三角形章节复习——浙教版数学八年级上册期末冲刺
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 已知等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为( )
A．50° B．65°
C．70° · D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】∵ 等腰三角形的一个底角为50° ，
∴等腰三角形的另一个底角为50° ，
∴三角形的顶角为：180°-50°-50°=80°，
故答案为：D.
【分析】 已知等腰三角形的一个底角为50度，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180度，即可求出顶角的度数.
2．（2025八上·宁波期末）能说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a=1，b=-2 B．a=2，b=-1 C．a=-2，b=1 D．a=-1，b=2
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、 当 时， 而说明命题“若 则 是假命题，符合题意；
B、 当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
C、当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
D、当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据实数的大小比较、实数的平方判断即可.
3．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（ ）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
4．（2024八上·义乌月考）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在与中，已知，，
A. 添加，不能证明，故该选项符合题意；
B. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
C. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
D. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
故选：A
【分析】
一般三角形全等的判定共有4种方法，即SSS、SAS、ASA及AAS，注意不存在SSA这种方法．
5．（2024八上·吴兴月考）已知中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴一定是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和，结合已知求解即可.
6．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
7．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
8．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是（ ）
A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图，
∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC，
OH⊥DE，
∴OG=OH.
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)，
∴DG=DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC， OM⊥BC，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)，
∴CG=CM.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM = MG.
∵O为正△ABC的内心，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+DH+EH+CE
=CD+DG+EM+CE
=CG+CM
=2CG
= AC.
∴△ABC的周长
=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可.
故答案为：A.
【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得.
9．（2025八上·诸暨期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
10．（2024八上·武义期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：过点作于点，延长交于点，则若，则其中正确的结论个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，∴
，，故①正确；如图所示：过点F作交NA延长NA延长线于点O，
故在和中：，
故②正确；如图所示：过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作
在和中：故同理可证得：又在和中，故正确；又
，同理可证得：
故正确，综上所述，正确的结论个数为4个.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：可得：，即可判定①；过点F作交NA延长NA延长线于点O，证明得到：得到：，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作，证得：得到：同理得到：CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理得到：
同理可证得：然后再进行判定即可求解④.
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2025八上·滨江期末）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为 °．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：是的外角，
，
，，
．
故答案为： ．
【分析】根据三角形的外角解题即可．
12．（2024八上·滨江期末）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ．
【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110，
∴∠ACB=180-110=70；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70；
∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40.
故答案为：40.
【分析】先求出∠ACB=70；然后根据等边对等角得到∠B=∠ACB=70，然后利用三角形外角求出∠A即可.
13．（2025八上·丽水期末）如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
【答案】（1）10
（2）6
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
【分析】（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定可证，在由全等三角形的性质及勾股定理即可解答；
（2）由条件易证，由全等三角形的性质得到，所以，即可求解．
14．（2025八上·台州期末）如图，，若，则长度为 ．
【答案】6
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵BC=9，CE=3，
∴EF=BC=9，
∴．
故答案为：6．
【分析】由题可知，全等三角形的性质可得，进而得出结论．
15．（2025八上·台州期末）如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是 ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
∵，
∴，
∵的面积为18，
∴，
，
故答案为：3．
【分析】延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可．
16．（2022八上·柯桥期中）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：在上取一点，使，连接，交于E，过点C作于点H，
，是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
【分析】在上取一点，使，连接，交于E，过点C作于点H，根据角平分线性质可得，再根据垂直平分线性质可得，则，当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题（共8题，共69分）
17．（2023八上·鹿城期末）某两个城中村A，B与两条公路位置如图所示，因城市拆迁安置需要，在C处新建安置小区，要求小区与两个村A，B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图，找出所有符合条件的C点．（不写已知，求作，作法，只保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，点和点即为所求．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图及其性质分别作直线夹角的平分线和线段的垂直平分线，交点即为所求．
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
18．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F.求证：DE=DF.
【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】易证，根据全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAD，然后由角平分线的性质即可得证结论.
19．（2024八上·余杭期中）如图，中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且CE，作交BC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若的周长为17cm，求DC的长.
【答案】（1）解：∵EF垂直平分 AC，
∴AE＝EC，
∴AE＝EC＝AB
∴∠B＝∠AEB＝68°
∴∠C＝∠EAC＝34°
（2）解：∵AD⊥BC，AB＝AE
∴BD＝DE
△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DE＋CE＋AC
＝CE＋DE＋DE＋CE＋AC＝2CD＋AC＝17
∴CD＝5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到：进而求出，进而即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到：进而根据线段间的等量关系计算即可.
20．（2025八上·宁波期末）如图，AB⊥CD于点D，E为CD上一点，连结AE，BC，AE=BC，DE=BD
（1）求证：△ADE≌△CDB：
（2）若AD=6，BD=2，求CE的长，
【答案】（1）证明：AB⊥CD，
∠ADE=∠BDC=90°
AE=BC，DE=BD，
∴△ADE≌△CDB(HL)
（2）解：∵△ADE≌△CDB，
∴AD=CD=6，
∵DE=BD=2，
∴CE=CD-DE=6-2=4
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据 得 和 都是直角三角形，然后可依据“HL”判定 和 全等；
(2)根据全等三角形的性质得 进而根据 即可得出答案.
21．（2025八上·余姚期末）如图，等腰三角形 中 ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，
则列示为（x+3）2=x2+42
解得x=
∴AD的长为cm。
（2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2
∴ 的面积是cm2。
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；
（2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。
22．（2025八上·余姚期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；
（2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______；
（3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标
【答案】（1）解：下图为所求：
如图所示：的面积是：
故答案为：4
（2）解：点与点关于轴对称，
则点的坐标为：
（3）解：为轴上一点，的面积为1，
点的横坐标为：或
点坐标为：或．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）根据直角坐标系找出点A、B、C的位置，顺次连接即可得到，最后利用割补法即可求出其面积；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可求解；
（3）根据三角形面积计算公式求出BP的值，然后结合点B的坐标即可得到点P的坐标.
（1）解：下图为所求：
如图所示：的面积是：
故答案为：4
（2）解：点与点关于轴对称，
则点的坐标为：
（3）解：为轴上一点，的面积为1，
点的横坐标为：或
点坐标为：或．
23．（2025八上·西湖期末）综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F．
求证：，并直接写出的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：．
②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．
【答案】解：(1)如图1，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE；
②如图3，设CD=x，
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴，
由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴，∠ABO=∠ACE，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴，
，
∴.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答；
(2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答；
②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答.
24．（2025八上·鄞州月考）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证，等量代换可证，故DC=DM=DA；
(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；
(3)首先等量代换得到，利用AAS判定证明，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。
1 / 1三角形章节复习——浙教版数学八年级上册期末冲刺
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 已知等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为( )
A．50° B．65°
C．70° · D．80°
2．（2025八上·宁波期末）能说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a=1，b=-2 B．a=2，b=-1 C．a=-2，b=1 D．a=-1，b=2
3．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（ ）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
4．（2024八上·义乌月考）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·吴兴月考）已知中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是（ ）
A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF
9．（2025八上·诸暨期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·武义期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：过点作于点，延长交于点，则若，则其中正确的结论个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2025八上·滨江期末）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为 °．
12．（2024八上·滨江期末）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ．
13．（2025八上·丽水期末）如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
14．（2025八上·台州期末）如图，，若，则长度为 ．
15．（2025八上·台州期末）如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是 ．
16．（2022八上·柯桥期中）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题（共8题，共69分）
17．（2023八上·鹿城期末）某两个城中村A，B与两条公路位置如图所示，因城市拆迁安置需要，在C处新建安置小区，要求小区与两个村A，B的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图，找出所有符合条件的C点．（不写已知，求作，作法，只保留作图痕迹）
18．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F.求证：DE=DF.
19．（2024八上·余杭期中）如图，中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且CE，作交BC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若的周长为17cm，求DC的长.
20．（2025八上·宁波期末）如图，AB⊥CD于点D，E为CD上一点，连结AE，BC，AE=BC，DE=BD
（1）求证：△ADE≌△CDB：
（2）若AD=6，BD=2，求CE的长，
21．（2025八上·余姚期末）如图，等腰三角形 中 ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
22．（2025八上·余姚期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；
（2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为______；
（3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标
23．（2025八上·西湖期末）综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F．
求证：，并直接写出的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：．
②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．
24．（2025八上·鄞州月考）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】∵ 等腰三角形的一个底角为50° ，
∴等腰三角形的另一个底角为50° ，
∴三角形的顶角为：180°-50°-50°=80°，
故答案为：D.
【分析】 已知等腰三角形的一个底角为50度，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180度，即可求出顶角的度数.
2．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、 当 时， 而说明命题“若 则 是假命题，符合题意；
B、 当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
C、当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
D、当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据实数的大小比较、实数的平方判断即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在与中，已知，，
A. 添加，不能证明，故该选项符合题意；
B. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
C. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
D. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
故选：A
【分析】
一般三角形全等的判定共有4种方法，即SSS、SAS、ASA及AAS，注意不存在SSA这种方法．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴一定是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和，结合已知求解即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图，
∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC，
OH⊥DE，
∴OG=OH.
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)，
∴DG=DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC， OM⊥BC，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)，
∴CG=CM.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM = MG.
∵O为正△ABC的内心，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+DH+EH+CE
=CD+DG+EM+CE
=CG+CM
=2CG
= AC.
∴△ABC的周长
=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可.
故答案为：A.
【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，∴
，，故①正确；如图所示：过点F作交NA延长NA延长线于点O，
故在和中：，
故②正确；如图所示：过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作
在和中：故同理可证得：又在和中，故正确；又
，同理可证得：
故正确，综上所述，正确的结论个数为4个.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：可得：，即可判定①；过点F作交NA延长NA延长线于点O，证明得到：得到：，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作，证得：得到：同理得到：CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理得到：
同理可证得：然后再进行判定即可求解④.
11．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：是的外角，
，
，，
．
故答案为： ．
【分析】根据三角形的外角解题即可．
12．【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110，
∴∠ACB=180-110=70；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70；
∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40.
故答案为：40.
【分析】先求出∠ACB=70；然后根据等边对等角得到∠B=∠ACB=70，然后利用三角形外角求出∠A即可.
13．【答案】（1）10
（2）6
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
【分析】（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定可证，在由全等三角形的性质及勾股定理即可解答；
（2）由条件易证，由全等三角形的性质得到，所以，即可求解．
14．【答案】6
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵BC=9，CE=3，
∴EF=BC=9，
∴．
故答案为：6．
【分析】由题可知，全等三角形的性质可得，进而得出结论．
15．【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
∵，
∴，
∵的面积为18，
∴，
，
故答案为：3．
【分析】延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可．
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：在上取一点，使，连接，交于E，过点C作于点H，
，是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
【分析】在上取一点，使，连接，交于E，过点C作于点H，根据角平分线性质可得，再根据垂直平分线性质可得，则，当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】解：如图所示，点和点即为所求．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图及其性质分别作直线夹角的平分线和线段的垂直平分线，交点即为所求．
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
18．【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】易证，根据全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAD，然后由角平分线的性质即可得证结论.
19．【答案】（1）解：∵EF垂直平分 AC，
∴AE＝EC，
∴AE＝EC＝AB
∴∠B＝∠AEB＝68°
∴∠C＝∠EAC＝34°
（2）解：∵AD⊥BC，AB＝AE
∴BD＝DE
△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DE＋CE＋AC
＝CE＋DE＋DE＋CE＋AC＝2CD＋AC＝17
∴CD＝5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到：进而求出，进而即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到：进而根据线段间的等量关系计算即可.
20．【答案】（1）证明：AB⊥CD，
∠ADE=∠BDC=90°
AE=BC，DE=BD，
∴△ADE≌△CDB(HL)
（2）解：∵△ADE≌△CDB，
∴AD=CD=6，
∵DE=BD=2，
∴CE=CD-DE=6-2=4
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据 得 和 都是直角三角形，然后可依据“HL”判定 和 全等；
(2)根据全等三角形的性质得 进而根据 即可得出答案.
21．【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，
则列示为（x+3）2=x2+42
解得x=
∴AD的长为cm。
（2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2
∴ 的面积是cm2。
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；
（2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。
22．【答案】（1）解：下图为所求：
如图所示：的面积是：
故答案为：4
（2）解：点与点关于轴对称，
则点的坐标为：
（3）解：为轴上一点，的面积为1，
点的横坐标为：或
点坐标为：或．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）根据直角坐标系找出点A、B、C的位置，顺次连接即可得到，最后利用割补法即可求出其面积；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可求解；
（3）根据三角形面积计算公式求出BP的值，然后结合点B的坐标即可得到点P的坐标.
（1）解：下图为所求：
如图所示：的面积是：
故答案为：4
（2）解：点与点关于轴对称，
则点的坐标为：
（3）解：为轴上一点，的面积为1，
点的横坐标为：或
点坐标为：或．
23．【答案】解：(1)如图1，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE；
②如图3，设CD=x，
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴，
由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴，∠ABO=∠ACE，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴，
，
∴.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答；
(2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答；
②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答.
24．【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证，等量代换可证，故DC=DM=DA；
(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；
(3)首先等量代换得到，利用AAS判定证明，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。
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