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5.1 常量与变量
题型目录：
题型一：常量和变量的认识
题型二：用表格表示变量之间的关系
题型三：从表格中获取信息判断选项是否正确
题型四：用关系式表示变量之间的关系
题型五：利用几何图象表示变量之间的关系
题型六：已知变量之间的关系求数值
题型七：用函数图象表示变量之间的关系
题型八：从函数图象中获取信息判断选项是否正确
题型九：表格与变量综合解答题
题型十：函数图象与变量综合解答题
题型十一：高分冲刺题型
题型一：常量和变量的认识
1．如图是刘老师在加油站加油时加油机仪表上某一时刻的数据情况，在加油过程中的常量是（ ）
A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
【答案】B
【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是在一个变化过程中，数值不发生变化的量；变量是在一个变化过程中，数值发生变化的量，根据定义判断加油过程中的常量是解题的关键．
根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：在加油过程中，单价是固定不变的，而金额随着数量的增加而增加，数量也在不断变化。所以常量是单价，变量是金额和数量．
故选：B．
2．球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（ ）
A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是
【答案】A
【分析】本题考查了常量和变量，根据常量和变量的概念解答即可．
【详解】解：球的体积是V，球的半径为R，则，
其中变量是V，R；
故选：A．
3．如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面说法不正确的是（ ）
A．的度数是变量 B．的面积是变量
C．的长度是常量 D．的长度是常量
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，掌握它们的概念是解决此题的关键．
根据常量和变量的概念，分析各选项即可．
【详解】解：A．在转动过程中，的度数变小，的度数是变量，故原说法正确，不符合题意；
B．在转动过程中，的面积变小，的面积是变量，故原说法正确，不符合题意；
C．在转动过程中，的长度不变，的长度是常量，故原说法正确，不符合题意；
D．在转动过程中，的长度变小，的长度是变量，故原说法不正确，符合题意；
故选：D．
4．一个圆柱的高为，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中（ ）
A．是因变量，是自变量 B．是自变量，是因变量
C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量
【答案】B
【分析】主要考查了函数的定义，根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【详解】解：一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中r是自变量，V是因变量，
故选：B．
5．如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ）
A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量
C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义判断即可．
【详解】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量．
故选：D．
6．河北省的特产丰富多样，其中赞皇大枣被誉为“枣中之王”，皮薄肉厚、甜度高、营养丰富．一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元，则50和m分别是（ ）
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
【答案】C
【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键．
根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断．
【详解】解：∵一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元，
∴50和m分别是常量，变量
故选：C．
7．一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（ ）
A．水的质量，食盐水的浓度 B．水的质量，食盐水的质量
C．食盐水的质量，食盐的质量 D．食盐的质量，水的质量
【答案】D
【分析】此题考查的是常量与变量的概念，掌握其概念是解决此题的关键．根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可．
【详解】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度．
故选：D．
题型二：用表格表示变量之间的关系
1．下表列出了一项实验的统计数据中变量与之间的关系，则下面的式子中，能表示这种关系的是（ ）
30 40 100 120
15 20 50 60
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系．根据每个选项的关系式代入验证即可．
【详解】解： 当时，
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
2．地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的函数关系可以近似地表示为
所处深度x（） 2 3 5 7 10 13
地表以下岩层的温度y（） 90 125 195 265 370 475
则该地y与x的关系可以近似地表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可．
【详解】解：由表格中数据可知，从2千米开始，每增加1千米，气温升高，
∴y与x的关系可以近似的表示为．
故选：A．
3．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（ ）
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据实际数据寻找变量间的函数关系式，解题的关键是先确定不同有机物中碳原子数x与氢原子数y的对应值，再代入选项验证或根据规律推导关系式．
先列出甲烷、乙烷、丙烷、丁烷的原子数）与原子数）对应值：甲烷、乙烷、丙烷、丁烷；再将对应值代入各选项，或根据“每增1个C原子增2个H原子”的规律，推导x与y的关系式，进而判断正确选项．
【详解】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系：
甲烷：时，；
乙烷：时，；
丙烷：时，；
丁烷：时，．
A、若，当时，，此选项不符合题意；
B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意；
C、若，当时，，此选项不符合题意；
D、若，当时，，此选项不符合题意．
故选：B．
4．4月19日，2025北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松开赛，这场赛事吸引了多家企业和高校自研团队的参与，成为人工智能与机器人领域的焦点．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如下表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 60 120 180 240 …
则y与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加60千克，据此求解即可．
【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加60千克，
∴，
故选：B．
5．表中给出的统计数据，表示皮球从高度落下时与反弹到高度的关系：
用含的代数式表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，观察表格中的数据得出每增加，增加，从表格中的数据得出规律，得出关系式即可．
【详解】解：由表格中的数据可知，当每增加，增加，
∵，
，
，
，
，
∴，
故选：D．
6．某火锅店推出了夏季促销活动，已知进店消费的人数与消费金额之间的关系如下表所示，则与的关系式为： （不必写出的取值范围）．
进店人数个 1 2 3 4 5
消费金额元 35 65 95 125 155
【答案】/
【分析】本题考查了用关系式和表格表示两个变量的关系，根据表格归纳出关系式是解题的关键．由表格可得，进店人数每增加1个，消费金额增加30元，据此即可求解．
【详解】解：由表格可得，进店人数每增加1个，消费金额增加30元，
∴与的关系式为．
故答案为：．
7．声音在空气中的传播速度（单位：）与温度（单位：）的部分关系如下表所示：
… 1 2 3 …
… …
则传播速度与温度之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了根据表格数据找出两个量之间的关系，通过表格中的对应值可以得出温度每增加速度增加，由此可得出传播速度与温度之间的关系式，解题的关键是读懂表格．
【详解】解：由表格中的对应值可以得出：温度每升高℃，速度增加m/s，
∴温度每升高℃，速度增加 m/s，
传播速度与温度之间的关系式为：．
故答案为：．
8．一棵树高与生长时间（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出与（年）之间的关系式： ．
年 1 2 4 6 8 …
…
【答案】
【分析】本题考查了根据表格数据寻找变量间的关系，解题的关键是观察数据变化规律，通过计算差值确定两者的线性关系．
观察表格中n每增加一定年份时h的变化量，发现n每增加2年，h增加，即每年h增加；再结合时h的值，确定关系式中的常数项．
【详解】解：观察表格数据，当时，时，，相比时增加了时，，相比时增加了，即每2年增加，也就是每年增加．
由此可知h与n的关系为h等于每年增加的高度乘年数再加上初始高度．
当时，，符合数据时，，符合数据．
所以h与n之间的关系式为．
故答案为：．
题型三：从表格中获取信息判断选项是否正确
1．在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间有如下表关系：
0 1 2 3 4 …
10 10.5 11 11.5 12 …
下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．所挂物体质量每增加弹簧长度增加
C．所挂物体为时，弹簧长度为
D．不挂重物时弹簧的长度为
【答案】D
【分析】本题考查了变量之间的关系，根据表格逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由表格可得：
A．y随x的增大而增大，x是自变量，y是因变量，正确；
B．物体质量每增加，弹簧长度y增加0.5cm，故正确；
C．由B知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故正确；
D．弹簧不挂重物时的长度为，故错误，本选项符合题意；
故选：D．
2．研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系：
氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
根据表格，下列说法错误的是（ ）
A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量
B．氮肥施用量越大，土豆产量越高
C．当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨
D．当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加
【答案】B
【分析】本题考查结合实际土豆产量和施用氮肥量确定变量间的关系，解题的关键是掌握表格法表示两个变量间的关系．根据表格信息逐一分析判断即可．
【详解】解：A、氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，原说法正确，故选项不符合题意；
B、氮肥施用量大于336千克/公顷时，土豆产量逐渐减少，原说法错误， 故选项符合题意；
C、当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆产量32.29吨~34.03吨，原说法正确，故选项不符合题意；
D、当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随施肥量的增加而增加，原说法正确，故选项不符合题意．
故选：B．
3．水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系：
时间 1 2 3 4 5 6
水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9
下列说法中，不正确的是（ ）
A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系
B．当容器中水的高度为时，对应的时间为
C．当经过的时间为时，容器中水的高度是
D．时间每增加，容器中水的高度增加
【答案】B
【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确从表格获取信息是解题的关键．
根据表格的信息即可求解．
【详解】解：A、上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，正确，不符合题意；
B、当容器中水的高度为时，对应的时间为，该选项错误，故符合题意；
C、当经过的时间为时，容器中水的高度是，正确，不符合题意；
D、由表格可得时间每增加，容器中水的高度增加，正确，不符合题意；
故选：B．
4．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），测试员对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表．下面说法中，错误的是（ ）
刹车时车速v/（） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s/ 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
A．刹车时车速是自变量，刹车距离s是因变量
B．随着刹车时车速的增大，刹车距离s也随之增大
C．当刹车时车速是时，刹车距离是
D．刹车距离s与刹车时车速之间的关系式是
【答案】C
【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，根据表格数据逐一判断即可．
【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意；
B：由表格数据，随的增大而增大，正确，不符合题意；
C：由表格数据，每增加增加，当刹车时车速是时，刹车距离为，选项C为 ，错误，符合题意；
D：每增加增加，故刹车距离s与刹车时车速之间的关系式是，正确，不符合题意；
故选：C．
5．已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况：
时间 0 10 20 30 40
油温 10 35 60 85 110
则下列说法不正确的是（ ）
A．没有加热时，油的温度是 B．继续加热到，预计油的温度是
C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热，油的温度升高
【答案】D
【分析】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键，根据常量与变量的意义，表格中的数据进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、没有加热时，油的温度是，故A正确，不符合题意；
B、继续加热到，预计油的温度是，故B正确，不符合题意；
C、在这个问题中，自变量为时间t，故C正确，不符合题意；
D、每加热，油的温度升高，故D不正确，符合题意；
故选：D．
6．学校开展科技活动时，科技小组成员找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，再在镜片后放置光屏正对镜片．不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时测量镜片与光斑之间的距离，得到表格中数据．下列说法正确的是（ ）
老花镜的度数度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3
A．与都是常量
B．老花镜的度数是因变量
C．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑之间的距离减少0.1m
D．老花镜的度数越小，镜片与光斑之间的距离越大
【答案】D
【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键．根据表格中的实验数据，由此可判断各选项的正误即可．
【详解】解：选项A：D与f均为变量，因不同度数对应不同距离，故A错误．
选项B：实验中通过改变度数D（自变量）测量对应的f（因变量），故D是自变量，B错误．
选项C：数据中，D每增加50度时，f的减少量并非固定．例如，D从200→250度（+50度），f减少；但D从100→200度（+100度），f减少（每50度减少），说明变化量不恒定，C错误．
选项D：由表格可知，D越小，f越大．例如，度时，，度时，，符合数据规律，D正确．
故选D．
7．张阳将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5s记录一次温度计上显示的度数，记录结果如下表：
时间 5 10 15 20 25 30 35
温度计上度数 49 31 22 16 14 12 12
下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，温度计上的度数是
B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是因变量
C．当温度计的度数为时，经过的时间可能是
D．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
【答案】C
【分析】本题考查用表格表示变量间的关系．根据题意和表格中的数据逐项判断即可．
【详解】解：A、根据表格可得，当时，温度计上的度数是，说法正确，本选项不符合题意；
B、这个表中时间是自变量，温度计上的度数是因变量，说法正确，本选项不符合题意；
C、观察数据：时温度，时；温度在后持续下降，时温度应介于与之间，不可能回升至，原说法错误，本选项符合题意；
D、温度从逐渐降至后保持不变，说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
8．我国首辆火星车被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料—纳米气凝胶，该材料的导热率与温度之间的关系如下表：
温度 … 10 15 20 25 …
导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 …
根据表格中数据的对应关系，下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B．在一定温度范围内，温度越高，该材料的导热率越高
C．当温度为时，该材料的导热率为
D．在一定范围内，温度每升高10℃，该材料的导热率就增加
【答案】C
【分析】本题考查变量间的关系及数据规律的识别，由表格两个变量：导热率与温度之间的关系，结合选项逐一验证即可得到答案，理解该材料的导热率与温度之间的关系是解决问题的关键．
【详解】解：A、导热率K随温度T变化，故自变量是温度，因变量是导热率，选项说法正确，不符合题意；
B、表格中温度从增至，导热率由0.15递增至0.3，说明温度越高导热率越高，选项说法正确，不符合题意；
C、观察数据，温度每增加，导热率增加0.05，当温度为时，，按此规律：当温度为时，；当温度为时，；因此，当温度为时，导热率应为0.4而非0.5，选项说法错误，符合题意；
D、温度每增加0.05，则每增加0.1，即温度由时，K从0.15→0.25，选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
题型四：用关系式表示变量之间的关系
1．油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”进行列式，表达即可作答．
【详解】解：∵油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，
则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是，
故选：D．
2．如果每盒铅笔12支，售价8元，那么铅笔的售价y（元）与铅笔的支数x（支）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列函数关系式，找准等量关系是解题的关键．先求出单价，再根据等量关系：总价单价支数，列出关系式即可．
【详解】解：∵每盒铅笔12支，售价8元，
∴单价为元，
∴.
故选：B．
3．鲁老师乘车从学校到省城开会，学校距省城120千米，车行驶的平均速度为80千米/时．小时后鲁老师距省城千米，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列函数关系式，找出所求量之间的等量关系是解题的关键；
根据距省城的距离已经行驶的距离，解答即可；
【详解】解：依题意，，
即．
故选：B．
4．已知一个等腰三角形的周长为40，那么它的底边与腰长之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列关系式，等腰三角形的两腰相等，两腰与底边长度之和为周长，由此列式即可．
【详解】解：由题意知，
所以它的底边与腰长之间的关系式为：，
故选D．
5．春游时，小明带了50元去买单价为6元的烤肠，则他所花的钱（元）与他买的烤肠的数量（根）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，花的钱数等于单价乘以数量，列式解答即可．
本题考查了正比例关系的应用，熟练掌握比例关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得花的钱数等于单价乘以数量，
故，
故选：A．
6．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键．
根据“前3件每件50元”，以后超过的件数按每件25元计算，据此列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，，即．
故答案为：．
7．小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱元与买这种笔记本数量本之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了列函数关系式，关键是明确等量关系．由剩余的钱原有的钱用去的钱，可列出函数关系式．
【详解】解：依题意得，剩余的钱y（元）与买这种笔记本的数量x之间的关系为：
．
故答案为：．
8．一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且每挂1千克就伸长0.8厘米，弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为 ().
【答案】
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．先得到千克重物在原来基础上增加的长度，再加上原来长度即可得到函数关系式．
【详解】解：每挂1千克重物伸长0.8厘米，
挂千克重物伸长厘米，则挂物体（千克）与弹簧长度（厘米）的函数关系式是（）．
故答案为：．
9．徽园，是一座采用皇家园林、徽派建筑、现代简约等多种风格设计、展示安徽各地文化，将观光与文化融为一体的大型综合性观光公园．周末我校八年级三位老师带领x名学生到徽园参观研学，已知成人票每张20元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数关系式．根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式．
【详解】解：根据题意可得：．
故答案是：．
题型五：利用几何图象表示变量之间的关系
1．在中，边上的高是厘米．当动点在上由向运动时，设长为（厘米），的面积为（厘米），则与的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据三角形面积公式即可求出与的关系式．
【详解】解：∵，边上的高是厘米，
∴，
故答案为：．
2．如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，找出题中的数量关系是解题关键．
根据菜园三边和为24米，可得到，变形即可得到y与x的关系式．
【详解】解：由题意可得，，
则有，
变形得：
故答案为：
3．如图，在直角三角形中，，，，是线段上的一个动点，当点从点向点运动时，运动到点停止，设，的面积为，则与之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用关系式表示两个变量的关系，三角形的面积，正确求出的长是解题的关键．过点作于点，根据直角三角形的面积公式求出的长，再根据的面积公式计算即可．
【详解】解：，，，，
，
过点作于点，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
4．如图，圆柱的高是，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之变化，则圆柱的体积与底面半径的表达式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，根据圆柱体积的计算公式直接可得．
【详解】解：圆柱的体积V与底面半径r的关系式是．
故答案为：．
题型六：已知变量之间的关系求数值
1．汽车行驶时，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系为，从关系式可知这辆汽车加满油后最多可行驶 h．
【答案】
【分析】本题考查了函数关系式，根据题意，得，则，解得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴令时，则，
∴解得，
故答案为：．
2．漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位（单位：）和时间（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当为时，对应的时间为 ．
… …
… …
【答案】
【分析】本题考查的知识点是变量之间的关系，解题关键是理解表格．
由表格可知，增加，增加，据此列解析式并求解即可．
【详解】解：由表得：增加，增加，
则，
将，代入得，，
，
时，，
解得，
当为时，对应的时间为．
故答案为：．
3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示：
所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5
在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 ．
【答案】23.5
【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长，由此可得与的关系式．解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律．
【详解】解：分析表格可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长，
∴与的关系式为．
当所挂物体的质量为时，即时，
故答案为：23.5．
4．汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为 ，该汽车最多可行驶 小时．
【答案】
【分析】本题考查变量之间的关系，涉及关系式表示的变量间关系及解一元一次方程等知识，根据题意，油箱剩余油量油箱原有油量消耗油量即可得到关系式；令解方程即可得到该汽车最多可行驶时间，读懂题意得到与的关系式是解决问题的关键．
【详解】解：汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，
油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为；
当时，，解得，
则该汽车最多可行驶小时；
故答案为：；．
5．随着杭州亚运会的临近，吉祥物的生产也进入“白热化”阶段，某工厂每名缝纫工生产标准吉祥物的数量y（个）与生产天数x（天）之间的关系如下表：
生产天数x/天 1 2 3 4 5 …
生产数量y/个 30 60 90 120 150 …
则一名缝纫工生产240个标准的杭州亚运会吉祥物需要 天．
【答案】8
【分析】本题考查变量之间的关系，先找出生产天数与生产数量两个变量的关系，并建立关系式，即可求得答案．
【详解】解：由题意可得生产天数x与生产数量y之间的关系式为：，
∴当时，，
∴天，
故答案为：8．
6．某电影院第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，．．．．．．每一排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m= ．(不需要注明取值范围)
【答案】
【分析】根据第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，......每一排都比前一排多3个座位，列出关系式即可．
【详解】解：由题意得：第n排的座位数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列函数关系，找准等量关系，正确列出关系式是解题的关键．
7．小红到批发市场共批发了20支笔，她每月平均用3支笔，小红剩下的笔的支数用表示，用表示她用的月数，且与之间的关系可近似用表示．试问，当她用了2个月后，还剩 支笔，用了3个月后，还剩 支笔，小红的笔够用7个月吗？ （填“够”或“不够”）．
【答案】 14 11 不够
【分析】把代入中求出y的值，即可知她用了2个月后，还剩下的笔的数量；把代入中求出y的值，即可知她用了3个月后，还剩下的笔的数量；把代入中求出y的值，若，则够用7 个月，若，则不够用7 个月．
【详解】当时，，
∴当她用了2个月后，还剩14支笔，
故答案为：14；
当时，，
∴当她用了3个月后，还剩11支笔，
故答案为：11；
当时，，
∴小红的笔不够用7个月，
故答案为：不够．
【点睛】本题主要考查了已知自变量的值，代入关系式中即可求出相应的函数值．掌握这一点知识是解题的关键．
题型七：用函数图象表示变量之间的关系
1．将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案.
【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，
∴符合题意的图象是B选项中的图象．
故选：B．
2．你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（ ）最符合故事情境．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，理解题意，分析得到乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位是解题的关键．根据题意乌鸦衔来小石子放入瓶中时，水位将会上升，最后乌鸦喝到水之后的水位应不低于一开始的水位，据此逐项判断即可．
【详解】解：因为乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中后，水位将会上升，
且一开始的水位乌鸦是喝不着水的，
所以乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，
因此只有A选项的图象符合题意．
故选：A．
3．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数图象表示实际问题，根据题中描述，结合选项即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是
故选：C．
4．小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y米与时间t分钟之间关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，掌握相关知识是解题的关键．由爷爷锻炼身体的行程，可得出距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，再根据跑步的速度快于漫步的速度，对照选项即可得出结论．
【详解】解：爷爷跑步去公园，慢步回家，且在公园停留打了一会儿太极拳，
距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，且增加的快，减少的慢．
故选：C．
5．圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解决本题的关键是圆圆观看了的杂技表演．
根据题意可知，圆圆在内，离家距离是，再由观看了的杂技表演可知此时距离不变，再由回家用了，可知在第时圆圆到家，由此判断图象即可．
【详解】解：∵从家出发走了到达离家的广场，
∴圆圆在第时，离家距离是，
∵圆圆观看了的杂技表演，
∴圆圆的离家距离不变，依然为，
∵圆圆再用回到家中，
∴圆圆在第时，到达家中，
由此可知可以表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是A选项．
故选：A ．
6．六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（ ）准确地描述了这个过程．
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根据用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化，容易看出数量的增减变化情况分析求解即可．本题考查了折线统计图的应用问题，熟练掌握折线统计图的特征是解题的关键．
【详解】解：根据六年级学生在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地；
准确地描述了这个过程．
故选：B．
7．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据水面高度 随时间 变化的折线斜度，判断容器不同阶段的粗细，斜度越大容器越细，斜度越小容器越粗，进而匹配容器形状．本题主要考查了函数图象与实际问题中容器形状的对应关系，熟练掌握根据函数图象斜度判断容器粗细变化是解题的关键．
【详解】解：注水速度匀速，水面高度 随时间 变化的图象中，折线斜度反映容器粗细，斜度越大，相同时间水面上升越高，容器越细；斜度越小，容器越粗；
图象 段斜度大， 段斜度小， 段斜度比 段大，即容器注水时，先注的部分较细，中间部分最粗，最后部分较细，
观察选项，只有B选项容器形状符合先细、再粗、最后较细的特点，
故选：
8．如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象．根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随时间增加，即可得出答案．
【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零，
当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间t的增加而增大，
当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D符合题意．
故选：D．
9．悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为距离，为时间），符合上述情况的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图象，根据题意可知，整个过程分为三段，分别分析三段过程即可得出答案，读懂题意分析出每一段过程中的图象是解题的关键．
【详解】解：首先一开始以某一速度行进，图象应该是一条逐渐向上的直线，而后停下来修车，图象应该是平行于轴的直线，之后加速也是一条逐渐向上的直线，
所以选项符合，
故选：．
10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项，
故选：．
题型八：从函数图象中获取信息判断选项是否正确
1．（在弹簧弹性范围内）为了估计弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，同学们测量出弹簧悬挂不同质量的砝码时所对应的长度，并用横坐标表示砝码的质量，纵坐标表示弹簧的长度，在平面直角坐标系中描出了若干散点，如图所示．小明发现，这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，他画了一条经过了最多散点的直线，来表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，根据小明所作的趋势图，下列说法错误的是（ ）
A．所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长
B．物体的质量每增加，弹簧的长度增加约
C．所挂物体的质量时，弹簧的长度约
D．不挂物体时，弹簧长度约
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，从图象中获取准确的信息是解题的关键．根据图象信息逐项分析解题即可．
【详解】解：A、观察图像可知，所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长，，故A选项说法正确；
B、观察图象可知，物体的质量每增加，弹簧的长度增加约，故B选项说法正确；
C、观察图象，将直线延长可知，当所挂物体的质量时，弹簧的长度约，故C选项说法正确；
D、观察图象，将直线延长交y轴，当所挂物体质量为0时，弹簧长度约，故D选项说法错误；
故选：D．
2．下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（ ）
篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系
小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系
一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系
周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键．
【详解】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；
第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；
第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系；
第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系；
故选：．
3．“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题主要考查从图象中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．
【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，
由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故①说法错误；
第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选②说法正确；
由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故③说法正确；
综上所述：说法正确的是②③．
故选：B．
4．北京冬奥会开幕式以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界．下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图（白昼时长（日出时刻）（日落时刻），下列结论中正确的是（ ）
A．立夏这天的日出时间是 B．白昼时长在小时的有10天
C．立冬这天的日落时间是 D．小满时白昼时间最长
【答案】C
【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息．根据图象中的信息逐项求解判断即可．
【详解】解：由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时
∴（日出时刻）
解得日出时刻
∴立夏这天的日出时间是，故A错误；
由图象可得，白昼时长在小时的有13天，故B错误；
由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时
∴（日落时刻）
解得日落时刻
∴立冬这天的日出时间是，故C正确；
由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D错误．
故选：C．
4．某周六下午，小林从家骑自行车去“西北书城”， 途中他在东方红广场停留了一段时间，在整个过程中小林离“西北书城”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．小林家距离西北书城1600米
B．小林在东方红广场玩了10分钟
C．小林从家到东方红广场的速度比从东方红广场到西北书城的速度大
D．小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示两个变量的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图象中的数据的实际意义判断各项即可．
【详解】解：A、当时，，则小林家距离西北书城2400米，故A选项不符合题意；
B、小林在东方红广场玩了分钟，故B选项不符合题意；
C、小林从家到东方红广场的速度为（米/分钟），从东方红广场到西北书城的速度为（米/分钟），，故C选项不符合题意；
D、小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟，故D选项符合题意；
故选：D．
5．社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ）
A．小王实际骑行时间为
B．内，小王派送快递的平均速度是
C．小王骑行的平均速度比慢
D．点表示小王出发，共骑行
【答案】D
【分析】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：观察图象得：期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止状态，
因此实际骑行时间为，故A选项错误，不符合题意；
内，小王派送快递的平均速度是，故B选项错误，不符合题意；
小王派送快递的平均速度是，
小王派送快递的平均速度是，
因为，
所以小王骑行的平均速度比快，故C选项错误，不符合题意；
点表示小王出发，共骑行，故D选项正确，符合题意；
故选D．
6．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长为
C．当秒时， D．当时，秒
【答案】D
【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可．
【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变，
∴，故A选项说法正确，不符合题意；
B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒，
∴，
∴长方形的周长为，
故选项B说法正确，不符合题意；
C、当秒时，动点P在边上，此时，
故选项C说法正确，不符合题意；
D、当时，有两种情况：
当动点P在边上时，由得；
当动点P在边上时，由得，
综上，当时，秒或3秒，
故选项D说法错误，符合题意，
故选：D．
7．如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（ ）
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
【答案】C
【分析】本题考查利用图象表示函数关系．根据函数的图象可以得到因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小．逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小．
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），水温随着时间的增加而下降，故该选项不符合题意；
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），高度随着时间的增加而增大， ，故该选项不符合题意；
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），高度随着时间的增加先增大，后减小，故该选项符合题意；
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），速度不随着时间的变化而变化．故该选项不符合题意；
故选：C．
8．下面的三个问题中都有两个变量：
①某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x小时后，这个水池有水；
②某手机话费收费标准为：每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．若一个月的通话时间为，一个月应缴费用为y元；
③某弹簧的自然长度是，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加，弹簧长度y增加
其中，变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，解题的关键是正确理解图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到问题的相应解决．
根据图象可知：两个变量之间的关系是，其中，①根据小时后，这个水池的蓄水量等于原来的蓄水量加上后来增加的进水量判断即可；②根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可；③根据弹簧长度等于自然长度加上伸长长度判断即可．
【详解】解：根据图象可知：两个变量之间的关系是，其中。
①由题意得，，故变量与变量之间的关系可以用如图所示的图象表示；
②由题意得，，故变量与变量之间的关系可以用如图所示的图象表示；
③由题意得，，故变量与变量之间的关系可以用如图所示的图象表示；
所以变量与变量之间的关系可以用如图所示的图象表示的是①②③．
故选：D．
9．如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店1千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
【答案】D
【分析】本题考查函数图象的实际应用，结合图象得出从家直接去体育场，故第一段函数图象所对应的y轴最高点即为体育场离张强家的距离，进而得出锻炼时间以及整个过程所用的时间，由第三段函数图象可得体育场离开早餐店的距离，根据第五段函数图象求得张强从早餐店回家的距离及时间，再利用平均速度等于总路程除以总时间即可求张强从早餐店回家的平均速度．
【详解】解：由函数图象可得，体育场离张强家2.5千米，故A不符合题意；
由图象可得，张强在体育场锻炼了（分钟），故B不符合题意；
由图象可得，体育场离早餐店的距离为：（千米），故C不符合题意；
由图可得，张强从早餐店回家的距离是1.5千米，所需用的时间为（分），
所以张强从早餐店回家的平均速度是（千米/小时），故D符合题意；
故选：D．
10．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为
C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢
【答案】B
【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：由图可知，点所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A正确，不符合题意；
内的路程没有变化，
老刘实际骑行时间为，故B错误，符合题意；
老刘骑行的路程为30km，
的速度为，故C正确，不符合题意；
骑行的路程为，
的速度为，
，
老刘的骑行在的速度比的速度慢，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键．
题型九：表格与变量综合解答题
1．某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示：
人次 180 220 325 356 420 …
元 360 440 650 712 840 …
(1)表中的自变量为___________，因变量为___________；
(2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润）
【答案】(1)每周乘坐9路公交车的人次；9路公交车每周的收入
(2)每周需要有900人次乘坐该路公交车
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键：
（1）直接根据表格进行作答即可；
（2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2元，根据收入支出利润，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化，
故自变量为：每周乘坐9路公交车的人次，因变量为：9路公交车每周的收入；
（2）由表格可知，每人次乘坐的票价为元，
由题意，得：，
解得：；
答：每周需要有900人次乘坐该路公交车．
2．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了下面的表格，根据下表回答问题：
距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
温度（） 20 14 8 2
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着的变化，是怎么变化的？
(3)直接写出和的关系式．
(4)你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
【答案】(1)上表反映了温度和距地面高度之间的关系，距地面高度是自变量，温度是因变量
(2)随着h的增加，t逐渐减小
(3)
(4)
【分析】本题考查用表格和关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格中获取所需信息是解答的关键．
（1）根据自变量、因变量的定义解答即可；
（2）根据表中数据解答即可；
（3）根据表中数据得出高度每增加1千米，温度下降，即可得答案；
（4）将代入中求解即可．
【详解】（1）解：上表反映了温度和距地面高度之间的关系，距地面高度是自变量，温度是因变量；
（2）解：由表可知：随着h的增加，t在逐渐减小；
（3）解：从表格中可以看出，距地面高度每增加1千米，温度下降，
∴；
（4）解：当时，，
答：距离地面6千米的高空温度是．
3．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示：
重量（单位：千克） 0 2 3
指针转过的角度
(1)请直接写出___________，___________；
(2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为___________；
(3)指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由；
(4)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果．
【答案】(1)45；10
(2)
(3)不会，见解析
(4)12千克
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，一元一次方程的应用，通过表格观察数据建立变量间的关系，理解题意得到等量关系建立方程是解决本题的关键．
（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加由此可解；
（2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式；
（3）将代入（2）中所得关系式中，求解出n的值即可判断；
（4）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可．
【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，
重量为千克时，指针转过的角度为；
当指针转过的角度为，重量为千克，
故答案为：45；10；
（2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加，
∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为；
故答案为：；
（3）解：不会，理由如下：
当物品的重量为18千克时，
由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为，
将代入中，得，
∴称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤；
（4）解：设第一次称重的重量为千克，
∵第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，
∴第二次称重的重量为千克，
由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为，
∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为，
∵指针第二次转过的角度比第一次大，
∴，解得，
∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为千克，
（千克）
答：该顾客一共购买了12千克水果．
4．综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米．
(1)在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________；
(2)___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由；
(3)求y与x之间的关系式；
(4)根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格：
x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 …
①___________，___________；
②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________．
③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)自变量是x，因变量是y
(2)，时不符合题意，理由见解析
(3)
(4)①18，16；②当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）；③y存在的最大值为18，此时x的值为3
【分析】本题考查用表格表示两个变量间的关系、用关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格数据中获取信息是解答的关键．
（1）根据自变量和因变量的定义求解即可；
（2）由篱笆的长度和图形周长求法列代数式即可求得表示的代数式，再求得当时的的值，进而与9比较大小可得结论；
（3）根据长方形的面积公式求解即可；
（4）①分别将和代入（3）中关系式中可求解m、n值；
②由表格数据中自变量和因变量的变化可得结论；
③根据表格因变量的变化规律可得答案．
【详解】（1）解：根据题意，自变量为x，因变量为y；
（2）解：设垂直于墙的两边，的长均为x米，
根据题意，米，
当时，，
∴时不符合题意；
（3）解：由题意，得；
（4）解：①当时，，即；
当时，，即；
②根据表格数据变化，当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）；
③根据表格数据变化，y随x的增大，先增大再减小，在时，取得最大值，
即y存在的最大值为18，此时x的值为3．
5．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：）与充电时间t（单位：）之间的关系如表格所示．
充电时间t（单位：） 0 10 20 30 40 50 …
手机电量E（单位：） 20 28 36 44 52 60 …
(1)请求出E与t之间的关系式；
(2)若电量充到，请求出充电时间；
(3)已知该手机正常使用时耗电量为每小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用t小时，接着再用普通充电器将其充满电，普通充电器充电平均速度为每小时，其“充电耗电充电”的时间恰好是5小时，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】本题考查用表格表示两个变量之间的关系、用关系式法表示两个变量之间的关系，理解题意，从表格数据中找到因变量与自变量的关系是解答的关键．
（1）从表格数据可得到：用快速充电器给该手机充电，每充电，其电量E增加，进而可列出关系式；
（2）求出当时的t值即可；
（3）根据题意，先求得用快速充电器将其充满电的时间，再由“充电耗电充电”的时间恰好是5小时求得普通充电器将其充满电的时间，然后根据“普通充电器充电量等于正常使用的耗电量”列方程求解即可．
【详解】（1）解：由表格数据知，用快速充电器给该手机充电，每充电，其电量E增加，即每充电，其电量E增加，
∴E与t之间的关系式为；
（2）解：当时，由得，
答：充电时间为；
（3）解：当时，由得，
∴用快速充电器将其充满电所需时间为，
根据题意，得，
解得．
答：t的值为2．
6．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为．
(1)判断是否符合题意，并说明理由；
(2)求与之间的关系式；
(3)根据关系式补充表格：
观察表中数据，写出随变化的一个特征： ．
【答案】(1)不符合题意，理由见详解
(2)
(3)18，16，y随x的增大先增大后减小
【分析】本题主要考查用关系式和表格表示变量之间的关系，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键．
（1 ）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得；
（2 ）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式；
（3 ）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得．
【详解】（1）解：不符合题意，
由题意得，，
当时，，
则，不符合题意；
（2）解：；
（3）解：当时，，
当时，，
完成表格如下：
（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
（米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5
由表可知，随的增大先增大后减小，
故答案为：随的增大先增大后减小．
7．“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，并由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，旨在传播普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”、实现“航天梦”的热情．七（1）班“问天小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温
声音在空气中的传播速度
阅读上述材料回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ；
(3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为 ；
(4)某日的气温为，欢欢同学看到烟花燃放后才听到声响，那么欢欢同学与燃放烟花所在地大约相距多远？
【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查变量之间的关系，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出变量之间的关系是正确解答的前提．
（1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；
（2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；
（3）利用（2）中的变化关系得出变量之间的关系；
（4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可．
【详解】（1）据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
（2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高
故答案为：；
（3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，
，
故答案为：；
（4）当时，
，
，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距．
8．张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价（元/千克） 4.8 4
零售价（元/千克） 7.2 5.6
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40千克花180元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？
(2)若他用m元批发甲、乙两种蔬菜共80千克，设批发甲种蔬菜n千克，求m与n的关系式：
(3)一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售，其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于，求乙种蔬菜至少可打几折（结果精确到0.01）．
【答案】(1)甲蔬菜，乙蔬菜
(2)
(3)折
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共，用去了元钱，列方程求解；
（2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系；
（3）设乙种蔬菜打折，根据利润、售价、成本之间的关系建立一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜，
由题意得：，
解得：，
乙蔬菜，
答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜，
（2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，
由题意得：，
答：m与n的函数关系为：，
（3）解：设乙种蔬菜打折，
由题意得，
解得：，
答：乙种蔬菜至少可打折．
9．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________．
(2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒．
(3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离．
【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s
(2)6；
(3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米
【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键．
（1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案；
（2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可；
（3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离．
【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s．
故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s．
（2）解：甲的速度为：（米/秒），
乙的跑步速度为： （米/秒）．
故答案为：6；．
（3）解：设t秒时，甲追上乙，
根据题意得：
解得： ，
则（米），
答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米．
题型十：函数图象与变量综合解答题
1．甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答：
(1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________；
(2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度：
(3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由．
【答案】(1)10，2，1
(2)点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度．
(3)不能，理由见详解
【分析】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值．
（2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可．
（3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案．
【详解】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，
∴乙位置坐标为：，
根据关系图可知，
当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，
设乙的速度为：v，
故，
解得：．
根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，
，
故答案为：10，2，1
（2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，
，
解得：，
则，
即甲、乙第二次相距5个单位长度．
（3）解：不能，理由如下：
甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走，
则甲到达乙的位置一共需要，
乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走，
则乙到达甲的位置一共需要，
则甲、乙不能同时到达对方最初的位置．
2．2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小明离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米；
(2)小华在超市停留了______分钟；
(3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米；
(4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？
【答案】(1)2100
(2)4
(3)2700
(4)在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内
【分析】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间；
（2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间；
（3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程；
（4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米，
故答案为：2100；
（2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟，
故答案为：4；
（3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米），
故答案为：2700；
（4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）；
当时间在分钟内，速度为（米/分）；
当时间在分钟内，速度为（米/分）；
∵，
∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内．
3．游乐场里的数学
【问题情境】
海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度）
【问题探究】
小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2．
请根据图2中信息回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________；
（2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米；
【问题解决】
（3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留）
【答案】（1），h；（2）8，2；（3）．
【分析】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系．
（1）根据题干信息判断即可；
（2）根据图2作答即可；
（3）先求出该点一个周期摆动，再根据图2求出2分钟摆动的周期数，最后相乘即可．
【详解】（1）解：∵高度随时间变化而变化，
∴自变量是，因变量是h，
故答案为：，h；
（2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米；
故答案为：8，2；
（3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米，
该点所在的圆的周长为，
∵其最大摆角为，
∴该点单次摆动路程为，
即该点一个周期摆动，
由图2可知一个周期为，
∴2分钟即共摆动个周期，
∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是．
4．4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题：
(1)图中的自变量是______，因变量是______；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟；
(4)图中a表示的数是______；b表示的数是______；
(5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【答案】(1)操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h
(2)5
(3)25
(4)2，15
(5)第14分钟时无人机的飞行高度是25米
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解题的关键是看懂图象中数据，结合路程速度时间进行计算．
（1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案；
（2）根据图象直接计算即可得到答案；
（3）根据分钟图象数据求解即可得到答案；
（4）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案；
（5）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
∵无人机高度随时间变化而变化，
∴自变量是操控无人机的时间（或t），因变量是无人机的飞行高度（或h），
故答案为：操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h；
（2）解：由图象可得，
分钟无人机在米高的上空停留，
∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟，
故答案为：5；
（3）解：由分钟图象可得，
无人机的速度为：（米/分钟），
故答案为：；
（4）解：由（3）可得，
，，
解得：，，
故答案为：2，；
（5）解：由（3）可得，
，
∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米），
答：第分钟时无人机的飞行高度是米．
5．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)点B所对应的数为_________．
(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时．
(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．
(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？
【答案】(1)1.5
(2)60，80，110
(3)270
(4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可；
（2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度；
（3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解；
（4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解．
【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发，
∴轿车第1.5小时出发，
∴点所对应的数是1.5；
故答案为：1.5；
（2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时，
轿车在段的速度为千米/小时，
轿车在段的速度为千米/小时，
故答案为：60，80，110；
（3）根据图象可知，轿车到达乙地时，
货车行驶时间为，
此时，货车与甲地的距离为千米；
（4）根据图象可知，轿车先到达乙地，
货车达到时间为小时，
可知，轿车比货车提前小时，
即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达．
6．2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
(2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时；
(3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
(4)图2中点A表示 ．
【答案】(1)小明的游览时间，小明步行的路程
(2)4
(3)0.35
(4)小明游览时间为时，步行的路程为
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，读懂图象是解题的关键．
（1）由题意直接得到；
（2）计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解；
（3）计算出从好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而得解；
（4）根据其横纵坐标说明即可．
【详解】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程．
故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程；
（2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：，
时间为：
∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是
故答案为：4；
（3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：，
∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：，
∴在景点好汉坡处逗留的时间是，
故答案为：0.35；
（4）由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为．
故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为．
7．如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．
(1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)表格中的常数______，常数的取值范围为______；
面积 3 6 …
路程 1 2 3 8 …
(3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式．
【答案】(1)图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量
(2)；
(3)当点在上运动时；当点在上运动时
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
（1）根据题意直接得出自变量及因变量即可；
（2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可；
（3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式．
【详解】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，
其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量；
（2）解：当点运动到点处时，，，即，，
，
，，
当时，点P在上运动，，
；
当时，即，此时点P在上运动，
；
（3）解：当点运动到点处时，，，即，，
，
，，
当点在上运动时，，
，
当点在上运动时，，
，
．
题型十一：高分冲刺题型
1．在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表：
搬运时间 1 2 3 4 ．．．
搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．．
下列说法错误的是（ ）
A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化
B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为
C．与之间的关系式为
D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加
【答案】B
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系．
通过分析表格数据，逐一判断即可．
【详解】解：由表格可知：搬运时间每延长，搬运货物的重量增加，
∴，
故A、C、D正确；
当搬运货物的重量为时，，
解得：，
故B错误，
故选：B．
2．五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（ ）
A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t
B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米
C．摩天轮转一周需要9分钟
D．当时，小明处于上升状态
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键．
根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果．
【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意；
B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意；
C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意；
D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意；
故选：D．
3．地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的关系可以近似的表示为（ ）
所处深度 2 3 7 10 13
地表以下岩层的温度 90 125 265 370 475
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用表达式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可．
【详解】解：由表格中数据可知，从2千米开始，每下降1千米，气温升高，
∴y与x的关系可以近似的表示为．
故选A．
4．下面的四个问题中都有两个变量：
①正方形的面积与边长；
②等腰三角形周长为20，底边长与腰长；
③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间；
④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意分别表示出变量之间的关系，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：①正方形的面积与边长，则，故不符合题意；
②等腰三角形周长为20，底边长与腰长，则，即，故符合题意；
③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间，则，故符合题意；
④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，则，故不符合题意；
综上所述，符合题意的有②③，
故选：C．
5．圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】B
【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式，解决本题的关键是从题表中梳理出总高度与纸杯之间的数量关系．根据表格可知，每增加一个杯子高度增加1.4，得到，根据纸杯总高度列关于的一元一次不等式求解．
【详解】解：由表格可得，每增加一个杯子，总高度增加，
则总高度．
则，
解得，，
则的最大值为22，
故选：B．
6．如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由图象，当点P在边上时，，则，
又点P运动8秒时到点B处，
∴，故①正确；
∵点P运动c秒时到达点D处，
∴，故②错误；
点从点运动到点用时秒，故③正确；
当的值为10时，点在边上运动，则点运动的路程为厘米，故④错误；
由题意，长方形面积为，
当的面积是长方形面积的时，，
由图知，点P在边上时，由得；
当点P在边上时，由得，
∴，
即当的面积是长方形面积的时，的值为4或15，故⑤错误，
综上，正确结论的个数是2个，
故选：B．
7．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ．
【答案】 ， ，
【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量．
根据常量与变量的定义即可直接得出答案．
【详解】解：由常量与变量的定义可知：
在关系式中，常量是，，变量是，，
故答案为：，；，．
8．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ．
温度
导热率
【答案】
【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加，
所以，
所以，当导热率为时，温度为，
故答案为：．
9．七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系．
根据题意可知应付款为前30本兴趣书费用加上超出部分的费用．
【详解】解：由题意得：，
化简得：，
故答案为：．
10．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．
【答案】①②③
【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．
【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确；
由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确；
由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确；
由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键．
11．如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时．
（1） ；
（2）与的函数关系式为： ；
（3）当为 时，．
【答案】 8 或
【分析】（1）根据时，列出方程求解即可；
（2）首先求出每分钟从乙容器注水到丙容器，然后根据题意列出关系式即可；
（3）根据列出方程求解即可．
【详解】（1）由题意可得，时，，
∴，解得，
（2）∵，
∴时，每分钟从乙容器注水到丙容器，
∴与的函数关系式为：；
（3）当时，，丙容器原有液体，
若，则有，
解得；
当时，丙容器内液体体积为，
若，则有，解得，
∴当为或时，．
故答案为：（1）8；中小学教育资源及组卷应用平台
5.1 常量与变量
题型目录：
题型一：常量和变量的认识
题型二：用表格表示变量之间的关系
题型三：从表格中获取信息判断选项是否正确
题型四：用关系式表示变量之间的关系
题型五：利用几何图象表示变量之间的关系
题型六：已知变量之间的关系求数值
题型七：用函数图象表示变量之间的关系
题型八：从函数图象中获取信息判断选项是否正确
题型九：表格与变量综合解答题
题型十：函数图象与变量综合解答题
题型十一：高分冲刺题型
题型一：常量和变量的认识
1．如图是刘老师在加油站加油时加油机仪表上某一时刻的数据情况，在加油过程中的常量是（ ）
A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
2．球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（ ）
A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是
3．如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面说法不正确的是（ ）
A．的度数是变量 B．的面积是变量
C．的长度是常量 D．的长度是常量
4．一个圆柱的高为，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中（ ）
A．是因变量，是自变量 B．是自变量，是因变量
C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量
5．如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ）
A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量
C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量
6．河北省的特产丰富多样，其中赞皇大枣被誉为“枣中之王”，皮薄肉厚、甜度高、营养丰富．一份赞皇大枣的价格是50元，买m份赞皇大枣共支付n元，则50和m分别是（ ）
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
7．一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（ ）
A．水的质量，食盐水的浓度 B．水的质量，食盐水的质量
C．食盐水的质量，食盐的质量 D．食盐的质量，水的质量
题型二：用表格表示变量之间的关系
1．下表列出了一项实验的统计数据中变量与之间的关系，则下面的式子中，能表示这种关系的是（ ）
30 40 100 120
15 20 50 60
A． B． C． D．
2．地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的函数关系可以近似地表示为
所处深度x（） 2 3 5 7 10 13
地表以下岩层的温度y（） 90 125 195 265 370 475
则该地y与x的关系可以近似地表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（ ）
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B． C． D．
4．4月19日，2025北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松开赛，这场赛事吸引了多家企业和高校自研团队的参与，成为人工智能与机器人领域的焦点．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如下表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 60 120 180 240 …
则y与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．表中给出的统计数据，表示皮球从高度落下时与反弹到高度的关系：
用含的代数式表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某火锅店推出了夏季促销活动，已知进店消费的人数与消费金额之间的关系如下表所示，则与的关系式为： （不必写出的取值范围）．
进店人数个 1 2 3 4 5
消费金额元 35 65 95 125 155
7．声音在空气中的传播速度（单位：）与温度（单位：）的部分关系如下表所示：
… 1 2 3 …
… …
则传播速度与温度之间的关系式为 ．
8．一棵树高与生长时间（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出与（年）之间的关系式： ．
年 1 2 4 6 8 …
…
题型三：从表格中获取信息判断选项是否正确
1．在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间有如下表关系：
0 1 2 3 4 …
10 10.5 11 11.5 12 …
下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．所挂物体质量每增加弹簧长度增加
C．所挂物体为时，弹簧长度为
D．不挂重物时弹簧的长度为
2．研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系：
氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
根据表格，下列说法错误的是（ ）
A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量
B．氮肥施用量越大，土豆产量越高
C．当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨
D．当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加
3．水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系：
时间 1 2 3 4 5 6
水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9
下列说法中，不正确的是（ ）
A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系
B．当容器中水的高度为时，对应的时间为
C．当经过的时间为时，容器中水的高度是
D．时间每增加，容器中水的高度增加
4．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），测试员对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表．下面说法中，错误的是（ ）
刹车时车速v/（） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s/ 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
A．刹车时车速是自变量，刹车距离s是因变量
B．随着刹车时车速的增大，刹车距离s也随之增大
C．当刹车时车速是时，刹车距离是
D．刹车距离s与刹车时车速之间的关系式是
5．已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况：
时间 0 10 20 30 40
油温 10 35 60 85 110
则下列说法不正确的是（ ）
A．没有加热时，油的温度是 B．继续加热到，预计油的温度是
C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热，油的温度升高
6．学校开展科技活动时，科技小组成员找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，再在镜片后放置光屏正对镜片．不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时测量镜片与光斑之间的距离，得到表格中数据．下列说法正确的是（ ）
老花镜的度数度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3
A．与都是常量
B．老花镜的度数是因变量
C．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑之间的距离减少0.1m
D．老花镜的度数越小，镜片与光斑之间的距离越大
7．张阳将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5s记录一次温度计上显示的度数，记录结果如下表：
时间 5 10 15 20 25 30 35
温度计上度数 49 31 22 16 14 12 12
下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，温度计上的度数是
B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是因变量
C．当温度计的度数为时，经过的时间可能是
D．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
8．我国首辆火星车被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料—纳米气凝胶，该材料的导热率与温度之间的关系如下表：
温度 … 10 15 20 25 …
导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 …
根据表格中数据的对应关系，下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B．在一定温度范围内，温度越高，该材料的导热率越高
C．当温度为时，该材料的导热率为
D．在一定范围内，温度每升高10℃，该材料的导热率就增加
题型四：用关系式表示变量之间的关系
1．油箱中存油18升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间（分钟）的关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．如果每盒铅笔12支，售价8元，那么铅笔的售价y（元）与铅笔的支数x（支）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．鲁老师乘车从学校到省城开会，学校距省城120千米，车行驶的平均速度为80千米/时．小时后鲁老师距省城千米，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知一个等腰三角形的周长为40，那么它的底边与腰长之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．春游时，小明带了50元去买单价为6元的烤肠，则他所花的钱（元）与他买的烤肠的数量（根）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
6．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ．
7．小军用100元去买单价为5元的笔记本，他买完笔记本之后剩余的钱元与买这种笔记本数量本之间的关系式为 ．
8．一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且每挂1千克就伸长0.8厘米，弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为 ().
9．徽园，是一座采用皇家园林、徽派建筑、现代简约等多种风格设计、展示安徽各地文化，将观光与文化融为一体的大型综合性观光公园．周末我校八年级三位老师带领x名学生到徽园参观研学，已知成人票每张20元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x之间的关系式为 ．
题型五：利用几何图象表示变量之间的关系
1．在中，边上的高是厘米．当动点在上由向运动时，设长为（厘米），的面积为（厘米），则与的关系式为 ．
2．如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为 ．
3．如图，在直角三角形中，，，，是线段上的一个动点，当点从点向点运动时，运动到点停止，设，的面积为，则与之间的关系式为 ．
4．如图，圆柱的高是，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之变化，则圆柱的体积与底面半径的表达式是 ．
题型六：已知变量之间的关系求数值
1．汽车行驶时，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系为，从关系式可知这辆汽车加满油后最多可行驶 h．
2．漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位（单位：）和时间（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当为时，对应的时间为 ．
… …
… …
3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示：
所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5
在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 ．
4．汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为 ，该汽车最多可行驶 小时．
5．随着杭州亚运会的临近，吉祥物的生产也进入“白热化”阶段，某工厂每名缝纫工生产标准吉祥物的数量y（个）与生产天数x（天）之间的关系如下表：
生产天数x/天 1 2 3 4 5 …
生产数量y/个 30 60 90 120 150 …
则一名缝纫工生产240个标准的杭州亚运会吉祥物需要 天．
6．某电影院第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，．．．．．．每一排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m= ．(不需要注明取值范围)
7．小红到批发市场共批发了20支笔，她每月平均用3支笔，小红剩下的笔的支数用表示，用表示她用的月数，且与之间的关系可近似用表示．试问，当她用了2个月后，还剩 支笔，用了3个月后，还剩 支笔，小红的笔够用7个月吗？ （填“够”或“不够”）．
题型七：用函数图象表示变量之间的关系
1．将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（ ）最符合故事情境．
A． B． C． D．
3．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y米与时间t分钟之间关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（ ）准确地描述了这个过程．
A．B． C． D．
7．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
9．悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为距离，为时间），符合上述情况的是（ ）
A．B． C． D．
10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．C．D．
题型八：从函数图象中获取信息判断选项是否正确
1．（在弹簧弹性范围内）为了估计弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，同学们测量出弹簧悬挂不同质量的砝码时所对应的长度，并用横坐标表示砝码的质量，纵坐标表示弹簧的长度，在平面直角坐标系中描出了若干散点，如图所示．小明发现，这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，他画了一条经过了最多散点的直线，来表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，根据小明所作的趋势图，下列说法错误的是（ ）
A．所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长
B．物体的质量每增加，弹簧的长度增加约
C．所挂物体的质量时，弹簧的长度约
D．不挂物体时，弹簧长度约
2．下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（ ）
篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系
小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系
一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系
周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系
A． B． C． D．
3．“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．北京冬奥会开幕式以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界．下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图（白昼时长（日出时刻）（日落时刻），下列结论中正确的是（ ）
A．立夏这天的日出时间是 B．白昼时长在小时的有10天
C．立冬这天的日落时间是 D．小满时白昼时间最长
4．某周六下午，小林从家骑自行车去“西北书城”， 途中他在东方红广场停留了一段时间，在整个过程中小林离“西北书城”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．小林家距离西北书城1600米
B．小林在东方红广场玩了10分钟
C．小林从家到东方红广场的速度比从东方红广场到西北书城的速度大
D．小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟
5．社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ）
A．小王实际骑行时间为
B．内，小王派送快递的平均速度是
C．小王骑行的平均速度比慢
D．点表示小王出发，共骑行
6．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长为
C．当秒时， D．当时，秒
7．如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（ ）
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
8．下面的三个问题中都有两个变量：
①某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x小时后，这个水池有水；
②某手机话费收费标准为：每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．若一个月的通话时间为，一个月应缴费用为y元；
③某弹簧的自然长度是，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加，弹簧长度y增加
其中，变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店1千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
10．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为
C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢
题型九：表格与变量综合解答题
1．某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示：
人次 180 220 325 356 420 …
元 360 440 650 712 840 …
(1)表中的自变量为___________，因变量为___________；
(2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润）
2．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了下面的表格，根据下表回答问题：
距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
温度（） 20 14 8 2
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着的变化，是怎么变化的？
(3)直接写出和的关系式．
(4)你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
3．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示：
重量（单位：千克） 0 2 3
指针转过的角度
(1)请直接写出___________，___________；
(2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为___________；
(3)指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由；
(4)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果．
4．综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米．
(1)在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________；
(2)___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由；
(3)求y与x之间的关系式；
(4)根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格：
x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 …
①___________，___________；
②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________．
③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由．
5．用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：）与充电时间t（单位：）之间的关系如表格所示．
充电时间t（单位：） 0 10 20 30 40 50 …
手机电量E（单位：） 20 28 36 44 52 60 …
(1)请求出E与t之间的关系式；
(2)若电量充到，请求出充电时间；
(3)已知该手机正常使用时耗电量为每小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用t小时，接着再用普通充电器将其充满电，普通充电器充电平均速度为每小时，其“充电耗电充电”的时间恰好是5小时，求t的值．
6．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为．
(1)判断是否符合题意，并说明理由；
(2)求与之间的关系式；
(3)根据关系式补充表格：
观察表中数据，写出随变化的一个特征： ．
7．“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，并由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，旨在传播普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”、实现“航天梦”的热情．七（1）班“问天小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温
声音在空气中的传播速度
阅读上述材料回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ；
(3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为 ；
(4)某日的气温为，欢欢同学看到烟花燃放后才听到声响，那么欢欢同学与燃放烟花所在地大约相距多远？
8．张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价（元/千克） 4.8 4
零售价（元/千克） 7.2 5.6
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40千克花180元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？
(2)若他用m元批发甲、乙两种蔬菜共80千克，设批发甲种蔬菜n千克，求m与n的关系式：
(3)一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售，其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于，求乙种蔬菜至少可打几折（结果精确到0.01）．
9．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________．
(2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒．
(3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离．
题型十：函数图象与变量综合解答题
1．甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答：
(1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________；
(2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度：
(3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由．
2．2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小明离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米；
(2)小华在超市停留了______分钟；
(3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米；
(4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？
3．游乐场里的数学
【问题情境】
海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度）
【问题探究】
小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2．
请根据图2中信息回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________；
（2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米；
【问题解决】
（3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留）
4．4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题：
(1)图中的自变量是______，因变量是______；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟；
(4)图中a表示的数是______；b表示的数是______；
(5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
5．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)点B所对应的数为_________．
(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时．
(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．
(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？
6．2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
(2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时；
(3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
(4)图2中点A表示 ．
7．如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．
(1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)表格中的常数______，常数的取值范围为______；
面积 3 6 …
路程 1 2 3 8 …
(3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式．
题型十一：高分冲刺题型
1．在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表：
搬运时间 1 2 3 4 ．．．
搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．．
下列说法错误的是（ ）
A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化
B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为
C．与之间的关系式为
D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加
2．五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（ ）
A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t
B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米
C．摩天轮转一周需要9分钟
D．当时，小明处于上升状态
3．地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的关系可以近似的表示为（ ）
所处深度 2 3 7 10 13
地表以下岩层的温度 90 125 265 370 475
A． B．
C． D．
4．下面的四个问题中都有两个变量：
①正方形的面积与边长；
②等腰三角形周长为20，底边长与腰长；
③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间；
④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
5．圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
6．如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ．
8．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ．
温度
导热率
9．七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ．
10．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．
11．如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时．
（1） ；
（2）与的函数关系式为： ；
（3）当为 时，．
12．如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，因变量是_________．
(2)若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）．
(3)当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？
13．刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题：
(1)图象中的自变量是________，因变量是________；
(2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点；
(3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟；
(4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米；
(5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米．
14．南宁市某商场为了迎接618购物节，采购了若干辆购物车
信息1 购物车的示意图如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示．3辆购物车叠放形成的购物车列长度为米．
信息2 购物车可以通过手扶电梯或直立电梯转运，其中手扶电梯总长18米．为安全起见，规定手扶电梯一次只能转运1列购物车，并且购物车列长度不能超过电梯总长度的．
信息3 使用手扶电梯转运一次的时间为分钟，直立电梯转运一次的时间为分钟．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则___________；（用含的代数式表示）
(2)该商场的手扶电梯一次最多能转运多少辆购物车？
(3)若手扶电梯每次转运购物车的数量为第（2）问所求结果，直立电梯每次转运20辆购物车，商场有110辆购物车需要转运．
①至少使用多少次电梯？现需同时使用两种电梯转运购物车，当电梯使用次数最少时，共有几种使用电梯的分配方案？
②为了方便顾客购物，商场要求工作人员转运购物车的时间不超过10分钟．在①的条件下，工作人员能否在限定的时间内完成任务？请通过计算说明．
15．兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量．
(1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况）
(2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？
