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5.2 认识函数
（第2课时 函数图象）
题型目录：
题型一：函数图象的识别
题型二：从函数图象中获取信息
题型三：描点法画函数图象
题型四：函数图象中动点问题求线段长度
题型五：函数图象中动点问题求面积
题型六：函数图象中动点问题求周长
题型七：函数图象中动点问题求参数
题型八：函数图象中动点问题多结论问题
题型九：从函数图象中获取信息(解答题)
题型十：函数图象综合解答题
题型十一：高分冲刺题型
题型一：函数图象的识别
1．从深圳到南宁的铁路路程约为615千米，“复兴号”直达高铁速度为300千米/小时，“和谐号”动车速度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠佛山西站10分钟，若“和谐号”动车先出发18分钟，两车与深圳之间的距离（千米）与动车行驶时间（小时）之间的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度随时间变化而变化的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
3．长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（ ）
A．B．C． D．
4．化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．李华一家从动物园的游客中心出发，路过象馆游玩一段时间后，再前往熊猫馆，下面四个选项中，能描述李华一家与游客中心的距离s随时间t变化的图象是（ ）
A．B．C． D．
6．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（ ）
A．B．C．D．
7．春节过后，某服装店店主小明购进一批春装销售，小明以每件元的利润销售一部分后，发现销售情况很好，于是提高售价继续销售，由于天气转热，为了清空库存购进夏装，小明只好以进价处理了余下的衣服．在销售的过程中，小明获得的利润（元）与销售的数量（件）的函数关系大致图象是（ ）
A．B． C． D．
题型二：从函数图象中获取信息
1．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离与时间的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前的平均速度是；②他在时在家中逗留；③他在时离家越来越远；④他在后到家．其中，正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．①③ D．①③④
2．如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误的是（ ）
A．这一天中最高气温是
B．这一天中最高气温与最低气温的差为
C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D．这一天中气温在逐渐降低的只有14时至24时
3．，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②甲出发后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶或，甲，乙两车相距；
其中错误的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．周末甲、乙两同学计划从同一起点出发，沿同一条路出发去距离的某风景旅游区游玩，甲、乙两人离开出发点的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．当乙比甲多行驶时，乙出发了 ．
5．如图，电车通过A站经过B站到C站，然后返回．去时在B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米．
（1）A站与B站相距 千米，B站与C站相距 千米．
（2）返回时车速是每小时 千米．
6．如图，是某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象，根据图象回答下列问题：（1）在这个月中，日最低营业额是在4月 日，达到 万元；（2）这个月中最高营业额是在4月 日，达到 万元；（3）这个月从 日到 日营业额情况较好，呈逐步上升趋势．
7．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 万人．
题型三：描点法画函数图象
1．小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x 0 1 2 3 4
y 0 1 0 k
①______．
②若为该函数图像上不同的两点，则_______．
(2)描点并画出该函数的图像．
(3)①根据函数图像可得：该函数的最大值为________．
②观察函数的图像，写出该图像的两条性质：________．
2．数学兴趣小组根据学习函数获得的经验，对函数进行了探究．下面是他们的探究过程，请你帮助他们补充完整．
(1)自变量的取值范围是______；
(2)下表是与的几组对应值，请你完成表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
______ ______ ______ ______
(3)结合函数图象，可以发现：
函数的最小值为______；
写出此函数的性质（一条即可）．
3．数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：
(1)探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：
… 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 …
… 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 …
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(2)解决问题：根据图表回答，①半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积 （填“大”或“小”）；②若容器的表面积为，容器底面半径约为 （精确到0.1）．
4．在学习一次函数时，我们经历了探究函数的图象与性质的过程，下面是小颖探究函数的图象与性质的过程，请结合学习函数的经验，将探究过程补充完整．
0 1 2 3 4
5 4 3 2 3 4
(1)列表，填空：_______；
(2)根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；根据函数图象可得，该函数的最小值为______；
(3)若点在该函数的图象上，且，观察图象并写出，的大小关系：______；
(4)观察函数的图象，请写出该函数的两条性质．
5．问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的呢？
【探索】（1）该函数的自变量的取值范围为___________；
（2）描点画图：
①列表：如表是与的几组对应值；
x … 0 1 2 4 5 6 7 …
y … 2 3 6 6 3 2 …
②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
【应用】观察你所画的图象，解答下列问题：
（3）若点，为该函数图象上不同的两点，则___________；
（4）直接写出当时，的取值范围为___________．
6．画分段函数的图象．
(1)列下表，其中____________，____________；
… 0 1 2 3 …
… 3 2 1 0 1 2 1 …
(2)在直角坐标系中描点，连线，画出图象．
7．根据学习函数图象的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务．
(1)自变量x的取值范围是 ．
(2)列表如下：直接写出 ．
… …
… …
(3)在给定的平面直角坐标系中，描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象．
(4)结合函数图象，我们发现：
①函数的最大值是 ．
②当时，的取值范围是 ．
③结合随的变化趋势，写出你的发现： ．（一条即可）
8．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 m 2 1 n 3 4 …
(1)列表，补全表格：______，______；
(2)描点并画出该函数的图象；
(3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____．
9．问题：探究函数的图象和性质．
根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，请补充完整：
(1)函数的自变量的取值范围是______；
(2)下表是与的几组对应值，请将表格补充完整：
… …
… ______ ______ ______ …
(3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；
(4)进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质一条即可
10．下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程：
(1)补全下表：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 …
… 0 1 2 3 4 …
(2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象；
(3)根据函数图象填空：
①函数的最小值为____；
②当时，的值为______．
题型四：函数图象中动点问题求线段长度
1．如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3．如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．6 B．12 C．9.6 D．8
4．如图①，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图②所示，是函数图象上的最低点，则此时的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图（），在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图（）是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图（1）， 在中， ，D是斜边的中点，动点E从点A出发，沿运动，设 ， 点E运动的路程为x， 若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则的长为（ ）
A．1 B． C．2.5 D．4
7．如图1，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．3 B． C． D．9
8．如图1，在中， ，．动点M从A点出发，沿折线方向运动，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
9．如图1（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积与点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型五：函数图象中动点问题求面积
1．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．21
2．如图1，的边与长方形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与长方形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图2所示，则长方形的面积为（ ）
A．8 B．10 C．6 D．15
3．如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（ ）
A．12 B．14 C．24 D．28
4．如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ．
5．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为 ，面积为 ．
6．如图1，在中，，点P从点A出发，沿以的速度运动．设的面积为，点P的运动时间为，变量S与t之间的关系如图2所示，则在运动过程中，S的最大值是 ．
7．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的面积为 ．
8．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．则的面积是 ．
题型六：函数图象中动点问题求周长
1．如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ．
2．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ．
3．如图1，在中，，直线经过点A且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的周长为 ．
4．如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中Q为曲线部分的最低点，则的周长是 ．
5．如图，在长方形中，动点E从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点C处停止．设点E运动的路程为的面积为s，如果s与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积和周长分别为（ ）
A．12，14 B．6，14 C．6，12 D．12，22
题型七：函数图象中动点问题求参数
1．如图，在中，，于点，点从点出发，沿的方向匀速运动到点，速度为，图是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为 ．
2．如图①，在Rt△ABC中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿B－C－A运动，设，点P运动的路程为，若y与x之间的函数图像如图②所示，则y的最大值为 ．
3．动点H以每秒的速度沿图1中的长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图2，已知，则 ．
4．如图，长方形中，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．则m为 ．
5．如图①，在中，点P在边上从点A出发向终点B运动，连结．在运动过程中，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则 ．
6．如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
7．如图1，点从菱形的顶点出发，沿方向运动到对角线的中点，如图2是的面积随点运动的路程变化的图象，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．如图(1)，在中，，．动点从点出发，先沿运动到点，再从点沿直线运动到点．设点运动的路程为，的面积为，图(2)是点运动时与的函数关系图象，则的值为( )
A． B． C． D．
题型八：函数图象中动点问题多结论问题
1．已知如图1，正方形中，点从A出发，沿着的路线到停止运动，若点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位长度，的面积为关于的函数图象如图2所示，那么下面与相关的描述一定成立的有（ ）
①，②，③，④．
A．①② B．①②④ C．②④ D．①②③④
2．如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，连接.设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（ ）
A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处
B．线段的长度为
C．a的值为5
D．点D的坐标为
3．已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（ ）
①；②；③当时，为等腰三角形；④当时，
A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④
4．如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（ ）
①图1中长；
②图1中的长是；
③图2中点M表示4时y值为；
④图2中点N表示时y值为．
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
5．一个动点H以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（ ）
①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着B—C—D—A运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．长方形的面积为
C．当秒时， D．若时，x可能是3秒或10秒
7．如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（ ）
①图（）中长；
②图（）中的长是；
③图（）中点表示4秒时的值为；
④图（）中的点表示12秒时值为．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
题型九：从函数图象中获取信息（解答题）
1．如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题：
(1) ， ， ；
(2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式；
(3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值．
2．如图1，在四边形中，，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，它们之间的关系如图2所示，请问：
(1)在这个变化中，自变量是 、因变量是 ；
(2)当点运动的路程时，的面积为 ；
(3)求四边形的周长和面积
3．在全国抗击“非典”的斗争中，某市医学研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典的抗生药，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似的满足如图所示的折线．
(1)写出注射药液后自变量的取值范围．
(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？
(3)假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6点钟，问怎样安排此人从注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？
4．如图，矩形中，，点F是线段的中点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y．
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
(2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，在范围内，与函数有2个交点，直接写出t的求值范围．
5．某车间的甲、乙两名工人同时生产同种零件，他们生产的零件个数（个）与生产时间（小时）之间的函数关系如图．
(1)根据图象填空
①甲、乙中，______先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，______因机器故障停止生产______小时；
②当______时，甲、乙生产的零件个数相同．
(2)谁在哪一时间段内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
6．某车间甲、乙两名工人分别生产同种零件，他们生产的零件数量y（个）与生产时间t（小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲因机器故障停产了一段时间）
(1)甲、乙中，______先完成40个零件的生产任务
(2)甲在因机器故障停产之前，每小时生产______个零件
(3)甲故障排除之后以原来速度的两倍重新开始生产，则甲停产了____小时
(4)在第一次甲乙生产零件总数在同一时刻相同到甲完工这段时间，什么时候甲乙生产的零件总数相等？
7．云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下午小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口-经纬寻踪-能源汇智-光影捕美-出口”进行打卡游览，小鹏同学步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示（图象不完整）．根据图回答下列问题：
(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______；
(2)小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是______千米/时；
(3)图2中点表示的意义是______．
(4)点与出口之间的距离为米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从点出发，可以在点前到达出口吗？
8．一列快车从甲地驶向乙地，一列慢车从乙地驶向甲地．两车同时出发．设慢车的行驶时间为（），快车与慢车之间的距离为（）．请你根据图像回答下列问题：
(1)请你说明点与点的实际意义．
(2)当两车之间距离时，经过了多长时间？
题型十：函数图象综合解答题
1．如图①，在中，，点以的速度从点出发，沿运动一周，连接的面积与点的运动时间之间的关系如图②所示，请解答下列问题：
(1)的面积为____________；
(2)在中，求边上的高；
(3)当为何值时，？
2．如图，长方形中，，，，，点从点出发（不含点）以的速度沿的方向运动到点停止．点出发后，点从点出发以的速度沿的方向运动到停止，当点到达点时，点恰好到点．
(1)当点到达点时，的面积为，求的长；
(2)在（）的条件下，设点运动时间为，运动过程中的面积为（），请用含的式子表示面积（），并直接写出的取值范围．
3．如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答：
(1)______，______；
(2)当在上时，求的最小值；
(3)求的长．
4．如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示．
(1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息）
(2)探究与之间的关系表达式．
5．如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示．
(1)请问 ， ， ；
(2)图2中(？)处该填 ；
(3)当点在线段上运动时不与端点重合，求 的面积与之间的关系式(写出的取值范围)．
6．如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题：
(1) ， ，题2图中 ．
(2)当点在边运动时，求与的关系式．
7．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题：
(1)初始时，边的长度是_____；边的长度是_____；
(2)边向左匀速平行移动时的速度是_____；
(3)在变化过程中，长方形面积的最大值_____；
(4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式．
8．如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)直接写出 ， ， ；
(2)求长方形的长；
(3)求当时，S与运动时间t的关系式．
题型十一：高分冲刺题型
1．甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．某市规定每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是汽车行驶速度（千米时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为（ ）
（）汽车行驶时间为分钟；（）表示汽车匀速行驶；（）在第分钟时，汽车的速度是千米时
A．个 B．个 C．个 D．个
4．如图，图象（折线）描述了汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A．第3分钟时汽车的速度是40千米/时
B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时
C．从第6分钟到第9分钟，汽车行驶了180千米
D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
5．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小米的速度为 B．小华提速后的速度为
C．小米比小华先出发 D．小华比小米提前到达客人位置
6．小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图．
结合图象信息，小成给出如下说法：
小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫．
其中正确的说法是（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
8．如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．11 B．9 C．12 D．10
9．如图是某自行车行驶路程与时间的关系图，则6小时内该自行车的平均速度是 ．
10．如图，、分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s和t分别表示运动的路程和时间．根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 米．
11．如图，在矩形中，，动点从点出发沿边向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积关于点所走的路程之间的解析式为 ．
12．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ．
13．工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数，当和时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 24 35 43 m 50 51 52 53 54
时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．
(1)观察曲线，当整数x的值为______时，y的值首次超过30；
(2)写出表中______，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
①若新员工单日制成不少于40个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的5日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这5日中应安排小腾先进行几日的模拟练习？
14．甲、乙两工程队分别从两地相向修建两地之间的道路．已知甲队先施工2天，乙队才开始施工，乙队施工几天后因另有紧急任务暂停施工．因考虑到工期，甲队以原来速度的2倍修建，乙队完成紧急任务后以原速恢复施工，直到道路修通．甲、乙两队各自修路的长度与时间之间的关系如图所示．请结合图中信息解下列问题：
(1)在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路多少米？
(2)求乙队中途暂停施工的天数；
(3)求乙队恢复施工几天后，甲队比乙队多修路384米．
15．如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示．
(1)求出、的长．
(2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？中小学教育资源及组卷应用平台
5.2 认识函数
（第2课时 函数图象）
题型目录：
题型一：函数图象的识别
题型二：从函数图象中获取信息
题型三：描点法画函数图象
题型四：函数图象中动点问题求线段长度
题型五：函数图象中动点问题求面积
题型六：函数图象中动点问题求周长
题型七：函数图象中动点问题求参数
题型八：函数图象中动点问题多结论问题
题型九：从函数图象中获取信息(解答题)
题型十：函数图象综合解答题
题型十一：高分冲刺题型
题型一：函数图象的识别
1．从深圳到南宁的铁路路程约为615千米，“复兴号”直达高铁速度为300千米/小时，“和谐号”动车速度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠佛山西站10分钟，若“和谐号”动车先出发18分钟，两车与深圳之间的距离（千米）与动车行驶时间（小时）之间的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的图象．先根据两车并非同时出发，得出A选项错误；再根据高铁速度大于动车的速度，动车比高铁早出发18分钟，中途停靠10分钟，即可得出结论．
【详解】解：由题可得，两车并非同时出发，故A选项不符合题意；
（小时），
小时分钟，
（小时），
小时分钟，
（分钟），
所以当动车到达佛山西站时，高铁正好到达佛山西站，B、C、D三个选项中只有C选项符合题意．
故选：C．
2．水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度随时间变化而变化的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
由于两个容器的大小不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段，再结合每个选项进行分析，即可作答．
【详解】解：观察图形，得下面的容器的半径较大，上面的容器的半径较小，
∴函数图象的水面高度先随时间的增大而增长,且增长速度缓慢，再随着时间的增大而增长,且增长速度较快，
符合题意的是B选项，
故选：B．
3．长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没瓶底时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛放的面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．
【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：B．
4．化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．
【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高，
因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．
故选：A．
5．李华一家从动物园的游客中心出发，路过象馆游玩一段时间后，再前往熊猫馆，下面四个选项中，能描述李华一家与游客中心的距离s随时间t变化的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，整个过程分为三个阶段，第一阶段是去往象馆，距离随时间增加，第二阶段是象馆游玩，距离随着时间的增加不变，第三阶段是前往熊猫馆，距离随时间增加，据此结合函数图象可得答案．
【详解】解：分三个阶段：第一阶段是去往象馆，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加而增加，
第二阶段是象馆游玩，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加保持不变，
第三阶段是前往熊猫馆，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加而增加，
∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意，
故选：A．
6．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象的确定，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据题意逐段进行分析，求出每个关键点的函数值和自变量的值，然后对比选项函数图象即可．
【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当时，；
当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为：，当时，；
当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为，即当时，；
通过选项对比，只有B选项符合要求，
故选：B．
7．春节过后，某服装店店主小明购进一批春装销售，小明以每件元的利润销售一部分后，发现销售情况很好，于是提高售价继续销售，由于天气转热，为了清空库存购进夏装，小明只好以进价处理了余下的衣服．在销售的过程中，小明获得的利润（元）与销售的数量（件）的函数关系大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数图象，熟练根据实际情境分段得出大致的函数图象是解题的关键．分为三部分：①以每件元的利润销售一部分春装时；②提高售价后；③以进价处理余下的衣服时，依次分析即可．
【详解】解：以每件元的利润销售一部分春装时，利润y随销售数量x的增加而匀速增长，是一条线段；
提高售价后，每件服装的利润增大，利润y随销售数量x的增加继续增长，且增长速度加快，即图象变陡；
以进价处理余下的衣服时，没有利润，y不再增长，在图象中反映为一段平行于x轴的线段．
符合题意的只有选项B，
故选：B．
题型二：从函数图象中获取信息
1．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离与时间的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前的平均速度是；②他在时在家中逗留；③他在时离家越来越远；④他在后到家．其中，正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查函数图象，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．由图象可以直接得出前分钟小亮的平均速度，从而得出正确；由图象可知从分到分小亮又返回学校，可以判断错误，正确；求出小亮分钟离家距离，可以判断正确.
【详解】解：由图可知，前分钟的平均速度为：（米/分），故正确；
由图象可知，小亮第分钟又返回学校，故错误；
由图象可知，他在第分钟时离家越来越远故正确；
由图象可知：第41分钟离家距离为，故正确，
故选：．
2．如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误的是（ ）
A．这一天中最高气温是
B．这一天中最高气温与最低气温的差为
C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D．这一天中气温在逐渐降低的只有14时至24时
【答案】D
【分析】此题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．
根据函数图象的纵坐标，可得气温，根据函数图象的增减性，可得答案．
【详解】A、由纵坐标看出，最高气温是，正确，不符合题意；
B、由纵坐标看出，最低气温是，温差是，正确，不符合题意；
C、由函数图象看出，这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高，正确，不符合题意；
D、由函数图象看出，这一天中0时至2时，14时至24时气温在逐渐降低，原说法错误，符合题意．
故选：D．
3．，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②甲出发后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶或，甲，乙两车相距；
其中错误的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的图象，能从函数图象中获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．
根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①正确；故②正确；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④不正确．
【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
∵甲先出发，乙出发后追上甲，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①正确，不符合题意；
②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲，
∴甲出发后被乙追上，故②正确，不符合题意；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确，不符合题意；
④设甲车行驶，甲，乙两车相距，
由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则
解得；
当乙车到达地后时，，
解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④不正确，符合题意；
综上所述，错误的个数是1个．
故选：B．
4．周末甲、乙两同学计划从同一起点出发，沿同一条路出发去距离的某风景旅游区游玩，甲、乙两人离开出发点的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．当乙比甲多行驶时，乙出发了 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，设乙出发的时间为，根据函数图象可求出甲、乙的速度，再分甲未出发，乙走和甲出发，且甲没有追上乙时，乙比甲多行驶两种情况，讨论求解即可．
【详解】解：设乙出发的时间为，
由函数图象可知，甲的速度为，乙的速度为，
当甲未出发，乙走时，乙出发的时间为；
当甲出发，且甲没有追上乙时，乙比甲多行驶，则，
解得；
综上所述，当乙比甲多行驶时，乙出发了或，
故答案为：或．
5．如图，电车通过A站经过B站到C站，然后返回．去时在B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米．
（1）A站与B站相距 千米，B站与C站相距 千米．
（2）返回时车速是每小时 千米．
【答案】 3.2 4 72
【分析】本题考查从函数图像获取信息．
从折线图中可以看出，从A站到B站行驶了4分钟，从B站到C站行驶了分钟，返回时用时分钟，根据时间、路程、速度之间的关系即可求解．
【详解】解：（1）48千米/小时（千米/分钟），
A站与B站相距：（千米），
B站与C站相距：（千米），
（2）返回时车速：（千米/分钟）（千米/小时），
故答案为：3.2，4，72．
6．如图，是某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象，根据图象回答下列问题：（1）在这个月中，日最低营业额是在4月 日，达到 万元；（2）这个月中最高营业额是在4月 日，达到 万元；（3）这个月从 日到 日营业额情况较好，呈逐步上升趋势．
【答案】 9 2 21 6 9 21
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象解答即可，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：（1）由图象可得：在这个月中，日最低营业额是在4月9日，达到2万元；
故答案为：9，2；
（2）由图象可得：这个月中最高营业额是在4月21日，达到6万元；
故答案为：21，6；
（3）由图象可得：这个月从9日到21日营业额情况较好，呈逐步上升趋势；
故答案为：9，21．
7．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 万人．
【答案】4
【分析】本题主要考查了函数图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获取准确信息．
根据题意和图象求出两地每天接种的人数，然后即可求解．
【详解】解：乙地每天接种的人数为（万人），
∴，
∴甲地后期每天接种的人数为（万人），
∴甲地未接种疫苗的人数为（万人），
故答案为：4．
题型三：描点法画函数图象
1．小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x 0 1 2 3 4
y 0 1 0 k
①______．
②若为该函数图像上不同的两点，则_______．
(2)描点并画出该函数的图像．
(3)①根据函数图像可得：该函数的最大值为________．
②观察函数的图像，写出该图像的两条性质：________．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
(3)①；②该函数的图像是轴对称图形；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
【分析】本题考查了函数的图像及性质，从函数图像获取信息是解题的关键．
（1）①已知，将的值代入即可求得的值；②，为该函数图像上不同的两点，则将代入解析式即可求解；
（2）描点连线画图即可；
（3）①观察图像可得；②观察图像可得．
【详解】（1）解：①当时，，
故答案为：；
②，为该函数图像上不同的两点，即，
解得（舍去）或，
故答案为：；
（2）解：如图所示：
（3）解：①由图像可得当，该函数的最大值为1，
故答案为：；
②观察图像可得：该函数的图像是轴对称图形；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
2．数学兴趣小组根据学习函数获得的经验，对函数进行了探究．下面是他们的探究过程，请你帮助他们补充完整．
(1)自变量的取值范围是______；
(2)下表是与的几组对应值，请你完成表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
______ ______ ______ ______
(3)结合函数图象，可以发现：
函数的最小值为______；
写出此函数的性质（一条即可）．
【答案】(1)全体实数
(2)见解析
(3)；
函数的图象关于轴对称；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大等（答案不唯一，写出一条即可）
【分析】本题考查了一次函数与分段函数，画函数图象，函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；
（2）把的值分别代入函数解析式中，求得对应的值即可，再根据表格描点连线即可画出函数图象；
（3）根据图象直接得到最小值；观察函数图象的特征，写出其中一条性质即可．
【详解】（1）解：取任意实数，函数都有意义，
故答案为：全体实数；
（2）解：补全表格如下：
在平面直角坐标系中画出该函数的图象如下图：
（3）解：观察图象可知，函数的最小值为；
故答案为：；
函数的图象关于轴对称；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大等（答案不唯一，写出一条即可）．
3．数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：
(1)探究函数：根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：
… 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 …
… 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 …
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(2)解决问题：根据图表回答，①半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积 （填“大”或“小”）；②若容器的表面积为，容器底面半径约为 （精确到0.1）．
【答案】(1)见解析
(2)①大②2.5或5.3
【分析】本题考查了函数图象，结合图象和表格信息是解题的关键．
（1）根据图象上点连线即可；
（2）根据图表即可求出答案．
【详解】（1）解：函数图象如图所示：
（2）解：①根据图表可知，半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积大，
故答案为：大．
②根据图表可知，当，或，
故答案为：2.5或5.3．
4．在学习一次函数时，我们经历了探究函数的图象与性质的过程，下面是小颖探究函数的图象与性质的过程，请结合学习函数的经验，将探究过程补充完整．
0 1 2 3 4
5 4 3 2 3 4
(1)列表，填空：_______；
(2)根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；根据函数图象可得，该函数的最小值为______；
(3)若点在该函数的图象上，且，观察图象并写出，的大小关系：______；
(4)观察函数的图象，请写出该函数的两条性质．
【答案】(1)5
(2)图象见解析，2
(3)
(4)①该函数图象的对称轴为直线；②当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大
【分析】本题考查了求函数值，画函数图象，根据函数图象获取信息，正确作出函数图象是解题的关键．
（1）将代入即可求解；
（2）根据描点，连线即可作图，即可从图象求解函数最小值；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）根据函数图象即可获取信息．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：；
（2）解：函数图象如图：
由图象可得该函数的最小值为2；
（3）解：∵点在该函数的图象上，且，
∴从图象可得，
故答案为：；
（4）解：从图象可得：①该函数图象的对称轴为直线；②当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大．
5．问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的呢？
【探索】（1）该函数的自变量的取值范围为___________；
（2）描点画图：
①列表：如表是与的几组对应值；
x … 0 1 2 4 5 6 7 …
y … 2 3 6 6 3 2 …
②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
【应用】观察你所画的图象，解答下列问题：
（3）若点，为该函数图象上不同的两点，则___________；
（4）直接写出当时，的取值范围为___________．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）0；（4）．
【分析】本题考查了新函数的图象和性质的研究，属于创新探究题型，正确作出图象，会观察图象的特征是解决本题的关键．
（1）由分母不为0可求得自变量的取值范围；
（2）根据图中描出的点，用平滑的曲线顺次连接即可；
（3）由图可得，函数的图象关于y轴对称，再由A、B点的纵坐标可得A、B两点关于y轴对称，即可求得结果；
（4）观察图象，找到函数图象在直线下方时，x的取值范围即可．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为：；
（2）解：作图如图所示；
（3）解：由图可得，函数的图象关于y轴对称，
点， ，
A、B两点关于y轴对称，
，
故答案为：0；
（4）解：由图可得，
当时，的取值范围为，
故答案为：．
6．画分段函数的图象．
(1)列下表，其中____________，____________；
… 0 1 2 3 …
… 3 2 1 0 1 2 1 …
(2)在直角坐标系中描点，连线，画出图象．
【答案】(1)4，
(2)见解析
【分析】本题考查函数的图象，能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．
（1）把和分别代入解析式计算即可；
（2）描点连线即可．
【详解】（1）解：把代入，得，，
∴，
把代入，得，
∴；
故答案为：4，；
（2）解：如图所示：
7．根据学习函数图象的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务．
(1)自变量x的取值范围是 ．
(2)列表如下：直接写出 ．
… …
… …
(3)在给定的平面直角坐标系中，描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象．
(4)结合函数图象，我们发现：
①函数的最大值是 ．
②当时，的取值范围是 ．
③结合随的变化趋势，写出你的发现： ．（一条即可）
【答案】(1)任意实数
(2)
(3)见解析
(4)①；②；③当时，随的增大而增大（答案不唯一）
【分析】本题考查了求函数值，画函数的图象，掌握描点法画出函数图象是解题关键．
（1）根据函数解析式即可求解；
（2）将代入解析式，即可求解；
（3）根据描点法画出函数图象，即可求解；
（4）①根据函数图象，即可求解；
②观察函数图象，即可求解；
③根据函数图象的对称轴，增减性写出一条性质即可求解．
【详解】（1）解：在函数中，自变量x可以是任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）当时，，
故答案为：；
（3）如图所示，
（4）根据函数图象可得，函数的最大值为2，
故答案为：；
根据函数，可得时，或，
根据函数图象，当时，x的取值范围是，
故答案为： ；
函数的图象关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）．
8．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 m 2 1 n 3 4 …
(1)列表，补全表格：______，______；
(2)描点并画出该函数的图象；
(3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____．
【答案】(1)3，2
(2)见解析
(3)1，1
【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值．
对于（1），将，代入函数关系式，可得答案；
对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象；
对于（3），观察图象可得答案．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，即，
故答案为：3，2；
（2）解：如图：
（3）解：当时，该函数的因变量的值最小，最小值为1．
故答案为：1，1．
9．问题：探究函数的图象和性质．
根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，请补充完整：
(1)函数的自变量的取值范围是______；
(2)下表是与的几组对应值，请将表格补充完整：
… …
… ______ ______ ______ …
(3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；
(4)进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质一条即可
【答案】(1)
(2)0，，
(3)见解析
(4)函数图象关于直线对称
【分析】由分母不为零，确定的取值范围；
将，，代入解析式计算即可；
在平面直角坐标系中描点连线画出函数的图象即可；
观察图象的特点，可得出函数图象是一个关于直线对称．
此题主要考查函数的图象，性质，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．
【详解】（1）解：因为分母不为零，
，解得：，
故答案为：；
（2）时，；
时，；
时，；
故答案为：，，；
（3）如图：
（4）观察坐标的特点，可得出函数的性质：函数图象关于直线对称．
10．下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程：
(1)补全下表：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 …
… 0 1 2 3 4 …
(2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象；
(3)根据函数图象填空：
①函数的最小值为____；
②当时，的值为______．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)①；②或
【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键．
（1）分别把、、、代入函数解析式，求出的对应值即可；
（2）根据表格中、对应值，画出函数图象即可；
（3）①根据函数图象可直接得出结论；
②根据两函数的图象可直接得出结论．
【详解】（1）解：当时，；
当时，．
当时，；
当时，．
故答案为：；
（2）解：函数图象如图所示；
（3）解：①由函数图象可知，函数的最小值为 ．
故答案为：；
②由函数图象可知，当时，的值为或．
故答案为：或．
题型四：函数图象中动点问题求线段长度
1．如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出与的长度．
根据图象可知点P沿匀速运动到点C，此时最长，在边上先变小后变大，从而可求出上的高，从图象可以看出点P运动到点B时，可知是等腰三角形，进而得出结论．
【详解】解：过点作，
由图象可知：点P在A上时，，
点P在上运动时，在图象上有最低点，即边上的高，
点P与点B重合时，即最长，为13，
则，
∴是等腰三角形，，
∴，
∴的长，
故选：C．
2．如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，勾股定理，由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点，此时，利用三角形面积求出的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点，
．
为的中点，
，即，
解得．
在中，，
故选：A．
3．如图1，在锐角三角形中，，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．6 B．12 C．9.6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．根据函数图象得出，，作于点H，利用勾股定理解和即可．
【详解】解：如图，作于点H，
由图2知，，，
又 ，
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
4．如图①，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图②所示，是函数图象上的最低点，则此时的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象信息，得当时，，此时运动结束，表示点P运动到了点C处，故,；当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当P与Q重合时，最小，根据勾股定理解答即可．
本题考查了函数图象，垂线段最短，勾股定理，读懂图象，用好垂线段最短，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：根据图象信息，得当时，，此时运动结束，表示点P运动到了点C处，故,；
当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当P与Q重合时，最小，
此时，，
故．
故选：D．
5．如图（），在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图（）是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，作于，当点与重合时，在图2中点，表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，再由勾股定理计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
当点与重合时，在图2中点，表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
∴，，，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6．如图（1）， 在中， ，D是斜边的中点，动点E从点A出发，沿运动，设 ， 点E运动的路程为x， 若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则的长为（ ）
A．1 B． C．2.5 D．4
【答案】C
【分析】此题考查勾股定理，动点问题，根据图象得，勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出的长．
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∵D是斜边的中点，
∴，
故选：C．
7．如图1，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，当时，面积最大值为9，此时当点P运动到点C，得到， 根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由图象可知，当时，面积最大值为9，
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
解得，
∴，
故选：B．
8．如图1，在中， ，．动点M从A点出发，沿折线方向运动，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、判断出和点M和点B重合时，的面积为3是解本题的关键．
先根据结合图2得出，进而利用勾股定理得，再由运动结合的面积的变化，得出点M和点B重合时，的面积最大，其值为3，即，进而建立方程组求解，即可．
【详解】解：由图知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，①，
设点M到的距离为h，
∴，
∵动点M从A点出发，沿折线方向运动，
∴当点M运动到点B时，的面积最大，即，
由图2知，的面积最大为3，
∴，
∴②，
得，，
∴，
∴（负值舍去），
∴③，
将③代入②得，，
∴或，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9．如图1（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积与点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查函数图象问题，将动点的运动状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系即可求解．
【详解】解：如图，点P运动至点B时，即，
的面积，解得：，
∴，
时，点P运动至点E，即，
∴，
∴故选：A．
题型五：函数图象中动点问题求面积
1．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．21
【答案】A
【分析】此题考查了动点问题和函数图象．根据函数图象和矩形的性质可求出、的值，即可求出矩形的面积．
【详解】解：由题意知：当点在边上时，随的增大而增大；
当点在边上时，不随的变化而变化；
当点在边上时，随的增大而减小．
结合一次函数的图象可知，，，
∴矩形的面积为：．
故选：A．
2．如图1，的边与长方形的边都在直线上，且点与点重合，，将沿着射线方向移动至点与点重合时停止，设与长方形重叠部分的面积是，的长度为，与之间的关系图象如图2所示，则长方形的面积为（ ）
A．8 B．10 C．6 D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查了动点问题函数图象，解题的关键是数形结合，求出长方形的长和宽．从图2看，向右平移2个单位时，整体在长方形中，可得到长方形的宽，再向右平移3个单位时，点重合，可得到长方形的长，即可求出长方形的面积．
【详解】解：从图2看，向右平移2个单位时，整体正好在长方形中，此时与长方形重叠部分的面积为的面积为且，
的面积为，
解得：，
，
再向右平移3个单位时，点重合，
故：，
长方形的面积为，
故选：B．
3．如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（ ）
A．12 B．14 C．24 D．28
【答案】D
【分析】本题考查动点的函数图象，当点P从A运动到B时，y随x的增大而增大，从B运动到C时，y保持不变，观察图象的横坐标得出长方形的长和宽，即可求出面积．
【详解】解：由图可知，，，
长方形的面积是，
故选：D．
4．如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出与的长度，本题属于中等题型．
根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度．
【详解】解：根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点从向运动时，的最大值为，
即，
由于是曲线部分的最低点，
此时最小，
即，，
由勾股定理可知，此时，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
此时，
此时，
的面积为：，
故答案为：．
5．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为 ，面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是能读懂函数图象．
依据题意，由时和，分别求出、，再由，可求得，进而可以计算的周长与面积．
【详解】解：由题意得，当时，面积最大，此时（）；当时，面积为0，此时可得（）．
∵，
∴（）．
的面积为（），周长为（）．
故答案为：，．
6．如图1，在中，，点P从点A出发，沿以的速度运动．设的面积为，点P的运动时间为，变量S与t之间的关系如图2所示，则在运动过程中，S的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了动点函数的图象问题，结合图象分析出动点处于什么位置取得最大值是解决问题的关键．
由三角形面积公式可知，需要求出及的值，而取得最大值时，恰好为边，结合函数图象，求出及，从而可求的最大值．
【详解】解：∵在中，的面积为，
由图 2 可知，当时，取得最大值；当时，，
又 ∵点从点出发，沿以的速度运动，
，
∴的最大值是，
故答案为：．
7．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义．
图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解．
【详解】解：在图1中，作，垂足为，
在图2中，取，，
当点P从点A到点B时，对应图2中线段，得，
当点P从B到D时，对应图2中曲线，得，
解得，
当点到点时，对应图2中到达点，得，
在中，，，，
∴，
∴在中，，
∴，
当点运动到的中点处时，．
故答案为：
8．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．从图（）看，当时，点在点处，即，的最小值为，即；在中，，则 ，进而求解．
【详解】解：过点作于点，
∵，
故 ，
从图（）看，当时，点在点处，即，
从图（）看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为，即，
在中，，则 ，
故；
的面积为，
故答案为：．
题型六：函数图象中动点问题求周长
1．如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解两个图的数据关联是解题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，再根据长方形的周长公式得出长方形的周长．
【详解】解：当点P运动到点C、D之间时，的面积不变，
时，y不发生变化，
，，
所以长方形的周长是：．
故答案为：16．
2．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了函数图象，勾股定理．根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0，结合函数图象可得的值，再利用勾股定理求出的值，即可求出的面积和周长．
【详解】解：根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0，
由函数图象可得当时，的面积最大，
，
当时，的面积为0，此时，P点运动到C点，重合，
，
∴在中，，
∴，
∴的面积为，周长为．
故答案为：，．
3．如图1，在中，，直线经过点A且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图2所示，则的周长为 ．
【答案】/18厘米
【分析】本题考查了动点问题函数图像，等腰三角形的性质，勾股定理；根据图形与函数图像求出是解题的关键；过C作于D，观察图像知，当直线与重合时，y的值最大，此时，则可求得底边上的高，由勾股定理及等腰三角形的性质即可求解；
【详解】过C作于D，如图，
由函数图像知，当直线与重合时，y的值最大为6，
此时，，
，
，
由勾股定理得，，
的周长为，
故答案为：；
4．如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中Q为曲线部分的最低点，则的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，勾股定理，结合图形和图象得到线段长度，利用数形结合思想是解决本题的关键．根据图象可知点P在上运动时，不断增大，从C向A运动时，先变小后变大，得到，当时，y的值最小，即中，边上的高为4（此时），根据勾股定理求出这时，再由三线合一得到，从而求出周长．
【详解】解：由图知，，，
当在上运动时，最短为，即时，，
这时，且，
，
的周长是，
故答案为：．
5．如图，在长方形中，动点E从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点C处停止．设点E运动的路程为的面积为s，如果s与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积和周长分别为（ ）
A．12，14 B．6，14 C．6，12 D．12，22
【答案】A
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是正确理解图中的信息．
根据函数图像和运动过程，可得长方形的长和宽，代入面积和周长公式计算即可．
【详解】解：由图可知，，，
∴，
∴长方形的面积为，周长为，
故选：．
题型七：函数图象中动点问题求参数
1．如图，在中，，于点，点从点出发，沿的方向匀速运动到点，速度为，图是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的性质、动点问题的函数图象问题，弄清不同时间段，图象和图形的对应关系是解答的关键．
根据点的运动可得出，的长，由勾股定理求出的长，再根据面积公式可得出的值．
【详解】解：由点的运动可知，，，
在中，由勾股定理可知，，
故答案为：．
2．如图①，在Rt△ABC中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿B－C－A运动，设，点P运动的路程为，若y与x之间的函数图像如图②所示，则y的最大值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以得到和的长，由，根据勾股定理可以求得的长，本题得以解决．
【详解】解：由题意可知，当点P从点B运动到点C时，面积达到最大，当运动到点A时，面积变为0，由图②可知，，，
∵，
∴．
∵D为斜边的中点，
∴y的最大值为
故答案为：3
3．动点H以每秒的速度沿图1中的长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图2，已知，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查动点问题的函数图象的相关知识．由图2中点及，可得长方形另一边长的长度，进而根据纵坐标为m的点判断出动点H所在的位置，求得相应的的面积即为m的值．
【详解】解：观察图2可得：当点H运动到点D时，运动路程为，运动时间为14秒，
∵动点H以每秒的速度运动，
∴，
∵，四边形是长方形，
∴，，
∴，
∴当点H运动到点B时，，如图：
∴，
∴．
故答案为：10．
4．如图，长方形中，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．则m为 ．
【答案】
【分析】本题是动点问题的函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力，解题的关键是函数图象对应动点P的位置关系．由图象可知，的长度，当时，，求出的长；当时，，，从而得出a和m的值，
【详解】解：从图象可知，当时，面积不变，
即时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位，
∴，
∴，
当时（点P运动到点C），，
∴，即，
∴，
∴长方形的长为6，宽为4，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
5．如图①，在中，点P在边上从点A出发向终点B运动，连结．在运动过程中，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，P和A重合，可得；当时，y最小，可求得n的值；由图象可知P和B重合，最大即为5，利用勾股定理求得m，据此即可求解．
【详解】解：由图2知：当，P和A重合，则，
当时，y最小，最小值为n，此时，，
∴，
当时，P和B重合，则，，
∴，
∴．
故答案为：．
6．如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答．
【详解】解：依题意，动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，
根据图象可知，当时，
∴，
∵点为边中点，
∴，
由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小，
∴根据垂线段最短，此时，
如图所示，此时点P运动的路程，
∴，
∴在中，，
即．
故选：B．
7．如图1，点从菱形的顶点出发，沿方向运动到对角线的中点，如图2是的面积随点运动的路程变化的图象，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的实际应用，找到函数图像上特殊点对应的点在菱形图形上运动过程中的特殊点，根据菱形的面积的两种表示方式即可得到答案；
【详解】解：由图1和图2可知，当时，点与点重合，相当于，
∴，
当时，点和点重合，相等于，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
8．如图(1)，在中，，．动点从点出发，先沿运动到点，再从点沿直线运动到点．设点运动的路程为，的面积为，图(2)是点运动时与的函数关系图象，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，找到点的位置是解题的关键．过点作，交与点，先判断点的位置，进而得出答案．
【详解】解：过点作，交与点，
，，
，
，
由函数图象可知，当时，，
，
此时点、点、点三点重合，
当时，，，
则此时三角形的面积为，
即．
故选：C．
题型八：函数图象中动点问题多结论问题
1．已知如图1，正方形中，点从A出发，沿着的路线到停止运动，若点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位长度，的面积为关于的函数图象如图2所示，那么下面与相关的描述一定成立的有（ ）
①，②，③，④．
A．①② B．①②④ C．②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是动点函数图象，正确理解字母代表的意义是解题的关键．利用函数的图象得到正方形的边长，结合题意求得关系式，逐次解答即可．
【详解】解：①由题意得：当时，．
正方形的边长为a，则，
当点P在上时，则，
当时，，故①正确，符合题意；
②时，点P在上，即，即，故②正确，符合题意；
③若，则，
从图看，上述等式不一定成立，故③错误，不符合题意；
④由①知，，则，
假设，
，
整理得：，
解得：，
即只有时，等式才成立，故④不成立，不符合题意；
故选：A．
2．如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，连接.设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（ ）
A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处
B．线段的长度为
C．a的值为5
D．点D的坐标为
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，解题关键是结合题意读懂函数图象．
通过函数图象获取信息，结合三角形的性质来判断各个选项．
【详解】解：A．观察图象可知，当时，y最大，即的面积最大，即当Q点在B点时y最大，故选项A正确；
B．当时，Q点走的路程为；当时，Q点走的路程为．
与Q同时到达C点，故其所走时间相等，那么两者的路程比＝速度比，
，
，
在中，由勾股定理有，将代入，
解得，故选项B正确；
C．由前面分析可知，，
，
，Q同时出发，P，Q两点同时到达点C，
可根据两点路程比得到速度比，
点运动的路程为8，Q点运动的路程为，
二者的速度比为，
相同时间内二者的路程比也为，
当时，的面积为最大值，此时Q点走的距离为，
则，解得，故选项C正确；
D．由选项B可知，此时的面积为，
故，则D点的坐标为，故选项D错误．
故选：D．
3．已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（ ）
①；②；③当时，为等腰三角形；④当时，
A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，由三角形面积公式求出，即可得到长，求出P在上运动的时间，从而求出a的值，求出P在上运动的时间是，即可求出b的值，，当时，由，得到，因此是等腰三角形，当时，求出，即可求出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
当P在上时，的面积，
∴，
∴，
∴P在上运动的时间是，
∴，故①符合题意；
∵P在上运动的时间是，
∴，故②符合题意；
当时，如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故③符合题意；
当时，P运动的路程是，
∴，
∴，故④不符合题意．
∴正确的是①②③．
故选：C．
4．如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（ ）
①图1中长；
②图1中的长是；
③图2中点M表示4时y值为；
④图2中点N表示时y值为．
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【详解】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则，
∵点G是中点，
∴，故①正确．
由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确．
由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确．
由图象可得：当第秒时，点P在H处，
∵，
∴，
∴．
∴．故④不正确．
∴结论正确为①②③．
故选：C．
5．一个动点H以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（ ）
①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了动点函数的图象，三角形的面积等知识点，先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算逐个判断即可，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．
【详解】解：当点H在上时，如图所示，
∴，
∴，
∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，
∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在时，如图所示，
∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得时，点H在上，
，
∴，，
∴动点H的速度是，
故①错误，不符合题意；
当时，点H在上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时，
∴，
故②正确，符合题意；
当，点H在上，，
∴动点H由点D运动到点E共用时，
∴，
故③错误，不符合题意；
当的面积是时，点H在上或上，
点H在上时，，
解得，
点H在上时，
，
解得，
∴，
∴从点C运动到点H共用时，
由点A到点C共用时，
∴此时共用时，
故④错误，不符合题意；
综合上所述：正确的有1个，
故选：A．
6．如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着B—C—D—A运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．长方形的面积为
C．当秒时， D．若时，x可能是3秒或10秒
【答案】D
【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可．
【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变，
∴，故A选项说法不正确，不符合题意；
B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒，
∴，
∴长方形的面积为，
故选项B说法不正确，不符合题意；
C、当秒时，动点P在边上，此时，
故选项C说法不正确，不符合题意；
D、当时，有两种情况：
当动点P在边上时，由得；
当动点P在边上时，由得，
综上，当时，秒或3秒，
故选项D说法正确，符合题意，
故选：D．
7．如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（ ）
①图（）中长；
②图（）中的长是；
③图（）中点表示4秒时的值为；
④图（）中的点表示12秒时值为．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】本题考查了动点函数问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【详解】解：由图象可得：0～2秒，点在上运动，则，
点是中点，
，
故①不合题意；
由图象可得：4～7秒，点在上运动，则，
故②符合题意；
第7秒时，点在处，，
故③不符合题意；
由图象可得：当第12秒时，点在处，
，
，
，
，
故④不符合题意，
正确的是②，
故选：D．
题型九：从函数图象中获取信息（解答题）
1．如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题：
(1) ， ， ；
(2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式；
(3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值．
【答案】(1)1；；
(2)；
(3)的值为或时，面积为．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键．
（1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可；
（2）先表示出，然后再根据求出结果即可；
（3）分点P在CD上和点P在AB上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为，
根据图1可知，面积的最大值为：
，
∵，
∴，
∴，负值舍去；
延长交于点N，延长交于点M，如图所示：
∵八边形相邻的两边互相垂直，
∴四边形，，为长方形，
∴，
根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，
∴根据图2可知：点P从点运动时间为：
，
∴；
（2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示：
，
∴
；
（3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为，
∵面积为
∴点在或上，
当点在上时，如图，
即，
解得，
当点在上时，如图，
即，
解得，
综上，的值为或时，面积为．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键．
2．如图1，在四边形中，，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，它们之间的关系如图2所示，请问：
(1)在这个变化中，自变量是 、因变量是 ；
(2)当点运动的路程时，的面积为 ；
(3)求四边形的周长和面积
【答案】(1)，
(2)48
(3)四边形的周长为40，面积为72
【分析】（1）的面积随着点运动的路程的变化而变化，根据自变量和因变量的定义可得自变量是，因变量是；
（2）根据函数图象，即可得到点运动的路程时，的面积；
（3）根据图象得出的长以及此时三角形面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可．
本题考查了函数的概念、动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键．
【详解】（1）解： 的面积随着点运动的路程的变化而变化，
自变量是，因变量是；
故答案为：，．
（2）由图2知，当时，的面积为．
（3）四边形中，，，
四边形是直角梯形；
由图2知，当时三角形的面积达到最大，
又 ，
，
，，
四边形的周长，
由图2知，，
四边形的面积,
四边形的周长为40，面积为72．
3．在全国抗击“非典”的斗争中，某市医学研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典的抗生药，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似的满足如图所示的折线．
(1)写出注射药液后自变量的取值范围．
(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？
(3)假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6点钟，问怎样安排此人从注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？
【答案】(1)
(2)这一次注射的药液经过1小时后对控制病情开始有效．有效时间持续3.5小时
(3)若病人从6点打第一针．则9点半打第二针，此后每隔2小时30分打一针，算上早上打的第一针，该患者共需打6针
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键在于根据函数图象获取需要的信息．
（1）根据图中信息回答即可；
（2）根据图中信息得到，时，，以及时，，进而即可分析求解；
（3）根据（2）中所得信息，结合要使病人的治疗效果最好进行分析，即可解题．
【详解】（1）解：由图知，注射药液后自变量的取值范围为；
（2）解：由图知，时，，以及时，，（小时），
这一次注射的药液经过1小时后控制病情开始有效，有效时间持续3.5小时．
（3）解：注射的药液经过1小时后控制病情开始有效，有效时间持续3.5小时，且要病人的治疗效果最好，
若病人从6点打第一针．
则9点半打第二针，此后每隔2小时30分打一针，
则12点打第三针，
14点半打第四针，
17点打第五针，
19点半打第六针，
即该患者共需打6针．
4．如图，矩形中，，点F是线段的中点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y．
(1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
(2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，在范围内，与函数有2个交点，直接写出t的求值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分两种情况：当点在线段上，点在上时，当点在射线上时，点在上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案；
（2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质；
（3）根据函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
当点在线段上，点在上时，
此时：，，，
，
；
当点在射线上时，点在上时，
此时：，，
，
；
综上所述：，
（2）解：列表：
0 1 2 3 4
0 1 0 2 4
函数图像如图：
由函数图象可得：
函数的性质：
①当或时，随增大而增大，当时，随增大而减小；
②当时，函数有最大值4；（回答一个即可）
（3）解：由函数图象可得：
在时，
要使与该抛物线有2 个交点，
则
【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键．
5．某车间的甲、乙两名工人同时生产同种零件，他们生产的零件个数（个）与生产时间（小时）之间的函数关系如图．
(1)根据图象填空
①甲、乙中，______先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，______因机器故障停止生产______小时；
②当______时，甲、乙生产的零件个数相同．
(2)谁在哪一时间段内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
【答案】(1)①甲，甲，2 ；②3或5.5
(2)甲在小时内的生产速度最快．他在这段时间内每小时生产零件10个
【分析】本题考查了从图象中获取信息，解题的关键是根据题意得到相关的信息．
（1）根据图象直接填写即可；根据图象中两函数图象交点即为甲、乙生产的零件个数相等时的信息．
（2）根据图象即可得到生产速度最快的时间段，再根据题意即可求出最快的速度．
【详解】（1）解：①由图象可知，甲先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，甲因机器故障停止生产小时；
故答案为：甲，甲，2；
②由图象可知，当或时，两函数图象相交，即为甲、乙生产的零件个数相等，
故答案为：3或5.5．
（2）由图象可知甲在小时内倾斜角度最大，生产速度最快；
此时甲每小时生产零件的个数为（个）．
6．某车间甲、乙两名工人分别生产同种零件，他们生产的零件数量y（个）与生产时间t（小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲因机器故障停产了一段时间）
(1)甲、乙中，______先完成40个零件的生产任务
(2)甲在因机器故障停产之前，每小时生产______个零件
(3)甲故障排除之后以原来速度的两倍重新开始生产，则甲停产了____小时
(4)在第一次甲乙生产零件总数在同一时刻相同到甲完工这段时间，什么时候甲乙生产的零件总数相等？
【答案】(1)甲
(2)5
(3)2
(4)5.5小时时甲乙生产的零件总数相等
【分析】此题主要考查了从函数图象中获得信息，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．
（1）根据图象可以的到甲、乙完成40个零件的时间；
（2）根据图象得出甲的生产速度即可；
（3）计算甲完成剩余30个零件的生产任务需要用时，根据总时间即可得；
（4）根据函数图象求出乙的生产速度，再求出甲恢复生产后乙比甲多生产的零件个数，然后根据甲、乙的生产速度列式计算即可．
【详解】（1）解：由图象知，甲在时完成生产任务，而乙在时完成生产任务，因此甲先完成40个零件的生产任务；
（2）解：(个/小时)，
甲在因机器故障停产之前，每小时生产5个零件；
（3）解：由题意知，甲完成剩余30个零件的生产任务需要用时 (小时)，
甲停产时间为（小时）；
（4）解：乙生产的速度为（个/时），
甲故障排除时乙比甲多生产的零件数量为：（个），
则甲追上乙所花的时间为（小时），
（小时），
所以在第一次甲乙生产零件总数在同一时刻相同到甲完工这段时间，小时时甲乙生产的零件总数相等．
7．云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下午小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口-经纬寻踪-能源汇智-光影捕美-出口”进行打卡游览，小鹏同学步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示（图象不完整）．根据图回答下列问题：
(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______；
(2)小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是______千米/时；
(3)图2中点表示的意义是______．
(4)点与出口之间的距离为米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从点出发，可以在点前到达出口吗？
【答案】(1)游览时间，步行的路程
(2)
(3)出发时，步行的路程为千米
(4)可以在点前到达出口
【分析】本题考查了函数图像相关知识：
（1）根据图像确定即可；
（2）根据速度路程时间即可；
（3）观察图像即可；
（4）根据时间路程速度，计算点到出口的时间，再计算总共用时，比较即可．
【详解】（1）图中反映了小鹏同学步行的路程与游览时间这两个变量之间的关系，其中自变量为浏览时间，因变量为步行的路程．
（2）
（3）点的横坐标为，纵坐标为
所以点表示的意义是出发时，步行的路程为千米．
（4）
可以在点前到达出口．
8．一列快车从甲地驶向乙地，一列慢车从乙地驶向甲地．两车同时出发．设慢车的行驶时间为（），快车与慢车之间的距离为（）．请你根据图像回答下列问题：
(1)请你说明点与点的实际意义．
(2)当两车之间距离时，经过了多长时间？
【答案】(1)点的实际意义是快车到达乙地的时刻，点的实际意义是慢车到达甲地的时刻
(2)或
【分析】（）根据题意及函数图象解答即可；
（）根据函数图象求出慢车和快车的速度，再分两车相遇前距离和两车相遇后距离，分别列出方程解答即可；
本题考查了函数图象的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：点的实际意义是快车到达乙地的时刻，点的实际意义是慢车到达甲地的时刻；
（2）解：由函数图象可得，慢车的速度为，快车的速度为，
①两车相遇前距离，
则，
解得；
②两车相遇后距离，
则，
解得；
答：当两车之间距离时，经过了或．
题型十：函数图象综合解答题
1．如图①，在中，，点以的速度从点出发，沿运动一周，连接的面积与点的运动时间之间的关系如图②所示，请解答下列问题：
(1)的面积为____________；
(2)在中，求边上的高；
(3)当为何值时，？
【答案】(1)24
(2)
(3)秒或秒
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、待定系数法求一次函数的关系式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）当点运动到点时，的面积最大且等于的面积，再根据图②可求解；
（2）利用三角形面积公式求出的长，再利用三角形面积公式求出边上的高即可；
（3）分类讨论当点在上时和当点在上时，列出对应方程并求解即可．
【详解】（1）解：当点运动到点时，的面积最大且等于的面积，由图②可知，的面积为；
故答案为：24；
（2）解：设边上的高为，
由（1）知，
∵，
∴，
即，
∴，
由图②可知：，
，
，
解得：，
∴边上的高为；
（3）解：∵，，
∴，
①当点在上时，，
，
即，
解得：；
②当点在上时，，
由（2）可知边上的高，
∴，
即，
解得：，
综上所述，当秒或秒时，．
2．如图，长方形中，，，，，点从点出发（不含点）以的速度沿的方向运动到点停止．点出发后，点从点出发以的速度沿的方向运动到停止，当点到达点时，点恰好到点．
(1)当点到达点时，的面积为，求的长；
(2)在（）的条件下，设点运动时间为，运动过程中的面积为（），请用含的式子表示面积（），并直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）求出点到达点时运动的时间，即得点运动的时间，再根据的面积列方程求出的值，设点点从运动到点的时间为，根据点到达点时，点恰好到点列出方程求出即可求解；
（）分、和三种情况，分别画出图形，根据图形的面积列出函数关系式即可；
本题考查了一元一次方程的应用，函数的动点应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，点到达点时，运动的时间为，
此时点运动的时间为，
∴，
∵当点到达点时，的面积为，
∴，
∴，
设点从点从运动到点的时间为，
则，
解得，
∴；
（2）解：当时，，点在点位置，如图，
此时，；
当时，点在上，如图，，，
∴，，
则
，
即；
当时，点在上，如图，，，
∴，
则，
即；
综上，．
3．如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答：
(1)______，______；
(2)当在上时，求的最小值；
(3)求的长．
【答案】(1)10，9
(2)8
(3)
【分析】本题考查了动点运动的函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键．
（1）观察图象得：当时，点到达点处，当时，点到达点处，即可求解；
（2）过作，如图，当与重合时，最小，此时，再由勾股定理求出，即可求解；
（3）根据，即可求解．
【详解】（1）解：观察图象得：当时，点到达点处，当时，点到达点处，
∴；
故答案为：10；9
（2）解：过作，如图，当与重合时，最小，此时．
在中，由勾股定理得，．
所以的最小值为8；
（3）解：，
．
4．如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示．
(1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息）
(2)探究与之间的关系表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）直接观察函数图象，即可求解；
（2）分三段：当点E在边上时，当点E在边上时，当点E在边上时，利用三角形的面积公式解答，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴，
∴，
；
（2）解：当点E在边上时，，此时，
；
当点E在边上时，此时，
∴；
当点E在边上时，，此时，
∴；
综上所述，．
5．如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示．
(1)请问 ， ， ；
(2)图2中(？)处该填 ；
(3)当点在线段上运动时不与端点重合，求 的面积与之间的关系式(写出的取值范围)．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键．
（1）根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，得出，根据当点运动到点点时，，取得最大值，求得，进而勾股定理求得，即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合函数图象，即可求解；
（3）根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，即，
当点运动到点点时，，取得最大值，此时
在中，
∴；
故答案为：，，．
（2）解：由（1）可得，
∴当时，取得最小值，此时运动到点，则
故答案为：．
（3）解：点在线段上运动时不与端点重合，则
∴
6．如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题：
(1) ， ，题2图中 ．
(2)当点在边运动时，求与的关系式．
【答案】(1)3；6；18
(2)
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键．
（1）由函数图象知，由三角形面积求得，据此求解即可；
（2）先求得，再利用三角形面积公式列式即可．
【详解】（1）解：当时点从点运动到点，，
∴，
点从点运动到点，面积从变化到，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；6；18；
（2）解：，
∴．
7．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题：
(1)初始时，边的长度是_____；边的长度是_____；
(2)边向左匀速平行移动时的速度是_____；
(3)在变化过程中，长方形面积的最大值_____；
(4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式．
【答案】(1)2，3
(2)4
(3)36
(4)
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）由图2可得初始时，边的长度，由图3可得初始时，长方形的面积，据此结合长方形面积计算公式可得边的长度；
（2）由图2可知第6秒到第9秒为向左平移的过程，此时的长度由变为，据此求解即可；
（3）当最大时，长方形的面积最大，据此求解即可；
（4）用含t的式子表示出的长，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解；由图2可知，移动前，由图3可知，移动前，
∴；
（2）解：，
∴边向左匀速平行移动时的速度是；
（3）解：由题意得，；
（4）解：由题意得，．
8．如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)直接写出 ， ， ；
(2)求长方形的长；
(3)求当时，S与运动时间t的关系式．
【答案】(1)1，4，9
(2)6
(3)
【分析】（1）由函数图象可知，当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12，可列方程，解方程求得；可由求得；当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12，可列方程，解方程求得；
（2）由函数图象可知，当时，的面积不变，可知此时点在边上运动，由点与点重合时，的面积为12得，可求得，所以长方形的长为6；
（3）点在边上时，分两种情况求出关系式即可．
【详解】（1）解：由函数图形可得：当时，点的速度为每秒2个单位，而当时，的面积为8，当时，的面积为12，
∴，解得；
当时，点的速度为每秒m个单位，当时，的面积为8，
∴，解得；
当时，点的速度为每秒2单位，而当时，的面积为4，当时，的面积为12，
∴，解得；
故答案为：1，4，9；
（2）解：由函数图象可知，当时，的面积为定值，
当点从点运动到点时，的面积为12，
，
，
长方形的长为6；
（3）解：当点在边上时，，
当时，如图，，
，
；
当时，，
当时，如图，，
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为．
【点睛】此题考查根据图形的面积求函数关系式以及数形结合与分类讨论数学方法的运用等知识与方法，此题难度较大，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键．
题型十一：高分冲刺题型
1．甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象与实际结合的问题，求得相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离是解题的关键．
甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出相遇时间判断图象即可．
【详解】解： 甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面200米处，则乙要追上甲，所需时间为，
全程乙跑完后计时结束，
则计时结束后甲乙的距离
由上述分析可看出，B选项函数图象符合．
故选：B．
2．某市规定每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题选择图象，解题的关键是根据用水量是否超过6吨将图象分为两段，再结合已知即可判断出答案．
【详解】解：根据题意，每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元，
即图象分两段，先平缓，再陡峭，
故选：C．
3．如图是汽车行驶速度（千米时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为（ ）
（）汽车行驶时间为分钟；（）表示汽车匀速行驶；（）在第分钟时，汽车的速度是千米时
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了从函数图像获取信息，根据函数图象获取信息即可求解，读懂题意，从函数图象获取信息是解题的关键．
【详解】解：（）∵由横坐标时间可看出汽车的行驶时间，
∴汽车行驶时间为分钟，故（）正确；
（）∵由图可知段速度千米时，
∴表示汽车匀速行驶，故（）正确．
（）由图可知第分钟时，汽车的速度是千米时，故（）错误；
综上可知：（）（）正确，共个，
故选：．
4．如图，图象（折线）描述了汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A．第3分钟时汽车的速度是40千米/时
B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时
C．从第6分钟到第9分钟，汽车行驶了180千米
D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
【答案】C
【分析】本题考查函数图象与行程问题．
根据函数图象中的信息，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．第3分时汽车的速度是40千米/时，原说法正确，不符合题意；
B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时，原说法正确，不符合题意；
C．从第6分钟到第9分钟，平均速度小于60千米/时，汽车行驶的路程小于180千米，原说法错误，符合题意；
D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，原说法正确，不符合题意．
故选：C．
5．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小米的速度为 B．小华提速后的速度为
C．小米比小华先出发 D．小华比小米提前到达客人位置
【答案】A
【分析】本题考查了函数图像的应用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解．
【详解】解：由图像可知，小米的图像从开始，小华的图像从开始，
所以小米比小华先出发，故C选项错误，不符合题意；
∵当时，，当时，，
∴小华提速前的速度是，
∵小华出发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴小华提速后的速度为，故B选项错误，不符合题意；
∴提速后小华行走所用时间为，
∴，
∴，
∴小米的速度为，故A选项正确，符合题意；
∵，，
∴小华比小米提前到达客人位置，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
6．小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图．
结合图象信息，小成给出如下说法：
小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫．
其中正确的说法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了函数图象及其应用，利用数形结合得出小林的运动速度是解题关键．
根据小强步行米，需要分钟，进而得出小强的运动速度，利用图象得出小林的运动时间以及运动距离进而分别判断得出答案．
【详解】解：由图象得出小强步行米，需要分钟，
所以小强的运动速度为：分，
当第分钟时，小林运动分钟，
运动距离为：，
小林的运动速度为：分，
故正确；
当第分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故正确；
此时小林运动分钟，
运动总距离为：，
小强运动时间为：分钟，
小强出发分钟时到达少年宫，故错误；
由知小林先到达少年宫，故错误；
综上，正确的结论有，
故选：A．
7．如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
连接，过点A作于，根据函数图象可知：，，所以 ，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答．
【详解】解：连接，过点作于点，如解图，
由题意得，，，
，
，
，
，
故选：D．
8．如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．11 B．9 C．12 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题中的函数图象的应用，勾股定理解三角形，合理分析图象及勾股定理的应用是解题关键．
作，由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即，当点P运动到点C时路程为11，即，当点P运动到点B时路程为14，即，再在中，求出，即可求出．
【详解】解：如图，作，
由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即，
当点P运动到点C时路程为11，即，
当点P运动到点B时路程为14，即，
，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
，，
在中，，
．
故选：D．
9．如图是某自行车行驶路程与时间的关系图，则6小时内该自行车的平均速度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了运用函数图象提供的信息解决简单的函数问题，在解答中要看懂图象中的数量关系所反映的实际意义是解答的关键．由图象可以看出5小时共骑行了，根据平均速度路程时间就可以得出结果．
【详解】解：由图象得：6小时内，中途休息了1小时，则5小时共骑行了，
则6小时内该自行车的平均速度是
故答案为：．
10．如图，、分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s和t分别表示运动的路程和时间．根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 米．
【答案】3
【分析】本题考查了函数图像，从函数图像中正确获取信息是解题关键．根据函数图像可得学生甲用6秒跑了42米，学生乙用6秒跑了米，利用速度等于路程除以时间分别求出他们的速度，由此即可得．
【详解】解：由函数图像可知，学生甲的速度为（米/秒），
学生乙的速度为（米/秒），
则快者的速度比慢者的速度每秒快（米），
故答案为：3．
11．如图，在矩形中，，动点从点出发沿边向终点运动，连接，以为边在上方作正方形，在点运动的过程中，阴影部分面积关于点所走的路程之间的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，设，则，由勾股定理得，则正方形面积为，的面积为，故可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴；
设，则，
由勾股定理得，
则正方形面积为 ，
又的面积 ，
所以，阴影部分的面积．
即．
故答案为：．
12．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：；
设点运动到时，，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
∴；
故答案为：．
13．工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数，当和时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 24 35 43 m 50 51 52 53 54
时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．
(1)观察曲线，当整数x的值为______时，y的值首次超过30；
(2)写出表中______，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
①若新员工单日制成不少于40个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的5日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这5日中应安排小腾先进行几日的模拟练习？
【答案】(1)4
(2)；画图见解析
(3)①；②1
【分析】（1）找图象上y的值首次超过30时的值；
（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，观察前几日的增长规律即可得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；
（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．
【详解】（1）解：由图象可知，当时，y的值首次超过30；
故答案为：4
（2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，
第3日，，
第4日，，
第5日，，
第6日，，
∴
画出时的曲线：
（3）解：①单日制成不少于40个合格品的只有与，
：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，
∴；
：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，
∴，
故小云最早在完成理论学习后的第日可获得“优秀学员”证书；
故答案为：6；
②当模拟练习日时，
5日内的试制时间日，
5日的合格产品分别是7，8，10，12，
∴合格产品共有；
当模拟练习日时，
5日内的试制时间日，
4日的合格产品分别是12，19，26，
∴合格产品共有；
当模拟
