26.2.2.2二次函数y＝a(x－h)^2的图象与性质 课件(共33张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共33张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.2.2.2 二次函数 \( y = a(x - h)^2 \) 的图象与性质
副标题：—— 从平移变换看二次函数的位置变化
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标
能通过描点法或平移法画出 \( y = a(x - h)^2 \) 的图象
理解 \( y = a(x - h)^2 \) 与 \( y = ax^2 \) 的图象关系（平移规律）
掌握 \( y = a(x - h)^2 \) 的开口、顶点、对称轴、增减性等性质
体会数形结合与转化思想
第 3 页：复习回顾（衔接旧知）
上节课知识回顾：二次函数 \( y = ax^2 \) 的性质
性质
当 \( a > 0 \) 时
当 \( a < 0 \) 时
开口方向
向上
向下
顶点坐标
\( (0, 0) \)
\( (0, 0) \)
对称轴
y 轴（\( x = 0 \)）
y 轴（\( x = 0 \)）
增减性（右半侧）
y 随 x 增大而增大
y 随 x 增大而减小
思考提问
若在解析式中加入常数 \( h \)，变为 \( y = a(x - h)^2 \)，图象会发生什么变化？
第 4 页：探究 1：描点法画图象（以具体函数为例）
任务：画出 \( y = 2x^2 \) 与 \( y = 2(x - 1)^2 \) 的图象
列表取值（选取 x=-2,-1,0,1,2）
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|------|----|----|----|----|----|
| \( y = 2x^2 \) | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
| \( y = 2(x - 1)^2 \) | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 |
描点连线：在同一坐标系中描点，画出两条抛物线
直观观察：两条抛物线形状相同，位置不同
第 5 页：探究 2：图象的平移规律
对比分析：\( y = 2x^2 \) 与 \( y = 2(x - 1)^2 \)
顶点变化：从 \( (0, 0) \) 移到 \( (1, 0) \)
平移方向：向右平移 1 个单位
拓展验证：\( y = 2x^2 \) 与 \( y = 2(x + 2)^2 \)
顶点变化：从 \( (0, 0) \) 移到 \( (-2, 0) \)
平移方向：向左平移 2 个单位
总结平移规律
\( y = a(x - h)^2 \) 的图象可由 \( y = ax^2 \) 的图象：
当 \( h > 0 \) 时，向右平移 \( |h| \) 个单位
当 \( h < 0 \) 时，向左平移 \( |h| \) 个单位
口诀：左加右减（针对括号内 \( x \) 的变化）
第 6 页：核心性质归纳（分两类情况）
性质维度
当 \( a > 0 \) 时
当 \( a < 0 \) 时
开口方向
向上（与 \( y = ax^2 \) 一致）
向下（与 \( y = ax^2 \) 一致）
顶点坐标
\( (h, 0) \)（最低点）
\( (h, 0) \)（最高点）
对称轴
直线 \( x = h \)（垂直于 x 轴）
直线 \( x = h \)（垂直于 x 轴）
函数最值
当 \( x = h \) 时，\( y_{\text{ ° }} = 0 \)
当 \( x = h \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = 0 \)
增减性
- \( x < h \) 时，y 随 x 增大而减小；- \( x > h \) 时，y 随 x 增大而增大
- \( x < h \) 时，y 随 x 增大而增大；- \( x > h \) 时，y 随 x 增大而减小
第 7 页：关键结论与易错点
关键结论
\( a \) 的作用：仅决定开口方向和大小，与位置无关
\( h \) 的作用：仅决定抛物线左右位置（顶点横坐标），与开口无关
图象形状：与 \( y = ax^2 \) 全等，仅位置不同
易错点警示
混淆平移方向：如 \( y = 3(x + 4)^2 \) 是由 \( y = 3x^2 \) 向左平移 4 个单位（而非向右）
误认对称轴：对称轴是直线 \( x = h \)，而非点 \( (h, 0) \)
第 8 页：例题讲解（巩固应用）
例题：已知二次函数 \( y = - (x - 3)^2 \)
它的图象是由 \( y = -x^2 \) 经过怎样的平移得到的？
解：向右平移 3 个单位
说出其开口方向、顶点坐标和对称轴
解：开口向下，顶点坐标 \( (3, 0) \)，对称轴直线 \( x = 3 \)
当 \( x \) 为何值时，y 随 x 的增大而增大？
解：当 \( x < 3 \) 时，y 随 x 增大而增大
第 9 页：课堂练习（分层设计）
基础题
将 \( y = 4x^2 \) 向左平移 2 个单位，得到的函数解析式为______（答案：\( y = 4(x + 2)^2 \)）
函数 \( y = -5(x - 1)^2 \) 的顶点坐标是______，对称轴是______（答案：(1,0)；x=1）
提升题
已知抛物线 \( y = a(x - h)^2 \) 开口向上，对称轴 x=-1，顶点在 x 轴上，求其解析式的一个可能形式（答案：如 \( y = 2(x + 1)^2 \)）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结
平移规律：左加右减，形状不变
核心性质：顶点 (h,0)，对称轴 x=h，开口由 a 定
思想方法：数形结合、类比转化
作业
必做：教材习题中相关基础题
选做：探究 \( y = 2(x - 1)^2 \) 与 \( y = 2(x + 1)^2 \) 的图象关系
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.2.2二次函数y＝a(x－h)2的
图象与性质
第26章　二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
a,k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y 轴（直线 x = 0 ）
y 轴（直线 x = 0）
（0，k）
（0，k）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x = 0 时，y最小值 = k
x = 0 时，y最大值 = k
问题1 说说二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象特征.
问题2 二次函数 y = ax2 + c (a≠0) 与 y = ax2 的图象有何关系？
二次函数 y = ax2 + c (a≠0) 的图象可以由 y = ax2 (a≠0)的图象平移得到：
当 c ＞ 0 时，向上平移 c 个单位长度得到；
当 c ＜ 0 时，向下平移 -c 个单位长度得到.
问题3 函数 的图象，能否由函数 的
图象平移得到？
形状开口均相同，应该也能.
互动探究
引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
解：先列表：
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质
x
y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
向上
y 轴
直线 x = 2
(0，0)
(2，0)
根据所画图象，填写下表：
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
2
4.5
2
0
0
2
2
4.5
8
8
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
试一试 画出二次函数
的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线 x = -1
( 1，0)
直线 x = 0
直线 x = 1
向下
向下
(0，0)
(1，0)
想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 的图象特征和性质是什么？
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
二次函数 y = a(x - h)2 (a≠0) 的性质
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
知识要点
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，0)
(h，0)
当 x = h 时，y最小值 = 0
当 x = h 时，y最大值 = 0
当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小.
若抛物线 y＝3(x＋ )2 的图象上有三个点A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，
则 y1，y2，y3 的大小关系为___________．
练一练
y2＜y3＜y1
O
-1
x
y
A′
C
B
解析：如图所示.抛物线的对称轴为 x＝－ ，
当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而增大.
点 A 在抛物线上的对称点 A′ 的
坐标为( ，y1)，
则根据图像可得 y2＜y3＜y1.
向右平移
1 个单位
向左平移
1 个单位
想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
x
y
形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.
二次函数 y = ax2 与 y = a(x - h)2 (a≠0) 的关系
知识要点
二次函数 y = a(x±h)2 与 y = ax2 (a≠0) 的图象的关系
可以看作互相平移得到 (h > 0)：
左右平移规律：
自变量左加右减，括号外不变.
向右平移 h 个单位
y = a(x - h)2
向左平移 h 个单位
y = ax2
y = a(x + h)2
例1 抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位长度后经过点
(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式．
解：抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线为 y＝a(x－3)2 ，
把 x＝－1，y＝4 代入，得 4＝a(－1－3)2，解得
∴ 平移后的函数关系式为 y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移 3个单位后，a 不变，自变量 x 应“减去 3”；若向左平移 3 个单位，自变量 x 应“加上 3”，即“左加右减”.
将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移 1 个单位　　B．向下平移 1 个单位
C．向左平移 1 个单位　　D．向右平移 1 个单位
解析：抛物线 y＝－2x2 的顶点坐标是(0，0)，抛物线 y＝－2(x＋1)2 的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数 y＝－2x2 的图象向左平移1个单位即可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象．故选C.
练一练
C
1. 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线 x = 3
(3，0)
直线 x = 2
直线 x = 1
向下
向上
(2，0)
(1，0)
2. 如果二次函数 y＝a(x﹣1)2 (a≠0) 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是______．
a＞0
3. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是 .
y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2
4. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 为二次函数 y = (x - 2)2 图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的大小关系为_____________.
y1 ＞y2 ＞ y3
5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x - 2)2 的图象，并指出两个图象之间的平移关系．
解：图象如图.
函数 y= 2(x - 2)2 的图象可由函数 y= 2x2 的图象向右平移 2 个单位长度得到.
y
O
x
y = 2x2
2
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1. [教材P13练习T1]对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　　)
①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
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A
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C
3．[2024德州期中]已知二次函数y＝3(x－a)2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　)
A．a＜2 B．a≥2 C．a≤2 D．a≤－2
A
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5．将抛物线y＝ax2向左平移2个单位后， 得到的新抛物线经过点(－4，－4)，则a的值为________．
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－1
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6. [教材P11例3]已知函数y＝(x－1)2的图象如图所示．
(1)当－2≤x≤－1时，y的取值范围为________；
(2)当0≤x≤3时，y的取值范围为_______．
4≤y≤9
0≤y≤4
7．把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M.
(1)求a，h的值；
【解】∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2，∴a＝－3，4－6＝h，解得h＝－2.
(2)求S△MAB的值．
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【答案】 C
9．[2024温州实验中学月考]已知二次函数y＝a(x－m)2(a＞0)的图象经过点A(－1，p)，B(3，q)，且p＜q，则m的值不可能为(　　)
A．0 B．－2 C．－1 D．2
平移规律：
自变量
左加右减，
括号外
保持不变.
复习y=ax2+k
探索 y =a(x±h)2的图象及性质
图象画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向及增减性
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线 x = h
(h，0)
a>0，开口向上；
a<0，开口向下.
y = ax2
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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