浙教版数学九年级上册期末检测基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025九上·金东期末）若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·温州期末）抛物线与y轴的交点为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·义乌期末）已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（ ）
A．外 B．上 C．内 D．不能确定
4．（2025九上·义乌期末）下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．任意掷一枚硬币，正面朝上
B．若、是实数．则
C．两数相乘，积为正数
D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐
5．（2025九上·诸暨期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
7．（2025九上·路桥期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．在十字交叉路口，遇到红灯亮起
B．在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性
C．小明在一次射击练习时，命中靶心
D．掷一枚硬币，国徽面朝上
8．（2025九上·海曙期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率，当他把一枚硬币抛掷 24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（ ）
A．11011 B．12012 C．13013 D．14014
9．（2025九上·西湖期末）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·路桥期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ）
A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025九上·上城期末）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为 ．
12．（2025九上·金东期末）一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为 ．
13．（2025九上·柯桥期末）已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ．
14．（2025九上·海曙期末）已知扇形的半径为6，弧长为3π，则扇形的面积为 .
15．（2025九上·鹿城期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ．
16．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025九上·温州期末）如图， ．求 的度数．
18．（2025九上·婺城期末）已知，，是的三边长，且，，求的周长．
19．（2025九上·丽水期末）已知二次函数的图象经过点．
（1）求c的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
20．（2024九上·温岭期末）如图，中，，，求的度数．
21．（2023九上·瓯海期中）临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．
（1）甲坐在①号座位上的概率是 ；
（2）用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．
22．（2024九上·越城期末）已知抛物线解析式为．
（1）求该抛物线开口方向，对称轴；
（2）求抛物线与轴，轴的交点．
23．（2025九上·金东期末）根据以下素材，探索完成任务．
临近春节，天气寒冷，美美服装店购进一批加绒裤进行销售．
素材1 已知该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条．
素材2 为了促销，该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖条．设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条．
【问题解决】
任务1 填空： 售价（元/条）……每星期可卖条数（条）________…________…
任务2 当每条售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
任务3 当每条加绒裤售价定为多少元时，该店一星期可获得元的利润？若该店每星期想要获得不低于元的利润，则每星期至少要销售该款加绒裤多少条？
24．（2025九上·西湖期末）综合与实践
【问题提出】
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
【实验探究】
（1）获得猜想
观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号）
①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补；
（2）推理证明
已知：在四边形中，
求证：过点可作一个圆．
证明：假设过点不能作一个圆．
如图⑤，过三点作，点不在圆上．
若点在外，与交于点，连接，则①
，
而是的外角，
② ．出现矛盾，故假设不成立．
所以点在过三点的圆上．
同理可证点在内的情况．
【应用结论】
（3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分．
①若，求的度数．
②若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∴此选项符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”依次判断即可求解．
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在中，
当时，，
∴抛物线与轴交点的坐标是，
故选：B．
【分析】
对于二次函数始终交y轴于点．
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，，
∴，
∴点A在内．
故选：C．
【分析】
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当d>r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d4．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意；
C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意；
D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】
必然事件是指必然会发生的事件，不可能事件是指不可能发生的事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
是的中点，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接AD，由等弧所对的圆周角相等得到，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，
抛物线向上平移3个单位得到，
平移方式是向上平移3个单位，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减（影响x），上加下减（影响y）”，即可得到答案．
7．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：、在十字交叉路口，遇到红灯亮起是随机事件，故本选项不符合题意；
、在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性是必然事件，故本选项符合题意；
、小明在一次射击练习时，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
、掷一枚硬币，国徽面朝上是随机事件，故本选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：正面向上的概率为0.5，
∴掷一枚均匀的硬币24000次 ，正面朝上的次数约为 12012 .
故答案为：B.
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，
故A、B、D选项错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故答案为：B．
【分析】将点A（0，1.5）代入y=a(x-1)2+2算出a的值，可求出 第一次着地前的抛物线解析式， 令所求抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值可得点B的坐标，进而由“ 根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的”求出第二次着地前抛物线顶点的纵坐标为m，由“ 弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线 ”可得两抛物线的二次项系数相同，故设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，再将点B的坐标代入算出h的值， 可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
11．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：依题意，
∴（负值舍去）
故答案为：．
【分析】根据题意得出，代入数据进行计算即可求解．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，
从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率．
故答案为：．
【分析】根据概率公式可得：概率等于所求情况数与总情况数之比，结合已知即可求解．
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段，
则．
故答案为：．
【分析】
由黄金分割点的定义知是较长线段，则．
14．【答案】9π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：9π.
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BD，由圆周角定理知得到的度数．
16．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。
∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案为：a=2b。
【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。
17．【答案】解：
又∵
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出再根据相似三角形的性质即可求出
18．【答案】解：设，则，，．
∵，
，解得．
的周长为．
答：的周长为18.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】求三角形的周长，实质是求三角形的三条边长，由比例的基本性质可设这一组比例式的值为k，则a、b、c三边都可用含k的代数式表示，再借助a、b、c的数量关系即可。
19．【答案】（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将代入可得，求出c值即可；
（2）把x=-2代入求出y值判断即可．
（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
20．【答案】解：∵，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，
所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：因为甲座在①、②、③ 的概率相同，故甲坐在①号座位上的概率是：
故答案为：
【分析】（1）根据等可能事件的概率公式即可得解；
（2）按照座位画出树状图，可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，即可求解．
22．【答案】（1）开口方向向上，对称轴为轴
（2）抛物线与轴的交点为及，轴的交点为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
23．【答案】（1）；；
（2）依题意，得：，
∵，
∴时，，
∴每条售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润是元；
（3）①由题意得：，
解得：或，
∴当每条加绒裤售价定为元或元时，该店一星期可获得元的利润；
②由题意得：，解得：，
∵，
∴，
∴每星期至少要销售该款童装件．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条，
∵该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条，且每降价元，每星期可多卖条，
∴，
∴当时，（条），
故答案为：；；（2）（3）
【分析】
（1）根据售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系即可求解；
（2）设每星期利润为元，根据每星期的销售利润S=单件的利润×销售量可得s与x之间的函数关系式，将解析式配成顶点式并结合二次函数的性质可求解；
（3）根据（2）的结论可得关于x的不等式，解不等式可求解．
24．【答案】（）④；
（），；
（）解：①∵，
∴四点共圆，
∵平分，，
∴，
∴；
②由①可知，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，
故答案为：④；
（）证明：假设过点，，，不能作一个圆，
如图，过，，三点作，点不在圆上，
若点在外，
设与交于点，连接，则，
，
，
而是的外角，
，出现矛盾，故假设不成立，
∴点在过，，三点的圆上，
同理可证点在内的情况，
故答案为：，；
【分析】
（）由于圆内接四边形的对角互补，则对角互补的四边形也是圆内接四边形；
（）利用反证法论证，即假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得，则由同角的补角相等可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证；
（）①由于四边形ABCD的一组对角互补，则四边形ABCD是圆内接四边形，则由圆周角定理可得，再由角平分线的概念可得，等量代换得；
②由①知，又，则由AA可证明，由相似比可得，再利用比例的性质即可求解．
1 / 1浙教版数学九年级上册期末检测基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025九上·金东期末）若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∴此选项符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”依次判断即可求解．
2．（2025九上·温州期末）抛物线与y轴的交点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在中，
当时，，
∴抛物线与轴交点的坐标是，
故选：B．
【分析】
对于二次函数始终交y轴于点．
3．（2025九上·义乌期末）已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（ ）
A．外 B．上 C．内 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，，
∴，
∴点A在内．
故选：C．
【分析】
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当d>r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d4．（2025九上·义乌期末）下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．任意掷一枚硬币，正面朝上
B．若、是实数．则
C．两数相乘，积为正数
D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意；
C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意；
D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】
必然事件是指必然会发生的事件，不可能事件是指不可能发生的事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．
5．（2025九上·诸暨期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
是的中点，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接AD，由等弧所对的圆周角相等得到，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，即可得到答案．
6．（2025九上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，
抛物线向上平移3个单位得到，
平移方式是向上平移3个单位，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减（影响x），上加下减（影响y）”，即可得到答案．
7．（2025九上·路桥期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．在十字交叉路口，遇到红灯亮起
B．在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性
C．小明在一次射击练习时，命中靶心
D．掷一枚硬币，国徽面朝上
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：、在十字交叉路口，遇到红灯亮起是随机事件，故本选项不符合题意；
、在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性是必然事件，故本选项符合题意；
、小明在一次射击练习时，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
、掷一枚硬币，国徽面朝上是随机事件，故本选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
8．（2025九上·海曙期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率，当他把一枚硬币抛掷 24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（ ）
A．11011 B．12012 C．13013 D．14014
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：正面向上的概率为0.5，
∴掷一枚均匀的硬币24000次 ，正面朝上的次数约为 12012 .
故答案为：B.
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可.
9．（2025九上·西湖期末）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，
故A、B、D选项错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
10．（2025九上·路桥期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ）
A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故答案为：B．
【分析】将点A（0，1.5）代入y=a(x-1)2+2算出a的值，可求出 第一次着地前的抛物线解析式， 令所求抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值可得点B的坐标，进而由“ 根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的”求出第二次着地前抛物线顶点的纵坐标为m，由“ 弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线 ”可得两抛物线的二次项系数相同，故设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，再将点B的坐标代入算出h的值， 可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025九上·上城期末）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为 ．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：依题意，
∴（负值舍去）
故答案为：．
【分析】根据题意得出，代入数据进行计算即可求解．
12．（2025九上·金东期末）一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，
从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率．
故答案为：．
【分析】根据概率公式可得：概率等于所求情况数与总情况数之比，结合已知即可求解．
13．（2025九上·柯桥期末）已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段，
则．
故答案为：．
【分析】
由黄金分割点的定义知是较长线段，则．
14．（2025九上·海曙期末）已知扇形的半径为6，弧长为3π，则扇形的面积为 .
【答案】9π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：9π.
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
15．（2025九上·鹿城期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BD，由圆周角定理知得到的度数．
16．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。
∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案为：a=2b。
【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025九上·温州期末）如图， ．求 的度数．
【答案】解：
又∵
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出再根据相似三角形的性质即可求出
18．（2025九上·婺城期末）已知，，是的三边长，且，，求的周长．
【答案】解：设，则，，．
∵，
，解得．
的周长为．
答：的周长为18.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】求三角形的周长，实质是求三角形的三条边长，由比例的基本性质可设这一组比例式的值为k，则a、b、c三边都可用含k的代数式表示，再借助a、b、c的数量关系即可。
19．（2025九上·丽水期末）已知二次函数的图象经过点．
（1）求c的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将代入可得，求出c值即可；
（2）把x=-2代入求出y值判断即可．
（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
20．（2024九上·温岭期末）如图，中，，，求的度数．
【答案】解：∵，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
21．（2023九上·瓯海期中）临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．
（1）甲坐在①号座位上的概率是 ；
（2）用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，
所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：因为甲座在①、②、③ 的概率相同，故甲坐在①号座位上的概率是：
故答案为：
【分析】（1）根据等可能事件的概率公式即可得解；
（2）按照座位画出树状图，可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，即可求解．
22．（2024九上·越城期末）已知抛物线解析式为．
（1）求该抛物线开口方向，对称轴；
（2）求抛物线与轴，轴的交点．
【答案】（1）开口方向向上，对称轴为轴
（2）抛物线与轴的交点为及，轴的交点为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
23．（2025九上·金东期末）根据以下素材，探索完成任务．
临近春节，天气寒冷，美美服装店购进一批加绒裤进行销售．
素材1 已知该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条．
素材2 为了促销，该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖条．设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条．
【问题解决】
任务1 填空： 售价（元/条）……每星期可卖条数（条）________…________…
任务2 当每条售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
任务3 当每条加绒裤售价定为多少元时，该店一星期可获得元的利润？若该店每星期想要获得不低于元的利润，则每星期至少要销售该款加绒裤多少条？
【答案】（1）；；
（2）依题意，得：，
∵，
∴时，，
∴每条售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润是元；
（3）①由题意得：，
解得：或，
∴当每条加绒裤售价定为元或元时，该店一星期可获得元的利润；
②由题意得：，解得：，
∵，
∴，
∴每星期至少要销售该款童装件．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条，
∵该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条，且每降价元，每星期可多卖条，
∴，
∴当时，（条），
故答案为：；；（2）（3）
【分析】
（1）根据售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系即可求解；
（2）设每星期利润为元，根据每星期的销售利润S=单件的利润×销售量可得s与x之间的函数关系式，将解析式配成顶点式并结合二次函数的性质可求解；
（3）根据（2）的结论可得关于x的不等式，解不等式可求解．
24．（2025九上·西湖期末）综合与实践
【问题提出】
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
【实验探究】
（1）获得猜想
观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号）
①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补；
（2）推理证明
已知：在四边形中，
求证：过点可作一个圆．
证明：假设过点不能作一个圆．
如图⑤，过三点作，点不在圆上．
若点在外，与交于点，连接，则①
，
而是的外角，
② ．出现矛盾，故假设不成立．
所以点在过三点的圆上．
同理可证点在内的情况．
【应用结论】
（3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分．
①若，求的度数．
②若，，求线段的长．
【答案】（）④；
（），；
（）解：①∵，
∴四点共圆，
∵平分，，
∴，
∴；
②由①可知，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，
故答案为：④；
（）证明：假设过点，，，不能作一个圆，
如图，过，，三点作，点不在圆上，
若点在外，
设与交于点，连接，则，
，
，
而是的外角，
，出现矛盾，故假设不成立，
∴点在过，，三点的圆上，
同理可证点在内的情况，
故答案为：，；
【分析】
（）由于圆内接四边形的对角互补，则对角互补的四边形也是圆内接四边形；
（）利用反证法论证，即假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得，则由同角的补角相等可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证；
（）①由于四边形ABCD的一组对角互补，则四边形ABCD是圆内接四边形，则由圆周角定理可得，再由角平分线的概念可得，等量代换得；
②由①知，又，则由AA可证明，由相似比可得，再利用比例的性质即可求解．
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