4.4《两个三角形相似的判定》（3）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024九上·井陉期末）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2． 在△ABC 和△A'B'C'中，AB=9 cm，BC=8cm，CA=5cm ，A'B'=4.5cm ，B'C'=2.5cm，C'A'=4cm，则下列说法中，错误的是( )
A．△ABC 与△A'B'C'相似 B．AB 与B'A'是对应边
C．两个三角形的相似比是2 D．BC 与B'C'是对应边
3．（2025·浙江模拟）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍
C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍
4．（2024九上·诸暨月考）如图， 在 中， 点 分别在边 上， 下列条件中不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·高碑店期中）已知三边长分别是1，，，与相似的三角形三边长可能是（ ）
A．，2， B．，1， C．1，， D．，1，
6．（2024九上·普陀月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由．
7．（2024九上·宁江期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：．
二、能力提升
8． 如图，点 B，D，E 在一条直线上，BE 与AC相交于点F， 若∠BAD=21°，则∠EBC 的度数为 .
9．（2024九上·红花岗期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图是是网格图形中的格点三角形．
（1）图中的面积为 ；
（2）在所给格点图中，与相似且面积最大的格点三角形的斜边长是 ．
10．下列四个三角形中，与如图所示的△ABC 相似的为( )
A． B． C． D．
11．（2024九上·徐汇期末）如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024九上·清苑期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴的负半轴上，轴的正半轴上，轴平分边，点的坐标．过点的反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②~⑥中，与三角形①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
14． 如图， 小正方形的边长均为 1 ， 则下列图中的三角形 （阴影部分） 与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
15． 如图，AB=25，BC=40，AC=20，AE=12，AD=15，DE=24.
（1） 判断△ABC 与△ADE 是否相似.
（2） 若∠BAC=125°，∠EAC=85°，求∠CAD
16．（【拔尖特训】浙教版数学九年级上册测评卷第四章 相似三角形）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 与 的顶点都在格点上.
（1）求证：△ADE∽△ABC.
（2） 求∠1+∠2的度数.
17．（第42讲板块二 “边边边”判定三角形相似—【勤学早大培优】人教版（2025版）数学九年级下册）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF 边上的5个格点.
（1）判断△ABC 和△DEF 是否相似 并说明理由；
（2）在图中画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC 相似.
18．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，过点 C作 CD⊥x轴，垂足为 D.求证：△ABC∽△ACD.
三、综合拓展
19． 已知△ABC 与点O，连结OA，OB，OC，分别取OA，OB，OC 的中点D，E，F，连结DE，EF，FD.
（1） 如图①，如果点 O 在△ABC 内，求证：△DEF∽△ABC.
（2）如果点O 在AB 上，请画图，并探讨(1)中的结论是否仍然成立.
（3） 如图②，如果点 O 在△ABC 外，请在图②中按题中的叙述画图，并探讨(1)中的结论是否仍然成立.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．
【分析】本题考查相似三角形的性质.令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，根据△ABC∽△PQR，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，据此可找到点R对应的位置
2．【答案】D
【知识点】相似比；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由已知可看出，AB=2A'B'，BC=2C'A'，CA=2B'C'.即两三角形的对应边成比例且比例相等为2，C正确；从而得到 A正确；则可以得到， AB与B'A''是对应边，B正确；BC与A'C'是对应边，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据三边对应成比例得到两三角形相似，根据相似三角形的性质解答即可.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵三角形的三条边都扩大为原来的5倍，令
∴新三角形与原三角形三边对应成比例，即
∴新三角形与原三角形相似，且相似比是5
∴
∴D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此新三角形与原三角形相似，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，因为新三角形的每条边长均扩大了5倍，可以得到新三角形的面积比原三角形的面积扩大了25倍。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE~△ACB，故A选项错误；
B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE~△ACB，故B选项错误；
C、不能判定△ADE~△ACB，故C选项正确；
D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE~△ACB，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定定理(AA、SAS、SSS)来判断给定条件是否能证明△ADE~△ACB.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】根据对应最长边比=最短边比=第三边的比，可判断两三角形相似。解：A、最长边为，最短边为，中间值为
，三边对应成比例
两三角形相似，故符合题意；
B、最长边为，最短边为
，两三角形不相似，故不符合题意；
C、同理可得：，两三角形不相似，故不符合题意；
D、同理可得：，两三角形不相似，故不符合题意；
故选A．
【分析】
根据对应最长边比=最短边比=第三边的比，判断两三角形相似即可。
6．【答案】解：与相似，理由如下：
由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】根据可得AB，AC，BC，EF，ED，DF，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
7．【答案】证明：根据勾股定理，得，，，，，，∴，，，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，解答即可．
8．【答案】21°
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC，
∴∠BAD=∠CBE=21°，
故答案为：21° .
【分析】根据三边对应成比例得到△ABC∽△ADE，即可得到∠ADE=∠ABC，然后根据角的和差和三角形的外角得到∠BAD=∠CBE解答即可.
9．【答案】4；10
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，
∴；
（2）∵在中，，
∴与相似的格点三角形的两直角边的比值为，
如图，
，，
∴
又，
∴
又
∴，此时面积最大，
此时是所有与相似的格点三角形中．面积最大的三角形，．
故答案为：4；10．
【分析】（1）利用三角形面积公式计算即可；
（2）根据的两直角边之比为，在图中画出符合题意的最大三角形，再利用勾股定理求出斜边长即可．
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设网格的边长是1，
则
A.三边之比是= 故本选项正确；
B.三边之比是 故本选项错误；
C.三边之比是 故本选项错误；
D.三边之比是 故本选项错误.
故答案为：A .
【分析】先求出三角形的三边，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐项判断解答即可.
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
D选项的结论符合题意
，，
则，
，
，
与不一定相等，
故C选项的结论不符合题意，
已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据相似三角形的判定与性质：三边对应相等的两个三角形相似，可得，再通过相似三角形的性质得到，结合已知条件，利用AA可判定再通过相似三角形的性质可得到D选项正确，利用AA可判定，可判定C错误，其余选项不能推导，逐一判断即可解答．
12．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵轴平分边，点的坐标，
∴，，
∴，
过点作轴与点，则：，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设过点的反比例函数的解析式为，
则：，
∴；
故答案为：D
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质．过点作轴与点，根据，利用平行线分线段成比例可得：，根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据进行计算可求出BE，进而可求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数的解析式，可求出k的值，据此可选出答案.
13．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为：③④⑤．
【分析】根据相似三角形的判定定理：三条边对应成比例，两三角形相似，即可得到答案．
14．【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：观察得：，，.
A.三角形的三边长分别为：，
，故A中的三角形和△ABC相似，故选项A符合题意；
B.三角形的三边长分别为：，
对应边的比分别为：，三组对应边的比都不相等，故B中的三角形和△ABC不相似，故选项B不符合题意；
C.三角形的三边长分别为：，
对应边的比分别为：，三组对应边的比都不相等，故C中的三角形和△ABC不相似，故选项C不符合题意；
D.三角形的三边长分别为：，
对应边的比分别为：，三组对应边的比都不相等，故D中的三角形和△ABC不相似，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出三角形ABC的各边长，以及四个选项中各三角形的三边长，按照从小到大的顺序，分别作对应边的比，再根据“三组对应边成比例的两个三角形是相似”判定即可.
15．【答案】（1）解：
∴△ABC∽△ADE.
（2）解： ∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE=125°.
又∵∠EAC=85°，
∴ ∠CAD = ∠DAE - ∠EAC =
【知识点】相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)由在 中，AB=25，BC=40，AC=20， 在 中，AE=12，AD=15，DE=24，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似；即可证得
(2)由相似三角形的性质得出 求出 的度数，则可得出答案.
16．【答案】（1）证明：由勾股定理，得 AD =
又∵AE=5，BC=2，
∴△ADE∽△ABC.
（2）解：由(1)，得△ADE∽△ABC，且AB 是小正方形的对角线，
135°.
【知识点】相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）先通过勾股定理，求出两个三角形各边的长度；再根据三边对应成比例，即可证明三角形相似；
（2）利用相似三角形对应角相等的性质，结合正方形对角线的角度特征，即可求出∠1+∠2的度数．
17．【答案】（1）解：△ABC 和△DEF 相似.理由如下：
由勾股定理可得
（2）解：如图，△P4P5P2即为所求.
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)根据勾股定理分别求出， 与 各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断；
(2)根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解.
18．【答案】解：∵点A，B，C 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，(4，2)，
∴ 易得
∵CD⊥x轴，
∴AD=4-3=1，CD=2.
∴△ABC∽△ACD.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】先根据两点间的距离公式计算出AB=5，BC=2 再得到AD=1，CD=2，然后得到： 则可根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论.
19．【答案】（1）证明：∵ 在△AOB 中，D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴ DE 是△AOB 的中位线.
同理，可证
∴△DEF∽△ABC.
（2）解：如果点O在AB上，(1)中的结论仍然成立.如图①，
∵在△AOC中，D，F 分别是OA，OC的中点，
∴ DF 是△AOC 的中位线.
同理，可证
又∵D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴ 易得
∴△DEF∽△ABC.
（3）解：如果点O 在△ABC 外，(1)中的结论仍然成立.如图②，
∵ 在△AOC 中，D，F 分别是OA，OC的中点，
∴ DF 是△AOC 的中位线.
同理，可证
∴△DEF∽△ABC.
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线得到三边对应成比例，进而得到两三角形相似；
（2）根据（1）的解答过程证明即可；
（3）根据（1）的解答过程证明即可.
1 / 14.4《两个三角形相似的判定》（3）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024九上·井陉期末）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．
【分析】本题考查相似三角形的性质.令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，根据△ABC∽△PQR，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，据此可找到点R对应的位置
2． 在△ABC 和△A'B'C'中，AB=9 cm，BC=8cm，CA=5cm ，A'B'=4.5cm ，B'C'=2.5cm，C'A'=4cm，则下列说法中，错误的是( )
A．△ABC 与△A'B'C'相似 B．AB 与B'A'是对应边
C．两个三角形的相似比是2 D．BC 与B'C'是对应边
【答案】D
【知识点】相似比；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由已知可看出，AB=2A'B'，BC=2C'A'，CA=2B'C'.即两三角形的对应边成比例且比例相等为2，C正确；从而得到 A正确；则可以得到， AB与B'A''是对应边，B正确；BC与A'C'是对应边，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据三边对应成比例得到两三角形相似，根据相似三角形的性质解答即可.
3．（2025·浙江模拟）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍
C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵三角形的三条边都扩大为原来的5倍，令
∴新三角形与原三角形三边对应成比例，即
∴新三角形与原三角形相似，且相似比是5
∴
∴D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此新三角形与原三角形相似，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，因为新三角形的每条边长均扩大了5倍，可以得到新三角形的面积比原三角形的面积扩大了25倍。
4．（2024九上·诸暨月考）如图， 在 中， 点 分别在边 上， 下列条件中不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE~△ACB，故A选项错误；
B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE~△ACB，故B选项错误；
C、不能判定△ADE~△ACB，故C选项正确；
D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE~△ACB，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定定理(AA、SAS、SSS)来判断给定条件是否能证明△ADE~△ACB.
5．（2023九上·高碑店期中）已知三边长分别是1，，，与相似的三角形三边长可能是（ ）
A．，2， B．，1， C．1，， D．，1，
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】根据对应最长边比=最短边比=第三边的比，可判断两三角形相似。解：A、最长边为，最短边为，中间值为
，三边对应成比例
两三角形相似，故符合题意；
B、最长边为，最短边为
，两三角形不相似，故不符合题意；
C、同理可得：，两三角形不相似，故不符合题意；
D、同理可得：，两三角形不相似，故不符合题意；
故选A．
【分析】
根据对应最长边比=最短边比=第三边的比，判断两三角形相似即可。
6．（2024九上·普陀月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由．
【答案】解：与相似，理由如下：
由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】根据可得AB，AC，BC，EF，ED，DF，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
7．（2024九上·宁江期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：．
【答案】证明：根据勾股定理，得，，，，，，∴，，，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，解答即可．
二、能力提升
8． 如图，点 B，D，E 在一条直线上，BE 与AC相交于点F， 若∠BAD=21°，则∠EBC 的度数为 .
【答案】21°
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC，
∴∠BAD=∠CBE=21°，
故答案为：21° .
【分析】根据三边对应成比例得到△ABC∽△ADE，即可得到∠ADE=∠ABC，然后根据角的和差和三角形的外角得到∠BAD=∠CBE解答即可.
9．（2024九上·红花岗期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图是是网格图形中的格点三角形．
（1）图中的面积为 ；
（2）在所给格点图中，与相似且面积最大的格点三角形的斜边长是 ．
【答案】4；10
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，
∴；
（2）∵在中，，
∴与相似的格点三角形的两直角边的比值为，
如图，
，，
∴
又，
∴
又
∴，此时面积最大，
此时是所有与相似的格点三角形中．面积最大的三角形，．
故答案为：4；10．
【分析】（1）利用三角形面积公式计算即可；
（2）根据的两直角边之比为，在图中画出符合题意的最大三角形，再利用勾股定理求出斜边长即可．
10．下列四个三角形中，与如图所示的△ABC 相似的为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设网格的边长是1，
则
A.三边之比是= 故本选项正确；
B.三边之比是 故本选项错误；
C.三边之比是 故本选项错误；
D.三边之比是 故本选项错误.
故答案为：A .
【分析】先求出三角形的三边，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐项判断解答即可.
11．（2024九上·徐汇期末）如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
D选项的结论符合题意
，，
则，
，
，
与不一定相等，
故C选项的结论不符合题意，
已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据相似三角形的判定与性质：三边对应相等的两个三角形相似，可得，再通过相似三角形的性质得到，结合已知条件，利用AA可判定再通过相似三角形的性质可得到D选项正确，利用AA可判定，可判定C错误，其余选项不能推导，逐一判断即可解答．
12．（2024九上·清苑期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴的负半轴上，轴的正半轴上，轴平分边，点的坐标．过点的反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵轴平分边，点的坐标，
∴，，
∴，
过点作轴与点，则：，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设过点的反比例函数的解析式为，
则：，
∴；
故答案为：D
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质．过点作轴与点，根据，利用平行线分线段成比例可得：，根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据进行计算可求出BE，进而可求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数的解析式，可求出k的值，据此可选出答案.
13．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②~⑥中，与三角形①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为：③④⑤．
【分析】根据相似三角形的判定定理：三条边对应成比例，两三角形相似，即可得到答案．
14． 如图， 小正方形的边长均为 1 ， 则下列图中的三角形 （阴影部分） 与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：观察得：，，.
A.三角形的三边长分别为：，
，故A中的三角形和△ABC相似，故选项A符合题意；
B.三角形的三边长分别为：，
对应边的比分别为：，三组对应边的比都不相等，故B中的三角形和△ABC不相似，故选项B不符合题意；
C.三角形的三边长分别为：，
对应边的比分别为：，三组对应边的比都不相等，故C中的三角形和△ABC不相似，故选项C不符合题意；
D.三角形的三边长分别为：，
对应边的比分别为：，三组对应边的比都不相等，故D中的三角形和△ABC不相似，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出三角形ABC的各边长，以及四个选项中各三角形的三边长，按照从小到大的顺序，分别作对应边的比，再根据“三组对应边成比例的两个三角形是相似”判定即可.
15． 如图，AB=25，BC=40，AC=20，AE=12，AD=15，DE=24.
（1） 判断△ABC 与△ADE 是否相似.
（2） 若∠BAC=125°，∠EAC=85°，求∠CAD
【答案】（1）解：
∴△ABC∽△ADE.
（2）解： ∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE=125°.
又∵∠EAC=85°，
∴ ∠CAD = ∠DAE - ∠EAC =
【知识点】相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)由在 中，AB=25，BC=40，AC=20， 在 中，AE=12，AD=15，DE=24，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似；即可证得
(2)由相似三角形的性质得出 求出 的度数，则可得出答案.
16．（【拔尖特训】浙教版数学九年级上册测评卷第四章 相似三角形）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 与 的顶点都在格点上.
（1）求证：△ADE∽△ABC.
（2） 求∠1+∠2的度数.
【答案】（1）证明：由勾股定理，得 AD =
又∵AE=5，BC=2，
∴△ADE∽△ABC.
（2）解：由(1)，得△ADE∽△ABC，且AB 是小正方形的对角线，
135°.
【知识点】相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）先通过勾股定理，求出两个三角形各边的长度；再根据三边对应成比例，即可证明三角形相似；
（2）利用相似三角形对应角相等的性质，结合正方形对角线的角度特征，即可求出∠1+∠2的度数．
17．（第42讲板块二 “边边边”判定三角形相似—【勤学早大培优】人教版（2025版）数学九年级下册）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF 边上的5个格点.
（1）判断△ABC 和△DEF 是否相似 并说明理由；
（2）在图中画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC 相似.
【答案】（1）解：△ABC 和△DEF 相似.理由如下：
由勾股定理可得
（2）解：如图，△P4P5P2即为所求.
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)根据勾股定理分别求出， 与 各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断；
(2)根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解.
18．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，过点 C作 CD⊥x轴，垂足为 D.求证：△ABC∽△ACD.
【答案】解：∵点A，B，C 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，(4，2)，
∴ 易得
∵CD⊥x轴，
∴AD=4-3=1，CD=2.
∴△ABC∽△ACD.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】先根据两点间的距离公式计算出AB=5，BC=2 再得到AD=1，CD=2，然后得到： 则可根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论.
三、综合拓展
19． 已知△ABC 与点O，连结OA，OB，OC，分别取OA，OB，OC 的中点D，E，F，连结DE，EF，FD.
（1） 如图①，如果点 O 在△ABC 内，求证：△DEF∽△ABC.
（2）如果点O 在AB 上，请画图，并探讨(1)中的结论是否仍然成立.
（3） 如图②，如果点 O 在△ABC 外，请在图②中按题中的叙述画图，并探讨(1)中的结论是否仍然成立.
【答案】（1）证明：∵ 在△AOB 中，D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴ DE 是△AOB 的中位线.
同理，可证
∴△DEF∽△ABC.
（2）解：如果点O在AB上，(1)中的结论仍然成立.如图①，
∵在△AOC中，D，F 分别是OA，OC的中点，
∴ DF 是△AOC 的中位线.
同理，可证
又∵D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴ 易得
∴△DEF∽△ABC.
（3）解：如果点O 在△ABC 外，(1)中的结论仍然成立.如图②，
∵ 在△AOC 中，D，F 分别是OA，OC的中点，
∴ DF 是△AOC 的中位线.
同理，可证
∴△DEF∽△ABC.
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线得到三边对应成比例，进而得到两三角形相似；
（2）根据（1）的解答过程证明即可；
（3）根据（1）的解答过程证明即可.
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