2.5直角三角形

教案设计者：项荣芳
学科：数学 年级：八年级
课题名称：§2.5 直角三角形（1）
一、 内容简介
本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生自主探求直角三角形的性质和判定方法。
关键信息：
1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出直角三角形的内角有什么特点？通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，用规范的格式证明结论，使学生感受数学的严谨，启迪学生的数学思维。
二、学习者分析：
1、思维质量不高。上课是老师讲什么便学什么，被动接受老师提供的现成的答案，不积极主动的思考，更缺乏创新意识和创造精神，学习停留在机械记忆的水平状态。
2、注意力差。学习态度、动机、意志及自我意识等方面存在较多障碍，能力更是被抑制。
3、对数学学科的兴趣下降。
4、数学语言障碍
5、概念、性质不清
6、缺乏反思与整合能力
7、合情推理能力薄弱
三、 教学/学习目标及其对应的课程标准：
（一）教学目标：
1、理解直角三角形的定义，会用符号和字母表示直角三角形，体验直角三角形应用的广泛性。
2、经历直角三角形的两个锐角互余的探索，掌握直角三角形两个锐角互余的性质。
3、会用“两个角互余的三角形是直角三角形”判定方法判定直角三角形。
（二）知识与技能：会利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题，培养学生的探索能力和解决问题的能力。
（三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的证明；
（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；经历探索新知的过程，体验数学推理的必要性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
四、 教学重点：“直角三角形的两个锐角互余”的性质及其应用。
五、 教学难点：本节例2涉及的知识点较多，推理表达较长，是本节教学的难点
六、 教育理念和教学方式：
1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：本节的教学过程，要为学生自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重和自己意见不一致的学生，赞赏每一位学生的结论和对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择。
学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。
2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。充分利用动手实践的机会，尽可能增加教学过程的趣味性，强调学生的动手操作和主动参与，通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究。
3、教学评价方式：
（1） 通过课堂观察，关注学生在观察、归纳、应用等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。
（2） 通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程,反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。
（3） 通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果。
七、 教学媒体：投影仪，多媒体
八、 教学和活动过程：
1、整个教学过程叙述：
教材“2.5直角三角形”内容共含两课时。本节是其中的第一课时，需40分钟完成。
2、具体教学过程设计如下：
引言：同学们，数学与生活是息息相关。在生活中，我们时时感受到数学气息，现在我们来看几张图片，大家一起来找找里面有什么图形？
生：直线，点，三角形…
师：那大家还记得三角形分为哪几类吗？
（一）、温故而知新
锐角三角形（三个角都是锐角）
三角形按角分类 直角三角形（有一个角是直角）
钝角三角形（有一个角是钝角）
从而引出今天要研究的对象有一个角是直角的三角形——直角三角形（板书）
1、定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
2、表示方法：
师：那直角三角形如何用数学符号来表示呢？
生：沉默
师：在前面我们是如何用数学符号来表示直角的，那类似的，你们觉得怎样表示直角三角形？
由此得出：直角三角形用符号“Rt ”表示，如图所示的三角形可记做 RtABC，∠C是Rt ，其中AB叫做斜边，BC，AC叫做直角边。
3、举例：你能举出直角三角形的应用吗？
设计意图：鼓励学生回顾小学所学的直角三角形的定义，让学生学会直角三角形的表示方法，
知道直角三角形的三边的概念。
（二）、 合作交流，探究新知
1、 师：直角三角形的两个锐角有什么关系？
利用两块相同的三角板，将两个锐角转移到一起，让学生通过观察
猜想：直角三角形的两个锐角互余
师：你们怎么证明这个猜想呢？
师给出：已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜
证明：∠A＋∠B＝90 ゜
师引导学生给出口头证明，师板书证明过程：
在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∠C= 90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）
∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜
即∠A+∠B=90゜
师板书结论：直角三角形的两个锐角互余。
2、给你一个三角形，怎样判断一个三角形是直角三角形
引导学生通过直角三角形的定义以及性质来判断。
猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形
已知：在△ABC中，∠A＋∠B＝90 ゜
说明： △ABC是直角三角形。
结论：有两个角互余的三角形是直角三角形．
3、 整理：从角的角度来看，直角三角形所具有的性质和判定方法
4、练一练
1）Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=28°，则∠A=__.
2）若∠C =∠A+∠B, 则△ABC是______三角形.
3）若∠C =∠A－∠B, 则△ABC是______三角形.
4) 直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角为____度.
把其中的∠A=28°改成∠B=2∠A，或∠B：∠A=2：1？
答案：62°，直角，直角，135°
设计意图：通过合作学习引导学生得出直角三角形的性质和判定方法；通过猜想和论证的过程，让学生体验数学的严谨，感受数学中猜想与论证的重要性。练一练的第二小题学生一般都能做出来，但是第三小题可能存在问题，将两题放在一起可进行对比，改变学生对图形的思维定势，让学生了解到∠C并不一定是直角。
例１、 如图，ＣＤ是Ｒｔ△ABC斜边上的高．请找出图中各对互余的角
解： ∵ＣＤ⊥ＡＢ，
　 ∴ △ＡＣＤ， △ＢＣＤ都是Ｒｔ△，
　 已知△ABC是Ｒｔ△，
　 　∴ ∠Ａ与∠Ｂ． ∠Ａ与∠ACＤ．
　 ∠Ｂ与∠ＢＣＤ互余．
　 又∵ ∠ＡＣＢ＝Ｒｔ∠
　 ∴ ∠ＡＣＤ与∠ＢＣＤ互余．
所以图中共有４对互余的角．
例题小结：得到两角互余的途径.
想一想：图中有几对相等的锐角？
两对，提醒学生将这个基本图形记住，这两对相等的角在平时做题时常常出现。
5、等腰直角三角形 C
变式1：如果将∠A变成的话， 那这个三角形有什么特点？
A B
由此得到等腰三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
那它有什么性质呢？
引导学生得出：1、具有等腰三角形的所有性质；2、具有直角三角形的所有性质；
3、等腰直角三角形的两个锐角都是45゜。
三、例题解析，当堂练习
变式２、如图：在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，则CD＝BD＝AD．
请说明理由．
解：在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=45°. C
∵AD⊥BC,
∴∠CAD+∠C=90°(根据什么？)
∴∠CAD=90° ∠C= 90° 45 °=45 °= ∠C
∴AD=DC A D B
同理，AD=BD.
∴ AD＝BD＝CD
想一想：等腰直角三角形斜边上的高把这个三角形分成几个等腰直角三角形？
例3．如图，已知△ABC中，点Ａ在ＤＥ上，ＣＤ⊥ＤＥ，ＢＥ⊥ＤＥ，垂足分别是Ｄ，Ｅ．且ＡＤ＝ＢＥ，ＣＤ＝ＡＥ， △ABC是什么三角形？说明理由．
变式训练：将△ADE进行平移，到下图的位置，图中还能找出等腰直角三角形吗
例4、在三角形ABC中，BD是三角形ABC的高（BD不与AB,BC重合），那么∠BAC与∠ABD有什么关系？
学生在做此题时往往会少考虑一种情况，提醒学生考虑问题必须要全面。
四、拓展与提升
1、如何将一个等腰三角形分成两个全等的直角三角形？
2、如何将一个直角三角形分成两个等腰三角形？
设计意图：体现出等腰三角形与直角三角形的和谐关系，并且为下节课讲“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”做铺垫。
五、课堂小结
师：大家知道今年是我国建国多少年啊？
生：60周年
师：那同学们想不想跟我们的温家宝爷爷谈谈自己的收获
引导学生从以下方面谈收获：
1、概念：直角三角形、等腰直角三角形.
2、直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余．
3、直角三角形判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
4、等腰直角三角形特点：
等腰直角三角形的两个锐角都是45゜.
六、板书设计
2.5直角三角形（1）
1、概念 例题
2、表示方法
3、性质
4、判定方法
七、作业
1、必做题：作业本
2、选做题：课时特训
P34 随堂练习 P36 习题
C
E
B
直角边
斜边
B
C
A
D
A
E
B
D
A
C
C
D
A
B
D
A
B
C