勾股定理的常见模型-【模型方法】浙教版数学八年级上册专项复习
一、“勾股树”模型
1．（2025八下·潮南月考）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14
2．（2024八下·罗定月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4π C．8π D．8
3．（2024八下·江岸期中） 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
4．（2024八上·重庆开学考）如图，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形图由图的两个小正方形向外分别作直角边之比为：的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图中所有正方形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 以 Rt 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形． 若 ， 则图中阴影部分的面积为
6．（2023八上·南海月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
二、“赵爽弦图”模型
7．（2023八上·射洪期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ）
A．68 B．89 C．119 D．130
8．（2024八上·杭州期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点，若正方形ABCD的面积为.则的值是（ ）
A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH，连接 EG，BD 相交于点O，BD 与HC相交于点 P.若GO=GP，则 的值是( ).
A． B． C． D．
10．（2022八上·平湖期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将个全等的小正方形嵌入长方形内部，其中点，，，分别在长方形的边，，和上，若，，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·温州期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是 ．
12．（2024八上·婺城期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）．
（1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ；
（2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）．
13．（2024八上·浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB.
（1）求证：EF=DF；
（2）若EF=2，求PE的长.
三、蚂蚁爬行模型
14．如图，在棱长为2 的正方体中，蚂蚁从正方体下方一边 AB 的中点 P 出发爬到顶点( 处，若蚂蚁选择的路径是最短的，则最短路径长为 .
15．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为2，2，4，若一只蚂蚁想从盒底的点 A 处沿盒子的表面爬行一周到达点 B处，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .
16．如图，有一个高为8cm ，底面周长为6 cm的圆柱形容器，在外壁距下沿3c m的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A 处到蜂蜜 B 处所走的最短路径长为 .
17．如图，是一个四级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5，1.5 和1.5，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去觅食，则蚂蚁从 B 点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路径长为 .
18．（2024八下·兴宁月考）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接．
（1）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是 ；
（2）问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
四、矩形翻折形成的全等模型
19．（2024九上·射洪开学考）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
20．（2024八上·天宁月考）如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
21．（2025·新昌模拟）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，则的面积为( )
A． B． C． D．
22．如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3 B． C． D．
23．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步 ： 将矩形纸片利用图 1 的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平．第二步： 将图 1 中的矩形纸片折叠， 使点 恰好落在点 处， 得到折痕 ， 如图 2 ．根据以上的操作， 若 ， 则线段 的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
24．（2024·牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点E，则线段EN的长为（ ）
A．8cm B． C． D．
25．（2023八上·龙湾期中）如图，矩形纸片，折叠纸片，使点A落在边上的E处，折痕为，当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．限定点P、Q分别在边上移动，若，则的长为 ，若，则的长为 ．
26．（2024八上·烟台期末）长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
∴，
∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，
∵，，，，
∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5，
故答案为：A．
【分析】据勾股定理可得：，然后根据正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB2＝AC2+BC2＝20，
∴阴影部分的面积＝＝＝4，
故答案为：A．
【分析】本题阴影部分面积可以看做是“两个扇形面积与直角三角形ABC的面积之和减去空白部分的扇形面积”，因此可以先根据勾股定理得到AB2的值，然后根据扇形面积公式与直角三角形面积公式代入计算即可．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；勾股树模型
【解析】【解答】解： 如图，
∵正方形A的面积为1，
∴正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025．
故答案为：A．
【分析】 根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，再根据规律求解．
4．【答案】A
【知识点】勾股树模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
，
图1中三个正方形的面积和为：；
图2中三个正方形的面积和为：；
图3中三个正方形的面积和为：；
第 n个图形中所有正方形的面积和为25×（n+1），
当n=7时，25×（1+7）=200
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB2的值，再分别求出前三个图形中所有正方形的面积和，观察规律可得到第 n个图形中所有正方形的面积和为25×（n+1），将n=7代入计算可求出结果.
5．【答案】5
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵ Rt
∴ AC2+BC2=AB2
∴ S阴影==
故填：5.
【分析】本体考查勾股定理，根据图形的面积及勾股定理可得图中阴影的面积.
6．【答案】（1）①3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴.
（2）
【知识点】勾股定理；勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：（1）①设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3.
（2）由题意知，，，，，，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）①设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果；
②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可.
（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
（2）解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；求代数式的值-整体代入求值；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故答案为：B．
【分析】由题意，用含a，b，c的代数式表示出大正方形和小正方形的面积，将两式相减可求得，再根据完全平方公式将所求代数式变形得：a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2，然后整体代换即可求解案．
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为30，
∴，
设AE＝x，
∵AE＋BE＝7，
∴BE＝7 x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP S△AEP＝S△CFP S△CGM＝S梯形FPMG＝（MG＋PF） FG＝EF FG＝S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD 4S△AEB＝30 4×x （7 x）＝30-
则S△CFP S△AEP的值是5.5．
故答案为：A.
【分析】依据题意，先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7 x，根据勾股定理得：列出方程，整体代入可得结论．
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵ GO=GP，
∴∠GOP=∠GPO=67.5°，
∴∠HPD=∠67.5°，
∴∠EDO=22.5°，
∴∠PDG=22.5°，
∴∠CBG=22.5°，
∴∠PDG=∠CBG，
又∵BG=BG，∠CGB=∠PGB，
∴，
∴CG=PG，
设CG=PG=OG=x‘
∴FG=，
由“赵爽弦图”知：BF=CG=x，
∴BG=BF+FG=x+，
∴BC2=BG2+CG2=(X+x）2+x2=（4+2）x2，
∴==.
故答案为：B .
【分析】首先根据ASA判定，从而得出CG=PG，进而可设CG=PG=OG=x，然后可根据正方形的性质及勾股定理求出FG=，BC2=BG2+CG2=(X+x）2+x2=（4+2）x2，进一步即可得出==.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示，根据赵爽弦图，将小正方形分成4个全等的直角三角形，和一个最小的正方形，
设直角三角形的短直角边长为，长直角边为，则正方形的水平宽度与垂直高度为，
依题意，
解得：
∴小正方形的边长为：，
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图，将小正方形分成4个全等的直角三角形，和一个最小的正方形，设直角三角形的短直角边长为，长直角边为，则正方形的水平宽度与垂直高度为，根据平移的性质，分别根据AB=7、BC=8可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，然后用勾股定理计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得，，，然后由勾股定理求出，从而得，最后利用勾股定理求出DE的值.
12．【答案】；
【知识点】勾股定理；用代数式表示实际问题中的数量关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】
（1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b
∵若的面积为，∴ab=10 ①
∵小正方形的面积为，∴
即②
①代②得
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
，
，化简得
∴．
故答案为：．
【分析】（1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，根据三角形ABF面积为5，可知Aab=10；根据小正方形FGHK的面积为9.得到，通过代数式的化简得到，而，可求出
（2）. . 用a、b表示它们的面积，根据 。求出a、b、k之间的关系。而化简并把a、b、k代入求值即可。
13．【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：由（1）得：EF=DF
∵EF=2 可以求得 AG=HE=2，
证△APG≌△EPH
∴PG=PH=1
∴PE=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)先通过∠ABE=∠AEB判定AB=AE=AD，再利用等腰三角形的性质证得EF=DF.
(2)由题意可得EF=DF=AG=HE=2，通过AAS判定△APG≌△EPH ，进而得到PG=PH=1，再利用勾股定理计算出 PE的长.
14．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：找模型：是否存在立体图形：
正方体，立体图形上是否存在两点：点P 和点 C'，是否求两点间的最短路径：PC'的最短路径.抽离模型：如解图.用模型：如解图①，最短路径为 如解图②，根据勾股定理得 ∴最短路径长为
【分析】利用正方体的侧面展开图构造直角三角形，再应用勾股定理计算并比较即可.
15．【答案】4
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：找模型：是否存在立体图形：长方体，立体图形上是否存在两点：点A 和点 B，是否求两点间的最短路径：AB 的最短路径.抽离模型：如解图.用模型：最短路径长为
【分析】利用长方体的侧面展开图构造直角三角形，再应用勾股定理即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：如解图，作点A 关于CD的对称点 A'，连接A'B，∵圆柱底面周长为6cm，∴CD=3cm，此时A'B为最短的路径，h
【分析】由于蚂蚁要从外壁前进到内壁，因此可利用轴对称的性质先作点A关于圆柱上底面的对称点，再构造直角三角形，最后遭际应用勾股定理即可.
17．【答案】13
【知识点】蚂蚁爬行模型；勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如解图，将台阶展开，∴ AC=4× ∴蚂蚁爬行的最短路径长为13(两点之间，线段最短).
【分析】可将楼梯抽象成一个几何体，再将其展开可构造直角三角形，最后再应用勾股定理即可.
18．【答案】（1）两点之间线段最短
（2）解：根据题意可得：展开图中的，．
在中，由勾股定理可得：，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，直接解题即可；
（2）根据勾股定理，可直接求出AC的长.
19．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵AB=8，四边形ABCD是矩形，
∴由矩形的性质和折叠的性质得，
AD=BC，AD∥BC，，
∴，
∴，
在Rt△AEB和Rt△C ED中
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据折叠和矩形的性质易得∠CBD=∠ADB=∠CB D，于是用HL定理可证Rt△AEB≌Rt△C ED，由全等三角形的性质可得，在中，用勾股定理可求出的长，然后由线段的构成C E=AE=AD-ED可求解．
20．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠得，，
，，
，，
∵四边形ABCD是长方形，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为：C.
【分析】由折叠得，，由长方形性质得，在Rt△ABF中，由勾股定理得，求得，进而再在Rt△CEF中，利用勾股定理建立方程可求出CE的长.
21．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
在中，
根据折叠可得，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
的面积，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质并用勾股定理求得BD的值，由折叠的性质可得AD=A D，根据线段的和差
A B=BD-A D求得AB的值，设则，在直角中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，然后用三角形面积公式计算即可求解．
22．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：在上截取，连接，
由折叠得：，
又，
，
，
最短时，也就最短，
而当时，最短，
此时，点为矩形的对称中心，
，
即的最小值是4，
在中，点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．
过点作，
点为矩形的对称中心，
，
中，，
中，，
，
面积的最小值是．
故答案为：D.
【分析】在EA上截取 连接OM，证明 所以 即可得OM最短时，OG也就最短，而当 时，OM最短，且 再过点O作 得 又因为 就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积.
23．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：如图①， ∵四边形ABCD是矩形， AB =8，AD=12，
∴DC = AB =8， BC =AD =12，
∠BAD=∠B=90°，
由折叠得∠AFE =∠B =90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AF=AB=8，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=EF=AB=8， ∠BEF=90°，
如图②， 由折叠得FM=CM，
且EM=8﹣BM，FM=CM=12-BM，
解得BM =2，
故答案为： C.
【分析】由矩形的性质得DC=AB=8， BC = AD =12， ∠BAD =∠B=90°， 由折叠得∠AFE=∠B=90°， AF=AB =8， 所以四边形ABEF是正方形， 则BE= EF= AB=8，∠BEF=90°， 所以EM =8﹣BM，FM=CM =12-BM， 由勾股定理得 求得BM =2，于是得到问题的答案.
24．【答案】B
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10cm，
由折叠知：AM=BM=5cm，AD'=AD=MN=12cm，∠DAN=∠D'AN，AD∥MN，∠AMN=90°，
∴∠DAN=∠ANM，
∴∠D'AN=∠ANM，
∴EA=EN，
设EA=EN=x，则EM=12-x(cm)，
在Rt△AEM中，AM2+EM2=AE2，
即52+（12-x）2=x2，
解得x=，
即EN=cm
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质可推出∠D'AN=∠ANM，可得EA=EN，设EA=EN=x，则EM=12-x(cm)，在Rt△AEM中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
25．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：已知，
得，
由折叠可得，
四边形是矩形，
，
根据勾股定理得：，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
∴，，
由折叠可得，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：，．
【分析】过点作于点，则四边形为矩形，由折叠的性质可得，，在△BEP中根据勾股定理得，在△EFQ中，，最后由线段的和差运算可求得的值．
26．【答案】解：如图，当在上，时，
∵长方形，结合对折；
∴，，，，，
∴三点共线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在上时，，延长交于点，
同理可得：，，，
设，则，
由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
综上：的长为或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【分析】分情况讨论：当在上，时，根据折叠性质可得，，，，，则三点共线，， 根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可得DE=2；当在上时，，延长交于点，同理可得：，，，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1勾股定理的常见模型-【模型方法】浙教版数学八年级上册专项复习
一、“勾股树”模型
1．（2025八下·潮南月考）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
∴，
∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，
∵，，，，
∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5，
故答案为：A．
【分析】据勾股定理可得：，然后根据正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可求解．
2．（2024八下·罗定月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4π C．8π D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB2＝AC2+BC2＝20，
∴阴影部分的面积＝＝＝4，
故答案为：A．
【分析】本题阴影部分面积可以看做是“两个扇形面积与直角三角形ABC的面积之和减去空白部分的扇形面积”，因此可以先根据勾股定理得到AB2的值，然后根据扇形面积公式与直角三角形面积公式代入计算即可．
3．（2024八下·江岸期中） 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；勾股树模型
【解析】【解答】解： 如图，
∵正方形A的面积为1，
∴正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025．
故答案为：A．
【分析】 根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，再根据规律求解．
4．（2024八上·重庆开学考）如图，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形图由图的两个小正方形向外分别作直角边之比为：的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图中所有正方形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股树模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
，
图1中三个正方形的面积和为：；
图2中三个正方形的面积和为：；
图3中三个正方形的面积和为：；
第 n个图形中所有正方形的面积和为25×（n+1），
当n=7时，25×（1+7）=200
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB2的值，再分别求出前三个图形中所有正方形的面积和，观察规律可得到第 n个图形中所有正方形的面积和为25×（n+1），将n=7代入计算可求出结果.
5．如图， 以 Rt 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形． 若 ， 则图中阴影部分的面积为
【答案】5
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵ Rt
∴ AC2+BC2=AB2
∴ S阴影==
故填：5.
【分析】本体考查勾股定理，根据图形的面积及勾股定理可得图中阴影的面积.
6．（2023八上·南海月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【答案】（1）①3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴.
（2）
【知识点】勾股定理；勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：（1）①设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3.
（2）由题意知，，，，，，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）①设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果；
②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可.
（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
（2）解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
二、“赵爽弦图”模型
7．（2023八上·射洪期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ）
A．68 B．89 C．119 D．130
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；求代数式的值-整体代入求值；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故答案为：B．
【分析】由题意，用含a，b，c的代数式表示出大正方形和小正方形的面积，将两式相减可求得，再根据完全平方公式将所求代数式变形得：a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2，然后整体代换即可求解案．
8．（2024八上·杭州期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点，若正方形ABCD的面积为.则的值是（ ）
A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为30，
∴，
设AE＝x，
∵AE＋BE＝7，
∴BE＝7 x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP S△AEP＝S△CFP S△CGM＝S梯形FPMG＝（MG＋PF） FG＝EF FG＝S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD 4S△AEB＝30 4×x （7 x）＝30-
则S△CFP S△AEP的值是5.5．
故答案为：A.
【分析】依据题意，先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7 x，根据勾股定理得：列出方程，整体代入可得结论．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH，连接 EG，BD 相交于点O，BD 与HC相交于点 P.若GO=GP，则 的值是( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵ GO=GP，
∴∠GOP=∠GPO=67.5°，
∴∠HPD=∠67.5°，
∴∠EDO=22.5°，
∴∠PDG=22.5°，
∴∠CBG=22.5°，
∴∠PDG=∠CBG，
又∵BG=BG，∠CGB=∠PGB，
∴，
∴CG=PG，
设CG=PG=OG=x‘
∴FG=，
由“赵爽弦图”知：BF=CG=x，
∴BG=BF+FG=x+，
∴BC2=BG2+CG2=(X+x）2+x2=（4+2）x2，
∴==.
故答案为：B .
【分析】首先根据ASA判定，从而得出CG=PG，进而可设CG=PG=OG=x，然后可根据正方形的性质及勾股定理求出FG=，BC2=BG2+CG2=(X+x）2+x2=（4+2）x2，进一步即可得出==.
10．（2022八上·平湖期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将个全等的小正方形嵌入长方形内部，其中点，，，分别在长方形的边，，和上，若，，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示，根据赵爽弦图，将小正方形分成4个全等的直角三角形，和一个最小的正方形，
设直角三角形的短直角边长为，长直角边为，则正方形的水平宽度与垂直高度为，
依题意，
解得：
∴小正方形的边长为：，
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图，将小正方形分成4个全等的直角三角形，和一个最小的正方形，设直角三角形的短直角边长为，长直角边为，则正方形的水平宽度与垂直高度为，根据平移的性质，分别根据AB=7、BC=8可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，然后用勾股定理计算即可求解．
11．（2024八上·温州期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得，，，然后由勾股定理求出，从而得，最后利用勾股定理求出DE的值.
12．（2024八上·婺城期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）．
（1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ；
（2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）．
【答案】；
【知识点】勾股定理；用代数式表示实际问题中的数量关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】
（1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b
∵若的面积为，∴ab=10 ①
∵小正方形的面积为，∴
即②
①代②得
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
，
，化简得
∴．
故答案为：．
【分析】（1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，根据三角形ABF面积为5，可知Aab=10；根据小正方形FGHK的面积为9.得到，通过代数式的化简得到，而，可求出
（2）. . 用a、b表示它们的面积，根据 。求出a、b、k之间的关系。而化简并把a、b、k代入求值即可。
13．（2024八上·浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB.
（1）求证：EF=DF；
（2）若EF=2，求PE的长.
【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：由（1）得：EF=DF
∵EF=2 可以求得 AG=HE=2，
证△APG≌△EPH
∴PG=PH=1
∴PE=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)先通过∠ABE=∠AEB判定AB=AE=AD，再利用等腰三角形的性质证得EF=DF.
(2)由题意可得EF=DF=AG=HE=2，通过AAS判定△APG≌△EPH ，进而得到PG=PH=1，再利用勾股定理计算出 PE的长.
三、蚂蚁爬行模型
14．如图，在棱长为2 的正方体中，蚂蚁从正方体下方一边 AB 的中点 P 出发爬到顶点( 处，若蚂蚁选择的路径是最短的，则最短路径长为 .
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：找模型：是否存在立体图形：
正方体，立体图形上是否存在两点：点P 和点 C'，是否求两点间的最短路径：PC'的最短路径.抽离模型：如解图.用模型：如解图①，最短路径为 如解图②，根据勾股定理得 ∴最短路径长为
【分析】利用正方体的侧面展开图构造直角三角形，再应用勾股定理计算并比较即可.
15．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为2，2，4，若一只蚂蚁想从盒底的点 A 处沿盒子的表面爬行一周到达点 B处，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .
【答案】4
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：找模型：是否存在立体图形：长方体，立体图形上是否存在两点：点A 和点 B，是否求两点间的最短路径：AB 的最短路径.抽离模型：如解图.用模型：最短路径长为
【分析】利用长方体的侧面展开图构造直角三角形，再应用勾股定理即可.
16．如图，有一个高为8cm ，底面周长为6 cm的圆柱形容器，在外壁距下沿3c m的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A 处到蜂蜜 B 处所走的最短路径长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：如解图，作点A 关于CD的对称点 A'，连接A'B，∵圆柱底面周长为6cm，∴CD=3cm，此时A'B为最短的路径，h
【分析】由于蚂蚁要从外壁前进到内壁，因此可利用轴对称的性质先作点A关于圆柱上底面的对称点，再构造直角三角形，最后遭际应用勾股定理即可.
17．如图，是一个四级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5，1.5 和1.5，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去觅食，则蚂蚁从 B 点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路径长为 .
【答案】13
【知识点】蚂蚁爬行模型；勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如解图，将台阶展开，∴ AC=4× ∴蚂蚁爬行的最短路径长为13(两点之间，线段最短).
【分析】可将楼梯抽象成一个几何体，再将其展开可构造直角三角形，最后再应用勾股定理即可.
18．（2024八下·兴宁月考）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接．
（1）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是 ；
（2）问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
【答案】（1）两点之间线段最短
（2）解：根据题意可得：展开图中的，．
在中，由勾股定理可得：，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，直接解题即可；
（2）根据勾股定理，可直接求出AC的长.
四、矩形翻折形成的全等模型
19．（2024九上·射洪开学考）如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵AB=8，四边形ABCD是矩形，
∴由矩形的性质和折叠的性质得，
AD=BC，AD∥BC，，
∴，
∴，
在Rt△AEB和Rt△C ED中
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据折叠和矩形的性质易得∠CBD=∠ADB=∠CB D，于是用HL定理可证Rt△AEB≌Rt△C ED，由全等三角形的性质可得，在中，用勾股定理可求出的长，然后由线段的构成C E=AE=AD-ED可求解．
20．（2024八上·天宁月考）如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠得，，
，，
，，
∵四边形ABCD是长方形，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为：C.
【分析】由折叠得，，由长方形性质得，在Rt△ABF中，由勾股定理得，求得，进而再在Rt△CEF中，利用勾股定理建立方程可求出CE的长.
21．（2025·新昌模拟）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，则的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
在中，
根据折叠可得，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
的面积，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质并用勾股定理求得BD的值，由折叠的性质可得AD=A D，根据线段的和差
A B=BD-A D求得AB的值，设则，在直角中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，然后用三角形面积公式计算即可求解．
22．如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：在上截取，连接，
由折叠得：，
又，
，
，
最短时，也就最短，
而当时，最短，
此时，点为矩形的对称中心，
，
即的最小值是4，
在中，点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．
过点作，
点为矩形的对称中心，
，
中，，
中，，
，
面积的最小值是．
故答案为：D.
【分析】在EA上截取 连接OM，证明 所以 即可得OM最短时，OG也就最短，而当 时，OM最短，且 再过点O作 得 又因为 就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积.
23．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步 ： 将矩形纸片利用图 1 的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平．第二步： 将图 1 中的矩形纸片折叠， 使点 恰好落在点 处， 得到折痕 ， 如图 2 ．根据以上的操作， 若 ， 则线段 的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：如图①， ∵四边形ABCD是矩形， AB =8，AD=12，
∴DC = AB =8， BC =AD =12，
∠BAD=∠B=90°，
由折叠得∠AFE =∠B =90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AF=AB=8，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=EF=AB=8， ∠BEF=90°，
如图②， 由折叠得FM=CM，
且EM=8﹣BM，FM=CM=12-BM，
解得BM =2，
故答案为： C.
【分析】由矩形的性质得DC=AB=8， BC = AD =12， ∠BAD =∠B=90°， 由折叠得∠AFE=∠B=90°， AF=AB =8， 所以四边形ABEF是正方形， 则BE= EF= AB=8，∠BEF=90°， 所以EM =8﹣BM，FM=CM =12-BM， 由勾股定理得 求得BM =2，于是得到问题的答案.
24．（2024·牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点E，则线段EN的长为（ ）
A．8cm B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10cm，
由折叠知：AM=BM=5cm，AD'=AD=MN=12cm，∠DAN=∠D'AN，AD∥MN，∠AMN=90°，
∴∠DAN=∠ANM，
∴∠D'AN=∠ANM，
∴EA=EN，
设EA=EN=x，则EM=12-x(cm)，
在Rt△AEM中，AM2+EM2=AE2，
即52+（12-x）2=x2，
解得x=，
即EN=cm
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质可推出∠D'AN=∠ANM，可得EA=EN，设EA=EN=x，则EM=12-x(cm)，在Rt△AEM中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
25．（2023八上·龙湾期中）如图，矩形纸片，折叠纸片，使点A落在边上的E处，折痕为，当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．限定点P、Q分别在边上移动，若，则的长为 ，若，则的长为 ．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：已知，
得，
由折叠可得，
四边形是矩形，
，
根据勾股定理得：，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
∴，，
由折叠可得，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：，．
【分析】过点作于点，则四边形为矩形，由折叠的性质可得，，在△BEP中根据勾股定理得，在△EFQ中，，最后由线段的和差运算可求得的值．
26．（2024八上·烟台期末）长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长．
【答案】解：如图，当在上，时，
∵长方形，结合对折；
∴，，，，，
∴三点共线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在上时，，延长交于点，
同理可得：，，，
设，则，
由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
综上：的长为或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【分析】分情况讨论：当在上，时，根据折叠性质可得，，，，，则三点共线，， 根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可得DE=2；当在上时，，延长交于点，同理可得：，，，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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