中小学教育资源及组卷应用平台
相似三角形 单元同步测试培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A． ：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1
2．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与△COD相似的是（ ）
A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD
C． D．
3．如图，在 中，点D在BC上一点，下列条件中，能使 与 相似的是（ ）
A．∠BAD＝∠C B．∠BAC＝∠BDA
C．AB2＝BD BC D．AC2＝CD CB
4．如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形ABCD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．不确定
7．已知A、B两地的实际距离AB=5km，画在图上的距离=2cm，则该地图的比例尺为（ ）
A．2:5 B．1:2500 C．1:250000 D．250000:1
8．如图，在直角坐标系中，的边OB在y轴上，，，点C在AB上，，且，若双曲线经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40cm2，那么它们的面积之和为（ ）
A．108cm2 B．104cm2 C．100cm2 D．80cm2
10．正方形ABCD的边长为4，P 为BC上的动点，连接PA，作PQ⊥PA，PQ交CD于Q，连接AQ ，则AQ的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=4m，AB在阳光下的影长BC=3m，在同一时刻阳光下DE的影长EF=4m，则DE的长为
米．
12．线段AB长为10cm，点C是AB的黄金分割点，则AC的长为 （结果精确到0.1cm）．
13．如图4，l1∥l2∥l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝ ，CN＝ .
14．如图，正方形 中， 绕点 逆时针旋转到 ， ， 分别交对角线 于点 ，若 ，则 的值为 ．
15．如图，在中，，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFG和正方形ACDE，CG交AB于点M，BD交AC于点N．若，则 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，M为BC边中点，E为AD边上的一动点，过点A作BE的垂线，垂足为F，连接FM，则FM的最小值为 .在线段FM上取点G，使GM＝ FM，将线段GM绕点M顺时针旋转60°得到NM，连接GN，CN，则CN的最小值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 已知线段 ，满足，且.
（1）求线段a，b的长.
（2）若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长.
18．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F，求旗杆AB的高度．
19．如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且．
（1）求证：；
（2）若与的周长之比是，，求的长．
20．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米.你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？
21．如图，点G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点D，过点G作EF∥AB交BC于E，交AC于F．若AB＝12，求EF．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．若AD、BD是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两个根，且S△ABC=20，求m的值？
23．如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
24．如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。
（1）证明∠EFG=90°．
（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。
（3）在点F整个运动过程中，
①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。
②连接EG，若 时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。
25．如图，在锐角三角形ABC中，，是的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO平分；
（2）若的半径为5，，求DC的长；
（3）若，求的值（用含m的代数式表示）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
相似三角形 单元同步测试培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A． ：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1
【答案】A
【解析】【解答】设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴ ，
∴大矩形与小矩形的相似比是 ：1；
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，根据对折后所得的矩形与原矩形相似可得比例式求解.
2．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与△COD相似的是（ ）
A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOB=∠COD，
A、∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB=∠COD，
∴△BOA∽△COD，故此选项不符合题意；
C、，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，并不能证明△AOB与△COD相似，故此选项符合题意；
D、，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；
故选C．
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，在 中，点D在BC上一点，下列条件中，能使 与 相似的是（ ）
A．∠BAD＝∠C B．∠BAC＝∠BDA
C．AB2＝BD BC D．AC2＝CD CB
【答案】D
【解析】【解答】 与 有一个公共角，即 ，
要使 与 相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可，
观察四个选项可知，选项D中的 ，
即 ，正好是 与 的两边对应成比例，符合相似三角形的判定，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定即可．
4．如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形ABCD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAH=90°，
∵△ADE和△BHA都是直角三角形，
∴∠AED=∠BHA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠DAE=∠ABH
∴△ADE∽△BAH，
∴
根据全等三角形性质设AE=CG=GH=EF=a，DE=EH=FC=BC=b，
∴AH=AE-EH=a-b，BH=GH+BG=a+b
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
∴
故答案为：C.
【分析】先证明△ADE和△BAH相似得，根据全等三角形性质设AE=CG=GH=EF=a，DE=EH=FG=BG =b，则AH=AE-EH=a-b，BH=CH+BG=a+b，，由勾股定理得，，由此得，据此即可得出与的值.
5．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=AB BC=AC BP，
∴BP= ．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE=x，则有： ，
解得x=，
故选：D．
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】【解答】解：法1：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD
∵矩形ABCD
∴AD⊥CD
∴△PEA∽△CDA
∴
∵AC=BD= =5
∴ …①
同理：△PFD∽△BAD
∴
∴ …②
∴①+②得：
∴PE+PF=
即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 ．
法2：连结OP．
∵AD=4，CD=3，
∴AC= =5，
又∵矩形的对角线相等且互相平分，
∴AO=OD=2.5cm，
∴S△APO+S△POD= ×2.5 PE+ ×2.5 PF= ×2.5（PE+PF）= ×3×4，
∴PE+PF= ．
故选：A．
【分析】过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∽△CDA和△PFD∽△BAD，根据 和 ，即 和 ，两式相加得PE+PF= ，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．
7．已知A、B两地的实际距离AB=5km，画在图上的距离=2cm，则该地图的比例尺为（ ）
A．2:5 B．1:2500 C．1:250000 D．250000:1
【答案】C
【解析】【解答】∵5千米=500000厘米，
∴比例尺=2:500000=1:250000；
故答案为：C.
【分析】根据比例尺的含义，计算得到答案即可。
8．如图，在直角坐标系中，的边OB在y轴上，，，点C在AB上，，且，若双曲线经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：BC＝，AB＝4，即C的横坐标是1．
∵在直角△ABO和直角△OBC中，∠ABO＝∠OBC，∠BOC＝∠A，
∴△ABO∽△OBC，
∴＝，
∴OB2＝AB BC＝4×1＝4，
∴OB＝2，
则C的坐标是（1，2 ），代入y＝ ，得：k＝2．
故答案为：D．
【分析】证明△ABO∽△OBC，求出OB，确定C的坐标，代入y＝ ，求出k．
9．已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40cm2，那么它们的面积之和为（ ）
A．108cm2 B．104cm2 C．100cm2 D．80cm2
【答案】B
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，
∵它们的面积之差为40cm2，
∴
解得：x=8，
∴它们的面积之和是：
故答案为：B．
【分析】根据已知两相似三角形的周长比可得两三角形的面积比为4：9，再根据它们的面积之差为40，就可分别求出它们的面积，然后求出它们的面积之和。
10．正方形ABCD的边长为4，P 为BC上的动点，连接PA，作PQ⊥PA，PQ交CD于Q，连接AQ ，则AQ的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ ，
设BP=x，CQ=y
即 ，
∴y＝﹣ +x＝﹣ +1(0＜x＜4)，
∵﹣ ＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝2时，y有最大值1cm.此时QD=3
在Rt△AQP中，
故AQ的最小值是5
故答案为：A.
【分析】设BP=x，CQ=y，根据△ABP∽△PCQ可得y关于x的二次函数，利用二次函数的性质，求得y的最大值情况，则QD最小，则AQ最小.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=4m，AB在阳光下的影长BC=3m，在同一时刻阳光下DE的影长EF=4m，则DE的长为
米．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∴DE=.
【分析】根据同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等， 列出比例，求出DE的长，即可求解.
12．线段AB长为10cm，点C是AB的黄金分割点，则AC的长为 （结果精确到0.1cm）．
【答案】6.2cm或3.8cm
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，
当AC＞BC时，
∴AC＝ AB，
而AB＝10cm，
∴AC＝ ×10＝（5 ﹣5）≈6.2cm．
当AC＜BC时，
AC ＝10﹣6.2＝3.8cm
故答案为6.2cm或3.8cm．
【分析】根据黄金分割比的定义，分情况讨论，当AC＞BC时，AC＝ ，当 AC＜BC时， .
13．如图4，l1∥l2∥l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝ ，CN＝ .
【答案】2.7；4.5
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：ND=2.7，
∴CD=CN+ND=1.8+2.7=4.5．
故答案为：4.5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得比例式求解。
14．如图，正方形 中， 绕点 逆时针旋转到 ， ， 分别交对角线 于点 ，若 ，则 的值为 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：在正方形 中， ，
∵ 绕点 逆时针旋转到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：16．
【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明 ，利用相似的性质即可得出答案．
15．如图，在中，，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFG和正方形ACDE，CG交AB于点M，BD交AC于点N．若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H，
∵，
∴，
，
，
，
设，，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H，先利用“AAS”证明可得，，再证明可得，求出，，再证明可得。
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，M为BC边中点，E为AD边上的一动点，过点A作BE的垂线，垂足为F，连接FM，则FM的最小值为 .在线段FM上取点G，使GM＝ FM，将线段GM绕点M顺时针旋转60°得到NM，连接GN，CN，则CN的最小值为 .
【答案】2；
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR= MO，将MR绕点M顺时针旋转60°得到MT，连接RT，TN，CT，RG.
∵MR= MO，MG= FM，
∴ ，
∴RG∥OF，
∴ ，
∴RG= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBM=90°，
∵AB＝4，BC＝ ，M为BC边中点，O为AB边中点，
∵OB=2，BM=2 ，
∴OM= =4，
∵FM≥OM-OF，
∴FM≥4-2=2，
∴FM的最小值为2，
∵tan∠BMO= ，
∴∠BMO=30°，
∵∠RMT=60°，
∴∠BMT=∠TMC=90°，
∵MT=MR= OM=3，
∴CT= ，
∵∠RMT=∠GMN=60°，
∴∠RMG=∠TMN，
在△RNG和△TMN中，
，
∴△RMG≌△TMN（SAS），
∴RG=TN= ，
∴CN≥CT-TN= ，
∴CN的最小值为 .
故答案为：2， .
【分析】如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR= MO，将MR绕点M顺时针旋转60°得到MT，连接RT，TN，CT，RG.求出TN，TC，根据CN≥TC-TN，可得结论.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 已知线段 ，满足，且.
（1）求线段a，b的长.
（2）若线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长.
【答案】（1）解：
∴设a=3k，b=2k，
（2）解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
【解析】【分析】(1)利用 可设a=3k，b=2k，则6k-2k=8，然后解出k的值即可得到a、b的值；
(2)根据比例中项的定义得到 然后根据算术平方根的定义求解.
18．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F，求旗杆AB的高度．
【答案】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，，CG∥BF
∴四边形，是矩形
（米）
（米）
即
解得（米）
（米）
答：旗杆的高度为17.5米．
【解析】【分析】易证四边形GBFC，GBEH是矩形，可得CF=HE=GB=3.5（米），从而求出DH=DE-EH=3.5米，由AB∥DE可证△AGC∽△DHC，利用相似三角形的性质可求出AC，根据AB=AC+GB即可求解.
19．如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且．
（1）求证：；
（2）若与的周长之比是，，求的长．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
∴；
（2）解：由（1）知：
，
，
，
，
与的周长之比是，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合即可证出；
（2）先证出可得，再结合 与的周长之比是， 求出，最后将AE的长代入求出AC的长即可.
20．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米.你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？
【答案】解：过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴ ，
∴AG＝ ＝6，
∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，
故电线杆AB的高为8米.
【解析】【分析】过C点作CG⊥AB于点G，把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可.
21．如图，点G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点D，过点G作EF∥AB交BC于E，交AC于F．若AB＝12，求EF．
【答案】解：∵点G是△ABC的重心，
∴DG：AG＝1：2，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AB，
∴＝，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴＝，∴＝，
∴＝，
∵AB＝12，
∴EF＝8，
【解析】【分析】由重心定理得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例得＝，进而推出＝，即可得EF＝8.
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．若AD、BD是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两个根，且S△ABC=20，求m的值？
【答案】解：∵AD、DB的长是方程x2﹣10x+m=0的根，
∴AD+DB=AB=10，AD DB=m；
∵△ABC的面积为20，
∴S△ABC=CD AB=CD×10=20；
∴CD=4；
∵在直角△ABC中，Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴CD：BD=AD：CD；
∴CD2=AD DB=m=16，
∴m=16．
【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系及相似三角形的性质求得CD的长，再根据直角三角形高与斜边的关系求得m的长．
23．如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
【答案】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，
∴DP＝OP＝灯高．
在△CEA与△COP中，
∵AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP．
∴△CEA∽△COP，
∴ ．
设AP＝xm，OP＝hm，则 ，①，
DP＝OP＝2+4+x＝h，②
联立①②两式，
解得x＝4，h＝10．
∴路灯有10m高．
【解析】【分析】先根据竹竿和影长之间的数量关系求得∠D＝45°，∠POC=30°，找到DC与灯高之间的数量关系CD=OP，根据线段之间是和差关系得到DC=DB+BA-CA，代入对应数据即可求出CD长为5米，从而求出灯高为10米。
24．如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。
（1）证明∠EFG=90°．
（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。
（3）在点F整个运动过程中，
①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。
②连接EG，若 时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。
【答案】（1）证明：连结 EG，
在正方形 ABCD 中，得∠C=90°
∴EG 为⊙O 的直径
∴∠EFG=90°
（2）解：如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADF=45°，MN=AD，
∴ND=NF，
∴AN=FM，
∵∠MFG=∠AFN，∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN，
∴∠MFE=∠FAN，
∴△AFN≌△FEM（AAS），
∴FN=AM，EM=FN，
设AN=x， 则ND=EM=BM-BE=x-1，
∵AN+ND=4，
∴x+x-1=4，
∴x=，
∴FN=EM=BM-BE=-1=，
∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.
（3）①1）如图，当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，
∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG，
∴∠EFH=∠IFG，
∴△EHF≌△GIF（AAS），
∴FH=FI，
又∵FH=BH，
∴BH=FI=HC=2，
∴BF=BH=2.
2）当CG=EF时，
∵EF=CG，
∴FG∥EC，
∵∠C=90°，
∴∠EFG=90°，∠FEC=90°，
∴四边形FECG为矩形，
又∵EF=BE，
∴BF=BE=.
3）当FG=CG，如图，过F点作FN⊥BC，
∵FG=CG，
∴∠FEG=CEG，
∵∠C=∠EFG=90°，
∴∠FGE=∠CGE，
∴EF=EC=BC-BE=4-1=3，
设EN=x，
则FN=BN=x+1，
∵EF2=FN2+EN2，
∴32=(x+1)2+x2，
解得x=，
则BN=，
BF=EN=.
②如图，作FH⊥EC，FK⊥CD，
△FKG∽△FHE，
∴，
设FH=k， 则FK=2k，
∴BH=FH=k，
∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4，
∴k=，
∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=，
∴∴EG=，
∴r=.
【解析】【分析】（1） 连结 EG，由90°的圆周角所对的弦为直径，可知EG为圆O的直径，于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90° .
（2）如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，利用正方形的性质，结合等角的余角相等，用角角边定理证明△AFN≌△FEN，∴FN=AM，EM=FN，设AN=x， 把ND用含x的代数式表示，根据AN+ND=4，求出x， 则FN可求，于是可求△ADF的面积.
（3） ① 分三种情况讨论，1）当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，利用角角边定理证明△EHF≌△GIF，则对应边FH=FI，BH=FI=HC=2， 于是BF的长度可求；当CG=EF时，易证四边形FECG为矩形，则BF=2BE；当FG=CG，过F点作FN⊥BC，根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC，从而求出EF的长，于是利用勾股定理求出FN的长，则BF的长可求.
② 设FH=k， 根据相似的性质，把相关线段用含x的代数式表示，得出BC=k+2k=4， 求出k值，则CG的长度可求，从而利用勾股定理求出直径，则半径可知.
25．如图，在锐角三角形ABC中，，是的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO平分；
（2）若的半径为5，，求DC的长；
（3）若，求的值（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）证明：如图，过点O作于点M，作于点N．
，
，
∴OM=ON，
平分；
（2）解：由（1）可知，∠OAD=∠OAB，
，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OAD=∠OBA，
∵∠ADO=∠BDA
∴，
，
解得，
∵，
∴，
，，
CD=1.5；
（3）解：延长BD交圆于点E，连接CE，设，
，
，，
∵∠ACE=∠ABO，
由（2）得，∠OAD=∠OBA，
∴∠ACE=∠DAO，
∴OA∥CE，
∴
【解析】【分析】（1）本题可采用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这个定理，AB=AC，在同圆或等圆中，等弦相等对应弦心距也相等，过点O作OM⊥AB，，则OM=ON，故AO平分∠BAC；
（2）由（1）可知∠DAO=∠OAB=∠OBA，又∠ADO=∠BDA，可得，故ADBD=DODA=AOBA，即6DO+5=DO6=5BA，先求DO=4，再求AB=7.5，于是CD=7.5-6=1.5；
（3）要求 ，可构建AD与CD成对应边的相似三角形，延长BD交圆于点E，连接CE，则∠DAO=∠OAB=∠OBA=∠DCE，得OA∥CE，所以△DAO∽△DCE，ADDC=ODDE.由ODOB=m，可得，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
