2.7 探索勾股定理 课件（第1--2课时，33张PPT） 2025-2026学年数学浙教版八年级上册

(共33张PPT)
2.7 探索勾股定理
第2章 特殊三角形
2.7 第1课时 勾股定理
第2章 特殊三角形
课堂小结
例题讲解
获取新知
随堂演练
知识回顾
第24届国际数学家大会会标
情景导入
【做一做】
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
你们能用这四个三角形纸片，围出一个大正方形吗 （允许中间有空隙）
思考：并请你表示出大正方形的面积
c
c
c
b
a
b
学习目标
1.进一步认识直角三角形.
2.会用符号和字母表示直角三角形.
3.掌握直角三角形的性质.
4.会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的
论证、计算等问题.
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
a2+b2=c2
获取新知
一般地，直角三角形的三边长有下面的关系：
合作学习
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是数学中最著名的定理之一，在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用.
那么，你知道哪些对于勾股定理的证明方法呢？
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
中国数学家赵爽根据弦图给出了勾股定理的一种证明
勾
股
赵爽弦图
a
b
c
b-a
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
证明
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
大正方形的面积可以表示为 ;
也可以表示为 .
(a+b)2
c2 +4 ab
∵ (a+b)2 = c2 + 4 ab
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
(1)若a=1 b=2, 求c;
已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a, AC=b，AB=c.
(2)若a=15,c=17,求b;
例题讲解
解 (1) 根据勾股定理，得c2 ＝a2+ b2＝12+ 22＝5
因为 c0 , 所以 c＝
(2) 根据勾股定理，得b2 ＝c2 -a2＝172 - 152＝64
因为 0 , 所以 b＝8.
例2 如图是长方形零件图，根据所给的尺寸（单位：mm),
求两孔中心A，B之间的距离.
A
B
C
90
40
160
40
解 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，
AC=90-40=50(mm),
BC=160-40=120(mm).
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
AB2= AC2+ BC2=502+1202=16900(mm2).
因为AB>0，
所以AB=130mm.
答：两孔中心A，B之间的距离为130mm.
1.在Rt△ABC中，∠A＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝13 cm，b＝5 cm，则c为( )
A．18 cm B．12 cm C．8 cm D．6 cm
2．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则这个等腰三角
形的面积为( )
A．36 B．48 C．56 D．64
随堂演练
B
B
3.
已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长．
错解：
第三边的长为
(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边的长
为
(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，第三边
的长为
正确解法：
勾股定理
（a2+b2=c2)
直角三角形
中的应用
已知任意两条边，
就可以求第三边．
已知一条边，以及另
两条边之间的关系，
就可以求另两条边的
长度．
课堂小结
第2章 特殊三角形
2.7第2课时 勾股定理的逆定理
课堂小结
例题讲解
获取新知
随堂演练
情景导入
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别长为a、b，斜边长为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
a2+b2=c2
你能说出它的逆定理吗？
知识回顾
1.画一画：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米） :
①3， 4， 5; ② 1.5 ， 2， 2.5. ③5，12，13
2.测一测：用量角器分别测量一下上述各三角形的最大度数：
① _______ ② _______ ③ _______
3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.
① ____________ ② ____________ ③ ____________
直角三角形
直角三角形
【合作学习】
直角三角形
5.猜想：
如果三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
三边
3 4 5
1.5 2 2.5
9，16，25
9+16=25
各边的平方
规律

2.25，4，6.25
2.25+4=6.25
5 12 13
.
4.找一找:寻找三角形三边之间的关系.
25,144,169
25+144=169
如果三角形中 有两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
因为
所以△ABC
是直角三角形
a
b
c
两边长的平方和
第三边长的平方
勾股定理的逆定理
获取新知
a
c
b
A
C
B
b
a
C1
M
N
B1
A1
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.
求证： △ABC是直角三角形.
这种方法我们把它叫做同一法
所以
所以
≌
！
勾股定理的逆定理除可以判断三角形是不是直角
三角形外，还可以间接地判断三角形是锐角三角
形，还是钝角三角形.如：已知c是最长边，若a2
+b2>c2，则△ABC是锐角三角形；若a2＋b2△ABC是钝角三角形.
例3 　
根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的△ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）
例题讲解
解（1）
为边的三角形是直角三角形.
（2）
也就是较小的两边的平方和都不等于较大边的平方，
所以a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，
所以以 为边的三角形不是直角三角形.
1、先求各边的平方
2、观察较短两边的平方和 与最长边的平方
3、判断是否相等
运用勾股定理的逆定理判定直角三角形的一般步骤
1．下列四组长度的线段中，可以构成直角三角形的是( )
A．1，2，3 B．2，3，4
C．3，4，5 D．4，5，6
2．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，则下列说法中错
误的是( )
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边
B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C．△ABC的面积为24
D．△ABC是直角三角形，且∠BAC＝60°
随堂演练
C
D
3.如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形。已知这三个正方形构成的图形中，灰色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
课堂小结