2.6　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质 教案（表格式） 2025-2026学年数学浙教版八年级上册

2.6 直角三角形　
第1课时　直角三角形的性质
课题 第1课时　直角三角形的性质 授课人
教 学 目 标 1.进一步认识直角三角形. 2.会用符号和字母表示直角三角形. 3.掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理. 4.会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证、计算等问题.
教学 重点 　　掌握直角三角形的两个锐角互余的性质定理及其应用.
教学 难点 　　教材例1中的解题思路不易形成,是本节教学难点.
授课 类型 新授课 课时
教具 量角器、三角尺、直角三角形纸片若干(多媒体:PPT课件、几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　同学们还记得我们是怎么研究等腰三角形的吗 我们将三角形的边特殊化得到了等腰三角形,然后研究等腰三角形的边、角、对称性等性质,还学习了等腰三角形的判定及利用性质解决简单的问题. 那么如何研究直角三角形的性质呢 　　为本节课所学内容做知识和方法的准备,为后续学习做好铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 图2-6-10 【课堂引入】 这节课我们将三角形的角特殊化,当三角形有一个角是直角时,这个三角形就是我们今天要研究的直角三角形. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图2-6-10所示的三角形可记为Rt△ABC. 直角三角形作为特殊的三角形,它是否具有一般三角形的性质呢 换言之,三角形的内角和定理适用于直角三角形吗 直角三角形的内角之间还有什么独特的性质呢 (导入并板书课题) 教师用几何画板演示(度数的测量精确到“度”,保留整数): (1)把一个任意三角形的一个角变为直角,观察另外两个角的度数有何变化; (2)改变一个直角三角形的两个锐角的度数,观察这两个锐角的度数有何变化. 1.通过新旧知识的衔接,沟通知识之间的联系. 2.几何画板的演示能形象、直观、即时地反映三角形各内角的度数变化,吸引学生注意力,并启发学生思考.
活动 二: 探究 与 应用 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 直角三角形的两个锐角互余 仿照探索三角形内角和定理的过程,设计一种方案探索直角三角形中两个锐角的关系. 教师点拨:可以从“测量角度——猜想结论——拼合验证——演绎证明——定理表述”等几个环节加以考虑.同学们先独立思考,然后把你的想法在小组内交流,每组形成一个方案,大家按照这个方案研究直角三角形的两个锐角的关系. 学生活动:在独立思考的基础上,互相交流,优化方案,分工合作完成探索,完成后进行班内展示. 参考步骤如下: (1)测量角度:用量角器分别测量直角三角形的两个锐角的度数,精确到度,看它们是否互余; (2)猜想结论:多次测量后,得到共同的结论“直角三角形的两个锐角互余”; (3)拼合验证:把直角三角形纸片的两个锐角剪下,拼合在一起,看能否组成直角; (4)演绎证明:写出已知、求证,并画图,利用三角形的内角和定理进行证明; 已知:如图2-6-11,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°. 图2-6-11 证明:因为∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角, 所以∠A+∠B+∠C=180°. 因为∠C=90°, 所以∠A+∠B+90°=180°, 所以∠A+∠B=180°-90°=90°. (5)定理表述:直角三角形的两个锐角互余. 【探究2】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知:如图2-6-12,D是Rt△ABC斜边AB上的一点,BD=CD. 求证:AD=CD. 图2-6-12 1.类比思想是一种重要的数学思想,它对数学学习具有非常重要的指导意义. 2.强化学生对数学学习基本方法和套路的认识,培养终身学习和自主学习的能力. 3.猜想证明,培养学生独立思考的能力.
活动 二: 探究 与 应用 　　证明:因为BD=CD,所以∠B=∠DCB. 因为∠ACB=90°,所以∠A+∠B=90°,∠DCB+∠ACD=90°, 所以∠A=∠ACD,所以AD=CD. 图2-6-13 思考:从本题中,你发现直角三角形斜边上的中线有什么性质 猜想:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 符号语言:如图2-6-13,因为CD是Rt△ABC斜边上的中线,所以CD=AB.
【应用举例】 例1　如图2-6-14,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=200 m.问:这名滑雪运动员的高度下降了多少米 　 　图2-6-14　　　　　　　　图2-6-15 解:如图2-6-15,作Rt△ABC斜边上的中线CD, 则CD=AD=AB=×200=100(m)(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). 因为∠B=30°, 所以∠A=90°-∠B=90°-30°=60°(直角三角形的两个锐角互余). 进而可得△ADC是等边三角形, 所以AC=AD=100(m). 答:这名滑雪运动员的高度下降了100 m. 从例1的结果,你能得到什么结论 师生活动:老师引导学生考虑直角边与斜边的关系,给学生独立思考的时间,并小组讨论,给出求解过程,可以根据直角三角形斜边中线的性质定理和等边三角形的性质求解,鼓励学生,大胆猜想,老师总结. 归纳:直角三角形的性质定理:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言:如图2-6-16,因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠A=30°, 所以BC=AB. 图2-6-16 　　1.通过具体例题的教学,让学生理解和巩固数学基础知识,把数学理论与实践相结合,掌握数学基础知识理论的用途和方法,从而达到提高学生分析问题、解决问题的能力的目标. 2.通过自主探究,增强巩固知识,并提高知识认同度. 3.培养学生推理的严谨性和书写的规范性.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　如图2-6-17,已知在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,DE⊥AB于点E,M是AD的中点.求证:△CME为等腰直角三角形. 图2-6-17 证明:因为∠ACB=90°,M是AD的中点, 所以CM=AD=AM. 因为DE⊥AB,所以∠AED=90°. 又因为M是AD的中点, 所以ME=AD=AM, 所以CM=ME=AM, 所以∠CAM=∠ACM,∠MAE=∠MEA, 所以∠CMD=∠CAM+∠ACM=2∠CAM,∠DME=∠MAE+∠MEA=2∠MAE, 所以∠CMD+∠DME=2(∠CAM+∠MAE)=2∠CAB. 因为AC=BC,∠ACB=90°, 所以∠CAB=∠B=45°, 所以∠CME=∠CMD+∠DME=2∠CAB=90°, 所以△CME是等腰直角三角形. 　　1.在小组合作过程中,培养互助精神和团队意识. 2.提高学生对新知识的综合应用能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.如图2-6-18,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为 (D) 图2-6-18 A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km 2.如图2-6-19,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,∠A=30°.若CD=6,则BC的长度为 (C) 图2-6-19 A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图2-6-20,在△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若AF平分∠CAB,分别交CD,BC于点E,F.求证:∠CEF=∠CFE. 图2-6-20 证明:在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF. 在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE. 因为AF平分∠CAB,所以∠CAF=∠DAE, 所以∠AED=∠CFE. 又因为∠CEF=∠AED,所以∠CEF=∠CFE. 　　达标测评,及时反馈学习效果.
活动 三: 课堂 总结 反思 4.如图2-6-21,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=1.5,D是斜边AB的中点,连结CD,求AC,CD的长. 图2-6-21 解:因为在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点. 所以CD=AB=×1.5=0.75(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). 因为∠ACB=90°,∠B=30°, 所以AC=AB=×1.5=0.75(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半).
【课堂总结】 本节课上,同学们学到了哪些知识 还学到了探索几何知识的哪些方法 本节课的主要学习内容是直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 学习方法,可以启发学生总结,比如: ①采用类比的方法探索新知; ②通过“测量角度——猜想结论——拼合验证——演绎证明——定理表述”等步骤研究新知; ③利用基本图形特征,应用新知. 　　1.复习巩固本节课所学知识,及时进行总结反思. 2.通过数学知识的学习,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【作业布置】 教材P75作业题第1,2,3,4,5,6题. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过复习导入,激发学生学习的兴趣,安排学生探索新知,观察思考,获得数学活动经验,直观感知知识,例题习题安排恰当. ②[讲授效果反思] 在选题上,力求精当,逐步深化,达到提纲挈领、举一反三的效果,提高了课堂教学的效率.在课堂的组织形式上,自主学习与小组合作按需设置,既锻炼了学生的独立思考能力,又培养了团结共享意识. ③[师生互动反思] 在学生独立思考的过程中,教师极少干预,给学生提供安静的思考空间;在小组讨论时,教师实时参与,了解学生的突出问题,发现典型解法,为展示交流做好准备;发表意见与见解的主体是学生,教师在关键处点拨提升,促进对知识理解程度的提高与升华. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.