2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第五章 一次函数 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知在一条笔直的道路上顺次有、、三地，且、两地之间的距离为，甲、乙两车分别从地，地同时出发，沿这条笔直道路前往地，甲车到达地后立即以原速沿原路返回，乙车到达地后停止运动.两车距地的距离，与甲车行驶的时间之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．去程时 D．两车在时第一次相遇
5．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱
B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱
C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长
D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱
6．已知： 一次函数的图像经过点和点 且， 则它的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（ ）
A． B．
C． D．
8．已知一次函数（是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，先将直线关于轴作轴对称变换，再将所得直线关于轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城距离（千米）与甲行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．其中正确的结论是①A，B两城相距千米；②甲车的速度是．乙车的速度是；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或．（ ）
A．①② B．①③④ C．① D．①④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ．
12．函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点，点P为直线上一动点，当值最小时，点P的坐标为 ．
14．如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接）
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ．
16．已知函数是关于x的一次函数，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知一次函数的图像经过，两点．
(1)求这个一次函数的关系式；
(2)试判断点是否在这个一次函数的图像上．
18．在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格：
刹车前汽车的速度：（千米/小时）
滑行距离：（米）
(1)当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？
(2)据了解 ，请求出与的函数关系式；
(3)若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？
19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线与直线交于点．
(1)求直线与的函数表达式．
(2)求的面积．
(3)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系．
(1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时；
(2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围；
(3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案．
21．已知函数，m为常数．
(1)若该函数的图象与直线平行，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
22．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量间的关系如表：
所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6
弹簧的长度 12 13
(1)补充上面的表格．
(2)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是，因变量是．
(3)在弹性限度内，如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式．
(4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点．
(1)直线的函数表达式为_____．
(2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标．
24．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
(1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ．
(2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标．
(3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级上册
第五章 一次函数
单元测试·冲刺卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.94 识别一次函数
2 0.85 正比例函数的图象；根据一次函数解析式判断其经过的象限
3 0.75 根据一次函数的定义求参数
4 0.74 从函数的图象获取信息；行程问题(一次函数的实际应用)；求一次函数解析式
5 0.65 求一次函数解析式；分配方案问题(一次函数的实际应用)
6 0.65 根据一次函数解析式判断其经过的象限；根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
7 0.65 一次函数图象平移问题；求一次函数解析式
8 0.64 求一次函数自变量或函数值；一次函数图象与坐标轴的交点问题
9 0.64 求一次函数解析式；坐标与图形变化——轴对称
10 0.4 从函数的图象获取信息；行程问题(一次函数的实际应用)
知识点分布
二、填空题
11 0.85 两直线的交点与二元一次方程组的解
12 0.75 分式有意义的条件；求自变量的取值范围
13 0.65 一次函数与几何综合；等边对等角；根据成轴对称图形的特征进行求解；坐标与图形变化——轴对称
14 0.65 从函数的图象获取信息；正比例函数的性质
15 0.64 用勾股定理解三角形；等腰三角形的定义；一次函数图象与坐标轴的交点问题
16 0.64 根据一次函数的定义求参数
知识点分布
三、解答题
17 0.94 求一次函数自变量或函数值；求一次函数解析式
18 0.85 函数解析式；求自变量的值或函数值；算术平方根的实际应用；用表格表示变量间的关系
19 0.75 求一次函数解析式；一次函数与几何综合
20 0.65 从函数的图象获取信息；行程问题(一元一次方程的应用)；行程问题(一次函数的实际应用)
21 0.65 已知函数经过的象限求参数范围；求一次函数解析式；求不等式组的解集
22 0.65 求自变量的值或函数值；求一次函数解析式；函数解析式；用表格表示变量间的关系
23 0.64 求一次函数解析式；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
24 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用勾股定理的逆定理求解2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第五章 一次函数 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B B C B D C
1．C
此题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义（形如）进行判断即可
∵一次函数需满足，
A：，x在分母，不符合；
B：，x次数为2，不符合；
C：，符合；
D：，为常数函数，，不符合;
故选C
2．D
根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
本题考查了一次函数、正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是关键．
解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故D选项正确，A选项错误；
当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，B、C选项错误；
故选：D
3．B
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解．
解：根据题意得，且，
解得且，
所以，．
故选：B．
4．D
本题主要考查一次函数的应用、行程问题、求解函数解析式以及相遇问题，解题的关键是分析函数图像，确定甲、乙的速度，利用待定系数法求函数解析式．根据甲车往返路程与时间关系求，再利用待定系数法求函数解析式，通过列方程求相遇时间及时间间隔．
、由题意知，甲车往返路程相同，从出发到返回共用小时，所以到达地的时间小时，故错误；
、乙车小时行驶千米，根据速度公式可得乙车速度为，所以乙车距地的距离，故错误；
、甲在去程时小时行驶千米，根据速度公式可得去程甲车速度为，甲在去程距地的距离，故错误；
、两车第一次相遇时，乙车距地的距离等于甲车距地的距离，即，解得，故正确；
故选：．
5．B
本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25小时之后A方式的函数关系式，令求出x的值与30进行比较，数形结合即可判断．
解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确．
B、设25小时之后A方式的函数关系式为，
由题意可得，解得，
∴函数关系式为，
令，解得，
∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误．
C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确．
D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确．
故选：B．
6．B
本题考查了一次函数的性质，结合一次函数的性质即可得出与y轴交于负半轴，再根据，，可得，此题得解．
解：∵一次函数，
当时，，
∴与y轴交于负半轴，
∵，，
∴，过二四象限，
可知B正确，
故选：B．
7．C
本题考查了一次函数的平移性质及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数平移时的规律．
根据直线平移性质设直线的解析式为；由及是与轴交点，确定点坐标为；将点坐标代入解析式求出的值，进而得到的解析式．
解：∵ 直线由直线向上平移得到，
∴ 设直线的解析式为．
∵ 直线与轴交于点，且，
∴ 点的坐标为．
将代入，得，解得．
∴ 直线的解析式为．
故选：C．
8．B
本题考查了一次函数的图像与性质．熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
由条件 得 ，代入一次函数 ，通过消元法找到点坐标使等式恒成立即可．
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
当 时，，
∴ 无论 取何值（），函数图象必经过点 ．
故选：B．
9．D
本题主要考查一次函数的图象与性质及轴对称的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及轴对称的性质是解题的关键；先得出直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，然后根据坐标关于坐标轴对称的特点得出变换后的函数解析式即可．
解：令时，则，解得：；
令时，则；
∴直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，
当直线关于轴作轴对称变换，则变换后的直线与x轴、y轴的交点坐标分别为；当变换后的直线再作关于轴的轴对称变换，则变换后的直线与x轴、y轴的交点坐标分别为；
设此时直线的解析式为，则有：，
解得：，
∴此时直线的解析式为；
故选：D．
10．C
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．由图象可直接判断①正确；用路程除以时间可得甲、乙的速度，即可判断②错误；乙车追上甲车时，，可解得此时乙出发，判断③错误；当甲乙两车相距千米时，应该分四种情况讨论，故④错误．
解：由图象可得：，两城相距千米，故①正确；
甲车的速度为，乙车的速度是，故②错误；
乙车追上甲车时，，
解得，
此时乙出发，故③错误；
当乙还没出发时，甲行驶了千米，两车相距千米，此时，，
当甲车在乙车前面时，由得，
当乙车在甲车前面时，由得，
乙车到终点了，甲车离终点千米，此时，
甲、乙两车相距千米时，或或或，故④错误，
正确的有①，
故选：C．
11．
本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
方程组的解为P点的横纵坐标．
解：∵直线：与直线：相交于点
将代入得，
∴，
∴方程组的解是，
故答案为：．
12．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为是解题的关键．根据分式有意义的条件：分母不为进行解答即可．
解：∵有意义，
∴，
解得．
故答案为：
13．
本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先求出，，则可得，，再作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点，则可得点即为所求，然后求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立求解即可得．
解：将代入得：，即，
∴，
将代入得：，解得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点，
则，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线，即点与点重合时，的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
即当值最小时，点的坐标为，
故答案为：．
14．
本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小．
根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系．
解：∵ 正比例函数的图像特征为：
图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，；
直线越靠近轴，|k|越大．
∴ 由图像可知：①过第一、三象限，故；
②③过第二、四象限，故，；
②比③更靠近轴，故，
负数比较大小，绝对值大的数更小，故．
综上，．
故答案为：．
15．或或
确定，，得，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可．
解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，如图，
∴，
在中，，
∴，
∴；
②当时，如图，
在中，，，
∴，
∴；
③当时，如图，
∵轴与轴互相垂直，即，
∴，
∴，
综上所述，的长为或或．
本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
16．
本题考查的是一次函数的定义，由定义可得，且，从而可得答案．
解：函数是关于x的一次函数，
则，且，
解得，
故答案为：．
17．(1)
(2)点不在一次函数的图象上
本题考查了一次函数的解析式和代入求值的知识点．
（1）由一次函数的图像过，两点，可求一次函数解析式；
（2）把代入（1）的函数解析式即可判断．
（1）解：设一次函数关系式为，把，代入得：，
解得：
∴这个一次函数的关系式为；
（2）解：∵当时，，
不在这个一次函数的图像上．
18．(1)
(2)
(3)
本题通过对表格数据的分析，利用给定公式求解函数关系式及相关问题，考查了对函数概念的理解和应用，算术平方根的应用；
（1）直接从表格中查找对应数据；
（2）利用表格中一组数据代入公式求出，进而得到函数关系式；
（3）将的值代入函数关系式求解．
（1）解：从表格中可以直接看出，当汽车速度千米小时，米．
答：当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是米．
（2）解：把，代入，
得到，即，
解得，
∴；
（3）解：把代入，
得到，即．
因为速度，所以千米/小时．
19．(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为
(2)
(3)存在，点P坐标为或
（1）由点A和点E坐标可求出直线函数表达式，再求出点C坐标，根据点C和点E坐标可求出直线函数表达式；
（2）分别求出点B和点D坐标，进而根据面积公式求解即可；
（3）分类讨论，点P在点E上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键．
（1）设表达式为，将点，代入得，
，解得，
直线函数表达式为；
由题可知，
，
设直线表达式为，将，代入得，
，解得，
直线函数表达式为；
（2）令：，得，
，
令：，得，
，
，
；
（3）当点P在点E上方时，如图，
此时，
，
解得，
此时，
；
当点P在点E下方时，如图，
此时，
，
解得正值舍去，
此时，
；
综上，满足题意的点P坐标为或．
20．(1)60，120
(2)
(3)或或
本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键．
（1）根据速度路程时间求解即可；
（2）用返回时行驶的速度表示即可；
（3）根据题意分3种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可．
（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时），
甲车从A地到B地的速度是（千米/时），
甲车返回时的速度是（千米/时）；
（2）解：根据题意得，，
（小时），
∴（小时），
∴自变量的取值范围是；
（3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）；
当4小时时，甲车到达B地，
当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）；
当甲返回时，，
解得（小时），
综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米．
21．(1)1
(2)
本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式（组），掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）两直线平行，则两直线的解析式中x的系数相等，据此解答即可；
（2）一次函数图象不经过第二象限，即函数图象经过一、三、四象限或只经过一、三象限，则x的系数为正数，常数项为负数或零，据此解答即可．
（1）解：∵函数的图象平行于直线，
，
；
（2）解：函数是一次函数，且不经过第二象限，
∴且，
∴，
∴m的取值范围是．
22．(1)见解析
(2)所挂物体的质量,弹簧的长度
(3)
(4)
本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值，理解题意是解题关键
（1）根据表格找出规律即可求解；
（2）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案；
（3）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可；
（4）根据（3）所求求出当时，的值即可得到答案．
（1）解：根据题意所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长0.5厘米，
∴当所挂物体质量为4千克时，弹簧的长度为(厘米)；
当所挂物体质量为6千克时，弹簧的长度为(厘米)；
补全表格如下：
所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6
弹簧的长度 12 13 14 15
（2）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长，
∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度，
故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度；
（3）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，
∴；
（4）解：当，
解得：，
∴该弹簧最多能挂质量为的物体．
23．(1)
(2)点C的坐标为或或．
本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可．
（1）解：设直线的函数解析式为，
把，代入，得：，
解得，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
当时，且点在点的上方，如图：
∴，，即轴，
∴，即，
∴；
当时，且点在点的上方，如图：作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
当时，
∴；
当时，且点在点的下方，如图：
同理，；
综上，点C的坐标为或或．
24．(1)①是；②或
(2)或
(3)
本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力．
（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可；
（2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可；
（3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可．
（1）解：①∵点，
∴，
∵，
∴，
∴，
则是2的“等垂点”，
故答案为：是．
②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E，
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示：
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴，，，，
同理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或．
（2）解：设
当时，如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即或，
∵点在上，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
当时，如图，过作轴于点，
同理可得或，
∵点在上，
∴或，
解得(舍)或，
∴．
综上所述：或．
（3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
∴直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴．
