4.5《相似三角形的性质及应用》（3）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2024九下·青秀开学考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
2．（2025·东莞模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
3．（2025·象州模拟）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ）
A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．2.5m
4．（2025九下·桂林月考）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm，则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是（ ）
A．4 B．4.25 C．4.5 D．5
5．（2025·红花岗模拟）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ．
6．（2025九上·婺城期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米．
7．（2024九上·济南期中）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为 米．
8．（2022·芜湖模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
9．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
二、能力提升
10．（2024九上·西峡期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点E、F分别在上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A． B． C． D．
11． 如图①是装了液体的长方体容器的主视图，将该容器绕底面的一条棱进行旋转倾斜后，液面恰好接触到容器口的边缘，如图②所示，此时液面的宽度AB为( )
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
12．（2024·高青模拟）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·福田模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
14．（2025·深圳模拟）某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为 m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈， cos53°≈，tan53°≈）．
15．（2023九上·宁津月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
16．（2024·眉山） 如图，内接于，点在上，平分交于，连结．若，，则的长为 ．
17．（2024九上·深圳期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离 米时，才能发现C处的儿童．
18．如图，在一座大厦(BC)前面30m的地面上，有一盏地灯A 照射大厦，身高为1.6m 的小亮(EF)站在大厦与灯之间.小亮从现在所处的位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m 的点 D 处时停下.
（1）在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC 上的影子.
（2）求出此时小亮在地灯照射下投在大厦BC 上的影长.
19．（2024九上·洞口期中）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
（1）求小明的身高；
（2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
三、综合拓展
20．（2025·罗湖模拟）【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
21．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：D．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出CD的长即可.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，米，
∴，
∴，
即两梯杆跨度、之间距离为米，
故选：B．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=5m，BC=10m，
∴AC=AB+BC=15m，
由题意知，BE⊥BC，CD⊥BC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，即，
∴h=2.7m，
故答案为：A．
【分析】先由线段和差算出AC=15m，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BE∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，
设火焰倒立的像的高度为，
则，
解得：，
即火焰倒立的像的高度是，
故答案为：C．
【分析】设火焰倒立的像的高度为，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】35
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；线段的中点；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵支柱经过的中点，
∴，
当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据线段的中点求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质计算求解即可.
6．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】
解：设米，米，
米，
由物理性质可得入射角等于反射角，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
∴，
即，
解得，即米．
故答案为：．
【分析】镜面相似相对简单，由于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两三角形相似。
7．【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴楼高为12米，
故答案为：12．
【分析】首先根据AA得出，进而得出，即，即可得出答案。
8．【答案】解：由题意，BD∥AC．
∴△BDE∽△ACE．
∴．
∴．
解得AC＝8．
答：井深AC的长为8米．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证明△BDE∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得，然后将数据代入计算可得AC＝8。
9．【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴，解得：，
即这个正方形零件的边长为，
故选：．
【分析】因为平行于三角形的一边且与另外两边分别相交所构成的三角形与原三角形相似，所以可以得到，接下来可设正方形的边长，即EF=x，利用相似的性质可搭建关于x的方程，解这个方程即可求得正方形的边长.
11．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥DE于E，
由题意可知：AC//BD，AB//DE，∠ACB=90°，BD=15cm，BC=6cm，BE=10cm，
∴∠CAB=∠ABD=∠BDE，∠ACB=∠BED=90°.
∴△ACB∽△DEB，
∴，即
解得：AB=9，
故答案为：B.
【分析】根据题意得出AC//BD，AB//DE，根据平行线得性质得出∠CAB=∠ABD=∠BDE，即可证明△ACB∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得答案.
12．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
13．【答案】B
【知识点】垂线的概念；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】
根据题意可得，，，，，从而可得，然后利用AA证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，解答即可.
14．【答案】1.2
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：
由题意得CB∥DO，
∴△ABC∽△AOD，
∴=，
∵∠CAB=53°，tan53°=，
∴tan∠CAB==，
∵AB=1.74m，
∴CB=2.32m，
∵四边形DGHO为长方形，
∴DO=GH=3.05m，OH=DG，
∴=，
则AO=2.2875m，
∵BH=AB=1.75m，
∴AH=3.5m，
则OH=AH-AO≈1.2m，
∴DG≈1.2m.
故答案为1.2.
【分析】本题主要对相似三角形的性质与应用进行考查；
过点D作DO⊥AH于点O，因为CB∥DO，可证明△ABC∽△AOD，所以有=，根据正切可计算CB=2.32m，进而得出 AO=2.2875m，再得到 AH=3.5m ，所以 DG=OH=AH-AO≈1.2m。
15．【答案】57.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：57.5．
【分析】根据题意得四边形是矩形，由矩形的性质得，，从而推出，进而根据相似三角形对应边成比例得，于是可求出，最后求的值即可.
16．【答案】8
【知识点】相似三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长，交于，
是的直径，
，
，
平分，
，
在△ADE和△ABD中
∴△ADE≌△ABD（ASA）
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
【分析】延长，交于，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=∠ADE=90°，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠DAE，利用ASA可证得△ADE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出DE的长，利用勾股定理求出AD的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BC的长.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。
18．【答案】（1）解：如图，DN 为小亮的位置，BM 为他在地灯照射下投在大厦BC上的影子.
（2）解：依题意，得△ADN∽△ABM，
∴ 此时小亮在地灯照射下投在大厦BC 上的影长是1.92m
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1） 小亮从原位置走到D处，此时D距离大厦5米，因此AD=30-5=25米，在图中，从A点沿直线向B方向走30米到达C，而D位于B点前方5米处，进而在图中画出影子BM即可；
（2）小亮在D处时，距离大厦5米，因此AD=30-5=25米，地灯A在地面，小亮身高为1.6米，其头顶到A的连线与大厦BC的交点即为影子顶端，由此形成相似三角形，通过对应边比值求解影长即可.
19．【答案】（1）解：根据题意，得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴小明的身高为米；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴小明的身影变短了，变短了米．
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例的性质求出的长即可；
（2）证明，根据相似三角形对应边成比例的性质求出的值，再作差即可.
（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高为米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影变短了，变短了米．
20．【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
21．【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
1 / 14.5《相似三角形的性质及应用》（3）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2024九下·青秀开学考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：D．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出CD的长即可.
2．（2025·东莞模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，米，
∴，
∴，
即两梯杆跨度、之间距离为米，
故选：B．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
3．（2025·象州模拟）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ）
A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．2.5m
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=5m，BC=10m，
∴AC=AB+BC=15m，
由题意知，BE⊥BC，CD⊥BC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，即，
∴h=2.7m，
故答案为：A．
【分析】先由线段和差算出AC=15m，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BE∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
4．（2025九下·桂林月考）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm，则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是（ ）
A．4 B．4.25 C．4.5 D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，
设火焰倒立的像的高度为，
则，
解得：，
即火焰倒立的像的高度是，
故答案为：C．
【分析】设火焰倒立的像的高度为，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
5．（2025·红花岗模拟）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ．
【答案】35
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；线段的中点；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵支柱经过的中点，
∴，
当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据线段的中点求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质计算求解即可.
6．（2025九上·婺城期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】
解：设米，米，
米，
由物理性质可得入射角等于反射角，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
∴，
即，
解得，即米．
故答案为：．
【分析】镜面相似相对简单，由于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两三角形相似。
7．（2024九上·济南期中）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为 米．
【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴楼高为12米，
故答案为：12．
【分析】首先根据AA得出，进而得出，即，即可得出答案。
8．（2022·芜湖模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
【答案】解：由题意，BD∥AC．
∴△BDE∽△ACE．
∴．
∴．
解得AC＝8．
答：井深AC的长为8米．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证明△BDE∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得，然后将数据代入计算可得AC＝8。
9．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
二、能力提升
10．（2024九上·西峡期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点E、F分别在上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴，解得：，
即这个正方形零件的边长为，
故选：．
【分析】因为平行于三角形的一边且与另外两边分别相交所构成的三角形与原三角形相似，所以可以得到，接下来可设正方形的边长，即EF=x，利用相似的性质可搭建关于x的方程，解这个方程即可求得正方形的边长.
11． 如图①是装了液体的长方体容器的主视图，将该容器绕底面的一条棱进行旋转倾斜后，液面恰好接触到容器口的边缘，如图②所示，此时液面的宽度AB为( )
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥DE于E，
由题意可知：AC//BD，AB//DE，∠ACB=90°，BD=15cm，BC=6cm，BE=10cm，
∴∠CAB=∠ABD=∠BDE，∠ACB=∠BED=90°.
∴△ACB∽△DEB，
∴，即
解得：AB=9，
故答案为：B.
【分析】根据题意得出AC//BD，AB//DE，根据平行线得性质得出∠CAB=∠ABD=∠BDE，即可证明△ACB∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得答案.
12．（2024·高青模拟）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
13．（2025·福田模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】
根据题意可得，，，，，从而可得，然后利用AA证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，解答即可.
14．（2025·深圳模拟）某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为 m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈， cos53°≈，tan53°≈）．
【答案】1.2
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：
由题意得CB∥DO，
∴△ABC∽△AOD，
∴=，
∵∠CAB=53°，tan53°=，
∴tan∠CAB==，
∵AB=1.74m，
∴CB=2.32m，
∵四边形DGHO为长方形，
∴DO=GH=3.05m，OH=DG，
∴=，
则AO=2.2875m，
∵BH=AB=1.75m，
∴AH=3.5m，
则OH=AH-AO≈1.2m，
∴DG≈1.2m.
故答案为1.2.
【分析】本题主要对相似三角形的性质与应用进行考查；
过点D作DO⊥AH于点O，因为CB∥DO，可证明△ABC∽△AOD，所以有=，根据正切可计算CB=2.32m，进而得出 AO=2.2875m，再得到 AH=3.5m ，所以 DG=OH=AH-AO≈1.2m。
15．（2023九上·宁津月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
【答案】57.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：57.5．
【分析】根据题意得四边形是矩形，由矩形的性质得，，从而推出，进而根据相似三角形对应边成比例得，于是可求出，最后求的值即可.
16．（2024·眉山） 如图，内接于，点在上，平分交于，连结．若，，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】相似三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长，交于，
是的直径，
，
，
平分，
，
在△ADE和△ABD中
∴△ADE≌△ABD（ASA）
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
【分析】延长，交于，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=∠ADE=90°，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠DAE，利用ASA可证得△ADE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出DE的长，利用勾股定理求出AD的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BC的长.
17．（2024九上·深圳期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离 米时，才能发现C处的儿童．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。
18．如图，在一座大厦(BC)前面30m的地面上，有一盏地灯A 照射大厦，身高为1.6m 的小亮(EF)站在大厦与灯之间.小亮从现在所处的位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m 的点 D 处时停下.
（1）在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC 上的影子.
（2）求出此时小亮在地灯照射下投在大厦BC 上的影长.
【答案】（1）解：如图，DN 为小亮的位置，BM 为他在地灯照射下投在大厦BC上的影子.
（2）解：依题意，得△ADN∽△ABM，
∴ 此时小亮在地灯照射下投在大厦BC 上的影长是1.92m
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1） 小亮从原位置走到D处，此时D距离大厦5米，因此AD=30-5=25米，在图中，从A点沿直线向B方向走30米到达C，而D位于B点前方5米处，进而在图中画出影子BM即可；
（2）小亮在D处时，距离大厦5米，因此AD=30-5=25米，地灯A在地面，小亮身高为1.6米，其头顶到A的连线与大厦BC的交点即为影子顶端，由此形成相似三角形，通过对应边比值求解影长即可.
19．（2024九上·洞口期中）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
（1）求小明的身高；
（2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】（1）解：根据题意，得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴小明的身高为米；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴小明的身影变短了，变短了米．
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例的性质求出的长即可；
（2）证明，根据相似三角形对应边成比例的性质求出的值，再作差即可.
（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高为米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影变短了，变短了米．
三、综合拓展
20．（2025·罗湖模拟）【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
21．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
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