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代数式 单元同步测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．-2a+3a=5 B． C． D．
3． 合并同类项 时，依据的运算律是 ( )
A．加法交换律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律
4．下列结论：①若，则、互为相反数；②若，则；③多项式的次数是6次；④2与不是同类项；⑤精确到百位；⑥若一个数等于它的平方，则这个数为1；其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为a 的正方形按如图所示分割成五个小长方形，其中⑤号小长方形是边长为b的正方形，若①号小长方形的周长为c，且满足2a-2b=c，则下列小长方形中一定是正方形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．已知x(x-3)=2，那么多项式-2x2+6x+9的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即 据此易得 小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24，其中3x-n>x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
10．已知．若的值与无关，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ．
12．已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于 .
13．单项式与的差是单项式，则的值是 .
14．张老师参加某次学术交流会，与会的每两个人之间握一次手，若共有m 人参加，则张老师需握手 次，所有人握手的总次数为 次.
15．若﹣amb2与 a5bn是同类项，则n﹣m= ．
16．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所求的方式不重叠的放在长方形 内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 ，已知小长方形纸片的长为 ，宽为 ，且 ．若 长度不变， 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 内，而 的值总保持不变，则 满足的关系是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．化简求值
（1）若，求的值．
（2）若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值．
18．有长为l的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成长方形园子，园子的宽为a．
（1）如图1，园子的长为 ，园子的面积为 ．(用含l，a的代数式表示)
（2）如图2，若在园子的四个角铺设半径均为b的四分之一圆的花圃（阴影部分），其余区域铺设草坪．
①求草坪的面积；(用含l，a，b的代数式表示)
②当l=80m，a=22m，b=10m时，草坪的面积是多少？（π取3.14）
19．某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．
（1）求安装健身器材的区域面积；
（2）当，时，求安装健身器材的区域面积．
20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/米
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米
超出10立方米的部分 8元/米
注：水费按月结算
（1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元．
（2）若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？
（3）若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．
21．先化简，再求值：3x（x﹣2y）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3．
22．已知代数式，．
（1）求；
（2）当，时，求的值；
（3）若的值与的取值无关，求的值．
23．某小区要修建一个长为 米，宽为 米的长方形休闲场所 ．长方形内建一个正方形活动区 和连结活动区到长方形四边的四条笔直小路 (如图)，正方形活动区的边长为 米， 小路的宽均为 2 米． 活动区与小路铺设鹅卵石， 其他地方铺设草坪．
（1） 求铺设草坪的面积是多少平方米 (用含 的代数式表示)．
（2） 当 时，需要铺设草坪的面积是多少？
24．已知代数式．
（1）当x＝﹣1，y＝﹣2时，求2A﹣B的值．
（2）若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值．
25．在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
（1）当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______
（2）已知，求的值；
（3）已知：，这2024个数都是不等于0的有理数，若这2024个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）．
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代数式 单元同步测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，∴A错误；
B、∵，∴B错误；
C、∵，∴C错误；
D、∵，∴D正确．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的计算方法及步骤（①有括号先去括号，②再找出所有同类项，③最后将同类项的系数相加减）逐项分析求解即可.
2．已知a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．-2a+3a=5 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】
解：A、-2a+3a=a，故该选项错误，不符合题意；
B、 (-2a3)2 =4a6，故该选项正确，符合题意；
C、a2与a不是同类项，无法合并为a，故该选项错误，不符合题意；
D、 a6a2=a4，故该选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则可判断A，根据积的乘方运算可判断B，根据同类项概念可判断C，根据同底数幂的除法可判断D，逐一判断即可解答.
3． 合并同类项 时，依据的运算律是 ( )
A．加法交换律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律
【答案】C
【解析】【解答】∵-4a2b+3a2b=（-4+3）a2b=-a2b依据的是分配律.
故答案为：C.
【分析】根据乘法分配律的逆运算即可以得到合并同类项法则.
4．下列结论：①若，则、互为相反数；②若，则；③多项式的次数是6次；④2与不是同类项；⑤精确到百位；⑥若一个数等于它的平方，则这个数为1；其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：①若，则、互为相反数，命题正确，符合题意；
②若，不一定是，例，但，命题错误，不符合题意；
③多项式的次数是6次，命题正确，符合题意；
④2与是同类项，命题错误，不符合题意；
⑤精确到百位，命题正确，符合题意；
⑥若一个数等于它的平方，则这个数为1或0，不是只有1，命题错误，不符合题意.
①③⑤都正确，即正确的个数有3个.
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”、绝对值的性质、多项式的次数“多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数”、同类项定义“所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项”、科学记数法的意义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.”依次判断即可求解.
5．已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．如图，边长为a 的正方形按如图所示分割成五个小长方形，其中⑤号小长方形是边长为b的正方形，若①号小长方形的周长为c，且满足2a-2b=c，则下列小长方形中一定是正方形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】【解答】解：设AH=m，则DH=a-m，
∵①号长方形周长为c，
∴CG=a-（a-b-m）-b=m，
∴DG=a-m.
∴DG=DH，④号为正方形.
故选 D.
故答案为：D
【分析】设定变量m表示①号长方形的长，从而推出④号小矩形的长，利用长方形的周长公式和已知条件确定①号长方形的宽，进而计算出 ③ 号小矩形的宽，即可推出④号小矩形的宽，比较④号小矩形的长与宽即可确定它是正方形.
7．已知x(x-3)=2，那么多项式-2x2+6x+9的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解： 由x(x-3)=2得x2-3x=2，而-2x2+6x+9=-2(x2-3x)+9=-2×2+9=5
故答案为：B.
【分析】由已知和所求多项式的联系，整体代入即可求值.
8．若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】先把要求的式子进行化简，再把 代入进行计算即可.
9．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即 据此易得 小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24，其中3x-n>x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，小长方形的长为3x-n，宽为x，
大正方形的边长为3x-n+x=4x-n，
面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×24+4=100，
∴大正方形的边长为10，
据此得
∴4x-n=10，
得n=6.
故答案为：C.
【分析】根据小长方形的面积为24，小正方形的面积为4，可推得大正方形的面积为100，从而边长为10，由此可得小长方形的宽x，再结合边长为10，即可求n.
10．已知．若的值与无关，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：2A- B= 2(x + 2x+ 3)-(2x - mx+2)= 2x +4x+6-2x+mx-2=(4+m)x +4，
因为2A-B的值与x无关，所以4+m=0， m = -4.
故答案为：A
【分析】先求出2A-B的表达式，再根据其值与x无关， 求出m的值即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵多项式的次数是5，
∴，
∴，
∵单项式的次数与多项式的二次项系数相同，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用多项式的次数的定义可得，求出m的值，再利用单项式的次数的定义可得，求出n的值，最后将m、n的值代入计算即可.
12．已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于 .
【答案】4
【解析】【解答】由 得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【分析】由 可得x-y=xy，然后代入求值即可.
13．单项式与的差是单项式，则的值是 .
【答案】-27
【解析】【解答】根据题意
单项式与是同类项
故答案为：-27
【分析】单项式相加减的和或差还是单项式，则说明他们是同类项，根据同类项的定义：单项式所含的未知数相同且未知数的次数也相同，可先求m、n的值，再代入求值。
14．张老师参加某次学术交流会，与会的每两个人之间握一次手，若共有m 人参加，则张老师需握手 次，所有人握手的总次数为 次.
【答案】(m-1)；
【解析】【解答】解：根据题意知，张老师要和除了他以外的每个人都要握手，
所以张老师需要握手(m-1)次，
所有人都要和除了他以外的每个人都握手，
所以总数为m(m-1)，
又因为每两个人只握手一次，
所以总数为，
故答案为：(m-1) ，.
【分析】根据题意， 对于张老师握手次数，因为他要和除自己之外的每个人握手，所以只需考虑总人数减去他自己即可，对于总数每个人都需要和除了自己之外的每个人都握手，然后因为不重复，所以总数要除2.
15．若﹣amb2与 a5bn是同类项，则n﹣m= ．
【答案】-3
【解析】【解答】解：由题意，得
m=5，n=2．
n﹣m=2﹣5=﹣3，
故答案为：﹣3．
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
16．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所求的方式不重叠的放在长方形 内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 ，已知小长方形纸片的长为 ，宽为 ，且 ．若 长度不变， 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 内，而 的值总保持不变，则 满足的关系是 ．
【答案】a=4b
【解析】【解答】解：设S1的长为x，则宽为4b，S2的长为y，则宽为a，
则AB=4b+a，AD=y+3b，
∵x+a=y+3b，
∴y-x=a-3b，
S1与S2的差=ay-4bx=ay-4b（y-a+3b）=（a-4b）y+4ab-12b2，
∴a-4b=0，
即a=4b．
故答案为：a=4b．
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与AD无关即可求出a与b的关系式．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．化简求值
（1）若，求的值．
（2）若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
.
（2）解：
，
∵该代数式的值与字母x的取值无关，
∴，，
解得：，，
∴
．
【解析】【分析】（1）根据整式的加法与减法的运算法则，将数据代入计算得到，再将代入计算，即可得到答案；
（2）利用整式的加减运算法则，化简已知和所求代数式分别为和，结合无关性求出a，b的值，然后代入化简的代数式中计算，即可求解．
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：
，
∵该代数式的值与字母x的取值无关，
∴，，
解得：，，
∴
．
18．有长为l的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成长方形园子，园子的宽为a．
（1）如图1，园子的长为 ，园子的面积为 ．(用含l，a的代数式表示)
（2）如图2，若在园子的四个角铺设半径均为b的四分之一圆的花圃（阴影部分），其余区域铺设草坪．
①求草坪的面积；(用含l，a，b的代数式表示)
②当l=80m，a=22m，b=10m时，草坪的面积是多少？（π取3.14）
【答案】（1）l－2a；a(l－2a)
（2）解：①∵草坪面积等于长方形面积减去一个圆的面积，
∴草坪面积为：
②∵l=80m，a=22m，b=10m，
由（2）①得：草坪面积为：.
【解析】【解答】解：（1）∵篱笆长为：l，图1中园子宽为a，
∴图1园子长为： 、l－2a ，其面积为： a(l－2a) ；
故答案为： l－2a ， a(l－2a) ；
【分析】（1）根据三边之和为篱笆的长，进而可求出园子的长，最后根据长方形的面积计算公式即可求出其面积；
（2）①根据草坪面积等于长方形面积减去一个半径为b的圆的面积，据此即可求解；
②将l=80m，a=22m，b=10m，代入计算即可.
19．某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．
（1）求安装健身器材的区域面积；
（2）当，时，求安装健身器材的区域面积．
【答案】（1）解：
．
答：安装健身器材的区域面积为．
（2）解：当，时，（）．
答：安装健身器材的区域面积为．
【解析】【分析】（1）利用割补法及整式的混合运算化简求解即可；
（2）将a、b的值代入计算即可.
20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/米
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米
超出10立方米的部分 8元/米
注：水费按月结算
（1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费_______元．
（2）若某户居民3月份用水a立方米（其中），则该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？
（3）若某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．
【答案】（1）8
（2）解：根据题意，得元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，有，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得应交水费为：（元），
故答案为：8.
【分析】（1）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（2）直接根据自来水收费价格的价目表进行计算求解；
（3）先求出4月份的用水量少于6立方米，且5月份用水立方米，然后分两种情况讨论：当时，则；当时，则，分别根据自来水收费价格的价目表计算出4月和5月的费用，最后求和即可得到答案．
（1）解：元，
∴某户居民2月份用水4立方米，则应交水费8元，
故答案为：8；
（2）解：元，
∴该用户3月份应交水费元；
（3）解：∵某户居民4，5月份共用水12立方米（5月份用水量多于4月份），
∴4月份的用水量少于6立方米，
∵4月份用水x立方米，
∴5月份用水立方米，
当时，则，
∴此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
当时，则，
此时4月份的费用为，5月份的费用为元，
∴该户居民4，5月份共交水费元；
综上所述，当时，该户居民4，5月份共交水费元；当时，该户居民4，5月份共交水费元．
21．先化简，再求值：3x（x﹣2y）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3．
【答案】解：原式=3x2﹣6xy﹣3x2+2y﹣2xy﹣2y=﹣8xy，
当x=﹣，y=﹣3时，原式=﹣12．
【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
22．已知代数式，．
（1）求；
（2）当，时，求的值；
（3）若的值与的取值无关，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
.
（2）解：当，时，
原式，
，
，
.
（3）解：∵的值与的取值无关，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）将代数式，代入，再利用整式的加减法求解即可；
（2）将x、y的值代入计算即可；
（3）利用“的值与的取值无关”可得，再求出y的值即可.
（1）解：∵，，
∴，
，
；
（2）当，时，
原式，
，
，
；
（3）∵的值与的取值无关，
∴，
∴．
23．某小区要修建一个长为 米，宽为 米的长方形休闲场所 ．长方形内建一个正方形活动区 和连结活动区到长方形四边的四条笔直小路 (如图)，正方形活动区的边长为 米， 小路的宽均为 2 米． 活动区与小路铺设鹅卵石， 其他地方铺设草坪．
（1） 求铺设草坪的面积是多少平方米 (用含 的代数式表示)．
（2） 当 时，需要铺设草坪的面积是多少？
【答案】（1）解：草坪的面积为
（2）解：当 时， 需要铺设草坪的面积为 (平方米)．
【解析】【分析】（1）、草坪面积=小区面积-活动区面积-长小路面积-短小路面积. 根据该等量关系列出代数式并化简；
（2）、直接代入a、b值到（1）所得出的代数式计算即可.
24．已知代数式．
（1）当x＝﹣1，y＝﹣2时，求2A﹣B的值．
（2）若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】（1）2A﹣B
＝
＝4xy+4y﹣x﹣23
当x＝﹣1，y＝﹣2时，
原式＝4×（﹣1）×（﹣2）+4×（﹣2）﹣（﹣1）﹣23＝﹣22
（2）2A﹣B
＝4xy+4y﹣x﹣23
＝（4y﹣1）x+4y-23
∵2A﹣B的值与x的取值无关，
∴4y﹣1＝0，
∴y＝．
即当时，2A﹣B的值与x的取值无关．
【解析】【分析】（1）把A、B的代数式代入2A-B中，再进行去括号，整式的加减运算把式化简为4xy+4y﹣x﹣23 ，代入x、y的值再进行计算即可求解；
（2）由(1)得2A-B＝4xy+4y-x-23，再化简为（4y-1）x+4y-23，根据2A-B的值与x的取值无关，得4y-1＝0，从而解得y的值.
25．在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
（1）当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______
（2）已知，求的值；
（3）已知：，这2024个数都是不等于0的有理数，若这2024个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）．
【答案】（1）1；；1或
（2）解：∵，∴，，，
，
又∵
∴，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时，原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式．
综上所示，原式的值为或3；
（3）解：根据题意，这2024个数中有个正数，则有个负数，即中有个1，个，
∴．
故答案为：．
【解析】解：（1）当时，，
当时，，
当为不等于0的有理数时，
若，则，若，则，
即的值为1或．
故答案为：1，，1或；
【分析】（1）结合题意，根据绝对值的性质，进行化简计算求值，即可得到答案；
（2）首先将原式化简，然后结合题意，分“为正数，，为负数”，“为正数，，为负数”， “为正数，，为负数”，三种情况讨论，逐一代入计算，即可求解；
（3）根据题意，这2024个数中有个正数，有个负数，结合，然后整理化简，即可得到答案．
（1）解：当时，，
当时，，
当为不等于0的有理数时，
若，则，若，则，
即的值为1或．
故答案为：1，，1或；
（2）解：∵，
∴，，，
，
又∵
∴，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时，原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式．
综上所示，原式的值为或3；
（3）根据题意，这2024个数中有个正数，则有个负数，
即中有个1，个，
∴．
故答案为：．
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