等来判定两个三角形相似，两个条件缺一不可
A、两边对应成比例，但∠A不一定等于∠A'
B、∠ A与∠C'不是夹角
C、即满足两边对应成比例，又满足夹角相等
D、 ∠B与∠B'虽然相等，但不是夹角
7．（2024九上·天桥期中）下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故A能判定；
B、根据不能证明，故B不能判定；
C、∵，
∴，故C能判定；
D、∵．
∴，故D能判定；
故答案为：B．
【分析】
根据相似三角形的判定方法：“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，依次判断即可解答．
8．（2025·广州模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽
【答案】证明：设a，
在正方形ABCD中，
a，
∵，
，
∵点E是AD的中点
∴，
，
∽．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；线段的中点；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】设a，根据正方形得性质得到a，；再由已知条件和中点的定义得到，，即可根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可解答．
9．（2024九上·通州期中）如图，在平行四边形中，E为边上一点．若，，．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】根据SAS可证，进而可得出．
10．（2024九上·浙江期中）如图，在中，D是上一点，已知．
（1）求证：；
（2）已知，，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）得，
．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可证明，由相似三角形对应角相等即可得证结论；
（2）利用三角形内角和定理可得，由（1）的结论求出，最后根据角的和差关系即可求解.
（1）证明：，，
，
（2）解：，，
，
，
．
二、能力提升
11．如图，点A 在线段BD 上，在 BD 的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD 与BE，AE 分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD=MA·ME； .其中正确的是( ).
A．①②③ B．① C．①② D．②③
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：由已知： ，
，
，
，
所以①正确；
，
，
，
，
，
所以②正确；
由 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以③正确；
故答案为：A.
【分析】由等腰 和等腰三边比例关系可证相似三角形判断①；通过等积式倒推可知，证明 即可判断②；把转化为 证明 判断③解答即可.
12．（2023九上·沭阳月考）如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A、添加，其夹角不一定相等，不能判定，
∴此选项符合题意；
添加，可用两边及其夹角法判定，
∴此选项不符合题意；
添加，可用两角法判定，
∴此选项不符合题意；
添加，可用两角法判定，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由角的和差可得；根据相似三角形的判定“①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”依次判断即可求解．
13．（2024九上·邛崃期中）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴，
∴，
∴AP2 7AP＋6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，
当AP＝1时，由BC＝3，AD＝2，BP＝6，
∴，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
当AP＝6时，由BC＝3，AD＝2，BP＝1，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴，
∴，
∴AP＝．
检验：当AP＝时，∵BP＝，AD＝2，BC＝3，
∴，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、、6，
故答案为：C．
【分析】分类讨论：① 当△APD∽△BCP， ②当△APD∽△BPC，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解得出AP的长度，再检验即可得出结论.
14．（2024九上·昆明期末）如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意可得，，
A、当时，，故A不符合题意；
B、当时，，故B不符合题意；
C、当时，，故C不符合题意；
D、当时，不能推断与相似，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
A条件符合角角（AA）相似的条件之一，即两组对应角相等，能直接证明两个三角形相似，可判断A；
B条件也符合角角（AA）相似的条件，也能直接证明两个三角形相似，可判断B；
C条件符合边角边（SAS）相似的条件，即两组对应边成比例，且夹角相等，也能直接证明两个三角形相似，可判断C；
D条件表明两组对应边成比例，但没有提及夹角相等或任何其他角的信息。根据相似三角形的判定条件，仅两组边的比例相同，而没有提及它们夹的角是否相等，不足以证明两个三角形相似，因此，此条件不能直接证明 △ A B C 与 △ A D E 相似，可判断D；对每个选项分别分析、判断即可解答．
15．（2024九上·宁波期中）如图，若果∠1＝∠2，那么添加下列任何一个条件：（1），（2），（3）∠B＝∠D，（4）∠C＝∠AED， 其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，
∴（1）当添加条件“”时，可由“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
（2）当添加条件“”时，不能证明：△ABC∽△ADE；
（3）当添加条件“∠B＝∠D”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
（4）当添加条件“∠C＝∠AED”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
综上可得，添加上述条件中的1个后，能证明△ABC∽△ADE的共有3个.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和角的和差可得：∠DAE=∠BAC；
（1）根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可判断两个三角形相似；
（2）两组对应边的比相等且这两边中其中一边的对角相等的两个三角形不能判断两各三角形相似；
（3）（4）根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可判断两个三角形相似；
16．（【拔尖特训】浙教版数学九年级上册测评卷第四章 相似三角形） 如图，在△ABC中，AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD.若E是AD的中点，则EC的长为 .
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解： 2.∵ E 是 AD 的中点，∴ AD = 又∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠EDC=90°.∴ △ADB∽△EDC.∴.∵AB=2，∴EC=1.
故答案为：1．
【分析】先根据线段的倍数关系，得到比例式；再结合垂直条件，利用相似三角形的判定-SAS，证明两个三角形相似；最后根据相似三角形的性质，求出EC的长度，即可得出答案．
17． 如图，E，F 分别为AC，BC 的中点，D 是EC上一点，且 .若AC=6，BC=4.2，DF=2，则BE 的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：
又∵ ∠C = ∠C，
∴△ABC∽△BDC.
∵ E，F 分别为AC，BC的中点，
∴ BE 和DF 分别是△ABC 和△BDC 对应边上的中线.
故答案为： .
【分析】由BC2=AC·DC可得：，结合公共角∠C，可证得△ABC∽△BDC，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长.
18．（2025九上·北京月考）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，，请直接写出的度数．
【答案】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
，
，
，
在和中，
，
；
（2）．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2），，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
【分析】（1）根据旋转性质可得出，，再根据是等边三角形．可得出，进而可得出，再根据SAS即可得出；
（2）由旋转性质可得出是等边三角形，可得出，，再根据，可得出AD=OC=8，进而根据勾股定理的逆定理可得出∠ADO=90°，进而得出。
19．如图，E，F 是菱形ABCD 边AB，AD上的点，连接DE，点G 在DE 上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE.
（1）求证：△ADE∽△GDA；
（2）求证：
【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，
∴△ADE∽△GDA；
（2）证明：
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，
∴∠DEA=∠GDC，
∴∠GDC=∠FAG，
即，
∴△GDC∽△GAF，
∴.
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据题意可得到∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，进而利用AA相似即可得到结论；
(2)由(1)得到对应边成比例，对应角相等，然后根据菱形的性质得到AB||CD，AD=CD，从而得到角相等，进一步等量代换得到，然后利用SAS相似证明△GDC∽△GAF，进而利用相似三角形的性质证明结论.
20． 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E 在边AC 上，且AD2=AE·AB，连结 DE.
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若AB=5，AD=4，DE=2，求 EC的长.
【答案】（1）证明：
∵AD 是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE.
（2）解：∵AD2=AE·AB，AB=5，AD=4，DE=2，
∴，
设EC=x，则，
∵∠EDC=∠DAC，∠C=∠C，
∴△EDC∽△DAC，
∴
∴，
∴，
解得，(不符合题意，舍去)
∴EC的长是.
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由AD是∠BAC的角平分线可得出∠BAD=∠EAD，由AD2=AE·AB可得出，进而即可证出△ABD∽△ADE；
(2)由AD2=AE·AB，AB=5，AD=4，求得，设EC=x，则，再证明△EDC∽△DAC，得，则，，于是得，解方程求出符合题意的x值即可.
三、综合拓展
21．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
1 / 1
