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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题4.1平面直角坐标系（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处，如果“帅”位于点，“相”位于点，建立出平面直角坐标系，A、B、C、D四点坐标正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据图像分别写出A、B、C、D四点的坐标再跟选项对比即可．
【详解】解：根据图象可得，A点的坐标为；
B点的坐标为；
C点的坐标为；
D点的坐标为，
∴B选项正确，
故选B．
2．如图，，点E，B，C在轴上，已知点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等求出点的坐标．
先根据点、的坐标求出和的长度，再利用全等三角形的性质得出和的长度，进而求出点的坐标．
【详解】解：已知点，
轴，
，
，
，
又 ，
，且在第二象限，
点的坐标是，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点的横纵坐标符号即可确定所在象限．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴点的横坐标为正数．纵坐标为负数．
∴点在第四象限，
故选：D．
4．已知点，轴，且，则点坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点，学会分类讨论是解决本题的关键．
由平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段的长为5，B点可能在A点的左边或右边，分别求B点坐标即可．
【详解】解：∵轴，
∴A、B两点纵坐标相等，即B点纵坐标为4．
又∵A点坐标为，
∴B点横坐标可能为或．
∴B点坐标为或．
故选D．
5．若 点P 是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P 到x轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可确定点P的坐标．
【详解】解：∵点P 到x轴的距离是2，
∴点P的纵坐标为，
∵点P到y 轴的距离是3，
∴点P的横坐标为，
∵点P在第二象限，
∴点P坐标为．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．若点与点之间的距离是1，则x的值是
B．若，则点一定在第四象限
C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个
D．已知点，点，则轴
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键．
根据平面直角坐标系中点的坐标特点进行判断即可．
【详解】解：A．若点与点之间的距离是1，则x的值是或，原说法错误；
B．若，则，即点一定在第二象限，原说法错误；
C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个，原说法正确；
D．已知点，点，则轴，原说法错误；
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．点P关于x轴的对称点的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，第二象限的角平分线上的点的坐标特点，由作图方法可知，点P在第二象限的角平分线上，再由第二象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：由对称可得
由作图方法可知，点P在第二象限的角平分线上，
∴，即，
故选：C．
8．若点与点在同一条平行于轴的直线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】考查图形与坐标，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，难点在于要分类讨论．
根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出，再根据求出，然后写出点N的坐标即可．
【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上，
∴
∵
∴ 或
∴点N的坐标为或．
故选C
9．如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查图形与坐标，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．设与x轴交于点C，根据等腰三角形三线合一知，，利用勾股定理求出长，根据点所在象限写出坐标．
【详解】解：设与x轴交于点C，
∵，轴，
∴，
∴，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为，
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，点到达终点时点也随之停止运动．直线经过原点，且，过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F．若点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当与全等（与不重合）时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质建立方程．根据全等三角形的性质推出，再利用线段的和差表示出，的长，进而建立一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F，
∴，
∴、分别是、的斜边，
当与全等时，，
∵与不重合，
∴点P在上，点Q在上，
由题意得，，，
∴，，
∴，
解得或(舍，此时重合)，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离问题．
点到坐标轴的距离相等，即点到轴的距离（纵坐标的绝对值）与点到轴的距离（横坐标的绝对值）相等，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意，点到两坐标轴的距离相等，因此，
解此方程，得或，
当时，解得，此时，，故；
当时，解得，此时，，故．
故答案为：或．
12．已知点，，点在坐标轴上，且，则满足条件的点的坐标为 ．
【答案】或或或
【分析】本题考查了点的坐标特征，三角形面积公式，分点在轴上和轴上两种情况，利用三角形面积公式求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当点在轴上时，设点的坐标为，则底边的长度为，高为点到轴的距离，
面积，
解得或，即点的坐标为或；
当点在轴上时，设点的坐标为，则底边的长度为，高为点到轴的距离，
面积，
解得或，即点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
13．若点在第四象限内，则m的取值范围为 ．
【答案】．
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，列出不等式组即可解决问题．
【详解】∵点在第四象限内，
∴，
解得，
故答案为：．
14．经纬网是一种利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置．在如图所示的经纬网中，已知甲的坐标为，表示的经纬度为西经，北纬，若乙的经纬度为东经，南纬，则乙的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，根据题意建立平面直角坐标系，然后通过平面直角坐标系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图，
因为乙表示的经纬度为东经，南纬，
所以乙的坐标为，
故答案为：．
15．如图，点在平面直角坐标系中，连接组成，若在轴上存在一动点，当时，点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与点的特征是解题的关键，根据，计算出的长，从而得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点在轴上，
∴点的坐标为或，
故答案为：或．
16．已知点在第一象限，点在第四象限，若，都为整数，则 ．
【答案】7或8
【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，解不等式组，根据题意得到，，求出，，然后根据，都为整数，得到，或2，然后分情况代入求解即可．
【详解】解：∵点在第一象限，点在第四象限，
∴，，
∴，，
∵，都为整数，
∴，或2
∴当，时，；
当，时，．
综上所述，或8．
故答案为：7或8．
17．如果点的坐标满足，那么称点为“和谐点”，若某个“和谐点”到轴的距离为，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了坐标和一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
直接利用某个“和谐点”定义，得出的值，进而求出的值，即可求出答案．
【详解】解：∵某个“和谐点”到轴的距离为，
∴，
∵，
∴或，
解得或，
则点的坐标为或．
18．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过和分别作于，于，由同角的余角相等可得， 证明， 得，， 又点的坐标为，点的坐标为， 故有，，， 最后由线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过和分别作于，于，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于y轴的对称图形，并写出点和的坐标：
(2)如果点D在第一象限，且以点A、B、D为顶点的三角形与全等．直接写出所有符合条件的点D的坐标．
【答案】(1)作图见解析，点的坐标为；点的坐标为
(2)点D坐标为，
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键．
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点D的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所作；点的坐标为；点的坐标为；
（2）解：如图，满足条件的点D有两个，点D坐标为，．
20．已知点，解答下列各题：
(1)若点在轴上，则点的坐标为______；
(2)若点，且轴，则点的坐标为_____；
(3)若点在第二象限，且它到轴的距离是到轴的距离的倍，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了坐标与图形的变化，一元一次方程，代数式求值等知识，解题的关键是熟悉各象限内与坐标轴上点的坐标的特点．
（）根据轴上的点的纵坐标为0，列出方程即可解决问题；
（）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，列出方程即可解决问题；
（）根据第二象限内点的符号特征，以及点到坐标轴的距离，列出方程得出的值代入即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点在轴上，
∴，解得：
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：∵点，轴，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵点在第二象限，
∴，
∵点到轴的距离是到轴的距离的倍，
∴，解得：，
∴．
21．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为，解答以下问题：
(1)请在图中建立适当的直角坐标系，则图书馆B的坐标为________；
(2)在坐标系中标出体育馆的位置；
(3)在（2）的条件下，食堂为轴下方一点，且，则食堂的坐标为________．
【答案】(1)见解析，；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题考查了画平面直角坐标系，求坐标系中点的坐标．
（1）根据学校位置坐标画出平面直角坐标系，进而写出图书馆B的坐标即可；
（2）根据体育馆的坐标标出位置即可；
（3）根据在平面直角坐标系中标出食堂，进而写出食堂的坐标即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如下：
可知图书馆B的坐标为．
故答案为：；
（2）如图：
（3）在平面直角坐标系中标出食堂如图所示：
可知食堂的坐标为．
故答案为：．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积）
【答案】或
【分析】本题考查了平面直角坐标系中求点的坐标等知识．
设点M坐标为，根据得到，求出，问题得解．
【详解】解：设点M坐标为，
∵，，，，
∴，
即，
∴，
∴点的坐标为或．
23．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：，从D到C记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
(1)填空：图中(________，______)，(________，________)，________；
(2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置；
(3)若这只甲虫从B处去Q处的行走路线依次为 ，…，，则_______．
【答案】(1)；；；0；A
(2)见解析；15
(3)7
【分析】本题考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
（1）根据规定及网格即可解答；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移2个格点即可得到点的坐标，在图中标出即可；
（3）根据记为求解即可．
【详解】（1）解：规定：向上向右走为正，向下向左走为负，
∴记为，记为，记为；
故答案为：；；；0；A．
（2）解：点位置如图所示：
（3）解：∵记为，
，
故答案为：7．
24．【综合与实践】
【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】
（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键：
（1）证明即可；
（2）作轴，证明，即可得出结果；
（3）过点作直线轴，交轴于点，作，证明，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
（2）作轴，则，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
同（1）理可证：，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作直线轴，交轴于点，作，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
同（1）理可证：，
∴，
∴，即：．
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专题4.1平面直角坐标系（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处，如果“帅”位于点，“相”位于点，建立出平面直角坐标系，A、B、C、D四点坐标正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，点E，B，C在轴上，已知点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知点，轴，且，则点坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．若 点P 是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P 到x轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．若点与点之间的距离是1，则x的值是
B．若，则点一定在第四象限
C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个
D．已知点，点，则轴
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．点P关于x轴的对称点的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
8．若点与点在同一条平行于轴的直线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，点到达终点时点也随之停止运动．直线经过原点，且，过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F．若点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当与全等（与不重合）时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ．
12．已知点，，点在坐标轴上，且，则满足条件的点的坐标为 ．
13．若点在第四象限内，则m的取值范围为 ．
14．经纬网是一种利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置．在如图所示的经纬网中，已知甲的坐标为，表示的经纬度为西经，北纬，若乙的经纬度为东经，南纬，则乙的坐标为 ．
15．如图，点在平面直角坐标系中，连接组成，若在轴上存在一动点，当时，点的坐标为 ．
16．已知点在第一象限，点在第四象限，若，都为整数，则 ．
17．如果点的坐标满足，那么称点为“和谐点”，若某个“和谐点”到轴的距离为，则点的坐标为 ．
18．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于y轴的对称图形，并写出点和的坐标：
(2)如果点D在第一象限，且以点A、B、D为顶点的三角形与全等．直接写出所有符合条件的点D的坐标．
20．已知点，解答下列各题：
(1)若点在轴上，则点的坐标为______；
(2)若点，且轴，则点的坐标为_____；
(3)若点在第二象限，且它到轴的距离是到轴的距离的倍，求的值．
21．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为，解答以下问题：
(1)请在图中建立适当的直角坐标系，则图书馆B的坐标为________；
(2)在坐标系中标出体育馆的位置；
(3)在（2）的条件下，食堂为轴下方一点，且，则食堂的坐标为________．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积）
23．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：，从D到C记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
(1)填空：图中(________，______)，(________，________)，________；
(2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置；
(3)若这只甲虫从B处去Q处的行走路线依次为 ，…，，则_______．
24．【综合与实践】
【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】
（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标．
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