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解直角三角形 单元综合达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
2．计算2cos 30°的值为 （ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15 km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A的距离为（ ）
A． km B．15 km C． km D．15 km
4．正六边形的边长为 ，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知大桥主架顶端离水面的高CD＝a，则此时测量点与大桥主架的水平距离AB为（ ）
A．asinα+asinβ B．atanα+atanβ
C． D．
6．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200 米
C．220 米 D．100（ +1）米
7．3tan30°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
8．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
9．一个圆形人工湖如图所示，弦 是湖上的一座桥，已知桥 长120，测得圆周角 ，则这个人工湖的直径 为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将两张全等的直角三角形纸片与和一张矩形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形（其中B、E、H三点共线，D、G、F三点共线），且，连接，若知道平行四边形的面积，就能求以下（ ）的面积．
A． B． C． D．矩形
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．互余的两个锐角三角函数之间的关系：sin（90°﹣A）= ，cos（90°﹣A）= ，tan（90°﹣A）= ，cot（90°﹣A）= ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sinA的值为 ．
13．已知在 Rt 中， ，则 的值为 .
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA= ．
15．如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ．
16．如图，把正方形ABCD的边DA绕点逆时针旋转，得到线段DF，连接BF并延长交DA于点，连接CE，若，则的值是 。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，一艘渔船以海里/时的速度由西向东航行．在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．已知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？
18．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：，，，）
19．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．
20．居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为，底部的俯角为：又用绳子测得测角仪距地面的高度为.求该大楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，）
21．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从 处平行飞行至 处需10秒，在地面 处同一方向上分别测得 处的仰角为 ， 处的仰角为 ，已知无人飞机的飞行速度为5米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）.
22．如图，测得两幢楼之间的距离为，从楼顶观测点的俯视角为，点的俯视角为．求这两幢楼的高度（精确到）
（参考数据：）
23．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
24．如图，在菱形和菱形中，P是线段的中点，连接，，若，证明：且．
25．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．
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解直角三角形 单元综合达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
所以tanB＝＝，
故答案为：B.
【分析】利用锐角三角函数的定义，一个锐角的正切函数值等于其对边比邻边，可得到tanB的值.
2．计算2cos 30°的值为 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：2cos30°=2× = .
故答案为：B.
【分析】由特殊角的三角函数值可得cos30°=，然后代入计算即可.
3．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15 km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A的距离为（ ）
A． km B．15 km C． km D．15 km
【答案】A
【解析】【解答】过点A作AM⊥OB于M，
在Rt△ABD中，∠AMO=90°，∠MOA=45°，∴∠MAO=45°=∠MOA，∴MA=MA，
∵∠MAO=45°，∴∠MAB=45°+15°=60°，
∵∠MAB=90°，∴∠B=90°-∠MAB=30°，∴AM= AB= ，
∴AO= = ，
故答案为：A.
【分析】由题意将OA放在直角三角形中即可求解，所以可作辅助线，过点A作AM⊥OB于M，然后解直角三角形AMO即可求解。
4．正六边形的边长为 ，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距
∵
∴△OAB是正三角形.
∵OC＝OA sin∠OAB＝ ，
∴S△OAB＝ AB OC＝ ，
∴正六边形的面积为 .
故答案为：D.
【分析】由题意画出图形，设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，由正多边形的性质可得△OAB是正三角形，解直角三角形OAC可求得OC的长，然后根据S正六边形=6×S△AOB可求解.
5．如图所示，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知大桥主架顶端离水面的高CD＝a，则此时测量点与大桥主架的水平距离AB为（ ）
A．asinα+asinβ B．atanα+atanβ
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，tan ，
∴BC＝AB tanα，
在Rt△ABD中，tanβ＝ ，
∴BD＝AB tanβ，
∴CD＝a＝BC+BD＝AB tanα+AB tanβ．
∴AB＝ ．
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数即可求解．
6．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200 米
C．220 米 D．100（ +1）米
【答案】D
【解析】【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA= ，
∴AD= = =100
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=CD=100米，
∴AB=AD+DB=100 +100=100（ +1）米．
故选D．
【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
7．3tan30°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：3tan30°=3×=．
故选：C．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
8．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：假设AC=x，
∴BC=x，
∵滑梯AB的长为3m，
∴2x2=9，
解得：x=，
∵∠D=30°，
∴2AC=AD，
∴AD=3．
故选C．
【分析】根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可．
9．一个圆形人工湖如图所示，弦 是湖上的一座桥，已知桥 长120，测得圆周角 ，则这个人工湖的直径 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点O作 于点E，连接OB，如图
∵ ， ，
∵OA=OB，∴ ，
∵ ，AB=120，
∴ ，
在 中， ，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由圆周角定理可得∠AOB=120°，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠OAE的度数，根据含30°直角三角形的边之间的关系求出AE，根据三角函数的概念可得OA，进而求得AD.
10．如图，将两张全等的直角三角形纸片与和一张矩形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形（其中B、E、H三点共线，D、G、F三点共线），且，连接，若知道平行四边形的面积，就能求以下（ ）的面积．
A． B． C． D．矩形
【答案】C
【解析】【解答】如图，连接FH、BD交于点O，连接AO，
知，ABH=30，EHF=60，故AHF=90，故HF||AB，
ABCD为平行四边形，AB||CD得∠ABD=∠CDO，而∠ABH=∠CDF，得∠OBH=∠ODF，
又BH=DF，∠BOH=∠FOD，
△BOH≌△DOF，得OB=OD，即O为BD的中点；
，
而AB||HF，
故
故
当知道平行四边形的面积，便可求△ABH的面积.
【分析】先根据比例可求∠ABH、∠AHB、∠EHF为特殊角，得到HF||AB，由△BOH≌△DOF可得O为BD的中点，即可通过中点转化△ABH的面积.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．互余的两个锐角三角函数之间的关系：sin（90°﹣A）= ，cos（90°﹣A）= ，tan（90°﹣A）= ，cot（90°﹣A）= ．
【答案】sin（90°﹣A）=cosA；cos（90°﹣A）=sinA；tan（90°﹣A）=cotA；cot（90°﹣A）=tanA．
【解析】【解答】解：根据互为余角的锐角三角函数关系式，知sin（90°﹣A）=cosA|
cos（90°﹣A）=sinA|tan（90°﹣A）=cotA|cot（90°﹣A）=tanA．
【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；一个角的正切值等于它的余角的余切值．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sinA的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
∴sinA= = = ；
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，然后根据正弦的定义即可求解．
13．已知在 Rt 中， ，则 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得
，，
，
设，则，，
，
故答案为：
【分析】先根据题意画出直角三角形，进而根据正弦函数得到，设，则，根据勾股定理即可表示出AC，再相比即可求解。
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA= ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，
∴tanA= ，
∵2b=3a，
∴ = ，
∴tanA= ．
故答案为： ．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA= ，然后根据题目所给2b=3a可求解．
15．如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
在中，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
，
外接圆半径的最小值为．
故答案为：．
【分析】作的外接圆，连接，，垂足分别为点，由圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，结合已知，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据锐角三角函数sin∠ABC=求出AM的值，在Rt△ABM中，用勾股定理求得BM的值，设的半径为，则，结合比例式可将OG用含r的代数式表示出来，再根据垂线段最短即可求解．
16．如图，把正方形ABCD的边DA绕点逆时针旋转，得到线段DF，连接BF并延长交DA于点，连接CE，若，则的值是 。
【答案】
【解析】【解答】解：连接AF， CF， 过F作. 于H， 如图：
∵边DA绕点D逆时针旋转 得到线段DF，
∵四边形ABCD是正方形，.
是等边三角形，
∵AD=DF=CF = BC，
∴△ADF≌△BCF(SAS)，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA，
∴90°-∠FAB=90°-∠FBA， 即∠FAE =∠FEA，
∴AF=EF，
∴BF=EF，
∵∠BAE=90°=∠FHE，
∴HF∥AB，
，
，
故答案为：
【分析】连接AF， CF， 过F作 于H， 求出 可得 再证 ≌知 从而可证 ， 又 故得 最后用勾股定理可得 的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，一艘渔船以海里/时的速度由西向东航行．在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．已知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？
【答案】这艘渔船继续向东航行，没有进入危险区域的可能
18．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：，，，）
【答案】解：如图，延长EF交AG于点H，则，
过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，
∴，．
由，可设，则，
由可得，
解得或（舍去），
∴，，
设米，米，
在中，
即，则①
在中，，
即②
由①②得，．
答：塔顶到地面的高度EF约为47米
【解析】【分析】延长EF交AG于点H，过点B作于点P，易证四边形BFHP为矩形，利用矩形的性质可证得FB=HP，FH=BP，利用坡比的定义，设，利用勾股定理求出x的值，可得到BP、AP的长；设米，米，再利用解直角三角形求出a与b的数量关系，同时可得到关于b的方程，解方程求出a、b的值，可得到a的值.
19．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．
【答案】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD=90°﹣45°=45°，∠ACD=90°﹣30°=60°，
∵CD⊥AB，CD=100米，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=100米，
在Rt△ACD中，
∵CD=100米，∠ACD=60°，
∴AD=CD tan60°=100× =100 （米），
∴AB=AD+BD=100 +100=100（ +1）米．
答：AB两点的距离是100（ +1）米．
【解析】【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．
20．居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为，底部的俯角为：又用绳子测得测角仪距地面的高度为.求该大楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，）
【答案】解：作AH⊥CD于H，如图：
则四边形ABDH是矩形，
∴HD＝AB＝31.6m，
在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan∠HAD＝，
∴AH＝≈40.51（m），
在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，
∴CH＝AH＝40.51m，
∴CD＝CH＋HD＝40.51＋31.6≈72.1（m），
答：该大楼的高度约为72.1m.
【解析】【分析】作AH⊥CD于H，易证四边形ABDH是矩形，利用矩形的性质可求出HD的长，在Rt△ADH中，利用解直角三角形求出AH的长；在Rt△ACH中，利用等腰直角三角形的性质可求出CH的长，然后根据CD=CH+HD，代入计算求出CD的长.
21．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从 处平行飞行至 处需10秒，在地面 处同一方向上分别测得 处的仰角为 ， 处的仰角为 ，已知无人飞机的飞行速度为5米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）.
【答案】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CM，
∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，
∵AB=50m，
∴AD=CD= =25m，BD=AB cos30°= m，
∴BC=CD+BD=（ +25）m，
则BH=BC sin30°= m，
这架无人机的飞行高度 米
【解析】【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长.
22．如图，测得两幢楼之间的距离为，从楼顶观测点的俯视角为，点的俯视角为．求这两幢楼的高度（精确到）
（参考数据：）
【答案】解：过点D作DF⊥AB于F点，
在Rt△ABC中，∠ACB=∠CAE=45°，
∴AB=BC×tan∠ACB=25.4×tan45°=25.4(m)．
在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAE=35°，DF=BC=25.4(m)
∴AF=DF×tan∠ADF=25.4×tan35°≈25.4×0.70=17.78(m)．
∴CD=AB AF=25.4 17.78=7.62≈7.6(m)．
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于F点，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用三角函数进行计算，进而可求出答案．
23．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【答案】解：∵∠C=30°，∠ADB=60°，∴∠DAC=30°，∴AD=CD，∵CD=20米，∴AD=20米，在Rt△ADB中，=sin∠ADB，∴AB=AD×sin60°=20×=米．
【解析】【分析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可．
24．如图，在菱形和菱形中，P是线段的中点，连接，，若，证明：且．
【答案】证明：如图，延长到H，使．连接，，．
∵，，
∴
∴，，
∴ ．
∵，
．
∵，，
∴．
∴
∴
∵，
，
∴．
又，，
．
，．
∴．
∴．
即是等边三角形
中，
∴．
【解析】【分析】 如图，延长到H，使．连接，，． 根据已知求， 从而得到，由平行的性质得出进而得出由三角形内角和得 从而求证得出 和，再利用等边三角形三线合一得出垂直，最后利用锐角三角函数即可求出。
25．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．
【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如图所示，
由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，
∴CM= 米，
DN= 米，
∴AB=CD+DN﹣CM=100+20 ﹣60=（40+20 ）米，
即A、B两点的距离是（40+20 ）米．
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB=CN﹣CM，从而可以求得AB的长．
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