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圆的基本性质 单元全真模拟提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．50 D．60
2．在 中， ， ， ，以C为圆心， 为半径作 ，则点A与 的位置关系是（ ）
A．点A在 内 B．点A在 上
C．点A在 外 D．无法确定
3．如图，AD是⊙O的直径，且AD=6，点B、C在⊙O上，，∠AOB=120°，点E是线段CD的中点，则OE=（ ）
A．1 B． C．3 D．2
4．如图，AB是的直径，CD是的弦，连接BD、BC，若，则的度数为（ ）
A．34° B．56° C．68° D．102°
5．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
7．如图，点，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，若点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
10．如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O （填：“内”或“上“或“外”）
12．如图，把 绕点 旋转，点 旋转至 边的点 位置， ，则 的度数为 ．
13．如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于 .
14． 如图，AB 是⊙O的弦， ，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=60°.若点 M，N 分别是AB，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 .(结果保留π)
15．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为 ．
16．如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC=140°．求∠EBC的度数．
18．如图所示，已知点A，B，C，D均在上，BC为直径.平分，连结AO.
（1）判断四边形AOCD的形状，并说明理由.
（2）若的半径为1，求图中阴影部分的面积.
19．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
20．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC=5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”．
（1）这个风车至少需要绕着中心旋转 才能和本身重合；
（2）求这个风车的外围周长（图乙中的实线）．
21．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
22．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
23．已知，如图四边形AOBC为正方形，点C的坐标为(4 ，0)，动点P沿着折线OACB的方向以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点Q沿着折线OBCA的方向匀速运动，速度是2个单位长度每秒，运动时间为t秒，当他们相遇时同时停止运动．
（1）点A的坐标是 正方形AOBC的面积是 ．
（2）将正方形绕点O顺时针旋转45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积．
（3）运动时间t为多少秒时，以A、P、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？
（4）是否存在这样的t值，使△OPQ成为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
24． 如图，正方形的边长为，以为半径作圆，为弧上的一点，过
点作于点，连接、．
（1）求证：；
（2）连接，求的最小值．
25．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．
（1）求∠OAD的度数；
（2）求DE的长．
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圆的基本性质 单元全真模拟提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．50 D．60
【答案】A
【解析】【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOD=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠DCB= ∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB=30°；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和得出∠BOD=60°，然后根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半即可得出∠DCB的度数。
2．在 中， ， ， ，以C为圆心， 为半径作 ，则点A与 的位置关系是（ ）
A．点A在 内 B．点A在 上
C．点A在 外 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，
∴ ，
则AC=6＜BC，
∴点A在⊙C内，故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论.
3．如图，AD是⊙O的直径，且AD=6，点B、C在⊙O上，，∠AOB=120°，点E是线段CD的中点，则OE=（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=120°，
∴∠DOC=60°，
∵PD=OC，E为DC中点，
∴∠COE=∠DOC=30°，OE⊥DC，
∴在Rt△OEC中，cos30°= ，
∵OC=AD=×6=3，
∴OE=，
故选B．
【分析】求出∠DOC=∠AOB=120°，QIUC∠DOC=60°，根据等腰三角形性质求出∠COE=∠DOC=30°，OE⊥DC，在Rt△OEC中解直角三角形求出即可．
4．如图，AB是的直径，CD是的弦，连接BD、BC，若，则的度数为（ ）
A．34° B．56° C．68° D．102°
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AD，如图，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°=∠DAB+∠ABD，
又∵∠DAB=∠BCD，∠ABD=56°，
∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-56°=34°，
∴∠BCD=34°，
故答案为：A．
【分析】由于直径所对的圆周角是直角，可连接AD，由同弧所对的圆周角相等可把所求的∠BCD转化为∠BAD。
5．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，过点作轴，
∵原点O是等边三角形的中心，
∴，
∴重合，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，过点作轴，根据等边三角形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得OH，则，再根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案
6．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AO
∵AO=OB=OC
∴∠B=∠OAB=25°，∠C=∠OAC=30°
∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=55°
∴∠BOC=2∠BAC=110°
故答案为：B
【分析】利用等边对等角，求出∠BAC的度数，再根据圆周角定理，就可求出∠BOC的度数。
7．如图，点，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，若点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点作轴，作轴，连接，
∵点，点C的坐标为，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∵将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴是等边三角形，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴，
∴，
化简变形得：，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过点作轴，作轴，连接，由勾股定理求出，由旋转的性质可得是等边三角形，可得，再根据勾股定理求出，，根据建立方程并解之即可.
8．如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC
【答案】D
【解析】【解答】如图，取弧的中点，连接，，
则＝2 ＝2
∵＝2
∴ ＝=
．
在中，，
，即．
故答案为：D．
【分析】取弧的中点，连接，，则＝2 ＝2，由条件得出＝2 ，得出 ＝=，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，又在中，，根据三角形三边关系定理得出，即可得出答案。
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=40°
∴∠BOC=180°-40°-40°=100°
∴∠A=100°÷2=50°
故答案为：B.
【分析】根据圆的半径相等，由三角形的内角和定理，即可得到∠O的度数，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到答案。
10．如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】C
【解析】【解答】解：连接交于，连接、、，记交于，如图所示：
∵C是以为直径的半圆O上一点，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，也在垂直平分线上，
∵，的中点分别为D，E，
∴，，
∴，，
∴点D在的垂直平分线上，点E在垂直平分线上，
∴垂直平分，垂直平分，
∴点和点分别是和的中点，即点和点分别是以，为直径向外所作半圆的圆心，
∴，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，即点C、D、E在同一直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴若要求出的长，只需知道的长即可，
故答案为：C．
【分析】先证出和是等腰直角三角形，可得，再求出，可得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得若要求出的长，只需知道的长即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O （填：“内”或“上“或“外”）
【答案】上
【解析】【解答】解：∵点A（4，3）到圆心O的距离OA＝ ＝5，
∴OA＝r＝5，
∴点A在⊙O上，
故答案为：上．
【分析】利用勾股定理求出OA的长，根据点与圆的位置关系判断即可.
12．如图，把 绕点 旋转，点 旋转至 边的点 位置， ，则 的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
AB=AD，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=
∴∠ADE= ．
故答案为： ．
【分析】根据旋转的性质先求出∠ABD=∠ADB，再根据三角形的内角和等于180°，进行计算求解即可。
13．如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于 .
【答案】
【解析】【解答】 ∵菱形ABCD中，AB=BC，
又∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°，
∴弧BC的长是： =故答案是：
【分析】本题考查了弧长公式，理解B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上，即B、C在同一个圆上，得到△ABC是等边三角形是关键．
14． 如图，AB 是⊙O的弦， ，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=60°.若点 M，N 分别是AB，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 .(结果保留π)
【答案】
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OM，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=120”，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°
∵，
∴OM⊥AB，
∴
∴，
∴OA=2OM=2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN//AC，，
∴△MBN∽△ABC，
∴
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，
∴△ABC的面积最大值为
∴△MBN的面积最大为
∴
故答案为：.
【分析】连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB=120°，求出OM=1，OA=2，再根据三角形中位线性质得到MN//AC，，然后根据三角形相似得到，故当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，由C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，求得△ABC的面积最大值，进而即可求得△MBN的面积最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影部分的最大值.
15．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为 ．
【答案】30°
【解析】【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，
又∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
故答案为：30°．
【分析】求∠AOB，只需求出∠BOC即可，而∠BOC是 ∠BAC 的2倍。
16．如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长D′A′交AD于点F，连接BF、AC、DE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，AD=BC，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE.
由旋转的性质可得AB=A′B，∠BAF=∠BA′O=90°.
∵BA=BA′，BF=BF，
∴Rt△BAF≌Rt△BA′F（HL），
∴AF=A′F.
∵∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△OAF≌△OCE（ASA），
∴AF=CE.
∵AD=BC，AD∥BC，
∴DF=BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OE=OF.
设AF=x，A′O=a，则OE=OF=x+a，D′E=2OF=2x+2a，AD=A′D=x+4a，
∴DF=BE=AD-AF=4a，A′E=x+2a.
∵S平行四边形BEDF=2S△BEF，AB=A′B，
∴4a·AB=2×(2x+2a)·A′B，
∴4a=2x+2a，
∴x=a，
∴AD=5a，A′E=3a，BE=4a，
∴A′B==a，
∴.
故答案为：.
【分析】延长D′A′交AD于点F，连接BF、AC、DE，由矩形的性质可得OA=OC，AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠OCE，根据旋转的性质可得AB=A′B，∠BAF=∠BA′O=90°，分别利用HL、ASA证明Rt△BAF≌Rt△BA′F（HL），△OAF≌△OCE，得到AF=A′F，AF=CE，易得四边形BEDF为平行四边形，则OE=OF，设AF=x，A′O=a，则OE=OF=x+a，D′E=2OF=2x+2a，AD=A′D=x+4a，DF=BE=AD-AF=4a，A′E=x+2a，由平行四边形的性质可得S平行四边形BEDF=2S△BEF，据此可推出x=a，然后表示出AD、A′E、BE，利用勾股定理求出A′B，据此求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC=140°．求∠EBC的度数．
【答案】解：由圆周角定理得，∠D= ∠AOC=70°，
由圆内接四边形的性质得，∠EBC=∠D=70°．
【解析】【分析】利用圆周周角定理，易知∠D=70°，利用圆内接四边形的性质，可得∠ABC+∠D=180°，根据同角的补角相等，∴∠EBC=∠D=70°。
18．如图所示，已知点A，B，C，D均在上，BC为直径.平分，连结AO.
（1）判断四边形AOCD的形状，并说明理由.
（2）若的半径为1，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：四边形AOCD是菱形，理由如下，
连接OA，
平分
四边形是平行四边形
四边形是菱形
（2）解：
，
，
四边形是菱形
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义和平行线性质证得，从而得到OA||CD，再通过两组对边分别平行判定四边形AOCD是平行四边形，然后由邻边相等证得四边形AOCD是菱形.
(2)利用圆内接四边形的性质求得，再通过角直角三角形的性质求得、的面积，接着利用菱形的性质求得的面积，然后由割补法计算出阴影部分的面积.
19．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
【答案】（1）解：如图：作，垂足为，
由垂径定理知，点是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：如图：连接，
在中，，，
．
在中，
，，
，即小圆的半径为．
【解析】【分析】
（1）如图，过点O作AB的垂线段OE，由垂径定理可得，，则AC可求；
（2）如图，连接OA、OC，先在中应用勾股定理可得，再在中应用勾股定理即可．
（1）解：如图：作，垂足为，
由垂径定理知，点是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：如图：连接，
在中，，，
．
在中，
，，
，即小圆的半径为．
20．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC=5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”．
（1）这个风车至少需要绕着中心旋转 才能和本身重合；
（2）求这个风车的外围周长（图乙中的实线）．
【答案】（1）90度
（2）解：
在直角△BCD中，BD为斜边，
已知BC=5，AB= ，
由勾股定理得：AC=7，CD=7+5=12，
∴BD= =13，
∵风车的外围周长为4（BD+AD）=4（13+5）=72
【解析】【解答】解：（1）∵360°÷4=90°，
∴该图形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．
【分析】（1）根据题目内容，共有4个相同的图形，至少需要旋转360°÷4=90°可以重合。
（2）在三角形ABC中，根据题目条件，可求得AC的长度，继而得到DC的长度，在直角三角形DBC中，根据勾股定理求出BD的长度，计算外围的周长即可。
21．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
【答案】（1）解：如图：作，垂足为，
由垂径定理知，在小圆中，点是的中点，在大圆中，点是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：如图：连接，
AO=
在中，，，
．
在中，
，，
，即小圆的半径为．
【解析】【分析】（1）如图：作，垂足为E，由垂径定理可得，，再根据线段的和差即可求解；
（2）如图：连接，在中，利用勾股定理可得OE，在中，由勾股定理得到的值，从而可解．
（1）解：如图：作，垂足为，
由垂径定理知，点是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：如图：连接，
在中，，，
．
在中，
，，
，即小圆的半径为．
22．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°．
∵正方形ABCD中∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝90°－∠EDF＝45°
∴∠CDM＋∠FDC＝45°即∠FDM＝45°．∴∠EDF＝∠MDF．
在△DFE和△DFM中， ∴ ．
∴EF＝FM．
（2）解：设FC＝x，则FM＝x＋2＝EF．
在Rt△BEF中，BE＝6－2＝4，BF＝6－x，
∴42＋（6－x）2＝（x＋2）2．解得x＝3．
∴EF＝3＋2＝5．
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质和正方形的性质获取条件，利用 ∠EDF＝45° 来证明∠EDF＝∠MDF， 再用SAS证明全等；
（2） 设FC＝x ，再用x的代数式表示 FM ，在 Rt△BEF中用勾股定理构建方程求解。
23．已知，如图四边形AOBC为正方形，点C的坐标为(4 ，0)，动点P沿着折线OACB的方向以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点Q沿着折线OBCA的方向匀速运动，速度是2个单位长度每秒，运动时间为t秒，当他们相遇时同时停止运动．
（1）点A的坐标是 正方形AOBC的面积是 ．
（2）将正方形绕点O顺时针旋转45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积．
（3）运动时间t为多少秒时，以A、P、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？
（4）是否存在这样的t值，使△OPQ成为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2，2）；16
（2）由OC=4得，OA=OB=OC=AC=4，
旋转后可得OA′=OA=4，
∴A′C=4-4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，
∴△A′EC是等腰直角三角形，
∴A′E=A′C=4-4，
∴S四边形OA’EB=S△OBC-S△A’EC=16-16．
（3）解：当P在OA，Q在OB时，不存在；
当P在OA，Q在BC时，当AP=BQ时，又因为AO//BC，则四边形APBQ为平行四边形，如图，
AP=4-t，BQ =2t-4，
则4-t=2t-4，
解得t=.
即当t=时，四边形APBQ是平行四边形.
（4）存在，当Q点在BC上时，使OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，
则有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，
∴t=2（4-2t），
∴t=.
【解析】【解答】（1）在正方形OACB中，连接AB，交OC于D点，则OD=AD=OC=2，即A（2，2）.
正方形的面积为：=16.
故答案为：（2，2）；16.
【分析】（1）由正方形的对角线互相平分且垂直可得；
（2）画出图形，求S△OBC-S△A’EC的值即可；
（3）当P在OA，Q在BC时，才存在平行四边形；
（4）OP与OQ不能相等，所以只有OQ=PQ这种情况0
24． 如图，正方形的边长为，以为半径作圆，为弧上的一点，过
点作于点，连接、．
（1）求证：；
（2）连接，求的最小值．
【答案】（1）证明：延长，交圆于点D，连接，
为圆的直径，
，即，
正方形，
，即，
，
，
，
，
，
为的外角，
，
则；
（2）解：延长到，使，在下方作正方形，连接，此时，
要使最小，即为最小，如图所示，当、、三点共线，且在上时最小值为，
正方形的边长为，
，
，
，，
，即，
则的最小值为．
【解析】【分析】
(1)过O、A作直径AD，连接PD，可证∠POA=2∠D，再证明∠PAQ=∠D即可；
(2)延长QP到F，使PF=PQ，在PF下方作正方形PEGH，连接PG，当B、P、Q三点共线，且在OB上时PB+PQ的值最小，即为BG的值，结合OA=2可求出OB、PB、PQ，PG，从而得出BG。
25．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．
（1）求∠OAD的度数；
（2）求DE的长．
【答案】解：（1）如图，连接OD，
∵CD⊥AB，M是OA的中点，
∴CD垂直平分OA，
∴AD＝OD，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
（2）如图，连接OC，CF，EC，
由（1）得△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵CD⊥AB，M是OA的中点，
∴，CD垂直平分OA，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，
∴∠COD=120°，
∴
∵∠CDE＝45°，
∴是等腰直角三角形，
∵CD=6，
∴，∠CFE=90°，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意先证出CD垂直平分OA，由垂直平分线的性质得AD＝OD，从而得OA＝OD＝AD，根据等边三角形的判定证得△AOD是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得∠OAD=60°；
（2）连接OC，CF，EC，由（1）得∠AOD=60°，根据垂径定理得，CD垂直平分OA，然后根据圆周角定理、垂直平分线的性质求出∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，从而得∠COD=120°，根据圆周角定理求出，接下来证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，∠CFE=90°，解直角三角形求出EF的值，最后计算DE=EF+FD的值即可.
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