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相似三角形 单元同步测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.30米 D．1.5米
2．以下四组线段，成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知为的角平分线，//交于，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中错误的是（ ）
A．△ACM∽△ABD B．△ACE∽△ABC
C．△AEM∽△CDM D．△AEM∽△ACD
6．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似
C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似
7．如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：1.2，点B的坐标为（﹣3，2），则点E的坐标是（ ）
A．（3.6，2.4） B．（﹣3，2.4）
C．（﹣3.6，2） D．（﹣3.6，2.4）
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点N，若点B关于直线的对称点恰好在x轴上，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m= 时，n的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ．
12．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，AH交OB于点E，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OE的长为 ．
14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米．
15．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
16．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当时，的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算题：解方程与化简求值
（1）解方程
（2）已知a：b：c=3：2：5．求 的值．
18．如图1，在钝角△ABC 中，∠ABC=30°，AC=4，D 为边AB 的中点，E 为边 BC 的中点，将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转α度(0≤α≤180).
（1）如图2，当0<α<180时，连接AD，CE.求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图3，直线CE，AD 交于点G.在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化 若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数.
19．如图，为了测量一栋楼的高度 ，小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 （ 在同一条直线上）.测得 ， ，如果小明眼睛距地面高度 为 ，试确定楼的高度 .
20．如图，点C在△ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，∠1=∠2，．
（1）试说明：△ABC ∽△ADE；
（2）试说明：AF DF=BF CF．
21．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：4，且a+26+c=11.
（1）求a、b、c的值：
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值，
22．如图，在中，，分别是，上的点.且，cm，，求的长.
23．如图，在 中， ，在 边上取一点 ，使 ，过 作 交 于 ， .求 的长.
24．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标．
25．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA BD=BC BE
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE=AC，求证：AC2=AD AB．
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相似三角形 单元同步测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.30米 D．1.5米
【答案】B
【解析】【解答】解：设树高为x米，由题意得
，
解得：x=3.2，
故选B.
【分析】设树高为x米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
2．以下四组线段，成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A、因为2：4=3：6，则 是比例线段，所以A选项正确；
B、因为2：6≠4：8，则 不是比例线段，所以B选项错误；
C、因为4：6≠3：5，则 不是比例线段，所以C选项错误；
D、因为4：6≠6：8，则 不是比例线段，所以D选项错误.
故答案为：A.
【分析】四条线段中，如果其中两条线段长度的比等于另两条线段长度的比，那么我们就说这四条线段成比例，据此一一判断得出答案.
3．如图，已知为的角平分线，//交于，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵，
∴，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先证明△CDE∽△CBA，然后得出，即可知。
4．如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由作图可得：
CB=CD=AB，AD=AE=mAB，
∴AC=AD+CD=mAB+AB，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即：AB2+（AB）2=（mAB+AB）2，
整理得：m2+m-1=0，
解得：m1=，m2=（舍去），
故m=.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CB=CD=AB，AD=AE=mAB，由线段的构成可将AC也用含AB的代数式表示出来，在Rt△ABC中，用勾股定理可得关于m的方程，解方程可求解.
5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中错误的是（ ）
A．△ACM∽△ABD B．△ACE∽△ABC
C．△AEM∽△CDM D．△AEM∽△ACD
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠ACE＝∠B，∠BAC＝∠CAE，
∴△ACE∽△ABC，
∴∠AEC＝∠ACB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAM，
∴△AEM∽△ACD，△ACM∽△ABD；
∴错误的选项为C；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可得出结论。
6．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似
C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似
【答案】B
【解析】【解答】解：A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故A选项错误；
B、等边三角形都相似，是真命题，故B选项正确；
C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故C选项错误；
D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故D选项错误．
故选：B．
【分析】利用相似三角形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
7．如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：当，，
所以∽，故条件①能判定相似，符合题意；
当，，
所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；
当，
即AC：：AC，
因为
所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；
当，即PC：：AB，
而，
所以条件④不能判断和相似，不符合题意；
①②③能判定相似.
故答案为：D.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.
8．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：1.2，点B的坐标为（﹣3，2），则点E的坐标是（ ）
A．（3.6，2.4） B．（﹣3，2.4）
C．（﹣3.6，2） D．（﹣3.6，2.4）
【答案】D
【解析】【解答】解：∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：1.2，点B的坐标为（﹣3，2），
∴点E的坐标是：（﹣3.6，2.4）．
故选：D．
【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，得出即可．
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点，交边于点N，若点B关于直线的对称点恰好在x轴上，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴该反比例函数的解析式为.
设，则，，
∴
∴，.
如图，连接，过点M作轴于点D.
∴，.
∵点B关于直线的对称点恰好在x轴上，
∴，.
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴，即，
解得： ，.
∵，即，
∴（舍），
∴.
故答案为：C.
【分析】过点M作MD⊥x轴，垂足为D，连接MB′，NB′，由于四边形OABC是矩形，且点B和点B′关于直线MN对称，且点B′正好落在x轴上，可得△MB′D∽△B′NC，然后M、N两点的坐标用含a的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出B′C和DB′的长，然后利用勾股定理求出MB′的长，进而求出OC的长．
10．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m= 时，n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设平移后的等边三角形为△PDE，DE交y轴于F.
∵AB=3，△PDE是等边三角形，
∴PD=PE=DE=1，
∵△PDE关于y轴对称，
∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴，
∴PF= ，
∴△PFM∽△PON，
∵m= ，
∴FM= - ，
∴ ，即 ，
解得：ON=4-2 .
故答案为：A.
【分析】设平移后的等边三角形为△PDE，DE交y轴于F.根据等边三角形的性质，可得PD=PE=DE=AB=1，根据轴对称的性质，可得PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴，PF= ，根据平行线可证△PFM∽△PON，可得，据此可求出ON的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ．
【答案】3秒或秒
【解析】【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似，
则，
①当D与B对应时，有．
∴，
∴，
∴；
②当D与C对应时，有．
∴，
∴，
∴．
故答案为：3秒或秒．
【分析】根据题意分为D与B对应或D与C对应两种情况列比例式解题即可．
12．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为
【答案】4
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ = ，
∴AC2=AD AB=2×8=16，
∵AC＞0，
∴AC=4.
故答案为：4.
【分析】易证△ADC∽△ACB，然后根据相似三角形的性质进行求解.
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，AH交OB于点E，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OE的长为 ．
【答案】2.25
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝4，
∴BD＝8，
又∵S菱形ABCD＝24，
∴ ，
∴AC＝6，CO＝3，
∴Rt△BCO中，BC＝5，
又∵AH⊥BC，
∴，
∴ ，
∴ 中， ，
∵∠EBH＝∠CBO，∠BHE＝∠BOC＝90°，
∴△BEH∽△BCO，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2.25．
【分析】根据菱形的性质可得BD＝2OB=8，，从而求出AC＝6，CO＝3，利用勾股定理可得BC＝5，利用菱形的面积=，可求出，在中，利用勾股定理可得BH=1.4.根据两角分别相等可证△BEH∽△BCO，可得，据此求出BE的长，由EO=BO-BE即可求出结论.
14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米．
【答案】6
【解析】【解答】解：由题意知：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：6．
【分析】由题意知：，得出对应边成比例即可得出．
15．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
【答案】8
【解析】【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴ = ，
∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，
∴ = ，
CD=8米，
故答案为：8．
【分析】由题意可知，入射角等于反射角，即可知ΔABP∽ΔCDP，再由相似三角形的对应边成比例可知，即可求得CD的值。
16．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当时，的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵将矩形纸片折叠，折痕为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
设，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去，不符合题意），
∴．
故答案为：．
【分析】
根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理列方程求出即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算题：解方程与化简求值
（1）解方程
（2）已知a：b：c=3：2：5．求 的值．
【答案】（1）解：∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x﹣4）（x+2）=0，即x﹣4=0或x+2=0，解得：x1=4，x2=﹣2
（2）解：∵a：b：c=3：2：5，∴设a=3k，则b=2k，c=5k．
∴ = =
【解析】【分析】（1）可利用十字相乘法进行因式分解，解出方程的根；（2）可引入参数k，三个字母a、b、c都用k表示，代入原式，约去参数，求出值.
18．如图1，在钝角△ABC 中，∠ABC=30°，AC=4，D 为边AB 的中点，E 为边 BC 的中点，将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转α度(0≤α≤180).
（1）如图2，当0<α<180时，连接AD，CE.求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图3，直线CE，AD 交于点G.在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化 若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数.
【答案】（1）证明：由图1，∵D 为边AB 的中点，点E 为边BC 的中点，
∵∠DBE=∠ABC，
∴在图2中，∠DBA=∠EBC，∴△BDA∽△BEC；
（2）解：∠AGC 的大小不发生变化，∠AGC=30°.
理由：在图3中，设AB 交CG 于点O.∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB=∠ECB，
∵∠DAB+∠AOG+∠AGC=180°，∠ECB+∠COB+∠ABC=180°，∠AOG=∠COB，
∴∠AGC=∠ABC=30°.
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例得到，然后证明∠DBA=∠EBC，即可根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；
（2）根据（1）可得△DBA∽△EBC，即可得到对应角∠DAB=∠ECB，然后根据三角形的内角和定理得到∠AGC=∠ABC解答即可.
19．如图，为了测量一栋楼的高度 ，小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 （ 在同一条直线上）.测得 ， ，如果小明眼睛距地面高度 为 ，试确定楼的高度 .
【答案】解：设 关于点 的对称点为 ，由光的反射定律知，延长 相交于 ，
连接 并延长交 于 ，
∥ ， ∽ ，
，
即 ，
，
.
答：楼的高度 为32米。
【解析】【分析】根据光的反射定律作出相关光路图，因为GF∥AC，利用三角形相似分别列比例式。因为根据平面镜成像特点，像和物是等大的，找出有关相等的线段，进行一系列相关的等量代换，使关系式用用已知线段表示，代入已知数据，得出楼的高度。
20．如图，点C在△ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，∠1=∠2，．
（1）试说明：△ABC ∽△ADE；
（2）试说明：AF DF=BF CF．
【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵=，
∴=，
∴△ABC ∽△ADE；
（2）证明：∵△ABC ∽△ADE，
∴∠B=∠D，
∵∠BFA =∠DFC，
∴△ABF ∽△CDF，
∴=，
∴AF DF=BF CF．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得∠BAC=∠DAE，再结合=，即可证出△ABC ∽△ADE；
（2）先证出△ABF ∽△CDF，再利用相似三角形的性质可得=，最后求出AF DF=BF CF即可．
21．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：4，且a+26+c=11.
（1）求a、b、c的值：
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值，
【答案】（1）解：
则设
（2）解：
∵线段x是线段a、b的比例中项，
或 (不合题意，舍去) ，
即x的值
【解析】【分析】(1)设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式进行计算即可得；
(2)根据比例中项的定义列式求解即可得.
22．如图，在中，，分别是，上的点.且，cm，，求的长.
【答案】解：∵
，
，
∵cm，，
，
cm.
【解析】【分析】由已知条件可知∠CDP=∠A，由图形可得∠P=∠P，证明△PCD∽△PBA，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
23．如图，在 中， ，在 边上取一点 ，使 ，过 作 交 于 ， .求 的长.
【答案】解：在 中，
.
又 ，
.
，
.
又 ，
.
.
【解析】【分析】依题意易证△AED∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可
24．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标．
【答案】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴B，E横坐标相等，，
把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设点的坐标为，则，∵，
∴与相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得或；
综上，点的坐标为或或或．
【解析】【分析】（）由点的坐标为，点为的中点，求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可；
（）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解；
（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设点的坐标为，则，
∵，
∴与相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得或；
综上，点的坐标为或或或．
25．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA BD=BC BE
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE=AC，求证：AC2=AD AB．
【答案】（1）证明：∵BA BD=BC BE．
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA
（2）证明：∵BA BD=BC BE．
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴，
∵AE=AC，
∴，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠B=∠ACD.
∵∠BAC=∠BAC
∴△ADC∽△ACB，
∴.
【解析】【分析】（1）由两边对应成比例，且夹角（公共角∠B）相等，论证两三角形相似；
（2）由两边对应成比例，且夹角相等论证△ABE∽△CBD，由相似三角形可得∠BAE=∠BCD，利用角的和差，以及三角形外角性质，可以判定，再加公共角，可以论证△CAD∽△BAC，由相似三角形的性质可得结论。
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