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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题4.3.1坐标平面内图形的对称（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”这一核心规律．
已知点A坐标为，根据关于y轴对称的坐标特征，先保持点A的纵坐标1不变，再求横坐标的相反数为2，由此可确定点B的坐标为．
【详解】解：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
已知点，其纵坐标为(保持不变)，横坐标的相反数为2，故点B的坐标为．
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，是过点，且垂直于轴的直线，则点关于直线对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称的性质，关于直线对称，即到直线的距离相等，在同一高度即纵坐标相等．
【详解】解：过点,且垂直于轴的直线．
直线为直线
设点关于直线的对称点坐标为
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化 对称的知识；解决本题的关键是应认真观察，注意技巧，充分利用对称的特点．
3．“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合
【答案】D
【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系．
根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案．
【详解】解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为，
所以A，B两点原来的位置关系是重合．
故选：D．
4．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可．
【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示：
故选：B．
5．已知点和关于x轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可．
【详解】解：∵点和关于x轴对称，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了作图基本作图，每个象限内点的坐标特点，解分式方程以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点横坐标的绝对值纵坐标的绝对值．根据基本作图可判断平分，则利用第一象限的角平分线上点的坐标特征得到，然后解关于的分式方程即可．
【详解】解：由作法得平分，
即点P在第一象限的角平分线上，
所以，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故选：D．
7．在平面直角坐标系中，轴是正五边形的对称轴．已知，，，，这五个点中，只有一个点不是正五边形的顶点． 下列关于这个点的说法正确的是（ ）
A．一定是 B．一定是
C．一定是和中的某一点 D．一定是和中的某一点
【答案】C
【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于y轴对称的两个点的坐标特点．根据关于y轴对称的两个点纵坐标相同，横坐标互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：∵与关于y轴对称，在y轴上，
又∵轴是正五边形的对称轴，
∴点N、P、R一定是正五边形的顶点，
∵，两个点横坐标互为相反数，纵坐标，
∴这两个点不是关于y轴的对称点，
又∵只有一个点不是正五边形的顶点，
∴这个点一定是和中的某一点，故C正确．
故选：C．
8．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（ ）
A．点和点 B．点和点
C．点和点 D．点和点
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题．
利用轴对称的性质进行求解即可．
【详解】解：如图所示，
利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点，
点即为点，此时，，最小，
故选：B．
9．如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短问题的关键．
延长到使得，延长到使得，连接，，得出当、、、依次共线时，的周长最小为，此时，推出，进而得出的度数．
【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接，，
，
∴关于对称，关于对称，
，
，
同理：，
的周长，且当、、、依次共线时，的周长最小为，
此时，∵，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10．如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质．
作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，
∴此时，周长最小，为线段的长度，
根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
11．点关于轴的对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解．
根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵点关于轴的对称点，
∴点的横坐标不变，为．纵坐标为，
∴点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，则 ．
【答案】0
【分析】直接利用关于直线对称点的坐标特点：横坐标不变，是两个点的纵坐标的中点，得出的值，进而得出答案．
【详解】解：点和点关于直线对称
故答案为：0．
13．已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，理解新定义并掌握坐标点关于轴对称的规律是解题的关键．根据题目的定义，可求出有序数对的“阶结伴数对”为 ，再利用与关于轴对称，得到，联立两个等式即可求出的值．
【详解】解：由题意得，有序数对的“阶结伴数对”为 ，
有序数对（）与它的“阶结伴数对”关于轴对称，
与关于轴对称，
，
，
，
又，
，
解得：．
故答案为：．
14．已知点与点关于点对称，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答．
【详解】解：∵点与点关于点对称，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图，以长方形的中心为原点建立坐标系．点的坐标是，则点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形与坐标、轴对称图形的性质，利用数形结合求解是解题的关键．根据关于坐标轴对称的点的坐标特征，结合图形可得出答案．
【详解】解：如图所示，以长方形的中心为原点建立坐标系，即长方形关于坐标轴对称，
∵点的坐标是，
∴点B与点A关于x轴对称，则；
点C与点B关于x轴对称，则．
点D与点A关于x轴对称，则;
故答案为：，，．
16．如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为
【答案】8
【分析】本题主要考查轴对称—最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接，
，
，
当点，P，F三点共线，时，的值最小，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
，
故答案为：8．
17．如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______．
【答案】6
【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键．
利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可．
【详解】解：设直线与直线相交于点O，
根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，，
如图，点P每经过6次对称又回到点P，
若与P重合，
则n的最小值为6．
故答案为：6．
18．在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ．
【答案】1或3
【分析】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式．根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可．
【详解】解：根据题意得，，，，
，，
的面积为1，
，
解得或3，
故答案为：1或3．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，点坐标为．
(1)在平面直角坐标系中作出关于轴对称的；
(2)直接写出点的坐标，______，______，______；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查坐标系中的轴对称：
（1）（2）一个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可画图并得到点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：由图可知：，
故答案为：；
20．在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，点关于轴对称．
(1)已知，求出点的坐标；
(2)已知，的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得点的坐标；
（2）根据点坐标和的面积，可得的值，进而得点的坐标．
本题主要考查了坐标系中的对称和轴对称的性质，熟练掌握坐标系中点的对称是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）∵点，关于轴对称，
∴的坐标．
（2）∵点在第一象限，点，关于轴对称，
∴的坐标，
∴，
∵的面积为，
∴，（舍去），
∴的坐标．
21．如图，已知点D，E分别是等边三角形中边的中点，是线段上的动点，求的最小值．
【答案】6
【分析】本题考查了“将军饮马”问题：将B关于对称到C，，再根据三角形三边关系，数形结合即可得到最小值．
【详解】解：如图，连接，．
是等边三角形，D是中点，E是中点，
∴是的垂直平分线，，
，
，当且仅当C、F、E三点共线时，等号成立，
∴的最小值为6．
22．如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接．
(1)如图1，求证：．
(2)过点作，交延长线于点．设．
①如图2，求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①②
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可；
②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
根据等腰三角形的三线合一得，
垂直平分线段，
∴；
（2）解：①∵，
，
由（1）得，
，
∴，
即，
由（1）得为等腰直角三角形，
，
，
∵，
∴为直角三角形，
∴；
②∵点与点关于直线对称，
，
又,
∴，
∴，
∴，
解得．
23．在中，，，，点为线段上的一个动点，以为直角边向右作等腰，使，．
(1)连结，求证：；
(2)过点作的对称轴交直线于点，若，求的长．（在备用图上画符合题意的草图，并完成计算）
【答案】(1)见解析
(2)的长为或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，得，再结合，，即可证明；
（2）依题意，分类讨论，即当点在线段上和当点在的延长线上，再逐个作图，结合全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称性质等知识内容进行分析，即可作答．
【详解】（1）证明：依题意，，
∴
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
分两种情况：当点在线段上，
连接，如图所示：
，
由（1）知：，
，
，
，
是的对称轴，
垂直平分，
，
，
即：，
解得：；
当点在的延长线上
连接，如图所示：
，
由（1）知：，
，
，
，
，
是的对称轴，
垂直平分，
，
，
即：，
解得：；
综上所述，的长为或．
24．【自主探究】（1）如图，在中，点、、分别在边、、上，若，那么与有何关系，并加以证明；
【拓展应用】（2）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，．以为腰向右作等腰，使得，，连接．
试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
如图．已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．
【答案】（1）；理由见解析；
（2）；理由见解析；
．
【分析】利用三角形外角性质即可求解；
利用线段和差及等量代换即可求解；
在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，先证明，得到，再求出，即可确定点在射线上运动，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，在中求出即可．
【详解】解：，
理由如下：
，，
，
，
；
解：，
理由如下：
，
，
，
，
；
解：如下图所示，在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，
，，
由可得，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线（固定）上运动，
点与点关于对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，，
，
，
由对称性可知，，
，
点是的中点，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【点睛】本题是三角形的综合题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，将军饮马问题，勾股定理，二次根式，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
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专题4.3.1坐标平面内图形的对称（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是( )
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，是过点，且垂直于轴的直线，则点关于直线对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合
4．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．已知点和关于x轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
6．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．5
7．在平面直角坐标系中，轴是正五边形的对称轴．已知，，，，这五个点中，只有一个点不是正五边形的顶点． 下列关于这个点的说法正确的是（ ）
A．一定是 B．一定是
C．一定是和中的某一点 D．一定是和中的某一点
8．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（ ）
A．点和点 B．点和点
C．点和点 D．点和点
9．如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
11．点关于轴的对称点的坐标为 ．
12．在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，则 ．
13．已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ．
14．已知点与点关于点对称，则 ．
15．如图，以长方形的中心为原点建立坐标系．点的坐标是，则点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ．
16．如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为
17．如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______．
18．在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，点坐标为．
(1)在平面直角坐标系中作出关于轴对称的；
(2)直接写出点的坐标，______，______，______；
20．在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，点关于轴对称．
(1)已知，求出点的坐标；
(2)已知，的面积为，求点的坐标．
21．如图，已知点D，E分别是等边三角形中边的中点，是线段上的动点，求的最小值．
22．如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接．
(1)如图1，求证：．
(2)过点作，交延长线于点．设．
①如图2，求的度数（用含的代数式表示）；
②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值．
23．在中，，，，点为线段上的一个动点，以为直角边向右作等腰，使，．
(1)连结，求证：；
(2)过点作的对称轴交直线于点，若，求的长．（在备用图上画符合题意的草图，并完成计算）
24．【自主探究】（1）如图，在中，点、、分别在边、、上，若，那么与有何关系，并加以证明；
【拓展应用】（2）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，．以为腰向右作等腰，使得，，连接．
试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
如图．已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．
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