2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第一章 解直角三角形 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
5．如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
7．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是等边三角形 D．是直角三角形
8．计算：（ ）
A． B．1 C． D．
9．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在中，，的余弦值是，，那么的长为 ．
12．是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ．
13．如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是 ．
14．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，，则坡面的长度为 ．
15．如图，在矩形中，将沿翻折，得到，延长交的延长线于点，若，则 ．
16．如果中，，那么是 三角形．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值．
19．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素 三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________．
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．
（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素 三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形；
（3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________．
20．已知抛物线与轴交于A，B两点（A在的左侧），与轴交于点，连结，D是线段上一动点，以为一边向右侧作菱形，且，连结．若，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的度数；
(3)当点沿轴正方向移动到点时，点也随着运动，请直接写出长的取值范围．
21．如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：
(1)线段的长；
(2)的正切值．
22．如图，在中，，，，分别是，，的对边．
(1)求的值；
(2)（填空）当为锐角时，____________；
(3)利用上述规律，求式子的值．
23．已知中的与满足．
(1)试判断的形状．
(2)求的值．
24．【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）；
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；
【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）．(共5张PPT)
浙教版 九年级下册
第一章 解直角三角形 单元测试·巩固卷
试卷分析
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 已知正弦值求边长；已知余弦求边长；已知正切值求边长
2 0.94 求角的正弦值
3 0.84 正弦的概念辨析；余弦的概念辨析；正切的概念辨析
4 0.75 已知正切值求边长；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)；矩形性质理解
5 0.75 解直角三角形的相关计算；用勾股定理解三角形
6 0.74 已知角度比较三角函数值的大小
7 0.65 由特殊角的三角函数值判断三角形形状；等边三角形的判定；根据特殊角三角函数值求角的度数
8 0.65 二次根式的混合运算；特殊角三角函数值的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
9 0.64 用勾股定理解三角形；求角的正切值；分母有理化；等腰三角形的性质和判定
10 0.64 根据旋转的性质求解；求角的余弦值；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 已知余弦求边长
12 0.75 根据三角函数值判断锐角的取值范围；抛物线与x轴的交点问题；利用同角三角函数关系求值
13 0.74 相似三角形的判定与性质综合；黄金分割；解直角三角形的相关计算
14 0.65 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）；用勾股定理解三角形
15 0.65 等边三角形的判定和性质；矩形与折叠问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；特殊三角形的三角函数
16 0.64 由特殊角的三角函数值判断三角形形状；三角形内角和定理的应用；根据等角对等边证明边相等
二、知识点分布
三、解答题 17 0.94 特殊角三角函数值的混合运算
18 0.85 求角的正切值；用HL证全等（HL）；利用平行四边形的性质求解
19 0.65 解非直角三角形
20 0.75 待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的相关计算；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质
21 0.74 用勾股定理解三角形；求角的正切值；等边对等角；斜边的中线等于斜边的一半
22 0.65 求证同角三角函数关系式；利用同角三角函数关系求值
23 0.64 特殊三角形的三角函数；绝对值非负性；由特殊角的三角函数值判断三角形形状
24 0.4 相似三角形的判定与性质综合；构造直角三角形求不规则图形的边长或面积；等腰三角形的性质和判定2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第一章 解直角三角形 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D C A C A B D
1．B
本题考查的是利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，直接利用锐角的三角函数计算即可．
解：在中，，设，，所对的边分别为，，，
，，，
，，，，
故选：B
2．D
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键；
根据正弦函数的定义求解即可．
，，，
．
故选：D．
3．B
本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用．
利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立．
解：在中，，
根据锐角三角函数的定义：
正切：；
正弦：；
余弦：，
对式子逐一分析：
因为可得，并非，所以①不成立；
因为，等式两边同乘，可得，所以②成立；
因为，等式两边同乘，得到，所以③成立；
因为，等式两边同乘，有，所以④成立；
因为可得，不是，所以⑤不成立．
综上，②③④成立，能成立的个数有3个．
故选：B．
4．D
本题主要考查锐角三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，米，，，在直角三角形中，利用正切值，求出，米，
在中，米，即可求解．
解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
由题意可知，米，，，
米，，
在中，（米），
在中，（米），
（米），
（米），
故选：D．
5．C
本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数．
如图所示，过点作于点，
，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：C．
6．A
本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解．
解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意；
B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意；
C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意；
D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意．
故选：A
7．C
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可．
解：，，
，，
∴．
是等边三角形．
故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意．
故选：C．
8．A
本题考查了负整数指数幂，三角函数特殊值，零指数幂，二次根式的化简，先按照上述计算法则计算各项，再加减即可，熟练计算是解题的关键．
解：原式，
故选：A．
9．B
本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，二次根式分母有理化，解题的关键是掌握以上性质．
令，得出，根据勾股定理求出，然后根据锐角三角函数比求解即可．
解：令，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
故选：B．
10．D
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、余弦的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
在中，由勾股定理可得．根据旋转性质可得、．利用勾股定理可求出，最后根据余弦的定义即可解答．
解：在中，，
由旋转的性质可得：，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
11．16
本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可．
解：在中，，，
∵，
∴，
解得 ．
故答案为：16．
12．
本题考查三角函数，二次函数的图象与轴的交点问题，解利用二次函数解二次不等式，熟练掌握三角函数的性质和应用、二次函数的图象与轴的交点个数是解题的关键．先利用是锐角三角形的一个内角，确定，再利用函数图像与轴没有交点，结合，得关于的不等式，求解即可．
解：∵是锐角三角形的一个内角，
∴，
∴，
∵函数图像与轴没有交点，
∴，
∵，
∴，
即，
对于，看作关于的二次函数，
∵，
∴的图象开口向上，
又时，
解得：或，
利用二次函数与不等式的关系，
得的解为：或（舍），
∴，
则的取值范围是，
故答案为：．
13．
本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
由黄金分割点的定义可得，再结合黄金分割角的定义可得，则可得，再证明可得，然后将代入即可解答．
解：∵点是的黄金分割点，
∴，
在中，，是黄金角，
∴，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．
本题考查坡度及勾股定理，熟记坡度的定义列式求解是解决问题的关键．
根据坡度定义，河堤横断面迎水坡的坡度是，求出长，再由勾股定理求出即可得到答案．
解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是，
，
，
，
∴．
故答案为：．
15．/
本题考查矩形和折叠性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，证得是等边三角形是解答的关键．
先根据矩形的性质和全等三角形的性质，结合线段垂直平分线的性质得到，再证明得到，进而证明是等边三角形得到，在中，利用正切定义即可求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
由折叠性质得，，
∴，又，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
16．等腰直角
本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据三角函数值确定角A和角B的度数，结合三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理确定三角形形状．
解：∵，
∴，
∴，
故是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
17．(1)
(2)
本题考查了含特殊角的混合运算．
（1）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘方，乘法，最后运算加法，即可作答．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．
本题主要考查了利用平行四边形的性质和直角三角形的全等来证明线段相等，并利用三角函数的定义来求解．
根据平行四边形的性质可得，，再根据，，得出，得到，再根据已知条件求出即可得解．
解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
．
19．（1）③；（2），，；（3）
本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据解直角三角形的定义可得结论；
（2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解；
（3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论．
解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角，
故答案为：③；
（2）如图1，过点作于点，
中，，，
，，，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，，
，
，，；
（3）过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
当或时，有唯一解，
当，即时，有两个解，
故答案为：．
20．(1)
(2)120°
(3)
对于（1），先确定抛物线是关于y轴对称可得关系式为，再根据面积相等求出c，进而得出答案；
对于（2），先说明是等边三角形，再根据菱形的性质得出是等边三角形，然后根据“边角边”证明，可得；
对于（3），由（2）知点在射线上，当点D与点O重合时， 求出，再根据勾股定理求出，结合点A的坐标求出，然后根据勾股定理求出；当点D与点B重合时， 求出，进而求出，再根据勾股定理求出，则此题可解．
（1）解：由，可知此抛物线的对称轴是轴，即，
，
∴抛物线的关系式为，
当时，，
∴点，，
由，
解得，
抛物线表达式为；
（2）解：由，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
．
连接，
菱形中，，且，
是等边三角形，则，
∴，
∴，
，
；
（3）解：．
由（2）知，点在射线上，
当点沿轴正方向移动到点时，
当点D与点O重合时，，
∴，
则，
根据勾股定理，得．
∵点，
∴，
∴．
在中，；
当点D与点B重合时，，
∴．
在中，，，
则．
∵点，
∴，
∴．
在中，，
∴长的取值范围是．
本题主要考查了求二次函数关系式，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线得出点E的运动轨迹是解题的关键．
21．(1)
(2)
本题考查了三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质；熟练利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键．
（1）由三角函数得，设，，由勾股定理得，即可求解；
（2）由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解．
（1）解：是边上的高，，
，
设，，
，
，
解得：，
；
（2）解：是边的中点，是边上的高，
，
，
，
，
．
22．(1)1
(2)1
(3)44.5
本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键．
（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明；
（2）由（1）得出的结论解答即可；
（3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可．
（1）解：在中，，，；
所以：；
（2）解：当为锐角时，，
故答案为 1；
（3）解：
=
=（44个1相加）
=．
23．(1)是锐角三角形．
(2)
（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解：（1），
，
是锐角三角形．
（2），
原式．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
24．（1）；（2）证明见解析；【问题拓展】
（1）解：根据“三线合一”可得，，，，证明点D到线段的距离即为的长，根据正弦的定义即可求解；
（2）作于于N，由（1）可得，证明，再证明，得到，即可求解；
问题拓展：连接，作于P，设，则，证明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解．
（1）解：∵为中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴D到线段的距离即为的长，
∵,
∴；
（2）作于于N，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
问题拓展：，
连接，作于P，设，
则，
∵为中点，
∴，，
∵，是公共角，
∴，
，
由（2）得
∴
由（2）得
．
本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是由特殊到一般，从特殊的图形中发现规律，再将解题思路运用到一般图形中．
