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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版八年级上册第4章 图形与坐标
1． 如图，在一次活动中，位于A 处的1班准备前往相距5k m的 B 处与位于B 处的2 班会合，如何用方向和距离描述2班相对于1班的位置 反过来，如何用方向和距离描述1班相对于 2班的位置
2．若点到轴的距离为，到轴的距离为．
（1）当时， ；
（2）若点P在第一象限，且，求出点的坐标．
3．如图，图形Ⅱ可以由图形Ⅰ经过怎样的平移得到 对应点的坐标有什么变化
4． 在制作动画片时，经常要用到图形的平移.如图，小鹿从点A到B，再到C，到 D，这几个过程中，分别进行了怎样的平移
5．在平面直角坐标中，已知点在第四象限．
（1）若已知的算术平方根是4，的立方根是，c是的整数部分．试判断通过计算得到的点M是否满足题意，并说明理由；
（2）若，请结合画图判断点所在位置的区域，并说明理由．
6．刘聪和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴．y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），请你帮她画出平面直角坐标系，并写出其他各景点A、B、C、E、F的坐标．
7．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A12（ ， ）；
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）（ ， ）；
（3）指出蚂蚁从点A2014到点A2015的移动方向为 ．
8．已知点，解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第一象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．
9．已知点，解答下列问题：
（1）若点的坐标为，且轴，求的值；
（2）若点在第四象限，且是整数，求点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7），试确定这个四边形的面积．
11． 如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为．
（1）车站的坐标为 ．
（2）现有一个厕所的位置记为，且与猴山的距离为5，则的值为 ．
12． 已知点，解答下列各题．
（1）点P在x轴上，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
13．已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）求的面积．
（2）中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，请直接写出、、的坐标．
14．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-4，1），B（-3，3），C（-1，2）．
⑴作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出C′的坐标；
⑵求出△A′B′C′的面积；
⑶在x轴上画出点P，使PA+PC最小，并写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）
15．已知点P（x，y）的坐标满足方程，求点P分别关于x轴，y轴以及原点的对称点坐标．
16． 已知点A(a+1，3b)和点B(2b+3，1-a)关于x轴对称，求a和b的值.
17．已知点M（4p，4q+p）和点N（5﹣3q，2p﹣2）关于x轴对称，求P和Q的值，若M，N关于y轴对称呢？关于原点对称呢？
18．在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）若轴，且，求N点的坐标．
19．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为.
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）点的坐标为，若轴，求出点的坐标.
20．已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．
21．王林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地（如图），他出发沿（1，3），（﹣3，3），（﹣4，0），（﹣4，﹣3），（2，﹣2），（5，﹣3），（5，0），（5，4）的路线进行了参观，请你按他参观的顺序写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点．
22．如图，6个边长为2的等边三角形组成一个正六边形，建立适当的平面直角坐标系，写出这个正六边形各顶点的坐标.
23．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，其中、、满足关系式．
（1）求A、B、三点的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使的面积等于四边形的面积的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点的对应点，连接.
（1）写出点的坐标；
（2）在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.
25．已知点，根据下列条件求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点到轴的距离为1，且在第四象限．
26．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点的“短距”为______；
（2）若点的“短距”为3，求m的值；
（3）若，两点为“等距点”，求k的值．
27．如图1，一只甲虫在5×5的方格(每个小方格边长为1)上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如从A到B记为：A→B(±1，+3)；从C到D记为：C→D(+1，-2)．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示，上下方向，那么图中：
（1） A→C( ， )，C→ (-2， )．
（2）假如这只甲虫从A处到另一只甲虫P处的行走路线依次为(+1，+4)，(-1，-3)，(+2，+3)，请在图2中标出P的位置．
28．在如图所示的直角坐标系中画出点M（2，-2），N（4，-2），P（2，4），并完成下面的填空：
（1）M，N两点的连线与横轴 （填“垂直”或“平行”）．
（2） M，P两点的连线与纵轴 （填“垂直”或“平行”。
（3）已知点Q（4，m），若PQ∥MN，则m的值是多少？
29．多多和爸爸、妈妈周末到公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道牡丹园的坐标为（3，3），请你帮他建立平面直角坐标系（画在图中）并求出其它各景点的坐标？
30．已知：M（4，4），N（﹣2，﹣2），在横轴上存在点P，使PM=PN．求点P的坐标．
31．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点的“长距”是 ；点的“长距”是 ；
（2）若点是“完美点”，求a的值；
（3）若点的长距为4，且点D在第二象限内，点E的坐标为，请判断点E是否为“完美点”，并说明理由．
32．已知A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b），若点A，B关于x轴对称，求a，b的值．
33．已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣4，﹣1），B（﹣1，4），C（1，1），点A经过平移后对应点为A1（﹣2，1），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，写出B1、C1两点的坐标．
34．如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．
（1）当a＝2时，则C点的坐标为 ；
（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
35．如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法？
36．已知： 是关于x、y二元一次方程，点A在坐标平面内的坐标为 点B（3，2）将线段AB平移至A’B’的位置，点B的对应点B’（-1，3）．求点A’的坐标
37．如图，三角形 是由三角形 经过某种变换得到的，观察对应点 与 ， 与 ， 与 的坐标变化，说明三角形 是由三角形 经过怎样的变换得到的.
38．已知三角形ABC的两个顶点坐标为A（﹣4，0），B（2，0），如图，且过这两个点的边上的高为4，第三个顶点的横坐标为﹣1，求顶点C的坐标及三角形的面积．
39．如图，将四边形ABCD向左平移1个单位后再上平移2个单位，
（1）求出四边形ABCD的面积；
（2）写出四边形ABCD的四个顶点坐标．
40．在平面直角坐标系中，A（﹣6，5），B（﹣4，0），C（0，3），画出△ABC，并计算其面积．
41．下图中标明了小红家附近的一些地方，建立平面直角坐标系如图．
（1）写出游乐场和糖果店的坐标；
（2）某星期日早晨，小红同学从家里出发，沿着（1，3），（3，﹣1），（0，﹣1），（﹣1，﹣2），（﹣3，﹣1）的路线转了一下，又回到家里，写出路上她经过的地方．
42．在平面直角坐标系中，已知点M（m-2，2m-7），点N（n，3）．
（1）若点M在x轴上，求m的值和点M坐标；
（2）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值；
（3）若MN∥y轴，且MN=2，求n的值．
43．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向下平移4个单位再向左平移5个单位后对应的线段为，点在轴的负半轴上．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）如图（1），求的面积；
（3）如图（2），，与的角平分线相交于点，求．
44．已知，d为4的算术平方根，点，，，且．
（1）直接写出 ， ， ；
（2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值 ；
（3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒．
①如图2，当时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由；
②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标．
45．已知长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为(8，6)，A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上一动点，设PC=m，已知点D在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，若△APD是等腰直角三角形.
（1）求点D的坐标；
（2）直线y=2x+6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形 若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.
46．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，4)，过点B作直线 轴，点P在直线l上运动，设点P的横坐标为a.
（1）当 时，求OP的长；
（2）若 是以OP为腰的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）记点B关于直线OP的对称点为 若点B落在 内部(不包括边上)，则a的取值范围为 .
47．如图，在直角坐标系中，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的角平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明．
48．如图所示，在平面内有四个点，它们的坐标分别是A（﹣1，0），B（2+，0），C（2，1），D（0，1）．
（1）依次连结A、B、C、D，围成的四边形是一个 形；
（2）求这个四边形的面积；
（3）将这个四边形向左平移个单位长度，四个顶点的坐标分别为多少？
49．如图，点A、B分别是x轴、y轴上的两个动点，以B为直角顶点，以为腰作等腰．
（1）如图①，若点C的横坐标为2，点B的坐标为________；
（2）如图②，过C作轴于点D，连接．求的大小；
（3）如图③，移动点A，B的位置，使x轴恰好平分，交x轴于点M，试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
50．如果△ABC关于x轴进行轴对称变换后，得到△A1B1C1，而△A1B1C1关于y轴进行轴对称变换后，得到△A2B2C2，若△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，3）、B（-4，2）、C（-1，0），请你分别写出△A1B1C1与△A2B2C2各顶点坐标．
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【解答题强化训练·50道必刷题】浙教版八年级上册第4章 图形与坐标
1． 如图，在一次活动中，位于A 处的1班准备前往相距5k m的 B 处与位于B 处的2 班会合，如何用方向和距离描述2班相对于1班的位置 反过来，如何用方向和距离描述1班相对于 2班的位置
【答案】解：以1班所在的A处为观测点，2班相对于1班的位置是南偏西40°方向，距离为5km；
以2班所在的B处为观测点，1班相对于2班的位置是北偏东40°方向，距离为5km.
【解析】【分析】确定位置时需要先明确观测点，再根据“上北下南，左西右东”的方向规则，结合图中的角度和距离信息来描述；当观测点变化时，方向会相应改变，角度相等，距离不变；即以A处为观测点看B处，和以B处为观测点看A处，方向是相反的，但角度和距离保持一致.
2．若点到轴的距离为，到轴的距离为．
（1）当时， ；
（2）若点P在第一象限，且，求出点的坐标．
【答案】（1）5
（2）解：∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为，
，，
∵，
∴．
∵点P在第一象限，
∴
当时，，解得，
∴．
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴，，
∴．
故答案为：5．
【分析】（1）先求出点P的坐标，再利用点坐标的定义可得，，最后将其代入计算即可；
（2）先利用点坐标的定义可得，，再结合，可得，求出a的值即可.
（1）当时，，
∴，，
∴．
故答案为：5．
（2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为，
，，
∵，
∴．
∵点P在第一象限，
∴
当时，，解得，
∴．
3．如图，图形Ⅱ可以由图形Ⅰ经过怎样的平移得到 对应点的坐标有什么变化
【答案】解：（1）图形Ⅱ可以由图形Ⅰ先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到，对应点的横坐标都减3，纵坐标都减6；
（2）图形Ⅱ可以由图形Ⅰ先向右平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度得到，对应点的横坐标都加6，纵坐标都加8.
【解析】【分析】观察图形Ⅰ到图形Ⅱ在坐标轴位置变化，可得到平移变化，再根据平移规律 “右加左减横坐标，上加下减纵坐标”，可得出（1）为横坐标都减3，纵坐标都减6，（2）为横坐标都加6，纵坐标都加8.
4． 在制作动画片时，经常要用到图形的平移.如图，小鹿从点A到B，再到C，到 D，这几个过程中，分别进行了怎样的平移
【答案】解：从点A到点B：横坐标增加了2，纵坐标增加了1；所以是向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度；
从点B到点C：横坐标增加了3，纵坐标不变；所以是向右平移3个单位长度；
从点C到点D：横坐标增加了2，纵坐标减少了1；所以是向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度.
【解析】【分析】根据“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”的规律，通过对比相邻两点的横、纵坐标变化情况，确定在水平和垂直方向上的平移单位长度及方向，进而得出每个过程的平移方式.
5．在平面直角坐标中，已知点在第四象限．
（1）若已知的算术平方根是4，的立方根是，c是的整数部分．试判断通过计算得到的点M是否满足题意，并说明理由；
（2）若，请结合画图判断点所在位置的区域，并说明理由．
【答案】（1）解：点M满足题意，
理由如下，∵已知的算术平方根是4，的立方根是，c是的整数部分．而
∴，，
∴
∴
∴
∴点在第四象限.
（2）解：∵点在第四象限，
∴
∴，
又∵，
∴
∴在如图所示区域，
即点在第一象限内，且纵坐标小于以及轴正半轴区域．
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、立方根和估计无理数大小的方法求出，再求出，从而可得点在第四象限；
（2）利用第四象限点坐标的特征可得，求出，再结合，求出，最后画出图形即可.
（1）解：点M满足题意，理由如下，
∵已知的算术平方根是4，的立方根是，c是的整数部分．而
∴，，
∴
∴
∴
∴点在第四象限
（2）∵点在第四象限
∴
∴，
又∵，
∴
∴在如图所示区域，
即点在第一象限内，且纵坐标小于以及轴正半轴区域．
6．刘聪和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴．y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），请你帮她画出平面直角坐标系，并写出其他各景点A、B、C、E、F的坐标．
【答案】解：如图所示：
A（0，4），B（﹣3，2），C（﹣2，﹣1），E（3，3），F（0，0）．
【解析】【分析】根据D的坐标为（2，﹣2），进而建立平面直角坐标系得出各点坐标即可．
7．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A12（ ， ）；
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）（ ， ）；
（3）指出蚂蚁从点A2014到点A2015的移动方向为 ．
【答案】解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上，
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，
∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），；
故答案为：2，0；4，0；6，0；
（2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，
∴点A4n的坐标（2n，0）；
故答案为：2n，0；
（3）∵2014÷4=503…2，
∴2014除以4余数为2，
∴从点A2014到点A2015的移动方向与从点A2到A3的方向一致为：向下．
故答案为：向下．
【解析】【分析】（1）观察图形可知，A4，A8，A12都在x轴上，求出OA4、OA8、OA12的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据（1）中规律写出点A4n的坐标即可；
（3）根据2014除以4余数为2，可知从点A2014到点A2015的移动方向与从点A2到A3的方向一致．
8．已知点，解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第一象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：点在x轴上，
，
，
，
点P的坐标为.
（2）解：点、点，且轴，
，
，
，
点P的坐标为.
（3）解：点在第一象限，且到x轴、y轴的距离相等，
，
解得：，
，，
点P的坐标为．
【解析】【分析】（1）利用x轴上点坐标的特征可得a+5=0，求出a的值，再求出点P的坐标即可；
（2）根据点，且轴，可得a+5=5，求出a的值，再求出点P的坐标即可；
（3）根据“P点到x轴、y轴的距离相等”可得，求出a的值，再求出点P的坐标即可.
9．已知点，解答下列问题：
（1）若点的坐标为，且轴，求的值；
（2）若点在第四象限，且是整数，求点的坐标．
【答案】（1）解：点的坐标为，且轴，
，
解得；
（2）解：点在第四象限，
，且，
解得，
是整数，
，
点的坐标为．
【解析】【分析】（1）先利用轴和点B的坐标可得，再求出a的值即可；
（2）根据第四象限点坐标的特征可得且，再求出a的取值范围，再求出a的值即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7），试确定这个四边形的面积．
【答案】解：如图，过点D点，C点分别作DE，CF垂直于x轴于E，F两点，则四边形的面积的可以看做是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和，即S四边形ABCD= ×2×7+ ×（9﹣7）×5+ ×（5+7）×（7﹣2）=7+5+30=42
【解析】【分析】过点D点，C点分别作DE，CF垂直于x轴于E，F两点，根据D，C两点的坐标即可得出DE=7，AE=2，CF=5，EF=5，利用割补法则四边形的面积的可以看做是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和，然后根据三角形的面积计算方法，梯形的面积计算方法即可算出答案。
11． 如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为．
（1）车站的坐标为 ．
（2）现有一个厕所的位置记为，且与猴山的距离为5，则的值为 ．
【答案】（1）
（2）3或
【解析】【解答】（1）根据猴山和孔雀园的坐标，可建立如图所示的平面直角坐标系：
，
∴车站的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）；
（2）∵点C的坐标为（m，0），
∴OC=|m|，
∵厕所与猴山的距离为5，猴山的坐标为（0，4），
∴|m|2+42=52，
解得：m=±3，
故答案为：3或-3.
【分析】（1）利用猴山和孔雀园的坐标，建立平面直角坐标系，再写出车站的坐标即可；
（2）根据“厕所与猴山的距离为5，猴山的坐标为（0，4）”，利用勾股定理可得|m|2+42=52，再求出m的值即可.
12． 已知点，解答下列各题．
（1）点P在x轴上，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）解：∵在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵在第二象限，
∴，
∵到x轴、y轴的距离相等，
∴，
∴，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标为0，求出a值即可求P点坐标.
（2）根据点P象限判断其横纵坐标正负，再根据P到x，y轴距离相等，列出方程，求出a值即可.
13．已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）求的面积．
（2）中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，请直接写出、、的坐标．
【答案】（1）解：；
（2）解：∵中任意一点经平移后对应点为，
∴得到△ABC向右平移4个单位长度，向下平移了3个单位长度，
∴(2，0)，(-2，-1)，(-5，4) .
【解析】【分析】
(1)构造一个矩形，用分割法计算出△ABC的面积。
(2)根据P和P1的坐标得出平移的方向和距离，从而得出平移后的三个顶点的坐标。
14．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-4，1），B（-3，3），C（-1，2）．
⑴作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出C′的坐标；
⑵求出△A′B′C′的面积；
⑶在x轴上画出点P，使PA+PC最小，并写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：⑴如图，△A′B′C′即为所求，C′的坐标（1，2）；
⑵S△A′B′C′＝2×3- ×1×2- ×1×2- ×1×3＝ ；
⑶如图，点P即为所求，点P的坐标（-3，0）．
【解析】【分析】 ⑴ 根据图示写出坐标．
⑵ 用长方形的面积减去三个三角形的面积就是 △A′B′C′的面积．
⑶ 根据图示写出坐标即可．
15．已知点P（x，y）的坐标满足方程，求点P分别关于x轴，y轴以及原点的对称点坐标．
【答案】解：由可得x+3=0，y+4=0，
解得x=﹣3，y=﹣4；
则P点坐标为P（﹣3，﹣4），
那么P（﹣3，﹣4）关于x轴，y轴，原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），（3，4）．
【解析】【分析】先根据非负数的性质通过方程式求得x、y的值，即得到点P的坐标，然后求点P分别关于x轴，y轴以及原点的对称点坐标．
16． 已知点A(a+1，3b)和点B(2b+3，1-a)关于x轴对称，求a和b的值.
【答案】解： 点A(a+1，3b)和点B(2b+3，1-a)关于x轴对称
a+1 = b+3 ， 3b =-（ 1-a ）
解得 a=4，b=1
故答案为：a=4，b=1
【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中关于x轴对称的两点的特点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得a+1 = b+3 ， 3b =-（ 1-a ），解之可得答案。
17．已知点M（4p，4q+p）和点N（5﹣3q，2p﹣2）关于x轴对称，求P和Q的值，若M，N关于y轴对称呢？关于原点对称呢？
【答案】解：若关于x轴对称，则得到方程组，解得；
若关于y轴对称，则得到方程组，解得；
若关于原点对称，则得到方程组，解得．
【解析】【分析】根据两点对称时坐标之间的关系，列出方程组，然后正确求解．
18．在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）若轴，且，求N点的坐标．
【答案】（1）解：∵因为点M在y轴上，∴，
解得，
则，
∴点M的坐标为；
（2）解：∵轴，且点，点，∴，
解得，
则，
∴点M的坐标为．
又∵，
∴或，
∴点N的坐标为或．
【解析】【分析】1. y轴上的点：横坐标为 ，列方程求 ，再得点M坐标.
2. 平行x轴的直线：纵坐标相等，列方程求 ，确定点M后，利用水平距离（ 横坐标差的绝对值 ）求点N坐标.
（1）解：∵因为点M在y轴上，
∴，
解得，
则，
∴点M的坐标为；
（2）解：∵轴，且点，点，
∴，
解得，
则，
∴点M的坐标为．
又∵，
∴或，
∴点N的坐标为或．
19．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为.
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）点的坐标为，若轴，求出点的坐标.
【答案】（1）解：点的坐标为，点在轴上，
.
解得.
.
点的坐标为.
（2）解：点的坐标为，点的坐标为，轴，
.
解得.
.
点的坐标为.
【解析】【分析】（1）根据在y轴上的点的横坐标为0，求出n的值，即可得到点N的坐标；
（2）根据题意得到N、B的纵坐标相等，求出n的值，得到点N的坐标.
20．已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．
【答案】设AB交x轴于C，那么根据图中的信息可知： OC=1， S△OAC= ×1×2=1， S△OBC= ×1×2=1， 因此S△OAB=S△OAC+S△OBC=2．
【解析】【分析】可将三角形分成上下两部分进行计算．以三角形OAB截x轴的线段为底边，分别以A，B纵坐标的绝对值为高进行计算即可．
21．王林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地（如图），他出发沿（1，3），（﹣3，3），（﹣4，0），（﹣4，﹣3），（2，﹣2），（5，﹣3），（5，0），（5，4）的路线进行了参观，请你按他参观的顺序写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点．
【答案】解：由各点的坐标可知他路上经过的地方：葡萄园→杏林→桃林→梅林→山楂林→枣林→梨园→苹果园．
如图所示：
【解析】【分析】根据坐标的定义依次找出经过的地方即可．
22．如图，6个边长为2的等边三角形组成一个正六边形，建立适当的平面直角坐标系，写出这个正六边形各顶点的坐标.
【答案】解：如果以正六边形的中心为原点，以AD所在直线为x轴，以AD的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
正六边形是由6个边长为2的等边三角形构成的，所以
因为 轴，
所以
所以 .
各顶点坐标为(2，0) 0) (答案不唯一)
【解析】【分析】过点B作 轴于点H，根据勾股定理求出BH的值，即可得到各点的坐标.
23．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，其中、、满足关系式．
（1）求A、B、三点的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使的面积等于四边形的面积的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，，；
∴，，；
（2）解：过点作于，则
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（3）存在，点的坐标为或
【解析】【解析】（3）存在，点的坐标为或
补充理由如下：
假设存在这样的点N，设为，则，
∵
∴
∵，的面积等于四边形的面积的2倍，
∴
解得：，
∴存在这样的点，点的坐标为或
【分析】
（1）根据非负数的性质即可求出a、b、c的值；
（2）求出，，再用计算即可；
（3）根据设为，则，由三角形面积公式表示出，再结合的面积等于四边形的面积的2倍列出含绝对值方程，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，，；
∴，，；
（2）过点作于，则
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（3）存在，点的坐标为或
补充理由如下：
假设存在这样的点N，设为，则，
∵
∴
∵，的面积等于四边形的面积的2倍，
∴
解得：，
∴存在这样的点，点的坐标为或
24．如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点的对应点，连接.
（1）写出点的坐标；
（2）在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：存在
设，则
由题意知，
∴轴，
∴
由，得，
∴点的坐标为.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴
∵同时将点向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点的对应点，
∴
故答案为：.
【分析】（1）根据题意得到点A和点B的坐标，进而根据平移时点的坐标变化规律：左减右加，上加下减，据此即可得到点A、B的对应点C、D的坐标；
（2）设，则，进而用含m的式子表示，最后根据""，据此列出方程：，解出m，进而可得到点P的坐标.
25．已知点，根据下列条件求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点到轴的距离为1，且在第四象限．
【答案】（1）解：点在轴上，
，
解得，
，
故点；
（2）解：点到轴的距离为1，且在第四象限，
，解得．
，
故点．
【解析】【分析】(1)根据y轴上点的横坐标为0即可求出a的值，从而求出纵坐标，即可得解；
(2)根据已知条件得出a-3=-1，即可求出a的值，再求出横坐标，即可得解.
26．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点的“短距”为______；
（2）若点的“短距”为3，求m的值；
（3）若，两点为“等距点”，求k的值．
【答案】（1）7
（2）解：∵点的“短距”为3，且，∴，解得或．
（3）解：点C到x轴的距离为，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为，到y轴距离为4，
当时，，
则或，解得或（舍）．
当时，，
则或，解得或（舍）．
综上，k的值为或．
【解析】【解答】解：（1）点到x轴、y轴距离分别为和7，
根据定义得点的“短距”为7；
【分析】（1）根据题设中“短距”的新定义，结合点到x轴、y轴距离，即可求得点B到坐标轴的距离，得到答案；
（2）根据新题中“等距点”的新定义，结合点的“短距”为3，且，得到，求得m的值，即可求解；
（3）根据题设中的新定义，分别找到点C和点D到坐标轴的距离，分和，两种情况，分别得出方程和，求得k的值，即可得到答案.
27．如图1，一只甲虫在5×5的方格(每个小方格边长为1)上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如从A到B记为：A→B(±1，+3)；从C到D记为：C→D(+1，-2)．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示，上下方向，那么图中：
（1） A→C( ， )，C→ (-2， )．
（2）假如这只甲虫从A处到另一只甲虫P处的行走路线依次为(+1，+4)，(-1，-3)，(+2，+3)，请在图2中标出P的位置．
【答案】（1）+3；+4；B；-1
（2）点P的位置如下图所示．
【解析】【解答】解：（1）观察网格图可得A向右走3格，向上走4格到达C，故 A→C(+3，+4) ；C向左2格，向下1个到达B，故 C→B(-2，-1) .
【分析】(1)根据题意“规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负”，看图一 一判断即可.
(2)根据题意可得甲虫从A处到另一只甲虫P处的行走路线依次为向右走1格，向上走4格，向左走1格，向下走3格，向右走2格，向上走3格，以此找到P的位置.
28．在如图所示的直角坐标系中画出点M（2，-2），N（4，-2），P（2，4），并完成下面的填空：
（1）M，N两点的连线与横轴 （填“垂直”或“平行”）．
（2） M，P两点的连线与纵轴 （填“垂直”或“平行”。
（3）已知点Q（4，m），若PQ∥MN，则m的值是多少？
【答案】（1）平行
（2）平行
（3）解：∵P（2，4）， 点Q（4，m） ，PQ∥MN，
∴m=4.
【解析】【解答】解：（1）如图，
M，N两点的连线与横轴平行.
故答案为：平行.
（2）M，P两点的连线与纵轴平行.
故答案为：平行.
【分析】（1）平行于x轴的直线上的点的坐标特点：横坐标不相同，纵坐标相同，可得答案.
（2）利用平行于y轴的直线上的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标不相同，可得答案.
（3）利用点P，Q的坐标，由PQ∥MN，可得到点P和点Q的纵坐标相等，可得到m的值.
29．多多和爸爸、妈妈周末到公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道牡丹园的坐标为（3，3），请你帮他建立平面直角坐标系（画在图中）并求出其它各景点的坐标？
【答案】解：由题意可知，本题是以点F为坐标原点（0，0），FA为y轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
则A、B、C、D的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，2）；C（﹣2，﹣1）；D（2，﹣2）．
【解析】【分析】由牡丹园的坐标为（3，3），可以确定平面直角坐标系中原点的位置，以及坐标轴的位置，从而可以确定其它景点的坐标．
30．已知：M（4，4），N（﹣2，﹣2），在横轴上存在点P，使PM=PN．求点P的坐标．
【答案】解：设点P的坐标是（m，0），
∵PM=PN，
∴ = ，
解得，m=2，
∴P的坐标是（2，0）
【解析】【分析】设点P的坐标是（m，0），然后依据两点间的距离公式列方程求解即可.
31．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点的“长距”是 ；点的“长距”是 ；
（2）若点是“完美点”，求a的值；
（3）若点的长距为4，且点D在第二象限内，点E的坐标为，请判断点E是否为“完美点”，并说明理由．
【答案】（1）4；9
（2）解：∵点C(2a + 1，-3)是“完美点”
∴点C到x轴、y轴的距离相等，
∴|2a+1|=3，
当2a+1=3时，解得a=1，
当2a+1=-3时，解得a=-2，
∴a的值为1或-2.
（3）解：∵点D(-2，3b-2)的“长距”为4，且点D在第二象限，
∴|3b-2|=4，
当3b-2=4时，解得b=2，
当3b-2=-4时，解得，
∵点D在第二象限，
∴3b-2>0，即
∴b=2.
把b=2代入点E的坐标(5，2b-9)中，可得2b-9=2×2-9=4-9=-5，
∴点E的坐标为(5，-5)，
∵点E(5，-5)到x轴的距离是|-5|=5，到y轴的距离是|5|=5，
∴点E到x轴、y轴的距离相等，
∴点E是“完美点”.
【解析】【解答】解：(1)点A(2，-4)到x轴的距离是|-4|=4，到y轴的距离是|2|=2，
∵4>2，
∴点A的“长距”是4，
点B(-9，7)到x轴的距离是|7|=7，到y轴的距离是|-9|=9，
∵9>7，
∴点B的“长距”是9，
故答案魏：4；9.
【分析】(1)根据“长距”的定义，分别计算点A和点B到x轴、y轴的距离，再取较大值；
(2)根据“完美点”的定义，点到x轴、y轴的距离相等，列出方程求解a的值；
(3)先根据点D的“长距”为4以及点D在第二象限求出b的值，再根据b的值求出点E的坐标，最后判断点E是否为“完美点”.
32．已知A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b），若点A，B关于x轴对称，求a，b的值．
【答案】解：由题意得： ，
解得： ，
答：a的值为﹣1，b的值为﹣1
【解析】【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
33．已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣4，﹣1），B（﹣1，4），C（1，1），点A经过平移后对应点为A1（﹣2，1），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，写出B1、C1两点的坐标．
【答案】解：∵点A（﹣4，﹣1）平移后点A1的坐标为（﹣2，1），
∴平移规律为横坐标加2，纵坐标加2，
∵B（﹣1，4），C（1，1），
∴B1（1，6），C1（3，3）．
【解析】【分析】根据点A（﹣4，﹣1）经平移后对应点为A1（﹣2，1），得出平移变换的规律即可得出B1、C1两点的坐标
34．如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．
（1）当a＝2时，则C点的坐标为 ；
（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）（﹣2，3）
（2）解：动点B在运动的过程中，c+d的值不变．
理由如下：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，
∵A（﹣1，0），B（0，a），
∴BO＝a，AO＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝BA，∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，
∴∠BCE＝∠ABO，
在△BCE和△BAO中，
，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴BO＝AE＝a，AO＝CE＝1，
∴OE＝1+a，
∴C（﹣a，1+a），
又∵点C的坐标为（c，d），
∴c+d＝-a+1+a＝1，
即c+d的值不变.
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠CEA＝∠AOB=90°
A(-1， 0)， B(0，2)，
AO=1，OB=2，
由题可知△ABC是等腰直角三角形
AB=BC，∠ABC=90°，
∠BCE+∠CBE=90°=∠ABO+∠CBE
∠BCE=∠ABO，
又∠CEB=∠AOB，BC=AB
△CBE≌△BAO（AAS），
∴AO=BE=1，OB=CE=2，
OE=1+2=3，
.·.C(-2， 3)，
故答案为：(-2，3)；
【分析】（1）要确定点C的坐标，即求C点的横，纵坐标的值即可，所以过点C作CE⊥y轴，用AAS证明△CBE≌△BAO得到AO=BE，OB=CE，OE即可计算；
（2）要看值变不变，把c+d的值表示出来判断即可，按题（1）的方法先证明△CBE≌△BAO，有BO＝AE＝a，AO＝CE＝1，所以OE＝1+a，即C（﹣a，1+a），得c+d＝﹣a+1+a＝1，故c+d的值不变.
35．如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法？
【答案】解：有6种走法分别为：①（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）；②（2，4）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；③（2，4）→（3，4）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；④（（2，4）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；⑤（2，4）→（2，3）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；⑥（2，4）→（2，3）→（2，2）→（3，2）→（4，2）
【解析】【分析】利用方格图和有序实数对表示出所有最短的线路的走法。
36．已知： 是关于x、y二元一次方程，点A在坐标平面内的坐标为 点B（3，2）将线段AB平移至A’B’的位置，点B的对应点B’（-1，3）．求点A’的坐标
【答案】解： 是关于x、y二元一次方程，
，
解得：
往左边平移了4个单位长度，再往上平移了1个单位长度，
也做了同样的平移，
【解析】【分析】根据二元一次方程的定义求解a、b，由B、B’的左边确定平移方式，从而得到答案．
37．如图，三角形 是由三角形 经过某种变换得到的，观察对应点 与 ， 与 ， 与 的坐标变化，说明三角形 是由三角形 经过怎样的变换得到的.
【答案】解：△ABC是由△DEF向上平移2个单位，再向左平移4个单位得到的.
【解析】【分析】通过观察对应点 与 ， 与 ， 与 的坐标变化及点的坐标与平移的性质即可发现 △ABC是由△DEF向上平移2个单位，再向左平移4个单位得到的 。
38．已知三角形ABC的两个顶点坐标为A（﹣4，0），B（2，0），如图，且过这两个点的边上的高为4，第三个顶点的横坐标为﹣1，求顶点C的坐标及三角形的面积．
【答案】解：∵AB边上的高为4，
∴点C的纵坐标为4或﹣4，
∵第三个顶点C的横坐标为﹣1，
∴点C的坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）；
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB=2﹣（﹣4）=2+4=6，
∴△ABC的面积= ×6×4=12．
【解析】【分析】根据点C到AB的距离分点C在x轴上方和下方两种情况写出点C的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
39．如图，将四边形ABCD向左平移1个单位后再上平移2个单位，
（1）求出四边形ABCD的面积；
（2）写出四边形ABCD的四个顶点坐标．
【答案】解：（1）如图所示：面积：S四边形ABCD=S△CDB+S△ADB=X3×2+X3×2=6；（2）A（4，﹣2），B（6，0），C（5，2），D（3，0）．
【解析】【分析】（1）首先确定A、B、C、D四点平移后的位置，然后画图即可；根据图形可得S四边形ABCD=S△CDB+S△ADB，然后可得答案；
（2）根据坐标系可直接写出点的坐标．
40．在平面直角坐标系中，A（﹣6，5），B（﹣4，0），C（0，3），画出△ABC，并计算其面积．
【答案】解：如图所示，
∵A（﹣6，5），B（﹣4，0），C（0，3），
∴S△ABC=S矩形ADOE﹣S△ADB﹣S△BOC﹣S△ACE
=5×6﹣ ×5×2﹣ ×4×3﹣ ×6×2
=30﹣5﹣6﹣6
=13．
【解析】【分析】根题意画出图形，再根据S△ABC=S矩形ADOE﹣S△ADB﹣S△BOC﹣S△ACE即可得出结论．
41．下图中标明了小红家附近的一些地方，建立平面直角坐标系如图．
（1）写出游乐场和糖果店的坐标；
（2）某星期日早晨，小红同学从家里出发，沿着（1，3），（3，﹣1），（0，﹣1），（﹣1，﹣2），（﹣3，﹣1）的路线转了一下，又回到家里，写出路上她经过的地方．
【答案】解：（1）游乐场的坐标是（3，2），糖果店的坐标是（﹣1，2）；
（2）由小红同学从家里出发，沿着（1，3），（3，﹣1），（0，﹣1），（﹣1，﹣2），（﹣3，﹣1）的路线转了一下，得
学校﹣公园﹣姥姥家﹣宠物店﹣邮局．
【解析】【分析】（1）根据点的坐标规律：横前纵后，中逗，可得答案；
（2）根据点的坐标，可得点表示的地方，可得路线图．
42．在平面直角坐标系中，已知点M（m-2，2m-7），点N（n，3）．
（1）若点M在x轴上，求m的值和点M坐标；
（2）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值；
（3）若MN∥y轴，且MN=2，求n的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：或
（3）解：n的值为 4 或 2
【解析】【解答】解：（1）∵点M在x轴上，
∴2m-7=0，
解得：m=；
∴点M的坐标为，
故答案为：；
（2）∵点M到x轴，y轴距离相等，
∴|m-2|=|2m-7|，
解得：m=5或m=3，
故答案为：m=5或m=3；
（3）∵MN∥y轴，且MN=2，点M（m-2，2m-7），点N（n，3），
∴|2m-7-3|=2，n=m-2，
解得：m=4或m=6，
①当m=4时，n=4-2=2；
②当m=6时，n=6-2=4；
综上，n的值为4或2，
故答案为：4或2.
【分析】（1）利用x轴上点坐标的特征可得2m-7=0，求出m的值，可得点M的坐标；
（2）根据“点M到x轴，y轴距离相等”，可得|m-2|=|2m-7|，再求出m的值即可；
（3）先根据题意列出方程|2m-7-3|=2，n=m-2，求出m的值，再分别求出n的值即可.
43．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向下平移4个单位再向左平移5个单位后对应的线段为，点在轴的负半轴上．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）如图（1），求的面积；
（3）如图（2），，与的角平分线相交于点，求．
【答案】（1），；
（2）解：如图（1）连接，
∴
；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
又，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
如图（2），过点作，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【解析】【解答】
解：（1）∵点，，
∴将线段先向下平移4个单位再向左平移5个单位后得，；
故答案为：，；
【分析】
（1）根据左加右减，上加下减的规律求解即可；
（2）连接，根据面积公式求解即可；
（3）先利用平行线得性质证明，然后根据角平分线的定义可求，过点作，得，过点作，则，利用平行公理得到可得，进而可求出．
44．已知，d为4的算术平方根，点，，，且．
（1）直接写出 ， ， ；
（2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值 ；
（3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒．
①如图2，当时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由；
②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）5；；2
（2）
（3）解：依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，
∴，沿y轴负方向平移2个单位，
∴，
①.
理由如下：由题意得，，
，，
，
，
，
，
即.；
②点D的坐标为或
【解析】【解答】（1）由知，
，，解得，
；
（2）过A作轴，连接.
由（1）得，，，
，
，，
，
解得.
（3）②或.
当 时，，
PQ可以看作由MN向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到，
此时，点D不存在.
当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.
当时，如图2，点D在第四象限，
设，由①得
连接OD，
，
当时，如图3，点D在第二象限，
连接OD，
，
综上，点D的坐标为或.
【分析】(1)由算术平方根、绝对值的非负性可知：b-5=0，b-c-8=0，解得 b=5，c=-3，d==2.
(2)过A作AKx轴，连接BK，则K (a，0)，S△ABK+S△BCK=S△ACK，即可求出a=1.
(3)根据题意，a=0，沿y轴负方向平移2个单位，得到M(0，3)，N(-2，0)，①MP=3t，NQ=2t，，，由此即可得S△MPD=S△NQD；
②分四种情况讨论：ⅰ当t=2时，P(0，-3)，Q(2，0)，MQ// NP，点D不存在.
ⅱ当0
ⅲ当1ⅳ当t >2时，如图，点D在第二象限，S△MPD = S△NQD，得 -3m=2n，连接OD，
则 S△DON + S△MOD-S△MON=S△MND，解出D点坐标为（）.
45．已知长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为(8，6)，A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上一动点，设PC=m，已知点D在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，若△APD是等腰直角三角形.
（1）求点D的坐标；
（2）直线y=2x+6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形 若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1所示，作DE⊥y轴于点E，作PF⊥y轴于F，则∠DEA=∠AFP=90°
∵△DAP为等腰直角三角形
∴AD=AP，∠DAP=90°
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°
∴∠EAD=∠BAP
∵AB∥PF
∴∠BAP=∠FPA
∴∠EAD=∠FPA
在△ADE和△PAF中
∴△ADE≌△PAF(AAS)
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14
设点D横坐标为x，则14=2x+6，解得：x=4
∴点D的坐标为（4，14）
（2）解：存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由如下：
直线y=2x+6向右平移6个单位后的解析式为：
当∠ADP=90°时，如图
∴AD=PD
∴点D坐标为：（4，2）
当∠APD=90°时，如图
∴AP=PD
设点P的坐标为（8，m）
则点D坐标为（14－m，m+8）
∴m+8=2(14－m)－6，解得：
∴点D坐标为
当∠ADP=90°时，如图
∴AD=PD
同理可得点D坐标为
综上所述点D坐标为（4，2），，
【解析】【分析】（1）作DE⊥y轴于点E，作PF⊥y轴于F，则∠DEA=∠AFP=90°，根据等腰直角三角形判定定理可得△DAP为等腰直角三角形，则AD=AP，∠DAP=90°，再根据角之间的关系可得∠EAD=∠BAP，由直线平行性质可得∠BAP=∠FPA，则∠EAD=∠FPA，再根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△PAF(AAS)，则AE=PF=8，OE=OA+AE=14，设点D横坐标为x，则14=2x+6，解方程即可求出答案.
（2）直线y=2x+6向右平移6个单位后的解析式为：，根据等腰直角三角形性质分情况讨论即可求出答案.
46．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(0，4)，过点B作直线 轴，点P在直线l上运动，设点P的横坐标为a.
（1）当 时，求OP的长；
（2）若 是以OP为腰的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）记点B关于直线OP的对称点为 若点B落在 内部(不包括边上)，则a的取值范围为 .
【答案】（1）解：∵点A的坐标为(5，0)， 点B的坐标为(0，4)，
（2）解：当OP=OA=5时，
；
当PA=PO时，过点P作PC⊥OA于点C，则OC=AC=2.5，
∴a=2.5.
∴点P的坐标为(3，4)或(-3，4)或(2.5，4)
（3）2【解析】【解答】解：(3)①当点P在点B的左侧运动时，如图1，点B关于直线OP的对称点为.B'在 外部，此种情况不符合题意；
②当点P与B重合时，点B'也与B重合，此时B'在 的边上，此种情况不符合题意；
③当点P继续从B点向右运动时，如图2，点B关于直线OP的对称点为B'在 外部，此种情况不符合题意；
④当点B关于直线OP的对称点为B'在 的边AP上时，如图3，过A作 于C.
此时，PB=a，OB=4，OA=5，则AC=OB=4，PC=5-a.
∵点B关于直线OP的对称点为.B'，
∴OP是BB'的垂直平分线，
在 中，
由勾股定理得： a=2.
⑤当PB=4时， 为等腰直角三角形，点B关于直线OP的对称点为B'在OA上， 如图4.
此时a=4，
综上所述，a的取值范围为：2故答案为：2【分析】(1)根据B点坐标可知OB的长度，再由a值即可得到BP的长度，根据勾股定理即可求出OP的长度；
(2)已知 是以OP为腰的等腰三角形，则OP=OA或OP=AP，结合BP=a，根据勾股定理计算即可；
(3)点B关于直线OP的对称点为B'，点P可能在点B的左侧，可能与点B重合，可能在点B的右侧，据此分类解答.
47．如图，在直角坐标系中，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的角平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明．
【答案】解：∠ACB的大小不发生改变，
如图，
∵BE平分∠ABF，CA平分∠OAB，
∴2∠EBA=∠ABF，∠OAB=2∠CAB，
又∵∠ABF为△AOB的外角，
∴∠ABF=∠AOB+∠OAB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABF=90°+∠OAB，
又∵∠EBA为△ACB的外角，
∴∠EBA=∠C+∠CAB，
∴90°+∠OAB=2（∠C+∠CAB），
90°+∠OAB=2∠C+∠OAB，
∴∠C=45°，
即∠ACB的大小不发生改变．
【解析】【分析】由BE平分∠ABF、CA平分∠OAB知2∠EBA=∠ABF、∠OAB=2∠CAB，根据△AOB外角性质得∠ABF=∠AOB+∠OAB，即∠ABF=90°+∠OAB，再根据△ACB外角性质得∠EBA=∠C+∠CAB，即90°+∠OAB=2（∠C+∠CAB），从而知90°+∠OAB=2∠C+∠OAB，即可得∠C=45°．
48．如图所示，在平面内有四个点，它们的坐标分别是A（﹣1，0），B（2+，0），C（2，1），D（0，1）．
（1）依次连结A、B、C、D，围成的四边形是一个 形；
（2）求这个四边形的面积；
（3）将这个四边形向左平移个单位长度，四个顶点的坐标分别为多少？
【答案】解：（1）如图所示；依次连结A、B、C、D，围成的四边形是一个梯形．故答案为梯；（2）∵A（﹣1，0），B（2+，0），C（2，1），D（0，1），∴AB=3+，CD=2，∴四边形ABCD的面积=（AB+CD） OD=（3++2）×1=；（3）A′（﹣1﹣，0），B′（2，0），C′（2﹣，1），D′（﹣，1）．
【解析】【分析】（1）顺次连接AB、BC、CD、DA，结合图形可得四边形BCD是梯形；
（2）求出AB和CD的长，根据梯形的面积计算公式求解即可；
（3）将四边形各顶点的横坐标减去，纵坐标不变即可求解．
49．如图，点A、B分别是x轴、y轴上的两个动点，以B为直角顶点，以为腰作等腰．
（1）如图①，若点C的横坐标为2，点B的坐标为________；
（2）如图②，过C作轴于点D，连接．求的大小；
（3）如图③，移动点A，B的位置，使x轴恰好平分，交x轴于点M，试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：由①得，，过C作轴于点E，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
（3）证明：在与中，作，点P在x轴上，交y轴于点N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴.
【解析】【解答】（1）解：过点C作y轴垂线轴，即（即C点横坐标为2）
∵，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴B坐标为，
故答案为：.
【分析】（1）过点C作y轴垂线轴，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，从而可得点B的坐标即可；
（2）过C作轴于点E，则，先证出为等腰直角三角形，可得，再利用角的运算求解即可；
（3）作，点P在x轴上，交y轴于点N，先证出，，再利用全等三角形的性质可得，再结合利用线段的和差及等量代换可得.
（1）过点C作y轴垂线轴，即（即C点横坐标为2）
∵，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴B坐标为；
（2）∵由①得，，
∵过C作轴于点E，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
（3）∵在与中，
作，点P在x轴上，交y轴于点N
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴
50．如果△ABC关于x轴进行轴对称变换后，得到△A1B1C1，而△A1B1C1关于y轴进行轴对称变换后，得到△A2B2C2，若△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，3）、B（-4，2）、C（-1，0），请你分别写出△A1B1C1与△A2B2C2各顶点坐标．
【答案】解：∵△ABC关于x轴进行轴对称变换后，得到△A1B1C1，△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，3）、B（-4，2）、C（-1，0），
∴△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1（-2，-3）、B1（-4，-2）、C1（-1，0），
∵△ABC关于y轴进行轴对称变换后，得到△A2B2C2，△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，3）、B（-4，2）、C（-1，0），
△A2B2C2三个顶点坐标分别为A2（2，-3）、B2（4，-2）、C2（1，0）．
【解析】【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，利用△ABC的三个顶点坐标就可得出△A1B1C1三个顶点的坐标；再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，由△A1B1C1三个顶点坐标就可得出△A2B2C2三个顶点的坐标。
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