4.5《相似三角形的性质及应用》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2024九下·宁波月考）如图所示，在中，点D是斜边AB的中点，点G是的重心，于点E，若，那么GE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连结BG并延长交AC与F点，
∵G点是三角形的重心，
∴BG=2FG，
∵EG⊥AC，
∴∠GEA=∠BCA=90°，
∴EG∥BC，
∴△FGE∽△FBC
∴==，
∵BC=6cm，
∴GE=2cm，
故答案为：B.
【分析】连结BG并延长交AC与F点，根据重心定理BG=2FG，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EG∥BC，再由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△FGE∽△FBC，进而根据相似三角形对应边，得到==，即可求解.
2．（2022九上·拱墅期中）如图，点G为的重心，连接并延长分别交于点E，F.连接，若.则的长度为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：连接EF，
∵点G为△ABC的重心，
∴点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，
∴，
故答案为：A.
【分析】三角形重心就是三角形三边中线的交点，据此得点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出，代入即可得出答案.
3．（2025九上·象山月考）如图，G是的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是和的重心，BC长为12，则PQ的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点I连接EI、DI
∵P、Q为△BCE和△BCD的重心
∴P在线段EI上，Q在线段DI上，且
∴
∵G为△ABC的重心
∴DE为△ABC的中位线
∴DE=
∴PQ=
故答案为：A.
【分析】取BC的中点I并连接EI、DI，由重心的性质知P、Q在EI和DI上，同时PQ=DE，由中位线定理知PQ=BC，由此可得PQ的长.
4．（2023九上·鹿城月考）如图，在中，为中线，G为重心，且，则 ．
【答案】6
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵在中，是中线，是重心，
∴，
∴
∵，
∴AD=3GD=2×3=6，
故答案为：6．
【分析】利用三角形重心的性质可得，再求出，最后结合求出AD的长即可.
5．（浙教版2019年数学中考模拟试卷7）如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 米.
【答案】1.4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得h＝1.4.
故答案为：1.4.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出，求解即可。
6．（2019九上·海宁开学考）如图， ，若 ， ，则 的长度是 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
解得：AC=9.
故答案为：9.
【分析】相似三角形的性质得出对应边成比例，即可得出AC的长度.
7．三角形三条边上的中线交于一点， 这个点叫三角形的重心． 如图， 点G为 的重心，求证：AD ．
【答案】证明：连结 如图．
点 是 的重心，
和 分别是 和 的中点，
是 的中位线，
且
．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】连接DE，由重心得DE为中位线，可得DE||AC，证明即可得AD=3DG.
8．（2022九上·温州期中）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．
【答案】解：∵△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，
∴15：（15+3）＝12：DE，
解得DE＝ ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得AB∶AD＝BC∶DE，然后将已知条件代入计算即可.
9．若两个相似三角形对应边上的中线长之比为3：1，则对应角的平分线长之比为( )
A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高线长之比为3：1，
∴这两个相似三角形对应边的比为3：1
∴这两个相似三角形对应角的角平分线的比为3：1
故答案为：C .
【分析】先根据相似三角形对应高线之比确定相似比，再依据相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，得出对应角的平分线之比.
10．如图，AD经过△ABC的重心，E是AC的中点，过点E作EG∥BC交AD于点G，若BC=12，则线段GE的长为( )
A．6 B．4 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AD经过△ABC的重心，
∴点D是BC中点，
∵BC=12，
∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∵点E是AC中点，
∴，即，
解得：GE=3，
故答案为：D.
【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到，从而求出 GE.
二、能力提升
11． 如图，在△ABC 中，BD，CE 分别为边AC，AB上的中线，BD⊥CE.若BD=3，CE=5，则△ABC 的面积为( )
A．20 B．16 C．15 D．10
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，设CE 与BD 交于点O.
∵ BD，CE 分别为边 AC，AB上的中线，
∴ O 是△ABC 的重心.
∵ BD为边 AC 上的中线，
∴S△ABC=2S△BDC=10.
故答案为：D .
【分析】设CE与BD交于点O，由题意可知点O是△ABC的重心，根据重心性质的概念和性质(三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍)得到，根据三角形面积公式求△BCD的面积，根据三角形的中线的性质(三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形)计算即可.
12．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
13．如图，点 在函数 的图象上， 轴于点 轴于点 ， 分别以 为边在矩形 的外侧构造矩形 ， 矩形 ， 直线 分别交 轴、 轴于点 ， 且 ． 若图中阴影部分的面积为 5 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
，，
设，，则
，，，，
矩形，，
，，，
，
阴影部分的面积为5，
，
，
点在函数的图象上，
，
．
故答案为：D.
【分析】通过得出，，利用矩形，根据数量关系得到，，最后代入解析式即可求解．
14． 如图， 在等边三角形 的边 上各取一点 ， 使 相交于点 ． 若 ， 则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°
在△ABM和△CAN中，
∴△ABM≌△CAN(SAS)
∴∠CAN=∠ABM
∵∠CAN+∠BAO=60°
∴ ∠BAO+∠ABM=60°
即∠AOM=60°
∵∠ AOM=∠ACN=60°，∠CAN=∠OAM
∴△ AOM~△ACN
∴，即
得AN=8
BM=AN=8，故BO=BM-OM=8-2=6
答案：B.
【分析】由AM=CN和等边三角形的性质可证得△ABM≌△CAN(SAS)，从而可证明得∠AOM=60°，再证明△ AOM~△ACN，利用相似三角形的性质求出AN，即可得BO的长.
15．（2024九上·海曙月考）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，则
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，如图所示：∵是的重心，延长交于点，延长交于点E，
∴AE=BE，AD=DC，
∴ED∥BC，，
又∵分别是和的重心，
∴，
∴PQ∥ED，，
∴，即；
故答案为．
【分析】连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，由题意易得ED∥BC，，PQ∥ED，，进而可求解．
16．（2024·嘉兴模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，把向上平移m个单位长度，对应得到，若反比例函数的图象经过的重心和点，则k的值为
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴中点坐标为 ，中点坐标为，
设 解析式为 ，解析式为，
将代入得，则，即 解析式为；
∵ ，，
∴，解得，则解析式为；
解，得，
∴的重心坐标为，
∵把向上平移m个单位长度， 对应得到，
∴，的重心为，
∵点B'与的重心都在反比例函数的图象上，
∴，解得：；
∴，
故答案为：．
【分析】先根据A、B两点的坐标，分别求得OB，AB两线段的中点C、D两点的坐标，设 解析式为 ，解析式为，将D点的坐标代入，求出其解析式，将A，C两点的坐标代入，求出其解析式，求出OD与AC的交点即为的重心，再根据平移方式确定的重心和点坐标，再代入反比例函数解析式求出m，就可求出k.
17．（2024·江北模拟）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时，则的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】如图所示，过点C作CG⊥DE，垂足为点G，
依题意得∠E=30°，∠B=45°，BC∥DE，
∴∠D=60°，在Rt△CDG中，∠DCG=30°，
∴设CD=2t，则DG=t，DE=4t，∠GAC=∠ACB=45°，
∴∠ACG=45°，AG=CG，
由勾股定理得AG=CG=，
，
同理，
∴AE=DE-AG-DG=3t-，
又∵BC∥DE，
即∠E=∠BCF，∠B=∠EAF，
∴，
∴，
故答案填：.
【分析】由目标比例与已知条件信息可以利用平行相似，进一步只需求出AE与BC，为进一步使用特殊角三边的比例关系，建议设小边进行逐一表示对应边.
18． 如图，在△ABC 中，D 是 BC 上的点，E 是AD上的点，且
（1） 求证：
（2） 若 E 是△ABC 的重心，求AC2 ： AD2的值.
【答案】（1）证明：∠ECA，
∴△BAD∽△ACE.
∴∠B=∠EAC.
又∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC.
（2）解：由(1)，知△BAD∽△ACE.
∴∠BDA=∠AEC.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE.
∵E 是△ABC 的重心，
∴ BD = CD，BC = 2BD = 2CD，
2CD2.
∵△BAD∽△ACE，
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
(2)利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，，进而得出△BAD∽△ACE，即可得出线段之间关系求出即可.
19． 如图， 等边三角形 的边长为 是 上一动点， ．
（1）求证： ．
（2） 当 ． 时， 求 的长．
【答案】（1）证明： 为等边三角形，
且
（2）由 (1) 知
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)由一线三角知再结合等边三角形的性质即可证明．
(2)结合相似比例即可得BE的长.
20． 如图， 在 中， 是角平分线， 点 分别在线段 上， 且 ．
（1）求证： ．
（2） 若 ， 且 ， 探索 和 之间的数量关系．
【答案】（1）证明： 是角平分线，
（2）解：
.
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)直接由角平分线和，再证明∠AFE=∠ADC，即可得．
(2)利用相似三角形对应边成比例和已知条件证明AE=AF，从而可得AC=AD，设AE=4k，即可得BE=2DF.
三、综合拓展
21．（2023·鄞州模拟）
（1）【基础巩固】
如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， AB=AD.
求证：∠ACB=∠ACD；
（2）【迁移运用】
如图2，在(1)的条件下，取AB的中点E，连结DE交AC于点F，若∠AFE=∠ACD，EF=2，求DF的长；
（3）【解决问题】
如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ADC =90°，在BC上取点E，使得DE=DC，恰有BE=AB.若AD=3，CE=6，求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△BAC≌△DAC（SAS），
∴∠ACB=∠ACD；
（2）解：如图，连结BD，
∵△ABD中，AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分BD，
又∵DE是△ABD中AB上的中线，
∴F是△ABD两中线的交点，即点F是△ABD的重心，
∴DF=2EF=4 ；
（3）解：如图，连接AC、BD，
∵AB=EB，BD=BD，DA=DC=DE，
∴△ABD≌△EBD（SSS），
∴∠BAD=∠BED，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠BED+∠DEC=180°，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ABC=90°，
设AB=EB=x，则BC=BE+EC=x+6，
由勾股定理得x2+（x+6）2=2×，
解得x=6（负值已舍），
∴AB=EB=6，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=×6×12+×=81.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC=∠DAC，从而用SAS证出△BAC≌△DAC，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠ACD；
（2）连结BD，根据等腰三角形的三线合一得AC垂直平分BD，进而可得点F是△ABD的重心，根据重心性质可得DF=2EF，从而可得答案；
（3）连接AC、BD，先利用SSS证△ABD≌△EBD，得∠BAD=∠BED，由等边对等角及邻补角定义推出∠DAB+∠BCD=180°，由四边形的内角和定理得∠ABC=90°，设AB=EB=x，则BC=BE+EC=x+6，由勾股定理得AB2+BC2=AC2=AD2+CD2，据此建立方程求出x的值，进而根据割补法并结合三角形的面积计算方法，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC列式计算即可.
22．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）概念理解：
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？
（3）拓展应用：
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．
【答案】（1）【解答】解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）【解答】
①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；
②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；
（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；
（III）当A′C′=BC′=时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′=x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（）2，
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），
∴BB′=x=
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，
设B′D=BD=x，
则x2+（x+1）2=22，
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=；
（3）【解答】
BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，
∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，==1，
∴△ACF∽△ABD，
∴==，∴BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，
∴BC2+CD2=2BD2．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
1 / 14.5《相似三角形的性质及应用》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2024九下·宁波月考）如图所示，在中，点D是斜边AB的中点，点G是的重心，于点E，若，那么GE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．（2022九上·拱墅期中）如图，点G为的重心，连接并延长分别交于点E，F.连接，若.则的长度为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2.2 D．2.4
3．（2025九上·象山月考）如图，G是的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是和的重心，BC长为12，则PQ的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
4．（2023九上·鹿城月考）如图，在中，为中线，G为重心，且，则 ．
5．（浙教版2019年数学中考模拟试卷7）如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 米.
6．（2019九上·海宁开学考）如图， ，若 ， ，则 的长度是 .
7．三角形三条边上的中线交于一点， 这个点叫三角形的重心． 如图， 点G为 的重心，求证：AD ．
8．（2022九上·温州期中）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．
9．若两个相似三角形对应边上的中线长之比为3：1，则对应角的平分线长之比为( )
A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．：1
10．如图，AD经过△ABC的重心，E是AC的中点，过点E作EG∥BC交AD于点G，若BC=12，则线段GE的长为( )
A．6 B．4 C．5 D．3
二、能力提升
11． 如图，在△ABC 中，BD，CE 分别为边AC，AB上的中线，BD⊥CE.若BD=3，CE=5，则△ABC 的面积为( )
A．20 B．16 C．15 D．10
12．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
13．如图，点 在函数 的图象上， 轴于点 轴于点 ， 分别以 为边在矩形 的外侧构造矩形 ， 矩形 ， 直线 分别交 轴、 轴于点 ， 且 ． 若图中阴影部分的面积为 5 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
14． 如图， 在等边三角形 的边 上各取一点 ， 使 相交于点 ． 若 ， 则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
15．（2024九上·海曙月考）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，则
16．（2024·嘉兴模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，把向上平移m个单位长度，对应得到，若反比例函数的图象经过的重心和点，则k的值为
17．（2024·江北模拟）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时，则的值为 ．
18． 如图，在△ABC 中，D 是 BC 上的点，E 是AD上的点，且
（1） 求证：
（2） 若 E 是△ABC 的重心，求AC2 ： AD2的值.
19． 如图， 等边三角形 的边长为 是 上一动点， ．
（1）求证： ．
（2） 当 ． 时， 求 的长．
20． 如图， 在 中， 是角平分线， 点 分别在线段 上， 且 ．
（1）求证： ．
（2） 若 ， 且 ， 探索 和 之间的数量关系．
三、综合拓展
21．（2023·鄞州模拟）
（1）【基础巩固】
如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， AB=AD.
求证：∠ACB=∠ACD；
（2）【迁移运用】
如图2，在(1)的条件下，取AB的中点E，连结DE交AC于点F，若∠AFE=∠ACD，EF=2，求DF的长；
（3）【解决问题】
如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ADC =90°，在BC上取点E，使得DE=DC，恰有BE=AB.若AD=3，CE=6，求四边形ABCD的面积.
22．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）概念理解：
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？
（3）拓展应用：
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连结BG并延长交AC与F点，
∵G点是三角形的重心，
∴BG=2FG，
∵EG⊥AC，
∴∠GEA=∠BCA=90°，
∴EG∥BC，
∴△FGE∽△FBC
∴==，
∵BC=6cm，
∴GE=2cm，
故答案为：B.
【分析】连结BG并延长交AC与F点，根据重心定理BG=2FG，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EG∥BC，再由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△FGE∽△FBC，进而根据相似三角形对应边，得到==，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：连接EF，
∵点G为△ABC的重心，
∴点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，
∴，
故答案为：A.
【分析】三角形重心就是三角形三边中线的交点，据此得点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出，代入即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点I连接EI、DI
∵P、Q为△BCE和△BCD的重心
∴P在线段EI上，Q在线段DI上，且
∴
∵G为△ABC的重心
∴DE为△ABC的中位线
∴DE=
∴PQ=
故答案为：A.
【分析】取BC的中点I并连接EI、DI，由重心的性质知P、Q在EI和DI上，同时PQ=DE，由中位线定理知PQ=BC，由此可得PQ的长.
4．【答案】6
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵在中，是中线，是重心，
∴，
∴
∵，
∴AD=3GD=2×3=6，
故答案为：6．
【分析】利用三角形重心的性质可得，再求出，最后结合求出AD的长即可.
5．【答案】1.4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得h＝1.4.
故答案为：1.4.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出，求解即可。
6．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
解得：AC=9.
故答案为：9.
【分析】相似三角形的性质得出对应边成比例，即可得出AC的长度.
7．【答案】证明：连结 如图．
点 是 的重心，
和 分别是 和 的中点，
是 的中位线，
且
．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】连接DE，由重心得DE为中位线，可得DE||AC，证明即可得AD=3DG.
8．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，
∴15：（15+3）＝12：DE，
解得DE＝ ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得AB∶AD＝BC∶DE，然后将已知条件代入计算即可.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高线长之比为3：1，
∴这两个相似三角形对应边的比为3：1
∴这两个相似三角形对应角的角平分线的比为3：1
故答案为：C .
【分析】先根据相似三角形对应高线之比确定相似比，再依据相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，得出对应角的平分线之比.
10．【答案】D
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AD经过△ABC的重心，
∴点D是BC中点，
∵BC=12，
∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∵点E是AC中点，
∴，即，
解得：GE=3，
故答案为：D.
【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到，从而求出 GE.
11．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，设CE 与BD 交于点O.
∵ BD，CE 分别为边 AC，AB上的中线，
∴ O 是△ABC 的重心.
∵ BD为边 AC 上的中线，
∴S△ABC=2S△BDC=10.
故答案为：D .
【分析】设CE与BD交于点O，由题意可知点O是△ABC的重心，根据重心性质的概念和性质(三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍)得到，根据三角形面积公式求△BCD的面积，根据三角形的中线的性质(三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形)计算即可.
12．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
13．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
，，
设，，则
，，，，
矩形，，
，，，
，
阴影部分的面积为5，
，
，
点在函数的图象上，
，
．
故答案为：D.
【分析】通过得出，，利用矩形，根据数量关系得到，，最后代入解析式即可求解．
14．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°
在△ABM和△CAN中，
∴△ABM≌△CAN(SAS)
∴∠CAN=∠ABM
∵∠CAN+∠BAO=60°
∴ ∠BAO+∠ABM=60°
即∠AOM=60°
∵∠ AOM=∠ACN=60°，∠CAN=∠OAM
∴△ AOM~△ACN
∴，即
得AN=8
BM=AN=8，故BO=BM-OM=8-2=6
答案：B.
【分析】由AM=CN和等边三角形的性质可证得△ABM≌△CAN(SAS)，从而可证明得∠AOM=60°，再证明△ AOM~△ACN，利用相似三角形的性质求出AN，即可得BO的长.
15．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，如图所示：∵是的重心，延长交于点，延长交于点E，
∴AE=BE，AD=DC，
∴ED∥BC，，
又∵分别是和的重心，
∴，
∴PQ∥ED，，
∴，即；
故答案为．
【分析】连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，由题意易得ED∥BC，，PQ∥ED，，进而可求解．
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴中点坐标为 ，中点坐标为，
设 解析式为 ，解析式为，
将代入得，则，即 解析式为；
∵ ，，
∴，解得，则解析式为；
解，得，
∴的重心坐标为，
∵把向上平移m个单位长度， 对应得到，
∴，的重心为，
∵点B'与的重心都在反比例函数的图象上，
∴，解得：；
∴，
故答案为：．
【分析】先根据A、B两点的坐标，分别求得OB，AB两线段的中点C、D两点的坐标，设 解析式为 ，解析式为，将D点的坐标代入，求出其解析式，将A，C两点的坐标代入，求出其解析式，求出OD与AC的交点即为的重心，再根据平移方式确定的重心和点坐标，再代入反比例函数解析式求出m，就可求出k.
17．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】如图所示，过点C作CG⊥DE，垂足为点G，
依题意得∠E=30°，∠B=45°，BC∥DE，
∴∠D=60°，在Rt△CDG中，∠DCG=30°，
∴设CD=2t，则DG=t，DE=4t，∠GAC=∠ACB=45°，
∴∠ACG=45°，AG=CG，
由勾股定理得AG=CG=，
，
同理，
∴AE=DE-AG-DG=3t-，
又∵BC∥DE，
即∠E=∠BCF，∠B=∠EAF，
∴，
∴，
故答案填：.
【分析】由目标比例与已知条件信息可以利用平行相似，进一步只需求出AE与BC，为进一步使用特殊角三边的比例关系，建议设小边进行逐一表示对应边.
18．【答案】（1）证明：∠ECA，
∴△BAD∽△ACE.
∴∠B=∠EAC.
又∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC.
（2）解：由(1)，知△BAD∽△ACE.
∴∠BDA=∠AEC.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE.
∵E 是△ABC 的重心，
∴ BD = CD，BC = 2BD = 2CD，
2CD2.
∵△BAD∽△ACE，
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
(2)利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，，进而得出△BAD∽△ACE，即可得出线段之间关系求出即可.
19．【答案】（1）证明： 为等边三角形，
且
（2）由 (1) 知
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)由一线三角知再结合等边三角形的性质即可证明．
(2)结合相似比例即可得BE的长.
20．【答案】（1）证明： 是角平分线，
（2）解：
.
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)直接由角平分线和，再证明∠AFE=∠ADC，即可得．
(2)利用相似三角形对应边成比例和已知条件证明AE=AF，从而可得AC=AD，设AE=4k，即可得BE=2DF.
21．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△BAC≌△DAC（SAS），
∴∠ACB=∠ACD；
（2）解：如图，连结BD，
∵△ABD中，AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分BD，
又∵DE是△ABD中AB上的中线，
∴F是△ABD两中线的交点，即点F是△ABD的重心，
∴DF=2EF=4 ；
（3）解：如图，连接AC、BD，
∵AB=EB，BD=BD，DA=DC=DE，
∴△ABD≌△EBD（SSS），
∴∠BAD=∠BED，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠BED+∠DEC=180°，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ABC=90°，
设AB=EB=x，则BC=BE+EC=x+6，
由勾股定理得x2+（x+6）2=2×，
解得x=6（负值已舍），
∴AB=EB=6，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=×6×12+×=81.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC=∠DAC，从而用SAS证出△BAC≌△DAC，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠ACD；
（2）连结BD，根据等腰三角形的三线合一得AC垂直平分BD，进而可得点F是△ABD的重心，根据重心性质可得DF=2EF，从而可得答案；
（3）连接AC、BD，先利用SSS证△ABD≌△EBD，得∠BAD=∠BED，由等边对等角及邻补角定义推出∠DAB+∠BCD=180°，由四边形的内角和定理得∠ABC=90°，设AB=EB=x，则BC=BE+EC=x+6，由勾股定理得AB2+BC2=AC2=AD2+CD2，据此建立方程求出x的值，进而根据割补法并结合三角形的面积计算方法，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC列式计算即可.
22．【答案】（1）【解答】解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）【解答】
①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；
②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；
（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；
（III）当A′C′=BC′=时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′=x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（）2，
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），
∴BB′=x=
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，
设B′D=BD=x，
则x2+（x+1）2=22，
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=；
（3）【解答】
BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，
∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，==1，
∴△ACF∽△ABD，
∴==，∴BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，
∴BC2+CD2=2BD2．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
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