26.2.2.5二次函数求最值 课件(共39张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共39张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.2.2.5 二次函数求最值
副标题：从解析式到实际应用的全场景解法
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识回顾
一、学习目标
掌握根据二次函数不同形式（顶点式、一般式）求最值的方法
学会在指定自变量取值范围内求二次函数的最值
能运用二次函数最值解决实际问题（如利润、面积、高度等）
深化数形结合思想，理解 “最值与顶点、取值范围的关系”
二、知识回顾（衔接前序内容）
二次函数的两种关键形式：
顶点式：\( y = a(x - h)^2 + k \)（顶点\( (h, k) \)）
一般式：\( y = ax^2 + bx + c \)（对称轴\( x = -\frac{b}{2a} \)，顶点纵坐标\( \frac{4ac - b^2}{4a} \)）
最值的核心原理：
当 \( a > 0 \) 时，抛物线开口向上，函数有最小值（顶点纵坐标）；
当 \( a < 0 \) 时，抛物线开口向下，函数有最大值（顶点纵坐标）。
第 3 页：方法一：根据顶点式求最值（直接法）
一、适用场景
已知二次函数为顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)（或可快速化为顶点式），且自变量 \( x \) 无额外取值限制（即 \( x \in \mathbb{R} \)）。
二、求解步骤
判断开口方向：由 \( a \) 的符号确定最值类型（\( a > 0 \) 最小，\( a < 0 \) 最大）；
确定顶点坐标：直接读取顶点 \( (h, k) \)；
得出最值：当 \( x = h \) 时，函数最值为 \( k \)。
三、实例解析
例 1：求 \( y = 2(x - 3)^2 + 5 \) 的最值
解：\( a = 2 > 0 \)，开口向上，有最小值；
顶点\( (3, 5) \)，当 \( x = 3 \) 时，\( y_{\text{ ° }} = 5 \)。
例 2：求 \( y = -3(x + 2)^2 - 1 \) 的最值
解：\( a = -3 < 0 \)，开口向下，有最大值；
顶点\( (-2, -1) \)，当 \( x = -2 \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = -1 \)。
第 4 页：方法二：根据一般式求最值（公式法 / 配方法）
一、适用场景
已知二次函数为一般式 \( y = ax^2 + bx + c \)，且自变量 \( x \) 无额外取值限制。
二、求解方法（两种思路）
思路 1：公式法（直接用顶点坐标公式）
计算对称轴：\( x = -\frac{b}{2a} \)（此时的 \( x \) 是取得最值的自变量值）；
计算最值：将 \( x = -\frac{b}{2a} \) 代入一般式，或直接用顶点纵坐标公式 \( y_{\text{ }} = \frac{4ac - b^2}{4a} \)；
根据 \( a \) 的符号确定是最大值还是最小值。
思路 2：配方法（转化为顶点式）
将一般式通过配方化为顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \)；
按 “顶点式求最值” 的方法，直接读取最值 \( k \)。
三、实例解析
例：求 \( y = -x^2 + 4x - 1 \) 的最值
方法 1（公式法）：\( a = -1 < 0 \)，有最大值；
对称轴\( x = -\frac{4}{2 \times (-1)} = 2 \)；
最值\( y = \frac{4 \times (-1) \times (-1) - 4^2}{4 \times (-1)} = \frac{4 - 16}{-4} = 3 \)；
即当 \( x = 2 \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = 3 \)。
方法 2（配方法）：\( y = -x^2 + 4x - 1 = -(x^2 - 4x) - 1 = -[(x - 2)^2 - 4] - 1 = -(x - 2)^2 + 3 \)；\( a = -1 < 0 \)，顶点\( (2, 3) \)，当 \( x = 2 \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = 3 \)。
第 5 页：方法三：指定自变量取值范围内求最值（范围限制型）
一、核心难点
当自变量 \( x \) 有明确取值范围（如 \( x \in [m, n] \)）时，最值不一定在顶点处，需结合 “对称轴与取值范围的位置关系” 分析。
二、求解步骤
求对称轴：先计算对称轴 \( x = h \)（顶点式中 \( h \) 直接得，一般式用 \( x = -\frac{b}{2a} \)）；
判断对称轴是否在取值范围内：
若对称轴 \( x = h \in [m, n] \)：则最值为顶点纵坐标（\( a > 0 \) 最小，\( a < 0 \) 最大），另一个端点处取另一极值；
若对称轴 \( x = h \notin [m, n] \)：则函数在 \( [m, n] \) 上单调，最值在两个端点 \( x = m \) 和 \( x = n \) 处取得（代入计算后比较大小）；
计算并确定最值：代入对应 \( x \) 值，求出函数值，确定最终最值。
三、实例解析
例：求 \( y = x^2 - 2x + 3 \) 在下列取值范围内的最值
当 \( x \in [0, 3] \) 时：
解：对称轴\( x = 1 \)（在 \( [0, 3] \) 内）；\( a = 1 > 0 \)，顶点\( (1, 2) \)，故 \( y_{\text{ ° }} = 2 \)；
端点计算：\( x = 0 \) 时 \( y = 3 \)，\( x = 3 \) 时 \( y = 6 \)，故 \( y_{\text{ ¤§}} = 6 \)。
当 \( x \in [-1, 0] \) 时：
解：对称轴\( x = 1 \)（不在 \( [-1, 0] \) 内）；\( a = 1 > 0 \)，函数在 \( [-1, 0] \) 上单调递减；
端点计算：\( x = -1 \) 时 \( y = 6 \)，\( x = 0 \) 时 \( y = 3 \)；
故 \( y_{\text{ ¤§}} = 6 \)，\( y_{\text{ ° }} = 3 \)。
第 6 页：实际应用：二次函数最值的生活场景
一、常见应用场景
利润最值、面积最值、高度最值、行程最值等，核心是 “建立二次函数模型，转化为求最值问题”。
二、解题通用步骤
设变量：设关键自变量（如售价、边长、时间等）为 \( x \)，设所求量（如利润、面积）为 \( y \)；
列函数：根据题意列出 \( y \) 关于 \( x \) 的二次函数解析式（注意自变量的实际取值范围）；
求最值：根据函数形式（顶点式 / 一般式）和取值范围，用对应方法求最值；
验结果：验证结果是否符合实际意义（如边长为正、售价在合理区间内）。
三、实例解析（面积最值）
例：用长为 20 米的篱笆围一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙足够长，不占用篱笆），求菜园的最大面积。
设变量：设垂直于墙的边长为 \( x \) 米，则平行于墙的边长为 \( (20 - 2x) \) 米，面积为 \( S \) 平方米；
列函数：\( S = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x \)，自变量范围：\( x > 0 \) 且 \( 20 - 2x > 0 \)，即 \( 0 < x < 10 \)；
求最值：\( a = -2 < 0 \)，对称轴\( x = -\frac{20}{2 \times (-2)} = 5 \)（在 \( 0 < x < 10 \) 内）；
最值\( S_{\text{ ¤§}} = -2 \times 5^2 + 20 \times 5 = 50 \)（平方米）；
验结果：\( x = 5 \) 时，平行于墙的边长为 \( 10 \) 米，符合实际；
答：菜园的最大面积为 50 平方米。
第 7 页：常见错误与避坑技巧
一、常见错误
忽略自变量取值范围：如求 \( y = (x - 2)^2 + 1 \) 在 \( x \in [0, 1] \) 时的最值，误直接取顶点 \( (2, 1) \)，实际应取端点 \( x = 1 \) 时 \( y = 2 \)；
配方时计算错误：如将 \( y = 2x^2 - 4x + 3 \) 误配为 \( 2(x - 1)^2 + 1 \) 后，错算顶点纵坐标为 \( 2 \)；
实际问题中变量范围遗漏：如利润问题中，售价未考虑成本，导致自变量范围不合理；
混淆 “最大值” 与 “最小值”：\( a > 0 \) 时误求最大值，\( a < 0 \) 时误求最小值。
二、避坑技巧
“三步验证法”：求最值后，验证 “对称轴是否在范围里、端点值是否计算对、结果是否合实际”；
画图辅助：复杂范围问题，可简单画出抛物线草图，标出对称轴和取值范围，直观判断最值位置；
公式记忆口诀：一般式求对称轴：“\( x = -b \) 除以 \( 2a \)，符号千万别落下”；
实际问题 “先定范围”：列函数前先明确自变量的实际限制（如长度为正、人数为整数），避免后续计算无效。
第 8 页：课堂练习与作业布置
一、课堂练习
基础题：求 \( y = -2x^2 + 8x - 3 \) 的最值（无范围限制）（答案：\( x = 2 \) 时，\( y_{\text{ ¤§}} = 5 \)）；
提升题：求 \( y = (x + 1)^2 - 4 \) 在 \( x \in [-3, 1] \) 时的最值（答案：\( x = -1 \) 时 \( y_{\text{ ° }} = -4 \)，\( x = 1 \) 时 \( y_{\text{ ¤§}} = 0 \)）；
应用题：某商品每件成本 40 元，售价 \( x \) 元（\( 50 \leq x \leq 80 \)）时，每天销量 \( y = -2x + 200 \) 件，求每天最大利润（答案：售价 70 元时，利润 1800 元）。
二、作业布置
必做：教材中二次函数最值相关习题，完成 3 道基础题 + 1 道应用题；
选做：探究 “若二次函数在闭区间 \( [m, n] \) 上的最大值和最小值都在端点处取得，对称轴与区间的位置关系是什么”，并举例说明。
第 9 页：课堂小结
三种求最值方法：
顶点式：直接读顶点纵坐标（无范围限制）；
一般式：公式法（\( x = -\frac{b}{2a} \)）或配方法；
范围限制型：先看对称轴是否在范围内，再定最值位置。
实际应用核心：“设变量 — 列函数 — 定范围 — 求最值 — 验实际” 五步走；
思想方法：数形结合（草图辅助判断）、分类讨论（对称轴与范围的位置关系）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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26.2.2.5二次函数求最值
第26章　二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
y=ax2+bx+c a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
当x位于对称轴左侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴右侧时，y随x的增大而增大.
当x位于对称轴右侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴左侧时，y随x的增大而增大.
直线
直线
做一做
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4.
解：(1) 开口方向：向上；对称轴：x = 2；
顶点坐标：(2，-9).
(2) 开口方向：向下；对称轴：x = ；
顶点坐标：( ， ).
合作探究
问题1 二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
求二次函数的最大（或最小）值
问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？
当 a＞0 时，有 ，此时 ；
当 a＜0 时，有 ，此时 .
问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
例1 求下列函数的最大值与最小值：
x
O
y
解：
-3
1
(1)
∴ 当 时，有
当 时，有
典例精析
解：
O
x
y
1
-3
(2)
∴ 当 x = -3 时，有
∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小.
当 x = 1 时，有
方法归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴；
2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明 x 的取值范围；
3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质及图象，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值，然后根据 x 的值，求出函数的最值.
典例精析
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用 l 表示另一边？
问题3 面积 S 的函数关系式是什么？
矩形面积 = 长×宽
另一边长为 (30 l) m
S = (30 l)l = l2+30l
几何图形的最大面积
问题4 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
解：根据题意得
S = l (30 - l)
= -l2 + 30l (0＜l＜30)，
当 时，
有 S最大值 =
也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l/m
S/m2
O
变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60 - 2x
问题2 我们可以设面积为 S，如何设自变量？
问题3 面积 S 的函数关系式是什么？
问题1 变式 1 与例 2 有什么不同？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450.
设垂直于墙的一边长为 x 米
篱笆长不等于周长 (少了一边)
问题4 如何求自变量 x 的取值范围？墙长 32 m 对此题有什么作用？
问题5 如何求面积 S 的最大值？
最大值在其图象顶点处，
即当 x = 15 m 时，有 S最大值 = 450 m2.
0＜60－2x≤32，即 14≤x＜30.
x
x
60 - 2x
变式2 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
x
问题1 变式 2 与变式 1 有什么异同？
问题2 可否模仿变式 1 设未知数、列函数关系式？
问题3 可否试设与墙平行的一边长为 x 米？则如何表示另一边长与面积？
答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则
问题4 当 x = 30 时 S 取最大值吗？为什么？
问题5 如何求自变量的取值范围？
0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求面积最大值？
由于 30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x = 18 m 时，S 有最大值是 378 m2.
不是，未考虑 x 的实际范围.
例3 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
x
解：设矩形窗框的宽为 x m，
则高为 m. 由于
这里应有 x＞0，故 0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是
即
配方得
所以，当 x = 1 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.5.
这时
因此，所做矩形窗框的宽为 1 m、高为 1.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m2.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围确定. 通过变式 1 与变式 2 的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际意义的最值.
方法总结
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式
求它的最大值或最小值；
3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，
然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的
范围求函数最值.
1. 如图1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是 m2.
图1
2.如图1，在△ABC 中， ∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移动(不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，四边形
APQC 的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
图1
3. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为x(m),面积为 S (m2).
(1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
解：(1) 因为矩形一边长为 x，则另一边长为(6 - x)，
∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6.
解：S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9.
∴ 当 x = 3，即矩形的一边长为 3 m 时，矩形的面积最大，为 9 m2.
这时设计费最多，为 9×1000 = 9000 (元).
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
1．[2024深圳期中]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下，顶点坐标为(－3，2)，那么该抛物线有(　　)
A．最小值－3
B．最大值－3　
C．最小值2
D．最大值2
返回
【点拨】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是
公式法.
【答案】 D



2. 如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为14 m，则所围成的矩形ABCD的最大面积是(　　)
A．50 m2
B．49 m2
C．46 m2
D．48 m2
B
[变式] 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　)
A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
B
返回
返回
C
3. 已知二次函数y＝－(x＋1)2＋3，若－3≤x≤2，则函数y的最小值和最大值分别是(　　)
A．－1，3 B．0，3
C．－6，3 D．－6，－1
4．若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象经过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax有最______值，最值为______(用含a的字母表示)．
大
返回
5．如图，已知 ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm.
(1) ABCD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为____________，自变量x的取值范围为________；
0返回
(2)当x取________时，y的值最大，最大值为________．
2
2
6．[2024湖北]学校要建一个矩形花圃(如图)，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42 m，篱笆长80 m．设垂直于墙的边AB长x m，平行于墙的边BC长y m，围成的矩形面积为S m2.
(1)求y与x，S与x的关系式．
【解】由题意，得2x＋y＝80，∴y＝－2x＋80.
由题意，得0＜－2x＋80≤42，且x＞0，
∴19≤x＜40.由题意，得S＝AB·BC＝x(－2x＋80)，
∴S＝－2x2＋80x(19≤x＜40)．
(2)围成的矩形花圃的面积能否为750m2，若能，求出x的值．
【解】能．假设围成的矩形花圃的面积为750 m2.由题意，令S＝－2x2＋80x＝750，解得x＝15(舍去)或x＝25.
∴当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750 m2.
返回
(3)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
【解】存在最大值．由(1)知，S＝－2x2＋80x＝
－2(x－20)2＋800.∵－2＜0，且19≤x＜40，
∴当x＝20时，S取得最大值，最大值为800.∴围成的矩形花圃的最大面积为800 m2，此时x的值为20.
图形面积的最大值
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，要根据自变量的范围，利用函数的增减性来确定
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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