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第3章 圆的基本性质 单元同步练习卷
一、单选题
1．习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知点 ， 是坐标原点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 旋转后的对应点 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB（点C、D的对应点分别为点E、B），若点C、B、E在一条直线上，则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC+∠ADC＝180° B．∠BCD＝120°
C．AC＝BC+CD D．AE＝BD
5．正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（ ）
A．24 B．36 C．38 D．76
6．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．下列说法正确的是（ ）
A．“三点确定一个圆”是真命题
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
D．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为
9．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．30°
10．如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
二、填空题
11．在直径为1000mm的圆柱形油罐内装进一些油，其横截面如图所示.油面宽AB=600mm，如果再注入一些油后，油面宽变为800mm，此时油面上升了 .
12．如图， 绕点A旋转得到 ，点C恰好落在线段 上，已知 ，则 度．
13．在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则弧AB的长为 .
14． 如图所示， 是⊙O 的直径，弦有 ，劣弧有 ，优弧有 ，其中弦 BC 所对的弧是 .
15．如图，将边长为 的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为 平方单位．
16．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 是 轴上的动点，线段 绕着点 逆时针旋转90°至线段 ，连接 ，则 的最小值是 .
三、计算题
17．如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数．
四、解答题
18．一副三角板、，如图1放置，三角板的一边重合．
（1）请直接写出图1中， 度；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，
①若旋转到时，请求出的度数；
②若旋转到时，请求出的度数．
19．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB=8，AC=2，求⊙O半径的长.
20．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的圆心角 ，求该圆锥的母线长 ．
21．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到在Rt△AB C ，点C 恰好落在边AB上，连接BB ，求∠BB C 的度数．
22．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点 D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF⊥DE 于点D，并交EC 的延长线于点F.则当点 D 从点A 运动到点B 时，求线段EF 扫过的面积.
23．如图，在半径为的中，弦的长为．
（1）求的度数；
（2）求点到的距离．
24．已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E
（1）如图①，求∠CED的大小；
（2）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．
25．已知四边形ABCD，⊙O经过B，D两点，与四条边分别交于点E，F，G，H，且=．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A=∠C．
（2）如图②，若的度数为θ，∠A=α，∠C=β，请写出θ，α和β之间的数量关系，并说明理由．
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第3章 圆的基本性质 单元同步练习卷
一、单选题
1．习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据，代数求解即可．
2．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】【解答】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故答案为：B.
【分析】由连接圆上任意两点间的距离就是弦即可判断得出答案.
3．已知点 ， 是坐标原点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 旋转后的对应点 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 、 两点是绕原点逆时针旋转 得到的，
的坐标为 ．
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质直接求解即可。
4．如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB（点C、D的对应点分别为点E、B），若点C、B、E在一条直线上，则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC+∠ADC＝180° B．∠BCD＝120°
C．AC＝BC+CD D．AE＝BD
【答案】D
【解析】【解答】根据旋转可知 ，
旋转角为 ，
，
， ，
是等边三角形，
，
∠ABC+∠ADC＝180°，
故A选项符合题意；
，
，
，
∠BCD＝120°，
故B选项符合题意；
是等边三角形，
，
，
，
，
AC＝BC+CD，
故C选项符合题意；
假设
，
故假设不成立，即 ，
故D选项不符合题意．
故答案为：D．
【分析】由旋转的性质得出 ， ，得出 是等边三角形，可判断A、B、C正确，则可得出结论。
5．正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（ ）
A．24 B．36 C．38 D．76
【答案】C
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为2，
那么边长为1的正三角形的有24个，边长为2的正三角形有12个，边长为3的正三角形的有2个，
共计38个.
故答案为：C.
【分析】设正六边形的边长为2，根据正六边形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定方法分别找出边长是1、2、3的正三角形的个数，再相加即可。
6．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点．
OB=OD=5
∵AB=CD=8，
∴BM=DN=4，
由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3，
∵AB，CD是互相垂直的两条弦，
∴∠DPB=90°
∵，，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是正方形，
∴OP==，
故选C．
【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，先利用垂径定理求出BM，由勾股定理求得OM的长，再证明四边形OMPN是正方形，利用勾股定理可求出正方形的对角线OP的长．
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°．
故选D．
【分析】由已知可求得∠C的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ADC的度数．
8．下列说法正确的是（ ）
A．“三点确定一个圆”是真命题
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
D．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵“不在同一直线上的三点确定一个圆”是真命题，故原说法错误，∴A不符合题意；
B、∵“抛一枚硬币正面朝上的概率为”，每抛两次不一定有一次正面朝上，故原说法错误，∴B不符合题意；
C、∵同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误，∴C不符合题意；
D、∵抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为，此说法正确，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用真命题的定义、概率的计算方法和弧与弦的关系逐项分析判断即可.
9．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．30°
【答案】A
【解析】【解答】如图，∵∠BOC=50°，
∴∠BAC=25°，
∵AC∥OB，
∴∠OBA=∠BAC=25°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=25°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理先求出∠BAC的度数，再根据平行线的性质得出∠OBA的度数，然后根据等边对等角（OA=OB），求出答案。
10．如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵ ，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故答案为：B.
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE， 由E是 的外心，得到△ABE，△ACE是等腰三角形，接着得到PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，得到AF=BF=10， AD=CD=8，接着由勾股定理逆定理得到△ADF是直角三角形，再由S△ABC= ，即可得到.
二、填空题
11．在直径为1000mm的圆柱形油罐内装进一些油，其横截面如图所示.油面宽AB=600mm，如果再注入一些油后，油面宽变为800mm，此时油面上升了 .
【答案】100mm
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得AH=300mm，直径为1000mm，得OA=500mm，由勾股定理得OH=
当油面宽度为800mm如下图所示，MN=800mm，即MI=400mm，同理由勾股定理得OI=300mm，故上升高度HI=400-300=100mm.
故答案为：100mm.
【分析】根据垂径定理和勾股定理得OH和OI的长，即可得上升高度HI的值.
12．如图， 绕点A旋转得到 ，点C恰好落在线段 上，已知 ，则 度．
【答案】40
【解析】【解答】解：∵ 绕点A旋转得到 ，
∴∠E=∠ACB=70°，AC=AE，
∴∠E=∠ACE=70°，
∴∠DCB=180°-∠ACE-∠ACB=180°-70°-70°=40°.
故答案为：40.
【分析】利用旋转的性质可证得∠E=∠ACB=70°，AC=AE，利用等腰三角形的性质可求出∠ACE的度数，再根据∠DCB=180°-∠ACE-∠ACB，代入计算可求出∠BCD的度数.
13．在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则弧AB的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如下图，过点O作AB的垂线，交AB于点C，连接OB、OA
∵AB=1，根据垂径定理，CB=
∵半径为1，∴OA=OB=1
∴在Rt△OBC中，∠COB=30°，∴∠AOB=60°
∴
故答案为：
【分析】利用垂径定理，先求出弧AB对应的圆心角；再根据弧长公式求解弧长
14． 如图所示， 是⊙O 的直径，弦有 ，劣弧有 ，优弧有 ，其中弦 BC 所对的弧是 .
【答案】AC；AB，BC，AC；，；，；，
【解析】【解答】解：如图所示，AC是⊙O 的直径，弦有AB，BC，AC，劣弧有，，优弧有，，其中弦 BC 所对的弧是， ，
故答案为：AC；AB，BC，AC；， ；， ；， .
【分析】根据圆的定义和性质即可求解.
15．如图，将边长为 的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为 平方单位．
【答案】6﹣2
【解析】【解答】解：设B′C′和CD的交点是O，连接OA，
∵AD=AB′，AO=AO，∠D=∠B′=90°，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O，
∴∠OAD=∠OAB′=30°，
∴OD=OB′= ，
S四边形AB′OD=2S△AOD=2× × =2 ，
∴S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD=6﹣2 ．
【分析】设B′C′和CD的交点是O，连接OA，根据“HL”可证Rt△ADO≌Rt△AB′O，可得∠OAD=∠OAB′=30°，利用解直角三角形求出OD=OB′= ，利用S四边形AB′OD=2S△AOD=求出面积，由S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD计算即可.
16．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 是 轴上的动点，线段 绕着点 逆时针旋转90°至线段 ，连接 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥x轴，垂直为D，
∴∠BDC=∠COA=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠CBD=∠ACO，
由旋转的性质得AC=CB
∴△AOC≌△CBD，
∴AO=CD=1，OC=DB，
设点C坐标为（0，m），
则点B坐标为（m，m+1），
∴点B在直线y=x+1上，
如图，设直线与y轴交点为M，与x轴交点为N，
则点M坐标为（0，1），点N坐标为（-1，0），
∴OM=ON，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴MN= ，
∴当OB⊥MN时，OB最短，
OB= MN= .
故答案为：
【分析】作BD⊥x轴，垂直为D，设直线与y轴交点为M，与x轴交点为N，由同角的余角相等可得∠CBD=∠ACO，由旋转的性质得AC=CB，用角角边可证△AOC≌△CBD，由全等三角形的对应边相等可得AO=CD，OC=DB，设点C坐标为（0，m），则点B为（m，m+1），于是可判断点B在直线y=x+1上，结合已知易得△MON为等腰直角三角形，然后由勾股定理可求得MN的长，由垂线段最短和直角三角形的性质可得OB=MN.
三、计算题
17．如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°.
【分析】连接OD，先利用等边对等角的性质求出，，再利用三角形外角的性质求出即可.
四、解答题
18．一副三角板、，如图1放置，三角板的一边重合．
（1）请直接写出图1中， 度；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，
①若旋转到时，请求出的度数；
②若旋转到时，请求出的度数．
【答案】（1）15
（2）解：①由题知，，
，
，
，
；
②由题知：，
．
【解析】【解答】解：（1），，
，
故答案为：15；
【分析】（1）根据直角三角形的性质算出、的度数，再由角的和差关系进行计算即可；
（2）①根据直角三角形的性质算出、的度数，再由角的和差关系进行计算即可；
②利用进行计算即可．
19．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB=8，AC=2，求⊙O半径的长.
【答案】解：连接CO交AB于点D，连接AO，如下图：
∵C是的中点，
∴
∴
在中，
在中，
设⊙O半径的长为r，
即
解得：
∴⊙O半径的长为5.
【解析】【分析】连接CO交AB于点D，连接AO，则CO为线段AB的垂直平分线，即可得到分别在和中根据勾股定理列方程即可求解.
20．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的圆心角 ，求该圆锥的母线长 ．
【答案】解：圆锥的底面周长 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以该圆锥的母线长为
【解析】【分析】根据题意求出
，最后计算求解即可。
21．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到在Rt△AB C ，点C 恰好落在边AB上，连接BB ，求∠BB C 的度数．
【答案】解：由旋转可知：
∠BAB =40°，AB=AB
∴∠ABB =∠AB B．
∴∠ABB = =70°
∴∠BB C =90°－70°=20°．
【解析】【分析】由旋转的性质可得∠BAB =40°，AB=AB ，利用等边对等角可得∠ABB =∠AB B，从而求出∠ABB 的度数，利用三角形的内角和求解即可.
22．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点 D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF⊥DE 于点D，并交EC 的延长线于点F.则当点 D 从点A 运动到点B 时，求线段EF 扫过的面积.
【答案】解：如图，在Rt△ABC中，∠CBA=30°，AB=8，
∴AC=4，，
∵点D与点E关于直线AC对称，点D与点F关于直线BC对称，
点A关于直线BC的对称点是点N，点B关于直线AC的对称点是点M，
当点D在AB上运动时，点E的运动痕迹是线段关于直线AC对称的线段AM，
点F的运动痕迹是线段关于直线BC对称的线段BN，
∴当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是Rt△AMC和Rt△NBC，
∴
【解析】【分析】根据给定的条件和图形，确定直角三角形ABC的边长，然后，利用对称性分析点E和F的运动轨迹；最后，计算两个直角三角形AMC和NBC的面积之和.
23．如图，在半径为的中，弦的长为．
（1）求的度数；
（2）求点到的距离．
【答案】（1）解：在，，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
（2）解：过点 作于点，
在，于点，
∴，
∵ ，
∴，
在中，，，
∴＝，
∴到的距离为．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点 作于点，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：在，，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
（2）过点 作于点，
在，于点，
∴，
∵ ，
∴，
在中，，，
∴＝，
∴到的距离为．
24．已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E
（1）如图①，求∠CED的大小；
（2）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．
【答案】（1）解：∵四边形ABED 圆内接四边形，
∴∠A+∠DEB=180°，
∵∠CED+∠DEB=180°，
∴∠CED=∠A，
∵∠A=68°，
∴∠CED=68°.
（2）解：连接AE．
∵DE=BD，
∴ =
∴∠DAE=∠EAB= ∠CAB=34°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=90°-∠DAE=90°-34°=56°.
【解析】【分析】（1）由圆内接四边形对角互补的性质以及邻补角定义以及补角性质求得∠CED=∠A。
（2）由”等弧所对的圆周角相等“得∠DAE=∠CAB=34°，再由"直径所对的圆周角是直角”得∠AEB=90°，然后由三角形外角的性质求得∠C的度数。
25．已知四边形ABCD，⊙O经过B，D两点，与四条边分别交于点E，F，G，H，且=．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A=∠C．
（2）如图②，若的度数为θ，∠A=α，∠C=β，请写出θ，α和β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：连接DF，DG，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB=∠DGB=90°，
∵=
∴∠EDF=∠HDB，
∴∠DFB-∠EDF=∠DGB-∠HDB
∴∠A=∠C(外角定理)；
（2）解：结论：α+β+θ=180°，
理由：因为=，
所以∠ADF=∠HBG=θ，
所以∠A+θ+∠C+θ=180°，
即：α+β+θ=180°
【解析】【分析】（1）连接DF，DG，根据圆周角定理得到∠DFB=∠DGB=90°，∠EDF=∠HDB，最后根据三角形外角定理即可证明∠A=∠C；
（2）根据圆周角定理得到∠ADF=∠HBG=θ，最后根据三角形外角性质及圆内接四边形对角互补即可求解.
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