2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列变形错误的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
4．《九章算术》中，注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．小圳完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对一题记作：分，答错一题或不答记作：分．若小圳最后得40分，请问小圳最后答对（ ）题．
A．4 B．6 C．5 D．7
5．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（ ）
①关于x的方程是一元一次方程；
②关于x的方程的解为；
③当互为相反数时，关于x的方程的解是．
A．③ B．①② C．②③ D．①②③
6．将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（ ）
A．504 B．505 C．506 D．507
7．如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（ ）
A． B． C． D．
8．关于的方程的解是整数，则所有满足条件的正整数k的值之和（ ）
A．12 B．13 C．18 D．19
9．一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了8小时．已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程是（ ）千米．
A．50 B．38 C． D．32
10．已知数轴上两定点A，B对应的数分别为和10，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A，B同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒1.6个单位长度和2个单位长度，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒，……，按如此规律，则它们第一次相遇所需的时间为（）
A．19秒 B．9秒 C．36秒 D．45秒
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
12．已知数轴上的原点记为，数轴上点，在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点在数轴上移动2个单位到点处，将点向相反方向移动1个单位到点处，若点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是 ．
13．一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了 场单打比赛、 场双打比赛．
14．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ．
15．规定关于x的一元一次方程的解为，称该方程是“郡园方程”，如：的解为，该方程是“郡园方程”．若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，则 ．
16．根据如图所示的计算程序，若输出的值，则输入的值 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）化简：；
（2）解方程：
18．江津某中学组织七年级学生共80人到图书馆帮忙整理图书，其中女生人数比男生人数的少4人．如果男生单独整理，需要4个小时，如果女生单独整理，需要6个小时．
(1)男生、女生各多少人？
(2)若由男生、女生一起整理2小时，再由男生单独整理剩下的部分，求男生共整理了多少时间？
19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．
(1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值；
20．春季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用240000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下：
销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
每天的销售量（单位：双）
(1)这七天共销售运动鞋多少双？
(2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？
(3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按八折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计）
21．为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值．
22．若方程是关于x的一元一次方程．
(1)求k的值；
(2)判断，，是否是方程的解．
23．若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”．
(1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是_____；（填写序号即可）
(2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值；
(3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值．
24．已知长方形，如图所示放置在数轴上，点与表示的点重合，与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积．
(1)___________．
(2)若点表示的数为，则___________．
(3)若，则点表示的数为多少？
(4)若点与表示的点重合，将长方形沿着数轴向左移动，当点表示的数为多少时，，直接写出结果．(共5张PPT)
浙教版2024 七年级上册
第五章 一元一次方程
单元测试·培优卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 判断是否是一元一次方程
2 0.85 等式的性质2；等式的性质1
3 0.75 判断是否是一元一次方程；判断是否是一元一次方程解
4 0.74 比赛积分(一元一次方程的应用)
5 0.65 判断是否是一元一次方程；一元一次方程解的关系；相反数的定义
6 0.65 图形类规律探索；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
7 0.65 无理数的大小估算；利用平方根解方程
8 0.65 已知一元一次方程的解，求参数；解一元一次方程（三）——去分母
9 0.64 已知式子的值，求代数式的值；等式的性质2
10 0.4 数轴上两点之间的距离；数轴上点的平移（动点问题）；行程问题(一元一次方程的应用)；数轴上的规律探究
知识点分布
二、填空题 11 0.85 判断是否是一元一次方程解
12 0.75 数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）；绝对值的几何意义
13 0.74 比赛积分(一元一次方程的应用)
14 0.65 已知一元一次方程的解，求参数
15 0.65 解一元一次方程（三）——去分母；已知方程的解，求参数
16 0.64 程序流程图与有理数计算；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元一次方程（三）——去分母；整式的加减运算
18 0.85 工程问题(一元一次方程的应用)
19 0.75 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（二）——去括号
20 0.65 有理数四则混合运算的实际应用；销售盈亏(一元一次方程的应用)
21 0.65 比例分配(一元一次方程的应用)
22 0.65 判断是否是一元一次方程；判断是否是一元一次方程解
23 0.64 已知一元一次方程的解，求参数；一元一次方程解的关系
24 0.4 数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第五章 一元一次方程单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B A C C D D D
1．C
本题考查一元一次方程的定义，理解掌握定义是解答的关键．
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可．
解： A：含有两个未知数x和y，故选项不符合题意；
B：方程中含分式，不是整式方程，故选项不符合题意；
C：只含未知数x，且x的次数为1，等式两边均为整式，符合定义，故选项符合题意；
D：未知数x的最高次数为2，故选项不符合题意．
故选：C．
2．D
本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．
解：A、，则：，正确，不符合题意；
B、，则：，正确，不符合题意；
C、，则：，正确，不符合题意；
D、，当时，，原变形错误，符合题意；
故选D．
3．B
本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案．
解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
∴，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．B
本题考查一元一次方程的实际应用，设答对题数为x，则答错或不答题数为，根据得分规则列方程求解即可．
解：设答对题数为x，则答错或不答题数为，
由题意，得，
解得．
因此，小圳答对6题；
故选：B．
5．A
本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键．
解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误；
②当时，关于x的方程的解为，故②错误；
③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意；
故选：A．
6．C
此题主要考查了图形的变化类规律问题，根据正方形的个数变化的规律，以此类推，可得第次正方形个数，即可求解．
解：第次：分别连接各边中点如图，得到个正方形；
第次：将图左上角正方形按上述方法再分割如图，得到个正方形，
第次得到：个正方形；
第次得到：个正方形；
以此类推，根据以上操作，第次得到个正方形，
根据以上操作，若第次得到个正方形，则，
解得：．
故选：C．
7．C
设长方形纸片的长为，则宽为，先根据长方形的面积公式可得，从而可得长方形纸片的长为，宽为，再根据无理数的估算即可得．
解：设长方形纸片的长为，则宽为，
由题意得：，
解得（负值已舍），
则长方形纸片的长为，宽为，
，
，
，
则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是，
故选：C．
本题考查了利用平方根解方程、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题关键．
8．D
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．通过求解方程得到关于的表达式，令为整数，则分母为15的约数，从而求出所有正整数的值．
解：∵方程，
乘以6得：，
即，
∴，
∴，
∴．
∵为整数，∴是15的约数（包括正负约数）．
15的约数为．
令，则．
代入值求：
时，；
时，；
时，；
时，（舍去）；
时，；
时，（舍去）；
时，；
时，（舍去）．
∴ 满足条件的正整数为1，2，3，4，9．
其和为．
故选：D．
9．D
本题考查了等式的性质，代数式求值．
根据题意，总时间由水平道路和山坡的时间组成，去程和回程时间之和为8小时，列出方程求解，再求全程即可．
∵总时间去程水平时间去程上山时间回程下山时间回程水平时间，
∴，
化简得：，
即，
∴，
∴全程千米．
故选D．
10．D
本题考查了数轴上的动态点问题，解题关键是根据爬行规律计算出每次运动后两只蚂蚁之间距离的变化．
初始距离为18单位，相对速度为3.6单位/秒．第一次相向爬行后距离减少至14.4单位，之后每两次爬行（一次反向和一次相向）净减少3.6单位．需要4个这样的周期使距离减至0，总爬行次数为9次，时间之和为45秒．
解：∵A、B距离为单位，
相对速度单位/秒．
第一次相向爬行1秒后，距离减少单位，
剩余距离单位．
之后每两次爬行（一次反向和一次相向）净减少3.6单位，
设需要n个周期使距离减至0，
则，解得．
总爬行次数为次，
总时间秒．
∴它们第一次相遇所需的时间为45秒．
故选：D．
11．
本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可．
解∶∵是关于的一元一次方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
12．或3
本题考查了数轴上点的位置，两点间的距离，解题的关键在于表示出两点的距离．
设点B所对应的数是m，，则点C所对应的数是，由于点移动2个单位到，方向未指定，故需考虑两种移动情况，表示出、所对应的数，然后根据点到点的距离等于点到点的距离的一半，列方程计算求解即可．
解：设点B所对应的数是m，，则点C所对应的数是，
情况一：点向左移动，点向右移动，
∴点所对应的数是，点所对应的数是，
∵点到点的距离等于点到点的距离的一半，
∴，
解得或；
情况二：点向右移动，点向左移动，
∴点所对应的数是，点所对应的数是，
∵点到点的距离等于点到点的距离的一半，
∴，
解得或；
∵，
∴或，
∴点B所对应的数是或3．
故答案为：或3．
13． 32 36
本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
设单打比赛场数为x场，则双打比赛场数为场，根据单打每场2人次、双打每场4人次和总人次208，列方程求解．
解：设单打比赛有x场，则双打比赛有场，
根据题意，得方程：
解得：，
，
所以双打比赛场数为36场．
故答案为：32；36．
14．9
本题考查了一元一次方程的解，解答本题的关键是明确一元一次方程的解得含义．
根据题意，先化简题目中的式子，然后根据无论为何值，方程的解总是，可以求得、的值，代入计算即可．
解：把代入方程，得，
得，即，
整理得，
由于k为任意值，它的解总是，
故，
解得，，
所以，
故答案为：9．
15．3
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的方程是解此题的关键．
根据“郡园方程”的定义，方程的解应为，同时题目给定解为 ，因此建立等式求解．
解：由“郡园方程”定义，解满足，
∴，
∵，
解得，
∵给定解为，
∴，
代入，得，
解得，
代入，得，
解得 ，
故，
故答案为：3．
16．2或
本题考查的是有理数的混合运算及解一元一次方程，解答本题的关键是明确题目中的运算程序，注意最后结果要大于0．根据运算程序把代入两个函数关系式进行计算即可得解．
解：x为正数时，
∵，
∴，
解得，
x为负数时，，
解得，
综上所述，x的值为2或，
故答案为：2或．
17．（1）（2）
本题考查整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键：
（1）去括号，合并同类项即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并，系数法化1，进行求解即可．
解：（1）原式；
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得
18．(1)男生48人，女生32人．
(2)小时
本题考查了一元一次方程的应用；
（1）设男生为x人，则女生为人，根据题意可得，解方程，即可求解．
（2）设男生一共整理了y小时，利用男生完成的整理任务量+女生完成的整理任务量=整个整理任务量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设男生为x人，则女生为人．
由题意得：
解得：
∴
答：男生48人，女生32人．
（2）设男生一共整理了y小时．
由题意得：
解得：
答：男生一共整理了小时．
19．(1)是，理由见解析
(2)
本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键．
（1）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义解答即可；
（2）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义得到关于m的方程，解出即可．
（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下：
由，解得；
由，解得；
∵，
∴方程与方程是“和谐方程”．
（2）解：由，解得；
由，解得；
∵方程与方程是“和谐方程”，
∴，
解得．
20．(1)这七天共销售运动鞋双；
(2)每双鞋的定价应为元；
(3)这批运动鞋全部销售后张老板共盈利元．
本题考查了一元一次方程的应用、正数和负数以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）将前七天每天销售运动鞋的数量相加，即可求出结论；
（2）设每双鞋的定价为元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）利用总利润销售单价销售数量进货总价，即可求出结论．
（1）解：
（双）．
答：这七天共销售运动鞋双；
（2）解：设每双鞋的定价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：每双鞋的定价应为元；
（3）解：
（元）．
答：这批运动鞋全部销售后张老板共盈利元．
21．
设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，
根据题意得：4x a＋2x （a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x），
解得：a，
则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为．
本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程．
22．(1)
(2)见解析
本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）．
（1）根据一元一次方程的定义解答即可．
（2）将，，分别代入即可判断．
（1）解：由题意可知且，
∴且，
∴；
（2）解：由（1）可知方程为．
把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解；
把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解；
把代入方程，得左边右边，∴是方程的解．
23．(1)②
(2)
(3)
此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念，是解题的关键；
（1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解；
（2）先表示出含参数的一元一次方程的解，利用“友好方程”的条件，即可列出等式，求得参数的值；
（3）根据已知方程的解，代入方程，求得m的值，再结合方程是“友好方程”，列出等式，即可求得n的值．
（1）解：①，解得：，
因为，
所以该方程不是“友好方程”；
②，解得：，
因为，
所以该方程是“友好方程”；
③，解得：，
因为，
所以该方程不是“友好方程”；
故答案为：②
（2）解：，解得：
因为关于的一元一次方程是“友好方程”，
所以，
解得：；
（3）解：因为的一元一次方程的解为，
所以，
因为，
所以，
因为一元一次方程是“友好方程”，
所以，
所以，
解得：．
24．(1)3
(2)6
(3)点所表示的数为8或
(4)或
本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据点与表示的点重合，与表示2的点重合，即可求解；
（2）根据长方形得，根据与表示2的点重合，点表示的数为，得，再利用三角形的面积公式即可求解；
（3）先求出，结合，得，即可得，再根据C与2表示的点重合，再列式计算，即可作答；
（4）设当点表示的数为时，，此时点表示的数为，则，，根据可得，即，解方程即可作答．
（1）解：根据题意得，，
故答案为：3；
（2）解：如图，连接，
∵是长方形，
∴，
∵与表示2的点重合，点表示的数为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6；
（3）解：如图，连接，
∵长方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵C与2表示的点重合，
∴或，
∴点P表示的数为8或；
（4）解：设当点表示的数为时，，
此时点表示的数为，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
即点表示的数为或时，．
