第1章三角形的初步认识章节检测试题

第1章三角形的初步认识章节检测
　
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列命题：
①对顶角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③若a=b，则|a|=|b|；
④若x=0，则x2﹣2x=0
它们的逆命题一定成立的有（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②
3．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（　　）21世纪教育网版权所有
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．如图所示，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（　　）2·1·c·n·j·y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（　　）
A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8＜x＜13
7．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，∠ACB=6x，则x值可以是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（　　）21教育名师原创作品
A．4 B．5 C．1 D．2
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中点，E是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，以下结论：①OE=OF；②OH=FG；③DF﹣DE=；④S四边形OHDK=S△BCD，其中正确的结论是（　　）21*cnjy*com
A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②③
　
二．填空题（共7小题，每题3分，共21分）
11．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是______．21·cn·jy·com
12．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是______．（填写所有真命题的序号）
13．（2015秋?岳池县期末）如图，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，则AD=______．
14．数学中的命题常可以写成“如果…那么…”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．请你将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．
15． 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=7cm，CF=4cm，则BD=______cm．
16．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：______．
17．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：
（1）以______为圆心，______为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．
（2）画一条射线O′A′，以______为圆心，______长为半径画弧，交O′A′于点C′，
（3）以点______为圆心______长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
（4）过点______画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
　
三．解答题（共7小题，18，19每题6分，20,21,22每题8分，23题9分，24题12分）
18． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AP，当∠B为______度时，AP平分∠CAB．
19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
20．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是______；
②当∠BAD=∠ABD时，x=______；当∠BAD=∠BDA时，x=______．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
21．如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
22．如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A和D、B和E是对应点．
（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；
（2）写出图中相等的线段和相等的角；
（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
　

第1章三角形的初步认识章节检测
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1． 现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的三边关系定理，只要满足任意两边的和大于第三边，即可确定有哪三个木棒组成三角形．
【解答】解：能组成三角形的三条线段是：4cm、6cm、8cm．只有一种结果．
故选A．
【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
　
2． 下列命题：
①对顶角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③若a=b，则|a|=|b|；
④若x=0，则x2﹣2x=0
它们的逆命题一定成立的有（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据课本中的性质定理进行判断，即可得出答案．
【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误；
②同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，成立；
③若a=b，则|a|=|b|的逆命题是如果|a|=|b，|则a=b，错误；
④若x=0，则x2﹣2x=0的逆命题是如果x2﹣2x=0，则x=0或x=2，错误；
故选D．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
　
3． 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据全等三角形的性质得到AB=BE=EC，∠ABC=∠DBE=∠C，根据直角三角形的判定得到∠A=90°，计算即可．
【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴AB=BE=EC，∠ABD=∠DBE=∠C，
∴∠A=90°，
∴∠C=30°，
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
　
4． △ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【分析】根据三角形的内角和公式和直角三角形的判定不难求得各角的度数，从而可判定其形状．
【解答】解：设三个角的度数分别为x，2x，3x，则根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，www-2-1-cnjy-com
因而是直角三角形．故选B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用一角等于90度来判定．
　
5． 如图所示，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AAS证明△ABE≌△ACF（AAS），得出∠BAE=∠CAF，得出①正确；由ASA证明△AEM≌△AFN，得出对应边相等②正确；由AAS证明△ACN≌△ABM，得出③正确．
【解答】解：在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠FAN=∠EAM，
∴①正确；
在△AEM和△AFN中，
，
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴EM=FN，AM=AN，
∴②正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（AAS），
∴③正确，
④不正确；
正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21教育网
　
6． 三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（　　）
A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8＜x＜13
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的取值范围，再根据x是最长边求解．
【解答】解：∵5+8=13，8﹣5=3，
∴3＜x＜13，
又∵x是三角形中最长的边，
∴8＜x＜13．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，需要注意x是三角形最长边的条件，这是本题最容易出错的地方．
　
7． 如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，∠ACB=6x，则x值可以是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠ACB＞90°，再根据∠ACB是钝角小于180°列式，然后求解即可．21cnjy.com
【解答】解：根据三角形的外角性质，∠ACB=6x＞90°，
解得x＞15°，
∵∠ACB是钝角，
∴6x＜180°，
∴x＜30°，
∴15°＜x＜30°，
纵观各选项，只有20°符合．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，要注意∠ACB小于180°的暗含条件．
　
8． 给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】根据全等三角形的判定的知识判断．
【解答】解：①是边边边（SSS）；
②是两边夹一角（SAS）；
③两角夹一边（ASA）都成立．
根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；
而④则不能．
故选A．
【点评】本题主要考查了作图的理论依据．
　
9． 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（　　）21·世纪*教育网
A．4 B．5 C．1 D．2
【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的长．　　21*cnjy*com
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴AE=EC=4，
则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．
故选C
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
10． 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中点，E是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，以下结论：①OE=OF；②OH=FG；③DF﹣DE=；④S四边形OHDK=S△BCD，其中正确的结论是（　　）【版权所有：21教育】
A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②③
【分析】连接OC，根据题意，推出OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，∠DOH=∠COK，得△DOH≌△COK，得OH=OK，即可推出△FOH≌△EOK，即可①OE=OF，然后根据结论①，推出△FOD≌△EOC，得CE=DF，由等腰直角三角形BCD，得CD=，即可推出结论③，结合图形S△BCD=S△OCK+S△DOK，结合△DOH≌△COK，即可推出结论④．
【解答】解：∵O为BD中点，BC=CD，BC⊥CD，
∴OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，OC⊥BD，
∵EO⊥FO，
∴∠DOH=∠COK，
∴△DOH≌△COK，
∴OH=OK，∠EKO=∠FHO，
∴△FOH≌△EOK，
∴OE=OF，
∵△DOH≌△COK，
∴∠EOD=∠KOC，
∴∠FOD=∠EOC，
∵∠OCK=∠ODH=45°，OC=OD，
∴△FOD≌△EOC，
∴CE=DF，
∵CD=，
∴CE﹣DE=；
∴DF﹣DE=；
∵△DOH≌△COK，
∵S△BOC=S△DOC，
∴S四边形OHDK=S△OCK+S△DOK=S△BCD．
故选择C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、直角梯形的性质，解题的关键在于根据题意连接OC，求证△DOH≌△COK，推出△FOH≌△EOK结论①，在结论①基础上即可推出结论③和结论④．
　
二．填空题（共7小题）
11．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是　4　．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，
∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，
∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．
故答案为4．
【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．
　
12．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是　①④　．（填写所有真命题的序号）
【分析】根据平行线的判定定理与性质对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：①∵a∥b，a⊥c，
∴b⊥c，①是真命题；
②∵b∥a，c∥a，
∴b∥c，∴②是假命题；
③∵b⊥a，c⊥a，
∴b∥c，
∴③是假命题；
④∵b⊥a，c⊥a，
∴b∥c，④是真命题．
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟知在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解答此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
　
13．如图，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，则AD=　5cm　．
【分析】根据勾股定理求出∠C的度数，根据全等三角形的性质得到AC=AB=10cm，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=90°，
∴∠C=30°，
∵△AEB≌△ACD，
∴AC=AB=10cm，
∴AD=AC=5cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
　
14．数学中的命题常可以写成“如果…那么…”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．请你将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等　．【出处：21教育名师】
【分析】把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可．
【解答】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．2-1-c-n-j-y
　
15．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=7cm，CF=4cm，则BD=　3　cm．
【分析】根据平行的性质求得内错角相等，根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD=CF，已知AB，CF的长，即可得出BD的长．
【解答】解：∵AB∥FC，
∴∠ADE=∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE与△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF=4cm，
∴BD=AB﹣AD=7﹣4=3（cm）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
　
16．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：　AE=AF或∠EDA=∠FDA　．
【分析】要证两三角形全等的判定，已经有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证．
【解答】解：①添加条件：AE=AF，
证明：在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
②添加条件：∠EDA=∠FDA，
证明：在△AED与△AFD中，
∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
故答案为：AE=AF或∠EDA=∠FDA．
【点评】本题是开放性题目，主要考查三角形全等的判定方法，只要符合题意即可．
全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
17．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：
（1）以　O　为圆心，　任意长　为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．
（2）画一条射线O′A′，以　O′　为圆心，　OC　长为半径画弧，交O′A′于点C′，
（3）以点　C′　为圆心　CD　长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
（4）过点　D′　画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
【分析】利用作一个角等于已知角的基本方法求解即可．
【解答】解：已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．
（2）画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，
（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
（4）过点D′画射线O′B′′，则∠AO′B′=∠AOB．
故答案为：O，任意长，O′，OC，C′，CD，D′．
【点评】本题主要考查了基本作图，解题的关键是熟记作一个角等于已知角．
　
三．解答题（共8小题）
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AP，当∠B为　30　度时，AP平分∠CAB．
【分析】（1）运用基本作图方法，中垂线的作法作图，
（2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，运用直角三角形解出∠B．
【解答】解：（1）如图，
（2）如图，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
如果AP是角平分线，则∠PAB=∠PAC，
∴∠PAB=∠PAC=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°，
∴∠B=30°时，AP平分∠CAB．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了基本作图，角平分线的知识，解题的关键是熟记作图的方法及等边对等角的知识．
　
19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．www.21-cn-jy.com
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
　
20．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是　20°　；
②当∠BAD=∠ABD时，x=　120°　；当∠BAD=∠BDA时，x=　60°　．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
（2）①当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
　
21．如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2．
【点评】证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
　
22．如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A和D、B和E是对应点．
（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；
（2）写出图中相等的线段和相等的角；
（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．
【分析】（1）根据图形和已知写出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出即可；
（3）根据全等得出对应角相等，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE；
（3）BC∥EF，AB∥DE，
理由是：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，
∴AB∥DE，BC∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
　
23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
【分析】①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
【解答】①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
则∠BDC=75°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）与（1）的证明方法一样；
（3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形．
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．