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第4章 相似三角形 单元全优提升卷
一、单选题
1．如图，在正方形网格图中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
2．如果 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEC的顶点均在“格点”上，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2
5． 如图，在△ABC中，点O是重心，连接CO 并延长交AB 于点 D，△BCD的周长比△ACD的周长多2，若BC=6，则AC 的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥AC，点E为对角线AC的中点，射线DE交边BC于点F，且DF⊥BC，则cos∠ACD为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，以点O为位似中心，将 缩小后得到 ，已知 ，则 与 的面积的比为
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
8．如图，在 中，AB=AC=8，∠A＝36°，BD平分 交AC于点D，则 AD=（ ）
A．4 B．4 -4
C．-4 +4 D．4 -4或-4 +4
9．如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
A．7 m B．8 m C．6m D．9m
10．如图，在 中， 是线段 上的点，且 ， 是线段 上的点， ， ．小亮同学随机在 内部区域投针，则针扎到 （阴影）区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为 （结果带有根号）
12．如图，在△ABC中，∠1=∠A，若BD=2，AD=3，则BC= .
13．如图，在中，点E在边上，对角线于，若，的面积等于8，那么的面积等于 ，四边形的面积等于 ．
14．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为 m.
15．如图，矩形 ，且 ， ，则 的长为 ．
16．如图， 四边形 是正方形，点 在边 上， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形， 分别交 于点 ， 过点 作 的垂线交 的延长线于点 ． 连结 ， 请解答下列问题：
（1） ；
（2） 若 ， 则 .
三、解答题
17．为测小河的宽度，小明同学在小河两侧各立一根标杆A和B，过一侧标杆B作BD⊥AB，在BD上截取BC∶CD=a∶b，过点D作DE⊥BD，当点E，点C和点A在一条直线上时，只需测出DE的长c，就能算出河宽AB．你能帮助小明同学写出完整的解答过程吗 (结果用含a，b，c的代数式表示)
18．已知线段a，b的长满足 且a+b=34.
（1） 求线段a，b 的长.
（2）若线段x是线段a，b的比例中项，求线段x 的长.
19．已知，，是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若的周长为81，求三边，，的长．
20．如图，锐角△ABC中，边BC长为3，高AH长为2，矩形EFMN的边MN在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AH于点G．
（1）求的值；
（2）当EN为何值时，矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一．
21．如图，直线l1∥l2∥l3．
（1）若AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．
（2）若DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．
22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，．
求：的值．
23．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B点的坐标为：B（﹣1，﹣1）．
（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4请在下面网格内画出△A2B2C2．
24． 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，AB、BC的长分别是方程的两个根．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，过点A且垂直于AC的直线交轴于点F，在直线AF上截取AD=AC，过点D作DE⊥轴于点E，求经过点D的反比例函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
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第4章 相似三角形 单元全优提升卷
一、单选题
1．如图，在正方形网格图中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【答案】D
【解析】【解答】解：连接 CC'交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心.
2．如果 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴
将 代入 得：
故答案为：A.
【分析】由 可用含y的式子表示x，再代入约分即可得出答案.
3．如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEC的顶点均在“格点”上，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得：AC= =2 ，AB= =2 ，BC= =2 ，
DC= = ，CE= = ，DE= = ，
∴ = = ，
故选A．
【分析】根据勾股定理求出两个三角形的各个边的长度，代入即可求出答案．
4．如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，
∴AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴AC：DF=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．
故选C．
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，根据位似图形的性质，即可得AC∥DF，即可求得AC：DF=OA：OD=1：2，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
5． 如图，在△ABC中，点O是重心，连接CO 并延长交AB 于点 D，△BCD的周长比△ACD的周长多2，若BC=6，则AC 的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC的重心，CD经过点O，∴CD为△ABC的中线，∴AD=BD.∵△BCD 的周长比△ACD的周长多2，即AD+AC+CD+2=BD+BC+CD，∴AC+2=BC=6，∴AC=4.
故答案为B
【分析】首先明确重心是三角形中线的交点，所以CD即为中线，即AD=BD，所以△BCD的周长和△ACD的周长的不同之处仅在于BC边和AC边.根据条件 △BCD的周长比△ACD的周长多2 ，所以BC比AC多2.
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥AC，点E为对角线AC的中点，射线DE交边BC于点F，且DF⊥BC，则cos∠ACD为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AG∥BC交CD于G，延长DF与AB的延长线交于H，
∵AG∥BC，AB∥CD，AB=BC，
∴四边形ABCG为菱形，
∴AG=CG=BC=AB，
∴∠DCA=∠CAG，
∵AD⊥AC，
∴∠DCA+∠ADC=90°，∠CAG+∠DAG=90°，
∴∠ADC=∠DAG，
∵AG=GD，
∴CD=GD+CG=2AB，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠EDC，∠HAE=∠DCE，
∵点E为对角线AC的中点，
∴△AHE≌△CDE（AAS），
∴AH=CD=2AB，EH=ED，
∴BH=AB，
∵BH∥CD，
∴△BHF∽△CDF，
∴BF：CF=BH：CD，即BF：CF=AB：2AB=1：2，
设BF=x，则CF=2x，BC=3x，
∴AB=BH=BC=3x，CD=2AB=6x，
∴FH==x，DF==x，
∴DH=DF+FH=x，
∴EH=ED=DH=x，
∴EF=EH-FH=x，
∴CE==k，
∴AC=2CE=2k，
∴cos∠ACD=.
故答案为：C.
【分析】过点A作AG∥BC交CD于G，延长DF与AB的延长线交于H，证四边形ABCG为菱形，继而可证AG=CG=GC=BC=AB，则CD=GD+CG=2AB，证△AHE=△CDE（AAS），可得AH=CD=2AB，EH=ED，从而得出BH=AB，证△BHF∽△CDF，可得BF：CF=BH：CD=1：2，设BF=x，则CF=2x，AB=BH=BC=3x，CD=2AB=6x，由勾股定理分别求出FH=x，DF=x，则DH=x，EH=x，EF=x，再利用勾股定理求出CE=k，则AC=2CE=2k，最后利用cos∠ACD=即可求解.
7．如图，以点O为位似中心，将 缩小后得到 ，已知 ，则 与 的面积的比为
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
【答案】D
【解析】【解答】∵OB=3OB′，
∴ ，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴ ．
∴ ，
故选D．
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
8．如图，在 中，AB=AC=8，∠A＝36°，BD平分 交AC于点D，则 AD=（ ）
A．4 B．4 -4
C．-4 +4 D．4 -4或-4 +4
【答案】B
【解析】【解答】∵AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠C＝ （180° ∠A）＝ （180° 36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC＝BC：CD，
∴AC：AD＝AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD＝ AC＝ ×8＝4（ 1）＝4 4．
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可证得∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△BCD，于是可得比例式AC：BC＝BC：CD，即AC：AD＝AD：CD，将已知的线段代入比例式即可求解。
9．如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
A．7 m B．8 m C．6m D．9m
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即，
解得，AB=9．
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，即可求得.
10．如图，在 中， 是线段 上的点，且 ， 是线段 上的点， ， ．小亮同学随机在 内部区域投针，则针扎到 （阴影）区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ， ．
又∵
，∴ ，
∴ ， ．
设 的面积 ，则 ，
∴梯形 面积 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在平行四边形 中， S ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出AD∶AB=AE∶AC=DE∶BC=1∶3，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△CFE∽△CBA ，根据相似三角形对应边成比例得出CE∶CA=CF∶CB=2∶3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，设 △ADE 的面积 S△ADE=S ，则 S△ABC=9S ，故 S梯DECB=8S ，利用平行四边形的面积计算方法，三角形的面积计算方法及平行相间的距离相等得出S平行四边形EDBF∶S△EFC=1∶1，再根据平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形得出S△BOF=S△DEF=2S，从而得出答案。
二、填空题
11．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为 （结果带有根号）
【答案】
【解析】【解答】解：如图，C是AB的黄金分割点（AC＞BC），
由题意得
，即 ，
AC2+AB·AC-AB2=0，
解得
AC= AB，AC= AB（舍去），
∴ = ．
∴这个比值为 ．
故答案为 ．
【分析】根据所给黄金分割的定义列式求解即可．
12．如图，在△ABC中，∠1=∠A，若BD=2，AD=3，则BC= .
【答案】
【解析】【解答】解：∵BD=2，AD=3
∴AB=BD+AD=2+3=5；
∵∠A=∠1，∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴
∴BC2=5×2
解之：.
故答案为：.
【分析】由已知求出AB的长，再证明△BDC∽△BCA，利用相似三角形的对应边成比例就可求出BC的长。
13．如图，在中，点E在边上，对角线于，若，的面积等于8，那么的面积等于 ，四边形的面积等于 ．
【答案】18；22
【解析】【解答】解：∵
∴设
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∴
∵的面积等于8，
∴
∵
∴
∴
∴面积为12，
∴面积为30，
∴面积为30，
∴四边形的面积为：
故答案为：18，22.
【分析】根据题意设根据平行四边形的性质得到然后根据相似三角形的性质得到进而求出的面积，进而得到最后根据割补法即可求解.
14．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为 m.
【答案】12
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据题意得：
解得 x=12
则旗杆的高度为12米。
【分析】根据在同一时刻的日光下物高与影长成正比例列出比例式，解出x的值即可。
15．如图，矩形 ，且 ， ，则 的长为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：由矩形 可得： ，即 ，
∴ ，解得： 或 （负值舍去）．
故答案为：1
【分析】根据相似多边形的性质，由已知矩形 ABCD∽矩形BCFE，可得出对应边成比例，就可求出BE的长。
16．如图， 四边形 是正方形，点 在边 上， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形， 分别交 于点 ， 过点 作 的垂线交 的延长线于点 ． 连结 ， 请解答下列问题：
（1） ；
（2） 若 ， 则 .
【答案】（1）45°
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AG⊥FG，
∴∠A=∠G=90°，AB=AD，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠BEF=90°，BE=FE，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠ABE=∠FEG，
在和中，
，
∴，
∴AB=GE，AE=GF，
∴AB=GE=AD，
∴DG=AG-AD=AG-GE=AE，
∴DG=AE=GF，
∴是等腰直角三角形，
∴∠FDG=45°，
故答案为：45°；
（2）解：如图，延长BC、GF，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，AG⊥FG，
∴∠G=∠ADC=90°，DG∥CH，AB=CD=BC=AD，
∴CD∥GH，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴DG=GF=2，
∵DE=1，
∴GE=DE+DG=1+2=3，
∴，
∴，
∵DG∥CH，CD∥GH，
∴四边形CDGH是平行四边形，
∴CH=DG=2，GH=CD=AB=BC=AD，
由（1）得AB=GE=3，
∴GH=BC=CD=AB=3，
∴FH=GH-GF=3-2=1，BH=BC+CH=3+2=5，
∵CD∥GH，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质得∠A=∠G=90°，AB=AD，∠BEF=90°，BE=FE，然后利用”一线三垂直“全等模型证出，得AB=GE，AE=GF，从而得AB=GE=AD，进而得DG=AE=GF，于是证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠FDG=45°；
（2）延长BC、GF，交于点H，先证出，得，然后由等腰直角三角形的知识求出DG=GF的值，从而得GE的值，进而求出DM的值，易证四边形CDGH是平行四边形，得CH=DG=2，GH=CD=AB=BC=AD=3，接下来求出FH=1，BH=5，同理证出，得，于是求出NC的值，最后求MN=CD-DM-NC的值即可.
三、解答题
17．为测小河的宽度，小明同学在小河两侧各立一根标杆A和B，过一侧标杆B作BD⊥AB，在BD上截取BC∶CD=a∶b，过点D作DE⊥BD，当点E，点C和点A在一条直线上时，只需测出DE的长c，就能算出河宽AB．你能帮助小明同学写出完整的解答过程吗 (结果用含a，b，c的代数式表示)
【答案】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴ ，即 ，∴AB=
【解析】【分析】由同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得DE∥AB，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△EDC∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式求解。
18．已知线段a，b的长满足 且a+b=34.
（1） 求线段a，b 的长.
（2）若线段x是线段a，b的比例中项，求线段x 的长.
【答案】（1）解：
∴a：b=5：12.
设a=5k，b=12k(k≠0).
∵a+b=34，
∴5k+12k=34.
∴k=2.
∴a=10，b=24.
（2）解：∵ 线段x 是线段a，b 的比例中项，
∵线段x的长为正数，
，即线段x的长为
【解析】【分析】（1）先通过设比例系数k；再结合已知的a+b的值，求出k，进而得到a和b的长度，即可得出答案；
（2）先根据比例中项的定义列出方程；再求解得到线段x的长度，即可得出答案．
19．已知，，是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若的周长为81，求三边，，的长．
【答案】（1）解：因为，
设，则，
（2）解：令，得
所以，，．
【解析】【分析】（1）利用设k法可得：设，则， ，再将其代入计算即可；
（2）将，，代入求出k的值，再求出a、b、c的值即可.
20．如图，锐角△ABC中，边BC长为3，高AH长为2，矩形EFMN的边MN在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AH于点G．
（1）求的值；
（2）当EN为何值时，矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一．
【答案】解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴=；
（2）设EN=x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF=3﹣x，
∵矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一，
∴x（3﹣x）=××3×2，
∴x=1﹣，x=1+，
∴EN为1﹣或1+时，矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一．
【解析】【分析】（1）由EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，根据比例的性质即可得到结论；
（2）设EN=x，根据相似三角形的性质得到，代入数据得到，求得EF=3﹣x，根据题意列方程即可得到结论．
21．如图，直线l1∥l2∥l3．
（1）若AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．
（2）若DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．
【答案】（1）解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵EF=12，
∴，
解得：.
（2）解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵AB=6 ，
∴，
解得：BC=9，
∴AC=AB+BC=6+9=15.
【解析】【分析】（1）由两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例得出比例式，即可得出DE的长；
（2）由两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．
22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，．
求：的值．
【答案】解：∵DF∥BE，
∴，
∵，
∴，
∴DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
23．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B点的坐标为：B（﹣1，﹣1）．
（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4请在下面网格内画出△A2B2C2．
【答案】解：（1）如图：B（5，5）
（2）如图所示：
【解析】【分析】（1）以点C为旋转中心，按逆时针方向把AC，BC旋转90°，可得A1、B1、点C1和C重合，顺次连接各点即为旋转后得到的三角形；
（2）延长AB到B′，使AB2=2AB，得到B2，同法得到其他各点，顺次连接即可得到相应的位似图形．
24． 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，AB、BC的长分别是方程的两个根．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，过点A且垂直于AC的直线交轴于点F，在直线AF上截取AD=AC，过点D作DE⊥轴于点E，求经过点D的反比例函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：得，又因为AB＞BC，所以点B的坐标为（-4，8）
（2）解：过点A作AG⊥DE交DE延长线于点G，
∵∠ACF+∠AFC=90°，
∠ADG+∠EFD=90°，
∠AFC=∠EFD，
∴∠ACF=∠ADG，
在△AGD和△AOC中，
∵
∵△AGD≌△AOC（AAS），
∴AG=AO=4，DG=OC=8，
∵∠AOE=∠OEG=∠G=90°，
∴四边形AOEG为矩形，
∴EG=AO=4，
∴DE=DG-EG=4，
∴D（4，-4）
设过点D的反比例函数解析式为
∴k=4×（-4）=-16，
∴
（3）解：存在，
P1（0，-2），P2（0，4），P3（0，-6），P4（0，-12），理由如下：
当PE＜DE时，
∵△PED∽△AOC，
∴，∴，∴PE=2，
根据解析（2）可知，点E的坐标为（0，-4），
∴此时点P的坐标为（0，-2）或（0，-6）；
当PE＞DE时，
∵△PED∽△COA，
∴，∴，∴PE=8，
∴此时点P的坐标为：（0，4）或（0，-12）；
综上分析可知，有四个点，坐标分别为P1（0，-2），P2（0，4），P3（0，-6），P4（0，-12）．
【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与与性质等知识。
（1）解得得B（-4，8）；
（2）过点A作AG⊥DE交DE延长线于点G，由∠ADG=∠ACF， ∠AGD=∠AOC，AD=AC
证△AGD≌△AOC，得AG=AO=4，DG=OC=8，由∠AOE=∠OEG=∠G=90°得四边形AOEG为矩形，得D（4，-4），可得 反比例函数解析式为；
（3）分情况讨论：PE＜DE，由△PED∽△AOC，得，PE=2，由点E（0，-4）得P的坐标为（0，-2）或（0，-6）；PE＞DE得P（0，4）或（0，-12）；则存在P1（0，-2），P2（0，4），P3（0，-6），P4（0，-12） ，使以D，E，P为顶点的三角形与△OAC相似 .
25．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
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