增长率问题和四边形中的动点问题（解析版）

增长率问题和四边形中的动点问题20160610
　
一．解答题（共19小题）
1．（2016 宝应县一模）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为　　　　　　万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
2．（2016 临沭县校级一模）某企业2010年盈利1500万元，2012年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2010年到2012年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2011年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2013年盈利多少万元？
3．（2016 安徽四模）随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．常德市2012年销售烟花爆竹20万箱，到2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率．
4．（2016 景德镇校级二模）某地区2014年投入教育经费1000万元，至2016年三年总计投入教育经费3640万元，假设2014年至2016年该地区投入教育经费的平均增长率相同，根据这个年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元？
5．（2015 柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？
6．（2015 昌邑市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．
（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？
7．（2015 河南模拟）如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．
8．（2015春 山亭区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP=　　　　　　；DP=　　　　　　；BQ=　　　　　　；CQ=　　　　　　．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
9．（2015春 绿园区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
10．（2015 杭州模拟）如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．
（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．
11．（2015春 长清区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，点Q从C点开始沿CB边向B以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t秒．
求：（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
12．（2016 开江县二模）如图，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果OA，OB（OA＞OB）的长（单位：米）是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积；
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C，动点N从B出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？
13．（2016春 丹阳市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，求t的值多少秒？并说明理由．
14．（2016春 江阴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？
（2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
15．（2015 元阳县校级一模）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；
（3）当t为何值时，四边形PBQD是菱形？
16．（2015 郑州校级三模）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点．
（1）利用尺规∠EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动．
①连接PQ交AC于点O．求证：AO=CO；
②填空：当t=　　　　　　秒时四边形APCQ一定是矩形；
③填空：当t=　　　　　　秒时四边形APCQ一定是菱形．
17．（2015春 江西期末）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．
18．（2015春 日照期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．
（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．
（2）若AB=6cm，AD=8cm，P从点A出发．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
19．（2014春 兴业县期末）如图，已知△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上．连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=4cm，△ABC沿着BE的方向以每秒2cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，当t为何值时， ADFC是菱形？请说明你的理由．
　
增长率问题和四边形中的动点问题20160610
参考答案与试题解析
　
一．解答题（共19小题）
1．（2016 宝应县一模）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为　2.6（1+x）2　万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
【分析】（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可
【解答】解：（1）由题意，得
第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，
故答案为：2.6（1+x）2；
（2）由题意，得
4+2.6（1+x）2=7.146，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
　
2．（2016 临沭县校级一模）某企业2010年盈利1500万元，2012年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2010年到2012年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2011年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2013年盈利多少万元？
【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，就可以表示出2012年的盈利，根据2012年的盈利为2160万元建立方程求出x的值就可以求出2011年的盈利；
（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．
【解答】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据意，得
1500（1+x）2=2160　　　　
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
∴该企业2011年盈利为：1500（1+0.2）=1800万元．
答：2011年该企业盈利1800万元；
（2）由题意，得
2160（1+0.2）=2592万元
答：预计2013年该企业盈利2592万元．
　
3．（2016 安徽四模）随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．常德市2012年销售烟花爆竹20万箱，到2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率．
【分析】先设常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，那么把2012年的烟花爆竹销售量看做单位1，在此基础上可求2013年的年销售量，以此类推可求2014年的年销售量，而2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱，据此可列方程，解即可．
【解答】解：设常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，依题意得
20（1﹣x）2=9.8，
解这个方程，得x1=0.3，x2=1.7，
由于x2=1.7不符合题意，即x=0.3=30%．
答：常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%．
　
4．（2016 景德镇校级二模）某地区2014年投入教育经费1000万元，至2016年三年总计投入教育经费3640万元，假设2014年至2016年该地区投入教育经费的平均增长率相同，根据这个年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元？
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是1000（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．利用求得的增长率来求2017年该地区将投入教育经费．
【解答】解：设增长率为x，根据题意可得：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=3640，
化简得：25x2+75x﹣16=0，
解得：（舍去），
所以2016年该地区投入教育经费为，
根据所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费为1440×1.2=1728万元．
答：2017年该地区将投入教育经费1728万元．
　
5．（2015 柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？
【分析】（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判断以PQDC为顶点的四边形是平行四边形．
（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．
【解答】解：（1）当PQ∥CD时，四边形PDCB是平行四边形，
此时PD=QC，
∴12﹣2t=t，
∴t=4．
∴当t=4时，四边形PQDC是平行四边形．
（2）过D点，DF⊥BC于F，
∴DF=AB=8．
FC=BC﹣AD=18﹣12=6，CD=10，
①当PQ⊥BC，
则BQ+CQ=18．即：2t+t=18，
∴t=6；
②当QP⊥PC，此时P一定在DC上，
CP1=10+12﹣2t=22﹣2t，CQ2=t，
易知，△CDF∽△CQ2P1，
∴，
解得：t=，
③情形：当PC⊥BC时，因∠DCB＜90°，此种情形不存在．
∴当t=6或时，△PQC是直角三角形．
　
6．（2015 昌邑市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．
（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？
【分析】（1）连接CD交AE于F，根据平行四边形的性质得到CF=DP，OF=PF，根据题意得到AF=EF，又CF=DP，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据题意计算出OC、OP的长，根据勾股定理求出AC、CE，根据平行四边形的周长公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接CD交AE于F，
∵四边形PCOD是平行四边形，
∴CF=DF，OF=PF，
∵PE=AO，
∴AF=EF，又CF=DP，
∴四边形ADEC为平行四边形；
（2）解：当点P运动的时间为秒时，OP=，OC=3，
则OE=，
由勾股定理得，AC==3，
CE==，
∵四边形ADEC为平行四边形，
∴周长为（3+）×2=6+．
　
7．（2015 河南模拟）如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．
【分析】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；
（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．
【解答】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：
∵D、E移动的速度相同，
∴BD=CE，
∵DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DGB，
∴BD=GD=CE，
又∵DG∥CE，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：
由（1）得：BD=GD=CE，
∵DM⊥BC，
∴BM=GM，
∵DG∥AE，
∴GF=CF，
∴BM+CF=GM+GF=MF．
　
8．（2015春 山亭区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP=　t　；DP=　12﹣t　；BQ=　15﹣2t　；CQ=　2t　．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP=t，CQ=2t，PD=12﹣t，BQ=15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15﹣2t，解得t=5．
∴运动5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP=tcm，CQ=2tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD﹣AP=12﹣t，
如图1当PQ∥CD，且PQ=CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴12﹣t=2t，
解得t=4s，
即当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
　
9．（2015春 绿园区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【分析】①若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ，进而求出t的值．
【解答】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：
AP=tcm，PD=（24﹣t）cm，CQ=2tcm，BQ=（30﹣2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形，
则AP=BQ，
∴t=30﹣2t，
解得：t=10，
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
则PD=CQ，
∴24﹣t=2t，
解得：t=8，
∴8s后四边形PQCD是平行四边形；
综上所述：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
　
10．（2015 杭州模拟）如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．
（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC=6，得到CP=AQ=1，PQ=BD=8，由OB=DO，OQ=OP，证得四边形BPDQ为平形四边形，根据对角线相等，证得四边形BPDQ为矩形；
（2）根据直角三角形的性质、勾股定理求得结论．
【解答】解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．
理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，
∵AC=6，
∴CP=AQ=1
∴PQ=BD=8
∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8
∴AO=CO=3
∴BO=DO=4
∴OQ=OP=4
∴四边形BPDQ为平形四边形，
∵PQ=BD=8
∴四边形BPDQ为矩形，
（2）由（1）得BO=4，CQ=7，
∵BC⊥AC
∴∠BCA=90°
BC2+CQ2=BQ2
∴BQ=．
　
11．（2015春 长清区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，点Q从C点开始沿CB边向B以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设运动时间为t秒．
求：（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
【分析】（1）四边形PQCD为矩形，即AP=BQ，列出等式，求解即可；
（2）四边形PQCD为平行四边形，即CQ=PD，列出等式求解；
【解答】解：（1）由题意知AP=t，CQ=2t，所以BQ=21﹣2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
又∵∠B=90°，
∴要使四边形ABQP为矩形，只需满足AP=BQ，
即：t=21﹣2t，
解得t=7，
∴当t=7s时，四边形ABQP为矩形；
（2）解：由题意知：AP=t，QC=2t，PD=18﹣t，当PT=QC时，四边形PACD为平形四边形，
即18﹣t=2t，
∴t=6，
∴当t=6时，四边形PQCD为平形四边形．
　
12．（2016 开江县二模）如图，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果OA，OB（OA＞OB）的长（单位：米）是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积；
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C，动点N从B出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？
【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；
（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．
【解答】（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA
∴△ACD是等腰三角形，AD=DC
又∵AB=AD
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB=AD，∴ ABCD是菱形；
（2）解：解方程x2﹣7x+12=0，得
OA=4，OB=3，
利用勾股定理AB==5，
S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米．
（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为，
当点M在OA上时，x≤2，S△MON=（4﹣2x）（3﹣x）=；
解得x1=，x2=（大于2，舍去）；
当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON=（3﹣x）（2x﹣4）=，
解得x1=x2=；
当点M在OC上且点N在OD上时，即3≤x≤4，S△MON=（2x﹣4）（x﹣3）=；
解得x1=，x2=（小于3，舍去）．
综上所述：M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为．
　
13．（2016春 丹阳市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，求t的值多少秒？并说明理由．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°，再表示出BP、BQ，然后根据翻折的性质和菱形对角线互相垂直平分列出方程求解即可．
【解答】解：若四边形QPBP′为菱形，t=2秒；理由如下：
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵点P的速度是每秒cm，点Q的速度是每秒1cm，
∴BP=tcm，BQ=（6﹣t）cm，
∵四边形QPBP′为菱形，
∴t×=，
解得：t=2；
即若四边形QPBP′为菱形，t的值为2秒．
　
14．（2016春 江阴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？
（2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
【分析】（1）因为∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形；
（2）因为PD∥BQ，当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD=BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD=BQ=BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度．
【解答】解：（1）∵∠B=90°，AP∥BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
此时有t=22﹣3t，解得t=．
∴当t=s时，四边形ABQP成为矩形；
（2）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD∥BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得16﹣t=22﹣3t，解得t=3，
当t=3时，PD=BQ=13，BP====≠13，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意，得，解得．
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．
　
15．（2015 元阳县校级一模）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；
（3）当t为何值时，四边形PBQD是菱形？
【分析】（1）由矩形ABCD中，O为BD的中点，易证得△PDO≌△QBO（ASA），继而证得OP=OQ；
（2）AD=8cm，AP=tcm，即可用t表示PD的长；
（3）由四边形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得AB2+AP2=PD2，继而可得方程62+t2=（8﹣t）2，解此方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O为BD的中点，
∴DO=BO，
在△PDO和△QBO中，
，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP=OQ；
（2）由题意知：AD=8cm，AP=tcm，
∴PD=8﹣t，
（3）∵PB=PD，
∴PB2=PD2，
即AB2+AP2=PD2，
∴62+t2=（8﹣t）2，
解得
t=，
∴当t=时，PB=PD．
　
16．（2015 郑州校级三模）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点．
（1）利用尺规∠EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动．
①连接PQ交AC于点O．求证：AO=CO；
②填空：当t=　6　秒时四边形APCQ一定是矩形；
③填空：当t=　　秒时四边形APCQ一定是菱形．
【分析】（1）利用尺规作图作出已知角的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质、矩形的性质及菱形的性质分别求得t的值即可．
【解答】解：（1）作图如下：
（2）①∵AP平分∠EAC，∠EAC=2∠B=2∠C，
∴∠PAC=∠C，
∴AP∥BC，
∵点P和点Q的速度均为1cm/s，
∴AP=CQ，
∴AO=CO；
②∵当∠AQC=90°时，四边形AQCP为矩形，
此时AQ⊥BC，CQ=BC=6，
∴当t=6时，四边形AQCP为矩形；
③如图3：当四边形APCQ是菱形时，AQ=CQ，
作AD⊥CQ于点D，
则CD=BC=6，
CQ=AQ=t，QD=t﹣6，
在Rt△AQD中，
AQ2=QD2+AD2，
即：t2=（t﹣6）2+82，
解得：t=，
∴当t=时，四边形AQCP为菱形．
　
17．（2015春 江西期末）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．
【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．
【解答】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6（s）．
故答案为：6s．
　
18．（2015春 日照期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．
（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．
（2）若AB=6cm，AD=8cm，P从点A出发．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
【分析】（1）依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以OP=OQ，则四边形PBQD的对角线互相平分，故四边形PBQD为平行四边形．
（2）点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm，PD=（4﹣t）cm．当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4﹣t）cm．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4﹣t）2，由此可以求得t的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
在△POD和△QOB中，
，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
又∵OB=OD
∴四边形PBQD为平行四边形；
（2）答：能成为菱形；
证明：t秒后AP=t，PD=8﹣t，
若四边形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，
即62+t2=（8﹣t）2，
解得：t=．
即点P运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
　
19．（2014春 兴业县期末）如图，已知△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上．连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=4cm，△ABC沿着BE的方向以每秒2cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，当t为何值时， ADFC是菱形？请说明你的理由．
【分析】（1）因为△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形所以AC=DF，又由∠ACD=∠FDE=60°，可得AC∥DF，所以四边形ADFC是平行四边形；
（2）根据△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，所以当t==2秒时，B与D重合，这时四边形为菱形．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形．
∴AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）解：当t=2秒时，平行四边形ADFC是菱形，理由如下：
∵△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，
∴当t==2秒时，B与D重合，如图所示，
则AD=AE=BC=DE=DF=EF，
∴平行四边形ADFC是菱形；