2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B D B A D B
1．C
本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过C作于D，
∵，
∴，
∵与相离，
∴半径r满足，
故选：C．
2．A
本题考查了直线与圆的位置关系．根据圆心到直线的距离d与半径R的关系判断直线与圆的位置关系，由于P在直线l上且，故，从而直线l与圆相切或相交，公共点个数为1或2，据此进行分析，即可作答．
解：∵P在直线l上且，
∴ 圆心O到直线l的距离，
∵的半径，
∴，
∴ 直线l与相切或相交，
∴公共点个数为1或2，
故选：A
3．D
此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，连接、，由切线的性质得，而，所以，则，于是得到问题的答案．
解：连接、，
∵与、分别相切于点D，E，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．
设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由的周长内切圆半径，即可求出的周长．
熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．
解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且，
又，
∴四边形是正方形，
，
，
，
解得，
，
，
，即的周长为，
故选：C．
5．B
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数．
解：，，
，
，
故选：B．
6．D
本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解．
解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴的直径为．
故选：D．
7．B
此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
如图所示，连接，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可．
解：如图所示，连接，，．
∵，是的切线，
∴，．
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形．
设步，则步，步，
∵，，是的切线，
∴步，步．
∵步，
∴步．
∴．
∴．
故选：B．
8．A
先证和是等边三角形，可推出，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出，进一步得出③正确；作，可推出，进而得出，结合可推出点C和点B重合，进而得出④正确，从而得出结果．
解：∵，，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
①∵是等边三角形，
∴，
∴点在上，故①正确，
∵，
∴．
∵，，
∴，故②正确，
③由②知，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
故③正确；
④如图，
过点O作于C，
∵是等边三角形，
∴．
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴．
∵，
∴和重合，
∴，
∴是的切线，
故④正确，
综上所述：①②③④均正确，
故选：A．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定，含直角三角形的性质，线段垂直平分线等，构造辅助线是解题的关键．
9．D
本题考查切线的判定和性质．根据题意可得直线与切于点，再根据角的直角三角形的性质可得结论．掌握切线的判定和性质是解题的关键．
解：∵直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，，设交点为，
∴直线与切于点，，
连接，
∴，
∴，
∴的半径为．
故选：D．
10．B
本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴为的切线，①正确；
②由图可知不一定；
∵为的切线，
∴．
∵，
又∵，
∴，
∴，③正确．
故选：B．
11．35
本题考查了切线的性质，圆周角定理，先根据切线的性质求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可．
解：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案：35．
12．/35度
本题考查了切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，进而求出，计算即可．
解：∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为： ．
13．
圆O与三边的切点分别为E，F，G，连接，，，先根据圆O是的内切圆，，，，求出正方形的边长为x，根据勾股定理可得，连接，过点Q作于点P，当点D运动到线段上时，取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题．
解：如图，圆O与三边的切点分别为E，F，G，连接，，，
∵圆O是的内切圆，，，，
∴，，，，
∴四边形是正方形，
设正方形的边长为x，
则，，
根据题意，得，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴点D在以为直径的圆Q上，如图，
连接，过点Q作于点P，
当点D运动到线段上时，取得最小值，
∴，
∴，圆Q的半径，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心．
14．5
本题考查了三角形的内心、圆内接三角形、圆的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题连接，，，，过点分别作于，于，于，根据内心可得，，，再通过直角三角形的知识和等量变化可证得，在中，可求得，设，则，然后再根据， ，可求得，然后即可求解；
解：连接，，，，过点分别作于，于，于，如图：
∵点是的内心，
∴，，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵ 在中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴设，则，
∵，
，
∴，
解得： 或0(舍去)，
∴，
∴，
故答案为：5
15．
本题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 连接，设，先证明共线，再证明，求出，然后利用面积法求出，进而可求出的周长．
解：连接，设，
∵与的各边分别相切于点D，E，F，
∴，，，，
∴，平分，
∵，
∴，，
∴共线．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴的周长．
故答案为：．
16．/60度
本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题．
解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，
直径是直角边的两倍，
，
，
垂直平分，
，
，
为半径，，
为切线，
为切线，
，
；
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)存在，
(3)见解析
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的内心的性质，角平分线的定义，添加适当的辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
（1）连接，利用直径所对的圆周角为直角的性质得到，∠AEB=90°，利用等腰三角形的三线合一的性质得到，即为直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答即可得出结论；
（2）利用相似三角形的判定与性质得到，，利用等量代换的性质得到，则结论可得；
（3）连接，，，利用轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质得到垂直平分，则，，利用等腰三角形的三线合一的性质得到，，再利用圆周角定理得到为的平分线，为的平分线，最后利用三角形的内心为三个内角平分线的交点的性质得出结论即可．
（1）证明：连接．
∵为直径，
∴ ．
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴；
（2）解：与之间存在确定的数量关系，该数量关系为．
理由：
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）证明：连接，，，如图，
∵点G关于的对称点在以为直径的圆上，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
∴为的平分线，
∵，，
∴，
∴为的平分线，
∴点G是的内心．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接，证出即可得证；
（3）连接，，，证出即可得证．
（1）证明：点I是的内心，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
点I是的内心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）证明：如图，连接，，，
，
．
，
∴点D是的外心．
本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
19．(1)8
(2)
(3)
（1）根据切线的判定定理得到都是圆O的切线，根据切线长定理分别求出，进而求出结果即可；
（2）证明，根据相似三角形的性质求出结果即可；
（3）证明，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用切线长定理是解题的关键．
（1）解：∵为圆O直径，，
∴都是圆O的切线，
∵与圆O相切于点E，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得： ；
（3）解：过点D作于H，
则四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得： ．
20．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据切线长定理得出，根据三线合一得出，根据是的直径，得出，即可得证；
（2）根据（1）的结论得出，进而得出，证明，得出，即可得证．
（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
21．(1)直线与相切，理由见解析
(2)
(3)
此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键．
（1）连接，根据角平分线的定义得出，由等边对等角得出，即可得出，进而判定，根据平行线的性质得到，即，即可得解；
（2）由是直径得出，根据两角相等的两个三角形相似得到，即可得出，根据和，得到，代入比例式可得；
（3）根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积求解即可．
（1）证明：直线与相切，
理由如下：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解：∵是直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴（负值舍去）．
（3）解：∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴, ，
∴，
∵，
∴．
22．(1)是的切线，理由见解析
(2)
（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可．
（1）证明：是的切线，理由：
连接，
与相切于点，
，
在和中，
，，，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由（）可知，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，，
．
本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
23．(1)8
(2)
（1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得，设，根据勾股定理得方程，解方程即可求出；
（2）如图2中，作于H．先证明是等腰直角三角形，得到．再证明四边形是矩形得到，求出，证明，得到，，即可求出．
（1）解：如图1中，连接．
∵过圆心O的线段于点F，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
设，则，
∵经过圆心O的线段
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴（不合题意，舍去），
∴；
（2）解：如图2中，作于H．
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，熟知各知识点，根据题意添加适当辅助线是解题关键．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)
本题主要考查了圆的相关性质，勾股定理，折叠的性质，三角形中位线定理，正确作出辅助线和熟知折叠的性质是解题的关键。
（1）根据是的直径得，则，根据切线的性质得，推出，根据折叠的性质得，继而得到，即可得证；
（2）如图，过点C作于点H，设，根据勾股定理，根据，得，根据折叠的性质得，推出，求出，再根据，可求得，即可得出结论；
（3）如图，过点C作于点H，连接交于点G，根据题意得，根据折叠的性质得，推出垂直平分，由推出，则最后根据三角形中位线定理即可得出答案．
（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，即，
∵把沿翻折得到，
∴，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，过点C作于点H，设，
∵是的外接圆，是的直径，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵把沿翻折得到，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
即的值为；
（3）解：如图，过点C作于点H，连接交于点G，
由（2）知，，
∵点D与点O重合，
∴，
∵把沿翻折得到，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在中，，若与相离，则半径为r满足（ ）
A． B． C． D．
2．已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（ ）
A．1或2 B．2 C．0 D．1
3．如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（ ）
A．48 B． C．24 D．
5．如图，是的外心，，，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（ ）．
A． B． C． D．
7．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
8．如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、、分别将线段、绕点A顺时针旋转到，，连接，，，，下列结论正确的有（ ）
①点在上；②；③；④当时，与相切．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为 °．
12．如图，与相切于点，连结交于点，连结，，若，则 ．
13．在中，，，，直线l经过的内心O，过点C作，垂足为D，连接，则的最小值是 ．
14．如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则 ．
15．如图，中，，，与的各边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，则的周长是 ．
16．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图1，在中，是钝角，以为直径的圆与边交于点D，与延长线交于点E，连结，连结交于点G．
(1)求证：．
(2)记与之间是否存在确定的数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点G关于的对称点在以为直径的圆上，证明点G是的内心．
18．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
19．如图，为圆O直径，，与圆O相切于点E，于点F，交于点G，若．
(1)求的长度．
(2)求的长度．
(3)求的长度．
20．如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，连接交于点D．
求证：
(1)；
(2)．
21．如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作，使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
22．如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
23．如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E．
(1)如图1，当半径为5，，若，求弦的长；
(2)如图2，当半径为，，若，求弦的长．
24．如图，是的外接圆，是的直径，．D是半径上一点（不与点A重合），连接．把沿翻折得到，与交于点F．连接．
(1)如图1，当与相切时，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，当时，求的值；
(3)如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长．(共5张PPT)
浙教版 九年级下册
第二章 直线与圆的位置关系
单元测试·巩固卷试卷分析
二、知识点分布
一、单选题 1 0.85 已知直线和圆的位置关系求半径的取值；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
2 0.84 判断直线和圆的位置关系
3 0.65 圆周角定理；切线的性质定理；三角形内心有关应用
4 0.75 根据正方形的性质与判定求线段长；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；用勾股定理解三角形
5 0.75 圆周角定理；三角形内切圆与外接圆综合；三角形内角和定理的应用
6 0.74 用勾股定理解三角形；应用切线长定理求解
7 0.65 切线的性质定理；应用切线长定理求证；用勾股定理解三角形；根据正方形的性质与判定证明
8 0.65 圆周角定理；证明某直线是圆的切线；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质
9 0.64 有关切线的概念辨析；切线的性质定理；含30度角的直角三角形
10 0.64 切线的性质和判定的综合应用
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 圆周角定理；切线的性质定理；三角形内角和定理的应用
12 0.75 圆周角定理；切线的性质定理
13 0.74 应用切线长定理求解；三角形内心有关应用；用勾股定理解三角形；根据正方形的性质求线段长
14 0.65 圆与三角形的综合(圆的综合问题)；半圆（直径）所对的圆周角是直角；三角形内心有关应用
15 0.65 应用切线长定理求解；相似三角形的判定与性质综合；切线的性质定理
16 0.64 切线的性质和判定的综合应用；应用切线长定理求解；线段垂直平分线的判定；三线合一
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 半圆（直径）所对的圆周角是直角；三角形内心有关应用；三线合一；相似三角形的判定与性质综合
18 0.75 同弧或等弧所对的圆周角相等；三角形内心有关应用；三角形内切圆与外接圆综合
19 0.74 应用切线长定理求解；相似三角形的判定与性质综合；由平行截线求相关线段的长或比值
20 0.65 切线的性质定理；应用切线长定理求证；半圆（直径）所对的圆周角是直角；相似三角形的判定与性质综合
21 0.65 证明某直线是圆的切线；相似三角形的判定与性质综合；求扇形面积；已知正切值求边长
22 0.65 切线的性质定理；求其他不规则图形的面积
23 0.64 用勾股定理解三角形；圆与三角形的综合(圆的综合问题)；利用垂径定理求值；圆周角定理
24 0.4 半圆（直径）所对的圆周角是直角；折叠问题；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
