26.2.2.3二次函数y＝a(x－h)^2＋k的图象与性质 课件(共33张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共33张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.2.2.3 二次函数 \( y = a(x - h)^2 + k \) 的图象与性质
副标题：二次函数顶点式的综合探究
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与复习衔接
一、学习目标
理解 \( y = a(x - h)^2 + k \) 与 \( y = ax^2 \) 的图象平移关系
掌握 \( y = a(x - h)^2 + k \) 的开口、顶点、对称轴、最值及增减性
能运用顶点式解决简单的函数问题，体会数形结合思想
二、复习回顾（衔接前两课）
函数形式
图象平移规律
顶点坐标
对称轴
\( y = ax^2 + k \)
由 \( y = ax^2 \) 上下平移 \( |k| \) 个单位
\( (0, k) \)
y 轴（\( x = 0 \)）
\( y = a(x - h)^2 \)
由 \( y = ax^2 \) 左右平移 \( |h| \) 个单位
\( (h, 0) \)
直线 \( x = h \)
思考：若同时存在 \( h \) 和 \( k \)，\( y = a(x - h)^2 + k \) 的图象如何平移？
第 3 页：探究 1：图象的平移规律
一、分步探究平移过程
以 \( y = 2x^2 \) 到 \( y = 2(x - 1)^2 + 3 \) 为例：
第一步：\( y = 2x^2 \rightarrow y = 2(x - 1)^2 \)
依据 \( y = a(x - h)^2 \) 平移规律，向右平移 1 个单位，顶点从 \( (0,0) \) 变为 \( (1,0) \)
第二步：\( y = 2(x - 1)^2 \rightarrow y = 2(x - 1)^2 + 3 \)
依据 \( y = ax^2 + k \) 平移规律，向上平移 3 个单位，顶点从 \( (1,0) \) 变为 \( (1,3) \)
二、总结综合平移规律
\( y = a(x - h)^2 + k \) 的图象可由 \( y = ax^2 \) 的图象：
先左右平移 \( |h| \) 个单位（\( h > 0 \) 向右，\( h < 0 \) 向左）
再上下平移 \( |k| \) 个单位（\( k > 0 \) 向上，\( k < 0 \) 向下）
平移顺序可互换，最终顶点坐标为 \( (h, k) \)
示例：\( y = -3(x + 2)^2 - 1 \)（即 \( y = -3(x - (-2))^2 + (-1) \)）
由 \( y = -3x^2 \) 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，顶点为 \( (-2, -1) \)
第 4 页：探究 2：核心性质归纳（分 \( a > 0 \) 和 \( a < 0 \)）
性质维度
当 \( a > 0 \) 时
当 \( a < 0 \) 时
开口方向
向上（与 \( y = ax^2 \) 一致）
向下（与 \( y = ax^2 \) 一致）
顶点坐标
\( (h, k) \)（抛物线最低点）
\( (h, k) \)（抛物线最高点）
对称轴
直线 \( x = h \)（垂直于 x 轴）
直线 \( x = h \)（垂直于 x 轴）
函数最值
当 \( x = h \) 时，\( y_{\text{ ° }} = k \)
当 \( x = h \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = k \)
增减性
- 当 \( x < h \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小；- 当 \( x > h \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大
- 当 \( x < h \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大；- 当 \( x > h \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小
第 5 页：关键结论与易错点解析
一、关键结论
系数作用：
\( a \) 决定开口方向（正向上、负向下）和开口大小（\( |a| \) 越大，开口越窄）；
\( (h, k) \) 决定抛物线的位置（顶点坐标），与开口无关；
对称轴仅由 \( h \) 决定（直线 \( x = h \)），最值仅由 \( a \) 和 \( k \) 决定。
形式特点：\( y = a(x - h)^2 + k \) 是二次函数的顶点式，可直接读出顶点坐标，便于分析最值和位置。
二、易错点警示
平移方向混淆：如 \( y = 2(x + 3)^2 - 4 \) 中，\( h = -3 \)，易误判为 “向右平移 3 个单位”，实际应为 “向左平移 3 个单位”（牢记 “括号内是 \( x - h \)，不是 \( x + h \)”）；
顶点坐标错误：误将 \( (h, k) \) 写成 \( (-h, k) \) 或 \( (h, -k) \)，需注意解析式中是 “\( -h \)” 和 “\( +k \)”；
增减性判断偏差：判断增减性时，需先确定对称轴 \( x = h \)，再分 “左侧（\( x < h \)）” 和 “右侧（\( x > h \)）”，结合 \( a \) 的符号分析。
第 6 页：例题讲解（分层应用）
例题 1：基础应用（已知解析式分析性质）
已知二次函数 \( y = - (x - 2)^2 + 5 \)，回答下列问题：
图象由 \( y = -x^2 \) 经过怎样的平移得到？
解：向右平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位（或先上后右）；
求开口方向、顶点坐标、对称轴及最值；
解：开口向下，顶点 \( (2, 5) \)，对称轴 \( x = 2 \)，当 \( x = 2 \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = 5 \)；
当 \( x \) 为何值时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大？
解：当 \( x < 2 \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大。
例题 2：进阶应用（已知性质求解析式）
已知抛物线开口向上，顶点为 \( (-1, -3) \)，求该二次函数的顶点式解析式。
解：由顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)，顶点 \( (h, k) = (-1, -3) \)，则 \( h = -1 \)，\( k = -3 \)；
又因开口向上，取 \( a = 1 \)（\( a > 0 \) 即可），故解析式为 \( y = (x + 1)^2 - 3 \)。
第 7 页：课堂练习（巩固提升）
一、基础题
抛物线 \( y = 3(x - 4)^2 + 2 \) 的顶点坐标是______，对称轴是______，当 \( x = \)时，\( y \) 有最______值为（答案：\( (4, 2) \)；直线 \( x = 4 \)；4；小；2）；
将 \( y = -2x^2 \) 的图象先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的函数解析式为______（答案：\( y = -2(x + 1)^2 - 3 \)）。
二、提升题
已知二次函数 \( y = a(x - h)^2 + k \) 的图象过点 \( (1, 0) \) 和 \( (3, 0) \)，且顶点纵坐标为 4，求其解析式（提示：对称轴为 \( x = 2 \)，顶点 \( (2, 4) \)，答案：\( y = -4(x - 2)^2 + 4 \)）。
第 8 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
平移规律：左右平移（看 \( h \)，左加右减）+ 上下平移（看 \( k \)，上加下减），顶点为 \( (h, k) \)；
核心性质：开口看 \( a \)，顶点 \( (h, k) \)，对称轴 \( x = h \)，最值为 \( k \)，增减性分两侧；
思想方法：数形结合（图象与性质互推）、类比转化（从简单形式到复杂形式）。
二、作业布置
必做：教材中对应基础习题，分析 3 个不同顶点式函数的性质；
选做：探究 “若抛物线 \( y = a(x - h)^2 + k \) 与 x 轴有两个交点，如何利用顶点式求交点坐标”，并举例说明。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.2.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的
图象与性质
第26章　二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1) y = ax2；
(2) y = ax2 + k；
(3) y = a(x - h)2.
复习引入
1. 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
2. 请说出抛物线 y = -2x2 的开口方向、顶点坐标、对称
轴及最值.
3.把 y = -2x2的图象
向上平移3个单位长度
y=-2x2+3
向左平移2个单位长度
y=-2(x+2)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否可以由 y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白.
开口向上，顶点坐标是 (0，0)，对称轴是 y 轴，y最大值 = 0
例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
探究归纳
二次函数 y=a(x - h)2 + k 的图象和性质
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解：先列表；
再描点、连线.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
直线 x = -1
开口向下；
对称轴是直线 x = -1；
顶点坐标是 (-1，-1).
试一试
画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口向上；
对称轴是直线 x = -1；
顶点坐标是 (-1，-2).
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 x = h 直线 x = h
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k
增减性 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小.
知识要点
顶点式
例1 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　)
解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A.
A
典例精析
例2 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0).
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系.
(1) 将 (3，0) 代入二次函数解析式，得 0＝4a－4，
(2) 方法一：
根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4.
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴ m－1＝－(m＋n－1). 化简，得 2m＋n＝2.
解：
解得 a＝1.
方法二：
∵ 二次函数 y＝(x－1)2－4 的图象的对称轴为直线 x＝1，且图象上两点 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 满足 y1＝y 2，
∴ 点 A，B 关于直线 x＝1 对称.
∴ m＋n－1＝1－m.
化简，得 2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的关系式，代入即可求得相关的参数值.
例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，
水管应多长
C(3，0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解：建立如图的平面直角坐标系，
点( 1，3 )是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数解析式为
∵ 这段抛物线经过点 ( 3，0 )，
∴ 0 = a(3－1)2＋3.
解得
∴ 抛物线的解析式为
y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当 x = 0 时，y = 2.25.
答：水管长应为 2.25 m.
a = - .
3
4
y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3).
3
4
-
探究归纳
例4 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
向左平移1个单位长度
平移方法1
1 个单位长度
向下平移
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
二次函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系
怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？
平移方法2
向左平移
向下平移
1个单位
1 个单位
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
知识要点
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系
图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到.
y = ax2
y = ax2±k
y = a(x±h)2
y = a( x±h )2±k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
简记为：
上下平移，
常数项上加下减；
左右平移，
自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
1.请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到
由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的.
2. 如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，试求这个函数关系式.
练一练
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x＋3)2＋5
向上
(1，－2)
向下
向下
(3，7)
(2，－6)
向上
直线 x = －3
直线 x = 1
直线 x = 3
直线 x = 2
(－3，5)
y =－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y =－5(2－x)2－6
1. 完成下列表格：
2.把抛物线 y = -3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移1 个单位，那么所得抛物线是___________________.
4. 二次函数 y = -2x2 的图象如何平移得到二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象？
3.抛物线 y = -3x2+2 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线的关系式为______________
O
x
y
3
-2
O
y
3
-2
x
5.已知一个二次函数图象的顶点为 A (-1，3)，且它是由二次函数 y = 5x2 平移得到，请直接写出该二次函数的关系式.
y = 5(x - 1)2 + 3
返回
1．[2024驻马店月考]抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线
y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是(　　)
A．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B
2．[2024浏阳期中]若二次函数y＝(x－1)2－1的图象如图所示，则坐标原点可能是(　　)
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
A
返回
返回
B
3．如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列结论错误的是(　　)
A．a＜0　
B．当x＜0时，y随x的增大而增大　
C．点B的坐标为(1，0)　
D．图象的对称轴为直线x＝－1
D
返回
5．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过第________象限．
返回
一
6．如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
【解】∵抛物线C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，当y＝3时，3＝－(x－6)2＋4，解得x＝5或7.∵点P在对称轴的右侧，∴a＝7.
返回
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰好为y＝－(x－3)2.求点P′移动的最短路程．
7. 在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的表达式是(　　)
A．y＝3(x－5)2＋5
B．y＝3(x－5)2－5
C．y＝3(x＋5)2＋5
D．y＝3(x＋5)2－5
D
返回
一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0)
的形状相同，位置不同.
二次函数
y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质
图象特点
当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下.
对称轴是 x = h，
顶点坐标是 (h，k)
平移规律
左右平移：自变量左加右减；
上下平移：常数项上加下减
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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