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直角三角形（1）
定义：连接直角三角形的直角顶点与斜边中点的线段叫做
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。
判定：一边上的中线等于该边的一半三角形是
已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD＝CD。求证：BD=AD＝CD=
已知：如图，BD=AD＝CD=求证：Rt△ABC是Rt△
1.如图，在中，，是边的中点，连接，的度数．
2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，恰好是边的中点，求的度数
3.如图，在中，，D是的中点，且，的度数
4.如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，求的度数
5.如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，求的度数
6.如图，在中，，是的中点，，的长
7.如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，
则的长（ ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小
C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变
8.如图，在中，，，于点，是的中点，，的长
9如图，在中，点D在边上， ，点E，点F分别是的中点， ，长
10.如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，求的长．
11.如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，求的长．
12.在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，的度数
直角三角形（1）
已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD＝CD。求证：BD=AD＝CD=
证明：因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°
因为BD=CD，∠B=∠BCD，所以∠A=∠ACD,所以AD=CD
已知：如图，BD=AD＝CD=求证：Rt△ABC是Rt△
证明：因为BD=CD，AD=CD，所以∠B=∠BCD，∠A=∠ACD,
所以∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠ACB=90°，Rt△ABC是Rt△
1.【详解】解：∵在中，是边的中点，∴，∴，
∴．
2.【详解】解：在中，恰好是边的中点，则，，
，．
3.【详解】解：，，
∵D是的中点，，，，
为等边三角形，，，
，，
4.【详解】解：如图：∵在中，，∴，
∵，为边上的中线，
∴，∴，∵平分， ∴，
∴，
∵，∴，∴．
5.【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线，
，，，
∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，
，
，
．
6.【详解】解：在中，是的中点，，
7.【详解】解：∵，P为的中点，∴，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，故选：D．
8.【详解】解：∵，∴，
∵E是的中点，∴，∴为等边三角形，
∵，∴，∴，
9.【详解】解：连接，∵，F是的中点，∴，
又∵E是的中点，∴ (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴，
∵，∴．
10.【详解】解：连接，∵，点E是的中点，∴，∴，
又∵点F是的中点，∴，
11.【详解】解：∵，，∴，，
∵，∴，
∵为的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，
12.【详解】解：，是斜边的中点，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，，
，，
，，，
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30°的直角三角形：
30°的锐角所对的直角边等于斜边的
等边三角形三边 ，三个角都是 ，可以分割成两个含 的直角三角形；
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=200m。
问：这名滑雪运动员的高度下降了多少米
2.．已知等腰三角形的底角是，腰长是，求其腰上的高．
3．如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与的数量关系．
4.等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4 cm，求AD的长
.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．AC=9，求CE的值
6．如图，已知，点在边上，，点、点在边上，．若，求的长．
7、如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，求PD的长
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，求AC的长
9.、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，CD=4cm
（1）求证：AB=AD；（2）求BC的长．
10．某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，求河的宽度．
11、如图，在等边三角形中，，分别为，边上的两动点，且总使，与交于点，于点，求的值．
12.如图，中，是边的中点，，，垂足分别是点，，连结，．
求证：．若，，连接，求的面积．
1．【答案】解：如图，作Rt△ABC斜边上的中线CD，
则 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)。
因为∠B=30°，所以 (直角三角形的两个锐角互余)。
进而可得△ADC是等边三角形(为什么 )，故AC=AD=100(m)。
2.【详解】解：如图，过作，交延长线于，，，，
为上的高，，．
3.解：，理由如下：∵在等边中，，是中线，
∴，，，
，∴，，∴．
5.解答：解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=9，∴CE=3．
6.【详解】解：过点作于点，
∵，，，∴，
∵，，，∴，∴．
7.解答：解：∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POA，
∵∠AOP=∠BOP=15°，∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，
过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，∴PE=PC=10，
∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，∴PD=10×=5．
8.解：连接AD，∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E∴AD=BD=10，∠DBA=∠BAD=15°，∠DAC=60°，∠ADC=30°，∴AC=AD=5cm．
9.解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．（2分）∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD．
（2）解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠A+∠ABC=180°．
即∠ABC=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，∴∠ABD=∠DBC=30°．
又∵∠C=60°，∴△BDC是直角三角形（∠BDC=90°）．又∵CD=4cm，∴BC=2CD=2×4=8cm．
10.【详解】解：如图，过点作于点，
∵，∴，
∴，∴（米），
在中，（米）
11.【答案】因为是等边三角形，所以，因为，所以在和中，因为所以，所以，所以因为，所以，所以．
12.【解析】证明：，，点是的中点．
，，，为等腰三角形；
解：连接，，，
由知，，，
同理，，
，
作，垂足为，，，，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页登陆21世纪教育 助您教考全无忧
直角三角形全等的判定
______和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成“_________”．
1．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，证明：Rt△ADB≌Rt△ACB
2．如图，点B，E，F，C在同一直线上，AF⊥BC于点F，DE⊥BC于点E，AB＝DC，BE＝CF, 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
3.如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
求证：．若，求的度数．
4．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
5．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，求：∠AEB的度数．
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
7.如图，，，，垂足为点，，垂足为点求证：．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点0，请说明OB=OC的理由．
9.如图，于，于，若，，
求证：平分；已知，，求的长．
10．如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE长．
如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延长BC，DE交于点M．（1）求证：点A在∠M的平分线上；
（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的长．
12.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）求证：BM＝CN；（2）若AB＝8，AC＝4，求BM的长．
斜边 直角边 HL
1..【解析】∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ADB和Rt△ACB中，，∴Rt△ADB≌Rt△ACB（HL），
2. 证明：∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴△ABF，△DCE都是直角三角形．
∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
又∵AB＝DC，∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
3.证明：，
在和中，．
【小题】
，，．
，．
，，．
4．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB＝∠DCB∴OB＝OC∴△OBC是等腰三角形
5.解：由AD⊥BC，BF=AC，FD=CD，可得Rt△BDF≌Rt△ACD(HL) ∴∠FBD=∠CAD ∴∠AEB=∠FBD+∠C=∠CAD+∠C=90°
6.【解析】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．
7.【答案】证明：如图，连接，
，， ，
在和中，所以≌，
， 在和中，
≌，
8.解：∵AD⊥BD，AE⊥CE ∴∠E=∠D=90° AE=AD AB=AC ∴△AEC≌△ABD ∴∠ABD=∠ACE ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∴∠OBC=∠OCB ∴OB=OC
9.【答案】证明：，，，
在和中≌，，
，，平分；
解：≌，，
在和中，，
，，．
10.【解析】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15，即AB DE+AC DF＝（AB+AC） DE＝15，
∵AB+AC＝10，∴×10 DE＝15，∴DE＝3，
11.【解析】（1）证明：如图，连接AM，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），∴AB＝AD，
∵AB⊥BM，AD⊥DM，∴MA平分∠BMD，∴点A在∠BMD的平分线上；
（2）解：∵AC∥DM，∴∠CAM＝∠AMD，∴∠AMB＝∠CAM，∴CM＝AC，
设BC＝x，∴CM＝AC＝18﹣x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴122+x2＝（18﹣x）2，∴x＝5．∴BC＝5．
12.【解析】（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，
∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；
（2）解：由（1）得：BM＝CN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴AM＝AN，
∵AM＝AB﹣BM，AN＝AC+CN，∴AB﹣BM＝AC+CN，∴2BM＝AB﹣AC＝8﹣4＝4，
∴BM＝2．
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