26.2.2.4二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象与性质 课件(共47张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册
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| 名称 | 26.2.2.4二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象与性质 课件(共47张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 22:17:53 | ||
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文档简介
(共47张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.2.2.4 二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象与性质
副标题：二次函数一般式的深度探究
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
掌握将二次函数一般式 \( y = ax^2 + bx + c \) 转化为顶点式的方法（配方）
理解并掌握 \( y = ax^2 + bx + c \) 的开口、顶点、对称轴、最值及增减性
能运用一般式解决实际问题，深化数形结合思想
二、知识衔接（回顾顶点式）
二次函数顶点式：\( y = a(x - h)^2 + k \)，顶点坐标\( (h, k) \)，对称轴直线\( x = h \)
思考：一般式 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）无法直接读出顶点和对称轴，如何通过转化获取这些关键信息？
第 3 页：探究 1：一般式转化为顶点式（配方过程）
一、配方步骤（以 \( y = ax^2 + bx + c \) 为例）
提取二次项系数：针对含\( x \)的项，提取\( a \)，得\( y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \)
配方（补全完全平方式）：在括号内加、减一次项系数一半的平方\( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \)，得\( y = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c \)
整理为顶点式：括号内化为完全平方式，去括号并合并常数项，得\( y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} \)
二、对应顶点式要素
对比顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)，可得：
对称轴：直线 \( x = -\frac{b}{2a} \)
顶点坐标：\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)
示例：将 \( y = 2x^2 - 4x + 1 \) 化为顶点式
提取系数：\( y = 2(x^2 - 2x) + 1 \)
配方：\( y = 2[(x^2 - 2x + 1) - 1] + 1 = 2(x - 1)^2 - 2 + 1 \)
整理：\( y = 2(x - 1)^2 - 1 \)，顶点\( (1, -1) \)，对称轴\( x = 1 \)
第 4 页：探究 2：一般式的核心性质（分 \( a > 0 \) 和 \( a < 0 \)）
性质维度
当 \( a > 0 \) 时
当 \( a < 0 \) 时
开口方向
向上（与顶点式一致，由\( a \)符号决定）
向下（与顶点式一致，由\( a \)符号决定）
顶点坐标
\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)（最低点）
\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)（最高点）
对称轴
直线 \( x = -\frac{b}{2a} \)
直线 \( x = -\frac{b}{2a} \)
函数最值
当 \( x = -\frac{b}{2a} \) 时，\( y_{\text{ ° }} = \frac{4ac - b^2}{4a} \)
当 \( x = -\frac{b}{2a} \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = \frac{4ac - b^2}{4a} \)
增减性
- 当 \( x < -\frac{b}{2a} \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小；- 当 \( x > -\frac{b}{2a} \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大
- 当 \( x < -\frac{b}{2a} \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大；- 当 \( x > -\frac{b}{2a} \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小
第 5 页：关键结论与易错点解析
一、关键结论
系数作用：
\( a \)：决定开口方向（正向上、负向下）和开口大小（\( |a| \)越大，开口越窄）；
\( b \)：与\( a \)共同决定对称轴位置（\( x = -\frac{b}{2a} \)），单独无意义；
\( c \)：抛物线与\( y \)轴交点的纵坐标（交点坐标\( (0, c) \)）；
判别式\( \Delta = b^2 - 4ac \)：决定抛物线与\( x \)轴交点个数（\( \Delta > 0 \)有 2 个交点，\( \Delta = 0 \)有 1 个交点，\( \Delta < 0 \)无交点）。
转化价值：将一般式化为顶点式，可更便捷地分析顶点、对称轴和最值，为解决最值问题（如利润、面积最值）奠定基础。
二、易错点警示
配方错误：配方时易漏乘二次项系数\( a \)，如将\( y = 2x^2 - 4x + 1 \)误配为\( (2x - 1)^2 + 0 \)，需牢记 “先提系数，再配方”；
对称轴公式混淆：误将对称轴记为\( x = \frac{b}{2a} \)，忽略负号，需强化 “\( x = -\frac{b}{2a} \)” 的记忆；
最值计算偏差：计算顶点纵坐标\( \frac{4ac - b^2}{4a} \)时，易颠倒分子顺序（写成\( \frac{b^2 - 4ac}{4a} \)），需注意配方过程中的常数项整理。
第 6 页：例题讲解（分层应用）
例题 1：基础应用（分析一般式性质）
已知二次函数 \( y = -x^2 + 2x + 3 \)（\( a = -1 \)，\( b = 2 \)，\( c = 3 \)），回答下列问题：
求开口方向、对称轴及顶点坐标；
解：\( a = -1 < 0 \)，开口向下；
对称轴\( x = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1 \)；
顶点纵坐标\( \frac{4 \times (-1) \times 3 - 2^2}{4 \times (-1)} = \frac{-12 - 4}{-4} = 4 \)，顶点\( (1, 4) \)；
求函数的最大值及此时\( x \)的值；
解：当\( x = 1 \)时，\( y_{\text{ ¤§}} = 4 \)；
当\( x \)为何值时，\( y \)随\( x \)增大而减小？
解：当\( x > 1 \)（对称轴右侧）时，\( y \)随\( x \)增大而减小。
例题 2：进阶应用（实际最值问题）
某商店销售某种商品，每件成本为 30 元，每件售价\( x \)元（\( 30 \leq x \leq 60 \)），每天销售量\( y \)件与售价\( x \)的关系为\( y = -2x + 120 \)，求每天的最大利润\( W \)（利润 = 每件利润 × 销售量）。
解：1. 列利润表达式：\( W = (x - 30)y = (x - 30)(-2x + 120) = -2x^2 + 180x - 3600 \)；
2. 分析二次函数：\( a = -2 < 0 \)，利润有最大值，对称轴\( x = -\frac{180}{2 \times (-2)} = 45 \)（在\( 30 \leq x \leq 60 \)范围内）；
3. 求最大值：\( W_{\text{ ¤§}} = -2 \times 45^2 + 180 \times 45 - 3600 = 450 \)（元）；
答：当售价为 45 元时，每天最大利润为 450 元。
第 7 页：课堂练习（巩固提升）
一、基础题
二次函数 \( y = 3x^2 - 6x + 2 \) 的对称轴是______，顶点坐标是______，当\( x = \)时，\( y \)有最______值为（答案：直线\( x = 1 \)；\( (1, -1) \)；1；小；-1）；
若二次函数 \( y = x^2 + bx + 4 \) 的对称轴为直线\( x = 2 \)，则\( b = \)______（答案：-4）。
二、提升题
已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象过点\( (0, 1) \)、\( (1, 3) \)、\( (-1, 1) \)，求该函数解析式，并判断其与\( x \)轴是否有交点（答案：解析式\( y = x^2 + x + 1 \)，\( \Delta = 1 - 4 = -3 < 0 \)，无交点）。
第 8 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
转化方法：一般式通过配方转化为顶点式，核心是 “提系数、补全平方、整理常数”；
核心性质：开口看\( a \)，对称轴\( x = -\frac{b}{2a} \)，顶点\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)，最值由\( a \)和顶点纵坐标决定；
实际应用：利用一般式解决利润、面积等最值问题，需先建立函数模型，再结合性质求解。
二、作业布置
必做：教材中对应基础习题，将 3 个一般式转化为顶点式并分析性质；
选做：某长方形场地周长为 20 米，设长为\( x \)米，求面积\( S \)与\( x \)的函数关系，并求最大面积。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.2.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象与性质
第26章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h，k)
(h，k)
x = h
x = h
当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞h 时
y 随着 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞h 时，y 随着 x 的增大而减小.
x = h 时，y最小值 = k
x = h 时，y最大值 = k
抛物线 y = a(x - h)2 + k 可以看作由抛物线 y = ax2 经过平移得到
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 轴
0
(0，-5)
y 轴
-5
(-2，0)
直线 x = -2
0
(-2，-4)
直线 x = -2
-4
(4，3)
直线 x = 4
3
合作探究
我们已经知道 y =a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
问题1 怎样将 化成 y=a(x-h)2+k 的形式？
二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质
配方
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的关系式通常称为配方式或顶点式.
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解：先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象
如右图.
O
问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性.
5
10
x
y
5
10
x=6
当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解: 函数 通过配方可得 ，
先列表：
典例精析
2
x
y
-2
O
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当 x＜1 时，函数值 y 随x 的增大而增大；
当 x＞1 时，函数值 y 随x 的增大而减小；
当 x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2.
求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为(2，-1).
解：
练一练
我们如何用配方法将一般式 y = ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式 y = a(x-h)2+k？
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
y = ax + bx + c
要点归纳
二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 的可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
因此抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
对称轴是直线
(1)
x
y
O
如果 a > 0，当 x < 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 时，y 随 x 的增大而增大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 .
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
(2)
x
y
O
如果 a < 0，当 x < 时， y 随 x 的增大而增大；
当 x > 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数值达到最大，最大值为 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
例2 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是( )
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
解析：由题设可知，
当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，
∴抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x = 1 的
左侧，而抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴
，即 b≤1，故选 D.
D
填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y = -x2 + 2x
y = -2x2 - 1
y = 9x2 + 6x - 5
(1，1)
x = 1
最大值 1
(0，-1)
y 轴
最大值 -1
最小值 -6
( ，-6)
直线 x =
合作探究
问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k3x+b3
y=k2x+b2
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
＞
＜
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＞
＞
二次函数的图象与系数的关系
x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在 y 轴左侧，
对称轴在 y 轴右侧，
x=0 时，y=c
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是 y 轴，
对称轴在 y 轴右侧，
x =0时，y =c.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧
a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与 y 轴交于_____半轴
c＜0 与 y 轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
要点归纳
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
【解析】由图象开口向下可得 a＜0，
由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，
由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，
则 abc＞0，故①正确；
由对称轴 x >－1可得 2a－b＜0，故②正确；
则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．故正确的结论是①②③④. 选 D.
由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限
可得 4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上 x＝1 的点在第四象限得
a＋b＋c＜0，
由图象上 x＝－1 的点在第二象限得
a－b＋c＞0，
练一练
二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限，
正比例函数的图象经过一、三象限.
故选C.
C
1.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y 轴 B.直线 x=
C. 直线 x = 2 D.直线 x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 的图象如图所示，则下列结论：
(1) a、b 同号；
(2) 当 x = –1 和 x = 3 时，函数值相等；
(3) 4a + b = 0；
(4) 当 y = –2 时，x 的值只能取 0；
其中正确的是 .
直线 x = 1
（2）
3.如图是二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象的一部分，x= -1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若 (-3，y1)，( ，y2) 是抛物线上两点，则 y1 > y2.其中正确的是( )
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
x
y
O
2
x= -1
B
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标：
直线 x = 3
直线 x = 8
直线 x = 1.25
直线 x = 0.5
返回
1．[2024南阳模拟]下列关于二次函数y＝－x2＋4x＋3的说法正确的是( )
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为(2，3)
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
D
2．[2023河南]二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象一定不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C
返回
2
3．将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝________.
【点拨】抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后得到y＝ax2＋bx＋3－5＝ax2＋bx－2，
把点(－2，4)的坐标代入y＝ax2＋bx－2，
得4＝a×(－2)2－2b－2，即2a－b＝3，
∴6a－3b－7＝3(2a－b)－7＝3×3－7＝2.
返回
返回
5．[2024德州期中]已知：二次函数y＝x2＋4x＋3.
(1)求出该函数图象的顶点坐标；
【解】y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，
∴该函数图象的顶点坐标为
(－2，－1)．
(2)在如图的网格中画出该函数的大致图象；
【解】函数图象如图所示．
返回
(3)求当－4≤x≤2时，函数y的取值范围．
【解】易得当x＝－2时，函数y取最小值－1，
当x＝－4时，y＝3，当x＝2时，y＝15，
∴当－4≤x≤2时，函数y的取值范围为－1≤y≤15.
【答案】 A
返回
7．[2024北京海淀区期中]已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y＝ax2－4ax上的两点，下列命题正确的是( )
A．若|x1－2|＞|x2－2|，则y1＞y2
B．若y1＞y2，则|x1－2|＞|x2－2|
C．若y1＝y2，则x1＝x2
D．若|x1－2|＝|x2－2|，则y1＝y2
【答案】 D
返回
当y1＝y2时，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)关于抛物线对称轴对称或重合，∴选项C错误，不符合题意．
若|x1－2|＝|x2－2|，则P1(x1，y1)，P2(x2，y2)到对称轴距离相等，∴y1＝y2.选项D正确，符合题意．故选D.
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：26.2.2.4 二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象与性质
副标题：二次函数一般式的深度探究
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
掌握将二次函数一般式 \( y = ax^2 + bx + c \) 转化为顶点式的方法（配方）
理解并掌握 \( y = ax^2 + bx + c \) 的开口、顶点、对称轴、最值及增减性
能运用一般式解决实际问题，深化数形结合思想
二、知识衔接（回顾顶点式）
二次函数顶点式：\( y = a(x - h)^2 + k \)，顶点坐标\( (h, k) \)，对称轴直线\( x = h \)
思考：一般式 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）无法直接读出顶点和对称轴，如何通过转化获取这些关键信息？
第 3 页：探究 1：一般式转化为顶点式（配方过程）
一、配方步骤（以 \( y = ax^2 + bx + c \) 为例）
提取二次项系数：针对含\( x \)的项，提取\( a \)，得\( y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \)
配方（补全完全平方式）：在括号内加、减一次项系数一半的平方\( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \)，得\( y = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c \)
整理为顶点式：括号内化为完全平方式，去括号并合并常数项，得\( y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} \)
二、对应顶点式要素
对比顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)，可得：
对称轴：直线 \( x = -\frac{b}{2a} \)
顶点坐标：\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)
示例：将 \( y = 2x^2 - 4x + 1 \) 化为顶点式
提取系数：\( y = 2(x^2 - 2x) + 1 \)
配方：\( y = 2[(x^2 - 2x + 1) - 1] + 1 = 2(x - 1)^2 - 2 + 1 \)
整理：\( y = 2(x - 1)^2 - 1 \)，顶点\( (1, -1) \)，对称轴\( x = 1 \)
第 4 页：探究 2：一般式的核心性质（分 \( a > 0 \) 和 \( a < 0 \)）
性质维度
当 \( a > 0 \) 时
当 \( a < 0 \) 时
开口方向
向上（与顶点式一致，由\( a \)符号决定）
向下（与顶点式一致，由\( a \)符号决定）
顶点坐标
\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)（最低点）
\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)（最高点）
对称轴
直线 \( x = -\frac{b}{2a} \)
直线 \( x = -\frac{b}{2a} \)
函数最值
当 \( x = -\frac{b}{2a} \) 时，\( y_{\text{ ° }} = \frac{4ac - b^2}{4a} \)
当 \( x = -\frac{b}{2a} \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = \frac{4ac - b^2}{4a} \)
增减性
- 当 \( x < -\frac{b}{2a} \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小；- 当 \( x > -\frac{b}{2a} \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大
- 当 \( x < -\frac{b}{2a} \)（对称轴左侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大；- 当 \( x > -\frac{b}{2a} \)（对称轴右侧）时，\( y \) 随 \( x \) 增大而减小
第 5 页：关键结论与易错点解析
一、关键结论
系数作用：
\( a \)：决定开口方向（正向上、负向下）和开口大小（\( |a| \)越大，开口越窄）；
\( b \)：与\( a \)共同决定对称轴位置（\( x = -\frac{b}{2a} \)），单独无意义；
\( c \)：抛物线与\( y \)轴交点的纵坐标（交点坐标\( (0, c) \)）；
判别式\( \Delta = b^2 - 4ac \)：决定抛物线与\( x \)轴交点个数（\( \Delta > 0 \)有 2 个交点，\( \Delta = 0 \)有 1 个交点，\( \Delta < 0 \)无交点）。
转化价值：将一般式化为顶点式，可更便捷地分析顶点、对称轴和最值，为解决最值问题（如利润、面积最值）奠定基础。
二、易错点警示
配方错误：配方时易漏乘二次项系数\( a \)，如将\( y = 2x^2 - 4x + 1 \)误配为\( (2x - 1)^2 + 0 \)，需牢记 “先提系数，再配方”；
对称轴公式混淆：误将对称轴记为\( x = \frac{b}{2a} \)，忽略负号，需强化 “\( x = -\frac{b}{2a} \)” 的记忆；
最值计算偏差：计算顶点纵坐标\( \frac{4ac - b^2}{4a} \)时，易颠倒分子顺序（写成\( \frac{b^2 - 4ac}{4a} \)），需注意配方过程中的常数项整理。
第 6 页：例题讲解（分层应用）
例题 1：基础应用（分析一般式性质）
已知二次函数 \( y = -x^2 + 2x + 3 \)（\( a = -1 \)，\( b = 2 \)，\( c = 3 \)），回答下列问题：
求开口方向、对称轴及顶点坐标；
解：\( a = -1 < 0 \)，开口向下；
对称轴\( x = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1 \)；
顶点纵坐标\( \frac{4 \times (-1) \times 3 - 2^2}{4 \times (-1)} = \frac{-12 - 4}{-4} = 4 \)，顶点\( (1, 4) \)；
求函数的最大值及此时\( x \)的值；
解：当\( x = 1 \)时，\( y_{\text{ ¤§}} = 4 \)；
当\( x \)为何值时，\( y \)随\( x \)增大而减小？
解：当\( x > 1 \)（对称轴右侧）时，\( y \)随\( x \)增大而减小。
例题 2：进阶应用（实际最值问题）
某商店销售某种商品，每件成本为 30 元，每件售价\( x \)元（\( 30 \leq x \leq 60 \)），每天销售量\( y \)件与售价\( x \)的关系为\( y = -2x + 120 \)，求每天的最大利润\( W \)（利润 = 每件利润 × 销售量）。
解：1. 列利润表达式：\( W = (x - 30)y = (x - 30)(-2x + 120) = -2x^2 + 180x - 3600 \)；
2. 分析二次函数：\( a = -2 < 0 \)，利润有最大值，对称轴\( x = -\frac{180}{2 \times (-2)} = 45 \)（在\( 30 \leq x \leq 60 \)范围内）；
3. 求最大值：\( W_{\text{ ¤§}} = -2 \times 45^2 + 180 \times 45 - 3600 = 450 \)（元）；
答：当售价为 45 元时，每天最大利润为 450 元。
第 7 页：课堂练习（巩固提升）
一、基础题
二次函数 \( y = 3x^2 - 6x + 2 \) 的对称轴是______，顶点坐标是______，当\( x = \)时，\( y \)有最______值为（答案：直线\( x = 1 \)；\( (1, -1) \)；1；小；-1）；
若二次函数 \( y = x^2 + bx + 4 \) 的对称轴为直线\( x = 2 \)，则\( b = \)______（答案：-4）。
二、提升题
已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象过点\( (0, 1) \)、\( (1, 3) \)、\( (-1, 1) \)，求该函数解析式，并判断其与\( x \)轴是否有交点（答案：解析式\( y = x^2 + x + 1 \)，\( \Delta = 1 - 4 = -3 < 0 \)，无交点）。
第 8 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
转化方法：一般式通过配方转化为顶点式，核心是 “提系数、补全平方、整理常数”；
核心性质：开口看\( a \)，对称轴\( x = -\frac{b}{2a} \)，顶点\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)，最值由\( a \)和顶点纵坐标决定；
实际应用：利用一般式解决利润、面积等最值问题，需先建立函数模型，再结合性质求解。
二、作业布置
必做：教材中对应基础习题，将 3 个一般式转化为顶点式并分析性质；
选做：某长方形场地周长为 20 米，设长为\( x \)米，求面积\( S \)与\( x \)的函数关系，并求最大面积。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.2.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象与性质
第26章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h，k)
(h，k)
x = h
x = h
当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞h 时
y 随着 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞h 时，y 随着 x 的增大而减小.
x = h 时，y最小值 = k
x = h 时，y最大值 = k
抛物线 y = a(x - h)2 + k 可以看作由抛物线 y = ax2 经过平移得到
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 轴
0
(0，-5)
y 轴
-5
(-2，0)
直线 x = -2
0
(-2，-4)
直线 x = -2
-4
(4，3)
直线 x = 4
3
合作探究
我们已经知道 y =a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
问题1 怎样将 化成 y=a(x-h)2+k 的形式？
二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质
配方
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的关系式通常称为配方式或顶点式.
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解：先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象
如右图.
O
问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性.
5
10
x
y
5
10
x=6
当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解: 函数 通过配方可得 ，
先列表：
典例精析
2
x
y
-2
O
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当 x＜1 时，函数值 y 随x 的增大而增大；
当 x＞1 时，函数值 y 随x 的增大而减小；
当 x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2.
求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为(2，-1).
解：
练一练
我们如何用配方法将一般式 y = ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式 y = a(x-h)2+k？
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
y = ax + bx + c
要点归纳
二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 的可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
因此抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
对称轴是直线
(1)
x
y
O
如果 a > 0，当 x < 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 时，y 随 x 的增大而增大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 .
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
(2)
x
y
O
如果 a < 0，当 x < 时， y 随 x 的增大而增大；
当 x > 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数值达到最大，最大值为 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
例2 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是( )
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
解析：由题设可知，
当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，
∴抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x = 1 的
左侧，而抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴
，即 b≤1，故选 D.
D
填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y = -x2 + 2x
y = -2x2 - 1
y = 9x2 + 6x - 5
(1，1)
x = 1
最大值 1
(0，-1)
y 轴
最大值 -1
最小值 -6
( ，-6)
直线 x =
合作探究
问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k3x+b3
y=k2x+b2
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
＞
＜
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＞
＞
二次函数的图象与系数的关系
x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在 y 轴左侧，
对称轴在 y 轴右侧，
x=0 时，y=c
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是 y 轴，
对称轴在 y 轴右侧，
x =0时，y =c.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧
a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与 y 轴交于_____半轴
c＜0 与 y 轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
要点归纳
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
【解析】由图象开口向下可得 a＜0，
由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，
由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，
则 abc＞0，故①正确；
由对称轴 x >－1可得 2a－b＜0，故②正确；
则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．故正确的结论是①②③④. 选 D.
由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限
可得 4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上 x＝1 的点在第四象限得
a＋b＋c＜0，
由图象上 x＝－1 的点在第二象限得
a－b＋c＞0，
练一练
二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限，
正比例函数的图象经过一、三象限.
故选C.
C
1.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y 轴 B.直线 x=
C. 直线 x = 2 D.直线 x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 的图象如图所示，则下列结论：
(1) a、b 同号；
(2) 当 x = –1 和 x = 3 时，函数值相等；
(3) 4a + b = 0；
(4) 当 y = –2 时，x 的值只能取 0；
其中正确的是 .
直线 x = 1
（2）
3.如图是二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象的一部分，x= -1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若 (-3，y1)，( ，y2) 是抛物线上两点，则 y1 > y2.其中正确的是( )
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
x
y
O
2
x= -1
B
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标：
直线 x = 3
直线 x = 8
直线 x = 1.25
直线 x = 0.5
返回
1．[2024南阳模拟]下列关于二次函数y＝－x2＋4x＋3的说法正确的是( )
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为(2，3)
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
D
2．[2023河南]二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象一定不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C
返回
2
3．将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝________.
【点拨】抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后得到y＝ax2＋bx＋3－5＝ax2＋bx－2，
把点(－2，4)的坐标代入y＝ax2＋bx－2，
得4＝a×(－2)2－2b－2，即2a－b＝3，
∴6a－3b－7＝3(2a－b)－7＝3×3－7＝2.
返回
返回
5．[2024德州期中]已知：二次函数y＝x2＋4x＋3.
(1)求出该函数图象的顶点坐标；
【解】y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，
∴该函数图象的顶点坐标为
(－2，－1)．
(2)在如图的网格中画出该函数的大致图象；
【解】函数图象如图所示．
返回
(3)求当－4≤x≤2时，函数y的取值范围．
【解】易得当x＝－2时，函数y取最小值－1，
当x＝－4时，y＝3，当x＝2时，y＝15，
∴当－4≤x≤2时，函数y的取值范围为－1≤y≤15.
【答案】 A
返回
7．[2024北京海淀区期中]已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y＝ax2－4ax上的两点，下列命题正确的是( )
A．若|x1－2|＞|x2－2|，则y1＞y2
B．若y1＞y2，则|x1－2|＞|x2－2|
C．若y1＝y2，则x1＝x2
D．若|x1－2|＝|x2－2|，则y1＝y2
【答案】 D
返回
当y1＝y2时，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)关于抛物线对称轴对称或重合，∴选项C错误，不符合题意．
若|x1－2|＝|x2－2|，则P1(x1，y1)，P2(x2，y2)到对称轴距离相等，∴y1＝y2.选项D正确，符合题意．故选D.
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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