第2课时
垂线
教案
一、教学目标：
知识目标：表述垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
能力目标：通过垂线的画法，进一步提高实际动手操作能力。
情感目标：通过垂线，进一步体会到几何图形的对称美。
二、教学重难点：
重点：垂线的概念和性质；
难点：垂线的判断和性质的理解运用；
三、教学过程：
（一）导入新课：
把一张正方形纸片按下图方式折叠，得到∠1，∠1是什么角？
把这张纸片展开，如下图，AB、CD是两条折痕，相交于点O，则∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD与∠1有什么关系？它们是什么角？
由此发现这两条相交直线是一种怎样的特殊情况？
（二）探究新知：
1．垂直的概念
垂直是相交的一种特殊情形，当两条直线相交所成的四个角中有一个是直角时，我们就说这两条直线互相垂直（perpendicuLar），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。在下图中，AB⊥CD，垂足为O。
注意：（1）两条直线相交，只要有一个角是直角，即说这两条直线互相垂直。但是，由对顶角的性质可知，两条直线垂直时，相交成的四个角都是直角。
（2）两条直线互相垂直，每一条都叫做另一条的垂线。
符号表示：两条直线互相垂直，怎样用符号和几何语言表示呢？如下图，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”。AB是CD的垂线，也可以说CD是AB
的垂线。它们的交点O叫做垂足。
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的线条。你能再举出其他例子吗
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例如：（出示图片）
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请同学们找出图中相互垂直的直线，再举一些生活中的例子。
由于定义既可以当性质用，又可以当判定用，因此可以有以下两个方向的推理过程。
（1）已知垂直关系，可得所成的角为90°（性质）．即：
∵AB⊥CD于O（已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
注：写∠AOC=90°、∠COB=90°、∠BOD=90°均可。
（2）已知两直线相交有一个角为90°，可得两直线垂直（判定）。即：
∵∠BOC=90°（已知）
∴AB⊥CD于O（垂直的定义）。
2．垂线的画法
探究：如下图
（1）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条
（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条
（3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条
垂线的画法：复习小学用三角板过一点A作直线l的垂线的方法，并简记为“靠直线——过定点——画垂线”。
已知直线AB及AB上的一点C，可用如下方法做图：
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示例：
过线段AB的中点O作线段AB的垂线。
步骤：（1）用刻度尺找到AB的中点O；
（2）用三角板作出过O点且垂直于AB的直线l。
谈一谈：
（1）两条直线相交构成四个角，当其中一个角是直角时，另外三个角是不是直角，为什么？
（2）在一张纸片上画出一条直线AB，你能用折纸的方法画出AB的垂线吗？请说明你是如何折纸的。
3．发现垂线的性质
在学生熟练地作出各条垂线之后，教师继续提问：（或以其它形式）过A点还能作出别的垂线吗？
在学生回答的基础上，教师引导学生发现以下两个结论：
①过A点l的垂线有没有，有。
②过A点作l的垂线有几条，只一条。
在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”。
②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以。
总结：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4．例题讲解
例3
如图6-54，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。
解：∵OE⊥AB
∴∠AOE=90°
∵∠AOC=∠BOD=45°
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=135°
课内小结：
以下几个方面由学生自己总结:①垂线的定义及垂直的符号表示;②垂线的有关性质;③过一点作已知直线的垂线的方法.
（四）课堂练习：
P171课内练习1、2题
（五）作业布置：
P171作业题1、2、5题第3课时
垂线段
教案
一、教学目标：
知识目标：了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离
的意义,
并会度量点到直线的距离.
能力目标：掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
情感目标：经理观察、操作、想象、归纳概括、交流等活动，进一步发展空
间观念，用几何语言准确表达能力.
二、教学重难点：
重点：垂线段性质及其简单应用.
难点：对点到直线的距离的概念的理解.
三、教学过程：
（一）导入新课：
如图6-55，连接直线l外一点P与直线l上各点
O，
A1，A2，A3，…，其中PO⊥l（我们称PO为点P到直线l的垂线段）．
比较线段PO，PA1，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短
（二）探究新知：
1、教师演示教具:在硬纸板上固定木条l,l外一点P,转动的木条a一端固定在点P. 使木条l与a相交,左右摆动木条a,l与a的交点A随之变化,线段PA
长度也随之变化.PA最短时,a与l的位置关系如何 用三角尺检验.
2、学生画图操作,得出结论.
(1)画出直线l,l外一点P;
(2)过P点出PO⊥l,垂足为O;
(3)点A1，A2，A3……在l上,连接PA1、PA2、PA3……;，
(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.
3、师生交流,得出垂线的另一条性质：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:垂线段最短.
关于垂线段教师可让学生思考:
(1)垂线段与垂线的区别联系.
(2)垂线段与线段的区别与联系.
4、在图6-55中,PO的长度是点P到直线l的距离,其余结论PA、PA2……长度都不是点P到l的距离.
从而得到点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
注意：点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，不能说“垂线段是距离”。
5、初步应用：
学生独立完成下面问题,教师组织学生交流、评价.
练习1:已知直线a、b,过点a上一点A作AB⊥a,交b于点B,过B作BC⊥b交a
上于点C.请说出哪一条线段的长是哪一点到哪一条直线的距离
并且用刻度尺测量这个距离.
练习2:判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.
(2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离.
(3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.
课内小结：
本节课你有什么收获？请同学们谈一谈.
（四）课堂练习：
P171课内练习3题
（五）作业布置：
P171作业题4、6题第1课时
对顶角
教案
一、教学目标：
知识目标：1.了解相交线、对顶角的概念。2.理解对顶角相等。
能力目标：经历观察、猜想、说理、交流等过程,进一步发展空间观念和有
条理的表达能力.
情感目标：在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信
心;感受数学与生活的密切联系,增强用数学的意识.
二、教学重难点：
重点：对顶角相等这一性质，两条直线互相垂直的概念,画法及表示法。
难点：例2
需利用有关余角、对顶角的性质，且含较多的说理过程。三、三、教学过程：
（一）导入新课
在黑板上画两条直线AB，CD相交于点O（如图6-45），
形成四个角：∠1，∠2，∠AOD，∠BOC我们把其中相对的一对角∠1和∠2，∠AOD和∠BOC叫做对顶角。
对顶角有以下特点：1.顶点相同
2.角的两边互为反向延长线。
例如：∠1的两边OB，OD分别与∠2的两边OA，OC互为反向延长线。
强调：对顶角是一对角，区别于直角，锐角，钝角这类角的概念。
（二）探究新知
例1：如图6-46
三条直线相交于一点O，说出图中的6组对顶角。
分析：关键在于启发学生先找出每一对对顶角的其中一个角。
解：6组对角是：∠FOA与∠EOB，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠DOF，∠FOC与∠EOD，∠AOE与∠BOF，∠COB与∠DOA。
拓展练习：
1.
如图6-45，共有几组对顶角？
2.
在图6-45中，若∠1=52°，那么∠2等于多少度？请说明理由。
由第2题的解答可知∠1=
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一般地，对顶角有下面性质：对顶角相等。
例2：如图6-48，已知：直线AD与BE相交与点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°，求∠AOB的度数。
分析方法大致有两种：
（1）
从已知∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°可以先求出∠DOE，又由于∠DOE与∠AOB是对顶角，所以∠DOE=∠AOB
这样就可以求得∠AOB的度数。
（2）
从所求出发考虑，因为∠DOE与∠AOB为对顶角，∠DOE=∠AOB，故只要求出∠DOE的度数。根据一直∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°，
∠DOE的度数就可以求得。
另外，注意学生推理过程的书写格式，包括怎样用符号“∵”和“∴”表示因果关系，怎样注明理由等。
（三）课内小结
（1）
对顶角除了了解其两个特点之外，在求找时强调选择一个合适的序。
（2）
用分析法或综合法来解决几何题，并注意理由的表述。
（四）课堂练习：
P168
课内练习
（五）作业布置：
P168作业题
