增长率，利润，四边形中的动点问题练习题（解析版）

增长率，利润，四边形中的动点问题20160610
一．解答题（共18小题）
1．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利多少元？
（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？
2．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
4．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
6．某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出1辆．该4S店要想平均每周的销售利润为90万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？
7．据某市车管部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．
（1）求2009年底该市汽车拥有量；
（2）如果不加控制，该市2012年底汽车拥有量将达多少万辆？
8．某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣降价多少元？
9．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
10．新兴商场经营某种儿童益智玩具．已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
11．我市为打造“国家文明卫生城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2012年投资1000万元，预到2014年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）如平均每年投资增长的百分率不变，则2016年我市的投资能否突破1500万元？
12．某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x元/件
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量y件
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x之间的函数关系式，并求出函数关系式；
（2）市物价部门规定，销售部门规定该工艺品单价不得超过48元，要想每天获得8750元利润，单价应定为多少元？（利润=销售总价﹣成本总价
）
13．如图．A、B、C、D为矩形的4个顶点：AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止：点Q以2cm/s的速度向点B移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
14．如图△ABC，∠B=90 ，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，求t的值多少秒？并说明理由．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？
（2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
17．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；
（3）当t为何值时，四边形PBQD是菱形？
18．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点．
（1）利用尺规∠EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动．
①连接PQ交AC于点O．求证：AO=CO；
②填空：当t=　　　　　　秒时四边形APCQ一定是矩形；
③填空：当t=　　　　　　秒时四边形APCQ一定是菱形．
　
增长率，利润，四边形中的动点问题20160610
参考答案与试题解析
　
一．解答题（共18小题）
1．（2016春 新昌县校级期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利多少元？
（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？
【分析】（1）此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润×销售总箱数=销售总利润，由此列出算式后代入20即可求解；
（2）利用上题得到的算式进一步得到方程求解即可解答．
【解答】解：（1）每箱应降价x元，依据题意得总获利为：（120﹣x）（100+2x），
当x=20时，（120﹣x）（100+2x）=100×140=14000元；
（2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，
（120﹣x）（100+2x）=14400，
整理得x2﹣70x+1200=0，
解得x1=30，x2=40；
∵要求每箱饮料获利大于80元，
∴x=30
答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元．
　
2．（2016春 崇仁县期中）某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．
【解答】解：设每件童装应降价x元，则
（40﹣x）（20+2x）=1200，
解得x1=10，x2=20，
因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，
所以x只取20．
答：每件童装应降价20元．
　
3．（2015 乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
【分析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
　
4．（2015 珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【分析】（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；
（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．
【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8　　　　
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
答：增长率为20%；
（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36公顷，
答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．
　
5．（2015 岳池县模拟）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，
整理得2x2﹣60x+400=0
解得x1=20，x2=10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设商场平均每天赢利y元，则
y=（20+2x）（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]
=﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
　
6．（2015 锦州二模）某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出1辆．该4S店要想平均每周的销售利润为90万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？
【分析】销售利润=一辆汽车的利润×销售汽车数量，一辆汽车的利润=售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每辆的盈利×销售的件数=90万元，即可列方程求解．
【解答】解：设每辆汽车的降价为x万元，根据题意得：
（25﹣x﹣15）（8+）=90，
解得x1=1，x2=5，
当x=1时，总成本为15×（8+2×1）=150（万元）；
当x=5时，总成本为15×（8+2×5）=270（万元），
为使成本尽可能的低，则x=1，即25﹣x=25﹣1=24（万元），
答：每辆汽车的定价应为24万元．
　
7．（2015 蓬溪县校级模拟）据某市车管部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．
（1）求2009年底该市汽车拥有量；
（2）如果不加控制，该市2012年底汽车拥有量将达多少万辆？
【分析】（1）假设出平均增长率为x，可以得出2009年该市汽车拥有量为150（1+x），2010年为150（1+x）（1+x）=216，
即150（1+x）2=216，进而求出具体的值；
（2）结合上面的数据2012应该在2010年的基础上增长，而且增长率相同，同理，即为216（1+20%）2．
【解答】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．
根据题意，得150（1+x）2=216．
解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
150（1+20%）=180（万辆）．
答：2009年底该市汽车拥有量为180万辆．
（2）216（1+20%）2=311.04（万辆）．
答：如果不加控制，该市2012年底汽车拥有量将达311.04万辆．
　
8．（2015 诏安县校级模拟）某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣降价多少元？
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得
（40﹣x）（20+2x）=1200
整理，得x2﹣30x+200=0
解得x1=10，x2=20．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应略去，
∴x=20．
答：每件衬衫应降价20元．
　
9．（2015 建邺区一模）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
【分析】根据每天的利润=一件的利润×销售量，由此设出未知数，建立方程解决问题．
【解答】解：解法一：
设每件商品的售价上涨x元，
（210﹣10x）（50+x﹣40）=2200，
解得x1=1，x2=10，
当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60；
解法二：设每件商品的售价为x元，
[210﹣10（x﹣50）]（x﹣40）=2200，
解得x1=51，x2=60，
答：当每件商品的售价定为51或60元时，每个月的利润恰为2200元．
　
10．（2015 樊城区模拟）新兴商场经营某种儿童益智玩具．已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
【分析】根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：设每件玩具上涨x元，则售价为（30+x）元，
则根据题意，得（30+x﹣20）（230﹣10x）=2520．
整理方程，得x2﹣13x+22=0．
解得：x1=11，x2=2，
当x=11时，30+x=41＞40，
∴x=11
不合题意，舍去．
∴x=2，
∴每件玩具售价为：30+2=32（元）．
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
　
11．（2015 岳阳校级一模）我市为打造“国家文明卫生城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2012年投资1000万元，预到2014年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）如平均每年投资增长的百分率不变，则2016年我市的投资能否突破1500万元？
【分析】（1）利用2012年投资1000万元，预计2014年投资1210万元，进而得出等式求出即可；
（2）利用（1）中所求，得出2016年投资额即可．
【解答】解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x．
由题意得1000（1+x）2=1210，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：平均每年投资增长的百分率为10%；
（2）∵1210×（1+10%）2=1464.10＜1500，
∴不能达到．
　
12．（2015 乐清市校级模拟）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x元/件
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量y件
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x之间的函数关系式，并求出函数关系式；
（2）市物价部门规定，销售部门规定该工艺品单价不得超过48元，要想每天获得8750元利润，单价应定为多少元？（利润=销售总价﹣成本总价
）
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（2）根据等量关系：每天获得8750元利润，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）画图如下：
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，则
解得．
故函数关系式是y=﹣10x+700．
（2）要想每天获得8750元利润，则（x﹣20）（﹣10x+700）=8750，
整理得出：（x﹣45）2=﹣250＜0，
故方程无解．
　
13．（2016 威海一模）如图．A、B、C、D为矩形的4个顶点：AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止：点Q以2cm/s的速度向点B移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
【分析】设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，表示出PB、BQ，利用勾股定理建立方程求得答案即可．
【解答】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
则PB=16﹣3t，BQ=6﹣2t，
∵PB2+BQ2=PQ2，
∴（16﹣3t）2+（6﹣2t）2=102，
解得t1=，t2=．
∵0＜t＜3，
∴t1=（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发经过秒时，点P，Q间的距离是10cm．
　
14．（2016春 濉溪县校级月考）如图△ABC，∠B=90 ，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．
【分析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出；
（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．
【解答】解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．
∵AP=1 x=x，BQ=2x，
∴BP=AB﹣AP=6﹣x，
∴S△PBQ=×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，
∴x2﹣6x+8=0，
解得：x=2或4，
即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，
则S△PBQ=×（6﹣y）×2y=10，
即y2﹣6y+10=0，
因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，
所以△PBQ的面积不会等于10cm2．
　
15．（2016春 丹阳市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，求t的值多少秒？并说明理由．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°，再表示出BP、BQ，然后根据翻折的性质和菱形对角线互相垂直平分列出方程求解即可．
【解答】解：若四边形QPBP′为菱形，t=2秒；理由如下：
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵点P的速度是每秒cm，点Q的速度是每秒1cm，
∴BP=tcm，BQ=（6﹣t）cm，
∵四边形QPBP′为菱形，
∴t×=，
解得：t=2；
即若四边形QPBP′为菱形，t的值为2秒．
　
16．（2016春 江阴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？
（2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
【分析】（1）因为∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形；
（2）因为PD∥BQ，当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD=BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD=BQ=BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度．
【解答】解：（1）∵∠B=90°，AP∥BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
此时有t=22﹣3t，解得t=．
∴当t=s时，四边形ABQP成为矩形；
（2）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD∥BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得16﹣t=22﹣3t，解得t=3，
当t=3时，PD=BQ=13，BP====≠13，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意，得，解得．
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．
　
17．（2015 元阳县校级一模）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；
（3）当t为何值时，四边形PBQD是菱形？
【分析】（1）由矩形ABCD中，O为BD的中点，易证得△PDO≌△QBO（ASA），继而证得OP=OQ；
（2）AD=8cm，AP=tcm，即可用t表示PD的长；
（3）由四边形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得AB2+AP2=PD2，继而可得方程62+t2=（8﹣t）2，解此方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O为BD的中点，
∴DO=BO，
在△PDO和△QBO中，
，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP=OQ；
（2）由题意知：AD=8cm，AP=tcm，
∴PD=8﹣t，
（3）∵PB=PD，
∴PB2=PD2，
即AB2+AP2=PD2，
∴62+t2=（8﹣t）2，
解得
t=，
∴当t=时，PB=PD．
　
18．（2015 郑州校级三模）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，E是BA延长线的一点．
（1）利用尺规∠EAC的平分线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点点B运动，运动的速度均为1cm/s，运动时间为t，若P、Q同时运动．
①连接PQ交AC于点O．求证：AO=CO；
②填空：当t=　6　秒时四边形APCQ一定是矩形；
③填空：当t=　　秒时四边形APCQ一定是菱形．
【分析】（1）利用尺规作图作出已知角的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质、矩形的性质及菱形的性质分别求得t的值即可．
【解答】解：（1）作图如下：
（2）①∵AP平分∠EAC，∠EAC=2∠B=2∠C，
∴∠PAC=∠C，
∴AP∥BC，
∵点P和点Q的速度均为1cm/s，
∴AP=CQ，
∴AO=CO；
②∵当∠AQC=90°时，四边形AQCP为矩形，
此时AQ⊥BC，CQ=BC=6，
∴当t=6时，四边形AQCP为矩形；
③如图3：当四边形APCQ是菱形时，AQ=CQ，
作AD⊥CQ于点D，
则CD=BC=6，
CQ=AQ=t，QD=t﹣6，
在Rt△AQD中，
AQ2=QD2+AD2，
即：t2=（t﹣6）2+82，
解得：t=，
∴当t=时，四边形AQCP为菱形．