4.5《相似三角形的性质及应用》（2）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·顺德月考）如图，中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．9 D．8
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点
∴DE∥BC，，即
∴△ADE∽△ABC
∴，即
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，，即，再根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△ABC，则，代值计算即可求出答案.
2．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为 （ ）
A．16 B．8 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设另一个三角形的周长为x，
则
解得：x=8.
故另一个三角形的周长为8，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解.
3．（2025·凉州模拟）如图，D，E分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似比；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即的值为，
故答案为：C。
【分析】根据已知条件，可得，然后再根据 ，易得，最后再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入数据即可求解。
4．（2025·郴州模拟）如图，在中，E为上一点，，与交于点F．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，故A选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴；故B选项结论错误，符合题意；
∵，
∴，故D选项结论正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，可得，，进而可得到，；由得到；证明，利用相似三角形的性质可判断B、D选项，据此即可判断
5．（2025·福田模拟）如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：，，
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025九上·新昌期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积之比为．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题．
7．（2024九上·洞口期中），，，的面积为，则的面积为 ．
【答案】36
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为：，
故答案为：36．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质可得，据此即可求出的面积.
8．（2023九上·千山月考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质即可求出答案.
（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
9．（2024九上·石家庄期中）如图，在中，D是边上一点，且，
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∴的面积．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，再根据相似三角形性质即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∴的面积．
10．（2024·浙江模拟）如图，在与中，，且．
（1）与相似吗？如果相似，请说明理由；
（2）连接，若B、D、E三点共线，记与的交点为H，若，的面积为20，试求的面积．
【答案】（1）解：与 相似，
理由：∵ ，
∴，
∵∠B=∠D，
∴∽（AA）.
（2）解：连接BD，如图所示：
由（1）可得：∽，
∴∠C=∠E，
∵∠BHC=∠AHE，
∴∽，
∵AE=2，BC=5，
∴S△BCH：S△AEH=25：4，
∵S△AEH=20，
∴∴S△BCH=S△AEH=S△AEH=×20=125.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据得出，结合∠B=∠D即可证明∽（AA）；
（2）根据相似三角形的性质得出∠C=∠E，根据对顶角相等证明∽，再根据相似三角形的性质即可得出结论.
（1）解：相似，理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：如图：
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵．
∴与的面积比为，
∵的面积为20，
∴的面积为125．
二、能力提升
11．（2024九上·昌平期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，可得CD∥AB，所以△DEF∽△BAF，
又因为DE：EC=3：2，所以，所以．
故选：C．
【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
12．（2025九上·义乌期中）如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，F为CD中点，则四边形OCFE的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，如下图，
矩形，，，对角线， 相交于点，
，对角线互相平分，
，.
是的中点，
.
，
，
，
.
和高相同，
，
.
，
，
.
是中点，
，
.
故答案为：C .
【分析】连接，过点作于点，利用相似三角形的性质得到，进而求出，再利用等底同高的性质求出面积即可求解.
13．如图，过坐标原点的直线AB与两函数，的图象分别交于A，B两点，作轴于，连接BH交轴于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①由k值得意义知
故①正确，符合题意；
②过点B作BM⊥x轴于点M，则 Δ AOH∽ΔOBM
则，
故正确，符合题意；
③轴，
，则，故③错误，不符合题意；，
④，
则，
则，
，则，
故④正确，符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数与一次函数图象交点问题和反比例函数k的几何意义求出△AOH的面积，再证出△AOH∽△OBM，利用相似三角形的性质证出，再利用三角形的面积公式逐项分析判断即可.
14．（2025九上·义乌期中）点是△ABC的重心，若的面积等于6， .
【答案】12
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接DE，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴∠ABO=∠OED，∠BAO=∠ODE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴
∴，
又∵ED是△EBC的中线，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】连接DE，即可得到△OAB∽△ODE，然后根据对应边成比例得到，即可求出，，然后根据中线求出，然后计算四边形的面积即可.
15．（2025九上·福田开学考）如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
【答案】
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设AC交EF于点H
由平移性质可得，AH∥DF，AD=BE
∴△EAH∽△EDF
∴
∵它们重合部分的面积是△DEF面积的
∴
∴
设AE=3k，DE=4k
∵AB=DE=6
∴4k=6
解得：
∴
故答案为：
【分析】设AC交EF于点H，根据平移性质可得AH∥DF，AD=BE，再根据相似三角形判定定理可得△EAH∽△EDF，则，再根据三角形面积可得，则，设AE=3k，DE=4k，根据边之间的关系建立方程，解方程可得k值，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2024九下·崇明期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点是的重心，
∴是的边上的中线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴故答案为：．
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点，重心将三角形的每条分中线分成2：1两部分（重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份），得是的边上的中线，且，从而得，，然后由相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出的值.
17．（2022九下·荷塘期中）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行可得，由对顶角相等可得，再利用中点的概念可证明，则AD=FC，再根据平行四边形的对边相等等量代换即可；
（2）先由平行四边形的对边平行且相等可证明，则相似比为，则，再由面积比等于相似比的平方可得，即得，则答案可解．
18．（2025九上·钱塘期末）如图，在和中，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）利用两角相等的两三角形相似解答；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
19．（2024九上·莘县期中）如图，在中，D是边上一点，且满足，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的长．
【答案】（1）证明：，，
.
（2）解：，
，
设，则，
，
，
由（1）知，
，
，
，
（负值舍去），
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）判断即可；
（2）设，则，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AD的长即可.
（1）证明：，，
；
（2）解：，
，
设，则，
，
，
由（1）知，
，
，
，
（负值舍去），
，
．
20．（2024九上·奉化期中）如图：在中，经过内一点有一条弦，且，，过点另有一动弦，连结，，设，．
（1）写出关于的函数解析式．
（2）若时，求的值．
【答案】（1）解：y关于x的函数解析式为：；
（2）解：由题意可得：，
解得：或，
∴，或，，
∴或，
综上，的值为或4．
【知识点】函数解析式；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴；
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得出，，从而由有两组角对应相等的两个三角形全等证出，然后根据相似三角形的对应边成比例建立方程，进而可求出关于的函数解析式；
（2）已知，联立（1）的函数关系式，即可求得、的长，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴；
（2）解：由题意可得：，
解得：或，
∴，或，，
∴或，
综上，的值为或4．
三、综合拓展
21．（2022九上·西安月考）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为.
（1）当为何值时，的面积为？
（2）为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【答案】（1）解：由题意知，，，
的面积为，
，
解得或，
，
时，的面积为；
（2）解：，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
解得或，
或时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，AQ=10-t，根据三角形的面积公式可得t的值，根据AP
（2）当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，然后代入求解即可.
22．（2022·历城模拟）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于A（﹣2，0），图象过点B（4，n），BC⊥x轴于点C，已知tanB＝2，y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点E（a，2），点P是线段AB边上的动点．
（1）分别求直线AB的解析式和反比例函数的解析式；
（2）连接OD，OE，求的值；
（3）是否存在点P，使得△BCP与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，AC＝6，
∵tanB＝2，
∴2，
∴BC＝3，
∴点B的坐标为（4，3），
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为：yx+1，
∵点E（a，2）在直线AB上，
∴a＝2，
∴点E的坐标为（2，2），
∴m＝4，
∴反比例函数的解析式为：y；
（2）解：过点E作EF⊥BD于F，EG⊥OC于G，
由题意得：BD＝2，EF＝2，EG＝2，CD＝1，
∴S△BDE2×2＝2，S△ODE2×2（1+2）×24×1＝3，
∴；
（3）解：过点P作PH⊥BC于H，
设点P的坐标为（a，a+1），
则BP，
由题意得：BE，
当△BDE∽△BCP时，，即，
解得：a1＝1，a2＝7（舍去），
此时，点P的坐标为（1，），
当△BDE∽△BPC时，，即，
解得：a1，a2（舍去），
此时，点P的坐标为（，），
综上所述：当△BCP与△BDE相似时，点P的坐标为（1，）或（，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式和反比例函数的解析式即可；
（2）过点E作EF⊥OC于点G，根据三角形的面积公式分别求出S△BDE和S△ODE，再计算即可；
（3）过点P作PH⊥BC于点H，分两种情况：当△BDE∽△BCP时，当△BDE∽△BPC时，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可。
1 / 14.5《相似三角形的性质及应用》（2）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2025九上·顺德月考）如图，中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．9 D．8
2．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为 （ ）
A．16 B．8 C．2 D．1
3．（2025·凉州模拟）如图，D，E分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·郴州模拟）如图，在中，E为上一点，，与交于点F．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·福田模拟）如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·新昌期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ．
7．（2024九上·洞口期中），，，的面积为，则的面积为 ．
8．（2023九上·千山月考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
9．（2024九上·石家庄期中）如图，在中，D是边上一点，且，
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
10．（2024·浙江模拟）如图，在与中，，且．
（1）与相似吗？如果相似，请说明理由；
（2）连接，若B、D、E三点共线，记与的交点为H，若，的面积为20，试求的面积．
二、能力提升
11．（2024九上·昌平期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
12．（2025九上·义乌期中）如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，F为CD中点，则四边形OCFE的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
13．如图，过坐标原点的直线AB与两函数，的图象分别交于A，B两点，作轴于，连接BH交轴于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
14．（2025九上·义乌期中）点是△ABC的重心，若的面积等于6， .
15．（2025九上·福田开学考）如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
16．（2024九下·崇明期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 .
17．（2022九下·荷塘期中）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
18．（2025九上·钱塘期末）如图，在和中，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
19．（2024九上·莘县期中）如图，在中，D是边上一点，且满足，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的长．
20．（2024九上·奉化期中）如图：在中，经过内一点有一条弦，且，，过点另有一动弦，连结，，设，．
（1）写出关于的函数解析式．
（2）若时，求的值．
三、综合拓展
21．（2022九上·西安月考）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为.
（1）当为何值时，的面积为？
（2）为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似.
22．（2022·历城模拟）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于A（﹣2，0），图象过点B（4，n），BC⊥x轴于点C，已知tanB＝2，y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点E（a，2），点P是线段AB边上的动点．
（1）分别求直线AB的解析式和反比例函数的解析式；
（2）连接OD，OE，求的值；
（3）是否存在点P，使得△BCP与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点
∴DE∥BC，，即
∴△ADE∽△ABC
∴，即
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，，即，再根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△ABC，则，代值计算即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设另一个三角形的周长为x，
则
解得：x=8.
故另一个三角形的周长为8，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似比；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即的值为，
故答案为：C。
【分析】根据已知条件，可得，然后再根据 ，易得，最后再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入数据即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，故A选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴；故B选项结论错误，符合题意；
∵，
∴，故D选项结论正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，可得，，进而可得到，；由得到；证明，利用相似三角形的性质可判断B、D选项，据此即可判断
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：，，
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积之比为．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题．
7．【答案】36
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为：，
故答案为：36．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质可得，据此即可求出的面积.
8．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质即可求出答案.
（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
9．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∴的面积．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，再根据相似三角形性质即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∴的面积．
10．【答案】（1）解：与 相似，
理由：∵ ，
∴，
∵∠B=∠D，
∴∽（AA）.
（2）解：连接BD，如图所示：
由（1）可得：∽，
∴∠C=∠E，
∵∠BHC=∠AHE，
∴∽，
∵AE=2，BC=5，
∴S△BCH：S△AEH=25：4，
∵S△AEH=20，
∴∴S△BCH=S△AEH=S△AEH=×20=125.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据得出，结合∠B=∠D即可证明∽（AA）；
（2）根据相似三角形的性质得出∠C=∠E，根据对顶角相等证明∽，再根据相似三角形的性质即可得出结论.
（1）解：相似，理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：如图：
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵．
∴与的面积比为，
∵的面积为20，
∴的面积为125．
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，可得CD∥AB，所以△DEF∽△BAF，
又因为DE：EC=3：2，所以，所以．
故选：C．
【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
12．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，如下图，
矩形，，，对角线， 相交于点，
，对角线互相平分，
，.
是的中点，
.
，
，
，
.
和高相同，
，
.
，
，
.
是中点，
，
.
故答案为：C .
【分析】连接，过点作于点，利用相似三角形的性质得到，进而求出，再利用等底同高的性质求出面积即可求解.
13．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①由k值得意义知
故①正确，符合题意；
②过点B作BM⊥x轴于点M，则 Δ AOH∽ΔOBM
则，
故正确，符合题意；
③轴，
，则，故③错误，不符合题意；，
④，
则，
则，
，则，
故④正确，符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数与一次函数图象交点问题和反比例函数k的几何意义求出△AOH的面积，再证出△AOH∽△OBM，利用相似三角形的性质证出，再利用三角形的面积公式逐项分析判断即可.
14．【答案】12
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接DE，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴∠ABO=∠OED，∠BAO=∠ODE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴
∴，
又∵ED是△EBC的中线，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】连接DE，即可得到△OAB∽△ODE，然后根据对应边成比例得到，即可求出，，然后根据中线求出，然后计算四边形的面积即可.
15．【答案】
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设AC交EF于点H
由平移性质可得，AH∥DF，AD=BE
∴△EAH∽△EDF
∴
∵它们重合部分的面积是△DEF面积的
∴
∴
设AE=3k，DE=4k
∵AB=DE=6
∴4k=6
解得：
∴
故答案为：
【分析】设AC交EF于点H，根据平移性质可得AH∥DF，AD=BE，再根据相似三角形判定定理可得△EAH∽△EDF，则，再根据三角形面积可得，则，设AE=3k，DE=4k，根据边之间的关系建立方程，解方程可得k值，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点是的重心，
∴是的边上的中线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴故答案为：．
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点，重心将三角形的每条分中线分成2：1两部分（重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份），得是的边上的中线，且，从而得，，然后由相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出的值.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行可得，由对顶角相等可得，再利用中点的概念可证明，则AD=FC，再根据平行四边形的对边相等等量代换即可；
（2）先由平行四边形的对边平行且相等可证明，则相似比为，则，再由面积比等于相似比的平方可得，即得，则答案可解．
18．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）利用两角相等的两三角形相似解答；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
19．【答案】（1）证明：，，
.
（2）解：，
，
设，则，
，
，
由（1）知，
，
，
，
（负值舍去），
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）判断即可；
（2）设，则，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AD的长即可.
（1）证明：，，
；
（2）解：，
，
设，则，
，
，
由（1）知，
，
，
，
（负值舍去），
，
．
20．【答案】（1）解：y关于x的函数解析式为：；
（2）解：由题意可得：，
解得：或，
∴，或，，
∴或，
综上，的值为或4．
【知识点】函数解析式；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴；
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得出，，从而由有两组角对应相等的两个三角形全等证出，然后根据相似三角形的对应边成比例建立方程，进而可求出关于的函数解析式；
（2）已知，联立（1）的函数关系式，即可求得、的长，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴；
（2）解：由题意可得：，
解得：或，
∴，或，，
∴或，
综上，的值为或4．
21．【答案】（1）解：由题意知，，，
的面积为，
，
解得或，
，
时，的面积为；
（2）解：，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
解得或，
或时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，AQ=10-t，根据三角形的面积公式可得t的值，根据AP（2）当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，然后代入求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意得，AC＝6，
∵tanB＝2，
∴2，
∴BC＝3，
∴点B的坐标为（4，3），
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为：yx+1，
∵点E（a，2）在直线AB上，
∴a＝2，
∴点E的坐标为（2，2），
∴m＝4，
∴反比例函数的解析式为：y；
（2）解：过点E作EF⊥BD于F，EG⊥OC于G，
由题意得：BD＝2，EF＝2，EG＝2，CD＝1，
∴S△BDE2×2＝2，S△ODE2×2（1+2）×24×1＝3，
∴；
（3）解：过点P作PH⊥BC于H，
设点P的坐标为（a，a+1），
则BP，
由题意得：BE，
当△BDE∽△BCP时，，即，
解得：a1＝1，a2＝7（舍去），
此时，点P的坐标为（1，），
当△BDE∽△BPC时，，即，
解得：a1，a2（舍去），
此时，点P的坐标为（，），
综上所述：当△BCP与△BDE相似时，点P的坐标为（1，）或（，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式和反比例函数的解析式即可；
（2）过点E作EF⊥OC于点G，根据三角形的面积公式分别求出S△BDE和S△ODE，再计算即可；
（3）过点P作PH⊥BC于点H，分两种情况：当△BDE∽△BCP时，当△BDE∽△BPC时，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可。
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