4.6《相似多边形》---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2021九上·普陀月考）用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（ ）
A．放大后，边长是原来的2倍
B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵放大前后的菱形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，B符合题意，
故答案为：B．
【分析】由于放大前后的菱形相似，根据相似图形的性质解答即可.
2．（2024九上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形
B．矩形都是相似图形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；相似多边形
【解析】【解答】解：A、当对应角不相等时，菱形不是相似图形，故原选项错误，不符合题意；
B、当对应边不成比例时，矩形不是相似图形，故原选项错误，不符合题意；
C、“对角线相等的菱形是正方形”说法正确，符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故原选项错误，不符合题意.
故答案为：C ．
【分析】“形状相同，对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形”据此可判断A、B选项；根据正方形的判定方法“对角线相等的菱形是正方形”可判断C选项；根据菱形的判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判断D选项.
3．下图所示的三个矩形中，相似的是( )
A．甲与乙 B．乙与丙
C．甲与丙 D．甲乙丙都相似
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：甲、乙、丙的邻边之比分别为： 3：4， 1：2， 1：2
∴相似的是乙与丙，
故答案为：B.
【分析】分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可.
4．如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为( )
A．：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为
∵小矩形与原矩形相似，
故答案为：B.
【分析】设原矩形ABCD的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与宽之比.
5．（2017九上·长春月考）两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】相似多边形的周长的比是1：3，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：3，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：9；
故答案为：1：9.
【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方可求解。
6．（2024九上·市中区期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由相似多边形的性质可知，，
∴，解得，，
故答案为：．
【分析】根据相似图形性质即可求出答案.
7．（2024九上·衡阳期中）如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 ．
【答案】87°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠A=∠A'=138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠α=360°-∠A-∠B-∠C =360°-60°-138°-75°=87°．
故答案为87°．
【分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∠A的度数，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠α的度数．
8．（2024九上·郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为
【答案】
【知识点】比例线段；相似多边形
【解析】【解答】解：由题意，，，，
∵矩形∽矩形，
∴，
∴ ，
解得，
【分析】由矩形∽矩形，得到，代入数据求解即可.
9．如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.
（1）求的度数.
（2）求边的长度.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠C=∠C'=135°
∴∠B=360°-∠A-∠C-∠D=360°-60°-135°-96°=69°.
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴得
解得.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）相似多边形对应角相等，由此得，∠C=∠C'=135°，所以进而根据四边形的内角和定理可求出∠B的度数；
（2）相似多边形对应边成比例，由此得，，从而代入计算可得答案.
10．（2017九下·钦州港期中）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
【答案】（1）解：若设AD＝x(x＞0)，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ ＝ .
∴ ＝ ，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4 .
（2）解：矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为： ＝ .
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】本题考查相似多边形的性质，对应边的比相等.矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；相似比即为是对应边的比.
二、能力提升
11．（2025九上·兰溪月考）如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的，则FO：EO的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点F，B作AD的垂线，垂足分别为G，H，
∴FG//HB
∵平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的
∴，即
∵四边形ABCD，ADEF是平行四边形，
∴AD//EF//BC，AB//CD，DE=AF
∴△AGF∽△AHB
∴
设AF=a，则AB=4a，
∴DE=AF=a，EC=FB=DC-DE=3a，
∵AB//CD，
∴△AFO∽△CEO
∴
故答案为：C.
【分析】根据题意得出，进而证明△AFO∽△CEO，根据相似三角形的性质，即可求解.
12．（2025·达州模拟）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似多边形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴，
∴，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍去），
∴AB＝9，
故答案为：B．
【分析】连接AC，根据菱形ABCD∽菱形AEFG，可得出△ABC是等边三角形，再根据AA证得△BGH∽△CAG，推出，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，即可构建方程，求方程的解即可。
13．（2025八下·深圳期末） 如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：由题意知：GH=，HN=，
∵ 矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴2AB2+AD.AB-AD2=0
∴（2AB-AD)(AB+AD)=0，
∵AB+AD≠0，
∴2AB-AD=0，
∴2AB=AD，
∴.
故答案为：A .
【分析】首先根据题意，可得出：GH=，HN=，然后根据相似多边形的性质，可得出，整理为：（2AB-AD)(AB+AD)=0，进而得出2AB-AD=0，进一步即可得出.
14．如图，六边形ABCDEF六边形GHI-JKL，相似比为2：1，则下列结论中正确的是( )
A．∠B=2∠K
B．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
C．BC=2HI
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 故本选项错误；
B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 故本选项错误；
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， 故本选项正确；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可.
15．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。
∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案为：a=2b。
【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。
16．如图，小莉用灯泡照射一个与墙面平行的矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子．现测得，，纸片ABCD的面积为，则影子的面积为 ．
【答案】50
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵ 小莉用灯泡照射一个与墙面平行的矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子
∴矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是位似图形，
∴，
∴S矩形ABCD：S矩形A'B'C'D'=4：25，
∵ 纸片ABCD的面积为，
∴ 影子的面积为cm2.
故答案为：50.
【分析】利用已知条件可证得矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是位似图形，可求出两个矩形的相似比，利用相似的两个矩形的面积比等于相似比的平方，可求出影子矩形的面积.
17．（2024九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，
∴.
∵矩形AFED与原矩形ABCD相似，
∴，
∴
故
故答案为：.
【分析】根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， 知道小矩形与大矩形的面积比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可以得到相似比，从而可得长边与短边的比值.
18．（2023九上·余江期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似多边形
【解析】【解答】根据图形可得：AB=，EF=，
∵ 四边形与四边形相似，
∴，
∵四边形的面积是 ，
∴四边形EFGH的面积=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出AB和EF，再利用相似多边形的性质可得，最后将数据代入求出四边形EFGH的面积=即可.
19．如图所示，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD分别为它们的短边，点在AB上，.
（1）求证：.
（2）若两个矩形的面积之和为，求矩形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：矩形矩形ABCD，
即
；
（2）解：∵
∴，∴，
∴，
解得=450（）
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证两个角相等，可以用全等和相似，和本题中∠1和∠2明显不在两个全等三角形中，因此考虑相似；由两矩形相似得到从而得出在三角形ADE和三角形ABG中，两边成比例且夹角相等，，由此得出∠1=∠2；
（2）相似图形得面积比等于相似比得平方，题目已知两个矩形相似比为，因此面积比为，已知面积之和为可得出=450（）.
20．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确.
命题①：各条边成比例的两个凸四边形相似.
命题②：三个角分别相等的两个凸四边形相似.
命题③：两个大小不同的正方形相似.
命题①为 命题，命题②为 命题，命题③为 命题.(填“真”或“假”)
（2）如图所示，在四边形ABCD和四边形中，.求证：四边形ABCD与四边形相似.
【答案】（1）假；假；真
（2）证明：连接BD，B'D'
∵
∴，
∴，∠DBC=∠D'B'C'，
又 ∠ABC=∠A'B'C'，
∴，
∴，
∴∠A=∠A'，，
∴∠D=∠D'，
又 ∠ABC=∠A'B'C'，∠C=∠C'，∠ADC=∠A'D'C'，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.
【知识点】相似多边形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）两个角不同的菱形对应边成比例，但不相似，故命题①为假命题；
一个正方形和一个矩形对应角相等，但不相似，故命题②为假命题；
任意两个正方形对应边成比例，对应角相等，因此任意两个正方形都相似，故命题③为真命题；
故答案为：假；假；真；
【分析】（1）根据四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，假命题只需举反例即可；命题①举例菱形作为反例；命题②举一个矩形和正方形的反例即可；命题③直接根据定义可证得是真命题；
（2）要证明两个四边形相似，题目已知三边对应成比例、两个角相等，因此只需要证明第四边也对应成比例、另外两个角相等；由此需要构造相似三角形，连接BD和B'D'，两边对应成比例且夹角相等，得，，由此进一步得到，从而得到第四条边也对应成比例，∠A=∠A'，两四边形有三个角对应相等，那么第四个角也对应相等，由此，两个四边形四个角分别相等、四条边成比例，因此四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.
三、综合拓展
21．（2023九上·市南区期中）已知：如图，在中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为：若设运动的时间为，解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）如图①，连接，当为何值时，并说明理由；
（2）如图②，当点运动时，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点运动时，线段上是否存在一点，使得四边形为荾形？若存在，试求出长：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，，，
由运动知，，，
，，，；
（2）解：存在，
理由：如图②，
由运动知，，，
点在的垂直平分线上，过点作，
，
，，，，．
（3）解：不存在，
理由：由运动知，，
假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
平行四边形不可能是菱形．
即：线段上不存在一点，使得四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似多边形
【解析】【分析】(1)首先根据勾股定理求得AB=6cm，然后根据相似三角形的性质，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（2） 过点作， 首先根据PM垂直平分CQ，表示求出QM和CM的长度，然后再根据平行线分线段成比例，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（3） 不存在， 首先根据平行四边形的性质建立方程，求出求出t的值，然后判断在此条件下，PQ≠PB，故而得出四边形不可能为菱形．
22．（2025九下·灌南月考）综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘，某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习．
【阅读资料】
纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感．
图1 图2 图3
【初探结论】
（1）如图1，设，求纸的长与宽的比值；
【作图再探】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点E作交于点G．试说明点G为边的中点；
【拓展应用】
（3）如图3，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．试探究线段与的数量关系与位置关系．
【答案】解：（1）设．
∵，矩形矩形，
∴，，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G为边的中点．
（3）连接交于点O，如下图：
由翻折变换的性质可知，
设，
在中，，
即
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）设．由矩形的对边相等可得，由线段中点定义可得，再根据矩形矩形的性质可得比例式，结合比例式可将x用含a的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解；
（2）根据矩形的性质“矩形的每一个角都是直角”以及直角三角形两锐角互余可得∠A=∠D，∠ABE=∠DEG，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可将DG用含a的代数式表示出来，根据计算得DG=CG即可判断点G为边的中点；
（3）连接交于点O，设，在中，用勾股定理可得关于y的方程，解方程将y用含a的代数式表示出来，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△ABE∽△DAC，由相似三角形的对应角相等可得∠ABE=∠DAC，结合已知易得，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可求解．
1 / 14.6《相似多边形》---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2021九上·普陀月考）用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（ ）
A．放大后，边长是原来的2倍
B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
2．（2024九上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形
B．矩形都是相似图形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．下图所示的三个矩形中，相似的是( )
A．甲与乙 B．乙与丙
C．甲与丙 D．甲乙丙都相似
4．如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为( )
A．：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
5．（2017九上·长春月考）两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为 ．
6．（2024九上·市中区期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ．
7．（2024九上·衡阳期中）如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 ．
8．（2024九上·郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为
9．如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.
（1）求的度数.
（2）求边的长度.
10．（2017九下·钦州港期中）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
二、能力提升
11．（2025九上·兰溪月考）如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的，则FO：EO的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·达州模拟）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．8 B．9 C． D．
13．（2025八下·深圳期末） 如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，六边形ABCDEF六边形GHI-JKL，相似比为2：1，则下列结论中正确的是( )
A．∠B=2∠K
B．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
C．BC=2HI
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
15．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是 ．
16．如图，小莉用灯泡照射一个与墙面平行的矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子．现测得，，纸片ABCD的面积为，则影子的面积为 ．
17．（2024九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
18．（2023九上·余江期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ．
19．如图所示，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD分别为它们的短边，点在AB上，.
（1）求证：.
（2）若两个矩形的面积之和为，求矩形ABCD的面积.
20．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确.
命题①：各条边成比例的两个凸四边形相似.
命题②：三个角分别相等的两个凸四边形相似.
命题③：两个大小不同的正方形相似.
命题①为 命题，命题②为 命题，命题③为 命题.(填“真”或“假”)
（2）如图所示，在四边形ABCD和四边形中，.求证：四边形ABCD与四边形相似.
三、综合拓展
21．（2023九上·市南区期中）已知：如图，在中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为：若设运动的时间为，解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）如图①，连接，当为何值时，并说明理由；
（2）如图②，当点运动时，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点运动时，线段上是否存在一点，使得四边形为荾形？若存在，试求出长：若不存在，请说明理由．
22．（2025九下·灌南月考）综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘，某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习．
【阅读资料】
纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感．
图1 图2 图3
【初探结论】
（1）如图1，设，求纸的长与宽的比值；
【作图再探】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点E作交于点G．试说明点G为边的中点；
【拓展应用】
（3）如图3，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．试探究线段与的数量关系与位置关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵放大前后的菱形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，B符合题意，
故答案为：B．
【分析】由于放大前后的菱形相似，根据相似图形的性质解答即可.
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定；正方形的判定；相似多边形
【解析】【解答】解：A、当对应角不相等时，菱形不是相似图形，故原选项错误，不符合题意；
B、当对应边不成比例时，矩形不是相似图形，故原选项错误，不符合题意；
C、“对角线相等的菱形是正方形”说法正确，符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故原选项错误，不符合题意.
故答案为：C ．
【分析】“形状相同，对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形”据此可判断A、B选项；根据正方形的判定方法“对角线相等的菱形是正方形”可判断C选项；根据菱形的判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：甲、乙、丙的邻边之比分别为： 3：4， 1：2， 1：2
∴相似的是乙与丙，
故答案为：B.
【分析】分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可.
4．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为
∵小矩形与原矩形相似，
故答案为：B.
【分析】设原矩形ABCD的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与宽之比.
5．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】相似多边形的周长的比是1：3，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：3，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：9；
故答案为：1：9.
【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方可求解。
6．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由相似多边形的性质可知，，
∴，解得，，
故答案为：．
【分析】根据相似图形性质即可求出答案.
7．【答案】87°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠A=∠A'=138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠α=360°-∠A-∠B-∠C =360°-60°-138°-75°=87°．
故答案为87°．
【分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∠A的度数，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠α的度数．
8．【答案】
【知识点】比例线段；相似多边形
【解析】【解答】解：由题意，，，，
∵矩形∽矩形，
∴，
∴ ，
解得，
【分析】由矩形∽矩形，得到，代入数据求解即可.
9．【答案】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠C=∠C'=135°
∴∠B=360°-∠A-∠C-∠D=360°-60°-135°-96°=69°.
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴得
解得.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）相似多边形对应角相等，由此得，∠C=∠C'=135°，所以进而根据四边形的内角和定理可求出∠B的度数；
（2）相似多边形对应边成比例，由此得，，从而代入计算可得答案.
10．【答案】（1）解：若设AD＝x(x＞0)，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ ＝ .
∴ ＝ ，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4 .
（2）解：矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为： ＝ .
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】本题考查相似多边形的性质，对应边的比相等.矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；相似比即为是对应边的比.
11．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点F，B作AD的垂线，垂足分别为G，H，
∴FG//HB
∵平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的
∴，即
∵四边形ABCD，ADEF是平行四边形，
∴AD//EF//BC，AB//CD，DE=AF
∴△AGF∽△AHB
∴
设AF=a，则AB=4a，
∴DE=AF=a，EC=FB=DC-DE=3a，
∵AB//CD，
∴△AFO∽△CEO
∴
故答案为：C.
【分析】根据题意得出，进而证明△AFO∽△CEO，根据相似三角形的性质，即可求解.
12．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似多边形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴，
∴，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍去），
∴AB＝9，
故答案为：B．
【分析】连接AC，根据菱形ABCD∽菱形AEFG，可得出△ABC是等边三角形，再根据AA证得△BGH∽△CAG，推出，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，即可构建方程，求方程的解即可。
13．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：由题意知：GH=，HN=，
∵ 矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴2AB2+AD.AB-AD2=0
∴（2AB-AD)(AB+AD)=0，
∵AB+AD≠0，
∴2AB-AD=0，
∴2AB=AD，
∴.
故答案为：A .
【分析】首先根据题意，可得出：GH=，HN=，然后根据相似多边形的性质，可得出，整理为：（2AB-AD)(AB+AD)=0，进而得出2AB-AD=0，进一步即可得出.
14．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 故本选项错误；
B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 故本选项错误；
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， 故本选项正确；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可.
15．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。
∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案为：a=2b。
【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。
16．【答案】50
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵ 小莉用灯泡照射一个与墙面平行的矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子
∴矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是位似图形，
∴，
∴S矩形ABCD：S矩形A'B'C'D'=4：25，
∵ 纸片ABCD的面积为，
∴ 影子的面积为cm2.
故答案为：50.
【分析】利用已知条件可证得矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是位似图形，可求出两个矩形的相似比，利用相似的两个矩形的面积比等于相似比的平方，可求出影子矩形的面积.
17．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，
∴.
∵矩形AFED与原矩形ABCD相似，
∴，
∴
故
故答案为：.
【分析】根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， 知道小矩形与大矩形的面积比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可以得到相似比，从而可得长边与短边的比值.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；相似多边形
【解析】【解答】根据图形可得：AB=，EF=，
∵ 四边形与四边形相似，
∴，
∵四边形的面积是 ，
∴四边形EFGH的面积=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出AB和EF，再利用相似多边形的性质可得，最后将数据代入求出四边形EFGH的面积=即可.
19．【答案】（1）证明：矩形矩形ABCD，
即
；
（2）解：∵
∴，∴，
∴，
解得=450（）
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证两个角相等，可以用全等和相似，和本题中∠1和∠2明显不在两个全等三角形中，因此考虑相似；由两矩形相似得到从而得出在三角形ADE和三角形ABG中，两边成比例且夹角相等，，由此得出∠1=∠2；
（2）相似图形得面积比等于相似比得平方，题目已知两个矩形相似比为，因此面积比为，已知面积之和为可得出=450（）.
20．【答案】（1）假；假；真
（2）证明：连接BD，B'D'
∵
∴，
∴，∠DBC=∠D'B'C'，
又 ∠ABC=∠A'B'C'，
∴，
∴，
∴∠A=∠A'，，
∴∠D=∠D'，
又 ∠ABC=∠A'B'C'，∠C=∠C'，∠ADC=∠A'D'C'，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.
【知识点】相似多边形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）两个角不同的菱形对应边成比例，但不相似，故命题①为假命题；
一个正方形和一个矩形对应角相等，但不相似，故命题②为假命题；
任意两个正方形对应边成比例，对应角相等，因此任意两个正方形都相似，故命题③为真命题；
故答案为：假；假；真；
【分析】（1）根据四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，假命题只需举反例即可；命题①举例菱形作为反例；命题②举一个矩形和正方形的反例即可；命题③直接根据定义可证得是真命题；
（2）要证明两个四边形相似，题目已知三边对应成比例、两个角相等，因此只需要证明第四边也对应成比例、另外两个角相等；由此需要构造相似三角形，连接BD和B'D'，两边对应成比例且夹角相等，得，，由此进一步得到，从而得到第四条边也对应成比例，∠A=∠A'，两四边形有三个角对应相等，那么第四个角也对应相等，由此，两个四边形四个角分别相等、四条边成比例，因此四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.
21．【答案】（1）解：在中，，，
由运动知，，，
，，，；
（2）解：存在，
理由：如图②，
由运动知，，，
点在的垂直平分线上，过点作，
，
，，，，．
（3）解：不存在，
理由：由运动知，，
假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
平行四边形不可能是菱形．
即：线段上不存在一点，使得四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似多边形
【解析】【分析】(1)首先根据勾股定理求得AB=6cm，然后根据相似三角形的性质，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（2） 过点作， 首先根据PM垂直平分CQ，表示求出QM和CM的长度，然后再根据平行线分线段成比例，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（3） 不存在， 首先根据平行四边形的性质建立方程，求出求出t的值，然后判断在此条件下，PQ≠PB，故而得出四边形不可能为菱形．
22．【答案】解：（1）设．
∵，矩形矩形，
∴，，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G为边的中点．
（3）连接交于点O，如下图：
由翻折变换的性质可知，
设，
在中，，
即
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）设．由矩形的对边相等可得，由线段中点定义可得，再根据矩形矩形的性质可得比例式，结合比例式可将x用含a的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解；
（2）根据矩形的性质“矩形的每一个角都是直角”以及直角三角形两锐角互余可得∠A=∠D，∠ABE=∠DEG，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可将DG用含a的代数式表示出来，根据计算得DG=CG即可判断点G为边的中点；
（3）连接交于点O，设，在中，用勾股定理可得关于y的方程，解方程将y用含a的代数式表示出来，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△ABE∽△DAC，由相似三角形的对应角相等可得∠ABE=∠DAC，结合已知易得，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可求解．
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