浙教版数学九年级上册期末检测培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025九上·柯桥期末）已知，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】
由题意知，再根据比例的性质化等积式为比例式即可．
2．（2025九上·柯桥期末）已知的半径为5，，则点在（ ）
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，
点与的位置关系是点在圆外，
故选：C．
【分析】
设点到圆心的距离为d，半径为r，若点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，．
3．（2025九上·金东期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：两个相似三角形面积的比为，
它们的相似比．
故答案为：D．
【分析】据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
4．（2025九上·江北期末）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若 ∠C=140°，则 ∠BOD的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
由圆周角定理得，
故答案为： B.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答.
5．（2025九上·温州期末）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 有最小值 B．当 时， 有取大值
C．当 时， 有最小值 D．当 时， 有最大值
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
A.∵当 1时，y有最小值，∴A选项不正确；
B.∵当 时，y有最大值，∴B选项不正确；
C.∵当 时，y有最小值，∴C选项正确；
D.∵当 时，y有最大值，∴D选项不正确.
故答案为： C.
【分析】配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐一判断即得.
6．（2025九上·上城期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.80 B．0.79 C．0.78 D．0.77
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是0.78；
故选C．
【分析】根据频率稳定性定理：用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可．
7．（2025九上·金东期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连结，
是的半径，弦，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B．
【分析】连结，由题意，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧
”可得，则，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
8．（2025九上·义乌期末）如图，在的、边上分别取点、使得与以、、为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定、的方法，正确的有（ ）．
A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：第一种情况：
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
第二种情况：
由作图知：，
∵，
∴；
第三种情况：
由作图知：平分，E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定E、F的三种方法都正确．
故选：A．
【分析】
第一种情况，由圆内接四边形的性质可得，而已知，可利用AA判定；
第二种情况：由基本尺规作图知作，又已知，可利用AA判定；
第三种情况：由基本尺规作图知作：平分，又作的垂直平分线交AB于点E，则由角平分线的概念结合垂直平分线的性质可得，即有，同第二种情况可判定．
9．（2025九上·柯桥期末）如图，中，，，以为直径的分别交于点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
由于直径所对的圆周角是直角，则连接可得，再由等腰三角形的三线合一性质可得，再由圆的内接四边形的性质可得，又是公共角相等，则可证，再利用相似比计算即可．
10．（2025九上·诸暨期末）等腰，，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B.
【分析】将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接PE、CE，由旋转的性质得，，由等腰直角三角形性质得到，，由周角求出，由同角的余角相等得，从而利用SAS证明，由全等三角形的对应角相等得到，由角的构成可证明，，由等角对等边得，由勾股定理得出，，则，求出，即可得到结论.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025九上·温州期末）拋物线 的开口向下，则 的值可以取 ．（写出一个即可）
【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下，
∴a的值可以为 .
故答案为：
【分析】二次函数的开口方向由二次项系数a决定， 当时， 开口向上， 当 时，开口向下.
12．（2025九上·海曙期末）在 20件样品中，有一等品 10件，二等品7件，三等品3件，从中任取1件，结果为三等品的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵共20件样品，三等品有3件，
∴从中任取1件，结果为三等品的概率为
故答案为： .
【分析】用三等品的件数除以所有样品的总数即可求得答案.
13．（2025九上·婺城期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】
解：设米，米，
米，
由物理性质可得入射角等于反射角，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
∴，
即，
解得，即米．
故答案为：．
【分析】镜面相似相对简单，由于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两三角形相似。
14．（2025九上·金东期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意知：N是的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点可得，然后由线段的和差AN=AD-DN可求解．
15．（2025九上·义乌期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．
【答案】解：令，则，解得或，∴，∵相邻支撑杆之间的距离为，，，∴在轴右侧，共7条，同理在轴左侧最多安装7条，∴最多可安装支撑杆14条，故答案为：14．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】由抛物线上点的坐标特征可令，则可求出的值为，则AB＝4，再由抛物线的轴对称性质可先在y轴右侧0.15米处开始安装支撑杆，则剩余距离1.85米可安装6根撑杆，且第6根撑杆距离点B0.05米，即右侧可安装7根撑杆，同理左侧也可安装7根撑杆，即最多可安装14根撑杆．
16．（2023九上·舟山期末）已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，，
，
，
当时，有，解得，，
，
，
，
点是的中点，
为三角形的中位线，即有，
，当、、三点共线等号成立，即，
故的最小值为，
故答案为：．
【分析】求出、两点的坐标，连接，取的中点，连接，，利用勾股定理得到，可得长， 利用中位线定理得出的值，然后根据三角形三遍关系的应用得到的最小值即可．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·长兴期末）已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
．
（2）解：，
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据比例性质解题即可；
（2）把代入化简解题即可．
（1）解：，
．
（2）解：，
．
18．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，为的一条角平分线，在上取点，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵为的一条角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
∴，
解得：．
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义及等边对等角推出∠1=∠3，由内错角相等，两直线平行推出DE∥AB，进而根据平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似可得结论；
（2）由相似三角形对应边成比例建立方程，即可求解.
（1）证明：如图，
∵为的一条角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
∴，
解得：．
19．（2025九上·新昌期末）如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表．
自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 …
指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 …
指针落在黑色区域的频率p
（1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数．
（2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率．
【答案】（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为，
，
答：黑色扇形图心角为90°；
（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
【知识点】扇形统计图；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用表格得出指针落在黑色区域的频率为，然后求出圆心角即可；
（2）利用频率估计概率即可解题．
（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为，
，
答：黑色扇形图心角为90°；
（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
20．（2025九上·温州期末）尺规作图（注：在答题纸上作图，并保留作图痕迹）
已知A，B是圆上两点，用直尺和圆规作圆的内接等腰三角形．
雯雯：如图1，以点A为圆心，长为半径作弧，交圆于点C，可以画出．
周周：以点B为圆心，为半径作弧，交圆于点C，也可以画出．
（1）请按照周周的说法，在图2中画出等腰三角形．
（2）雯雯思考后认为，她和周周的作法都不严谨，请说明理由．
【答案】（1）解：按照周周的说法，画出等腰三角形；
（2）解：当边过圆心时，以点B为圆心，以边长为半径的弧不能交圆于另一点，此方法作不出圆内接等腰三角形．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-直线、射线、线段；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
（1）以点B为圆心，以边长为半径画弧交圆于另一点C，连接即可；
（2）当AB是直径时，无论以A还是以B圆心，以AB长为半径作的弧都无法与圆产生第三个交点，则无法作出三角形．
（1）解：按照周周的说法，画出等腰三角形；
（2）解：当边过圆心时，以点B为圆心，以边长为半径的弧不能交圆于另一点，此方法作不出圆内接等腰三角形．
21．（2025九上·义乌期末）已知二次函数过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最小值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值．
【答案】（1）解：把代入得，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数为，
∴ 抛物线上的点距离对称轴越大函数值越小，
∴在中，且当时，二次函数有的最小值，
最小值为：；
（3）解：当对称轴在范围内时，，即，由（2）得，当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，
∴当或时，有最小值为，即，
解得，
当时，不满足；
当时，，不满足；
∴当对称轴在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6，
∴范围在直线的一边，
∴当、时，函数有最大值或最小值，
∴，
解得，．
即的值为2或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）由抛物线上点的坐标特征把代入到解析式中得关于a的方程并求解即可；
（2）先化抛物线解析式的一般形式为顶点式，由于二次项系数为负，则抛物线开口向下，且抛物线上的点距离对称轴越大函数值越小，则当时函数有最小值；
（3）由于t的值未知，因此应分类讨论，即当直线在范围内或在其范围外时，分别求出最值，再利用二次函数的最大值与最小值的和为6列方程，求出t即可判断得解．
（1）解：把代入得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数为，
∴当时，y取最大值为8，
当时，，
当时，，
∴时，当时，二次函数的最小值；
（3）解：当对称轴直线在范围内时，，即，
由（2）得，当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，
∴当或时，有最小值为，即，
解得，
当时，不满足；
当时，，不满足；
∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6，
∴范围在直线的一边，
∴当、时，函数有最大值或最小值，
∴，
解得，．
即的值为2或．
22．（2024九上·杭州期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
【答案】（1），点是中点，
，
由题可知，
，，
，，
解得，
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得
（3）；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知，，再代值求解即可；
(2)先由，得到DE=5a，DP=4a，进而知道BP=BD-DP=14.4-4a，再利用求解即可；
(3)由(1)(2)可知，所以证明即可，连接AC，证△EOF∽△COA，即可得解.
23．（2025九上·江北期末）某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供 200 人同时游玩，当游玩票价为 50 元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间（含 50 元和 80 元）浮动时，每提高 2 元，每场人数会减少 4 人．
（1）设票价为 元，请写出每场人数 关于票价 的函数关系式．
（2）已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据＂营业收入 票价 每场人数＂这一关系，求此时的票价．
（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：
（2）解：
解得
（3）解：w
当票价为 75 时，当场营业收入最大为 11250 元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4人列出y与x的函数解析式；
(2)根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系列出方程，解方程即可；
(3)根据“营业收入=票价×每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
24．（2025九上·江北期末）如图 1，四边形 为圆内接四边形，对角线 与 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证： ．
（2）如图 2，若点 为 的中点，求证： ．
（3）在（2）的条件下， 的面积为 2 ，求 的长．
【答案】（1）证明： 四边形 为圆内接四边形，
，
，
，
，
．
（2）证明：解法一：
，
，
，
．
，
，
点 为 的中点，
，
，
．
解法二：
点 为 的中点，
，
．
，
，
，
，
.
（3）解：如图，连结 ，作 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
设 ，
在 Rt 中，
解得 舍去 ，
在 Rt 中，
解得 （舍去），
设 ，
在 Rt 中，
，
，
解得 （舍去），
的长为 ．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，即可得到解题即可；
（2）证明 ，即可得到 ，燃弧根据得到 ，进而得到，即可得到结论；
（3）连结 ，作 ，然后证明DF∥BC，设 ，则CF=2x+1，然后在 Rt 中，利用勾股定理求出x的值，再在Rt 中，中运用勾股定理求出CE长即可解题.
1 / 1浙教版数学九年级上册期末检测培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025九上·柯桥期末）已知，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2025九上·柯桥期末）已知的半径为5，，则点在（ ）
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
3．（2025九上·金东期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·江北期末）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若 ∠C=140°，则 ∠BOD的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·温州期末）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 有最小值 B．当 时， 有取大值
C．当 时， 有最小值 D．当 时， 有最大值
6．（2025九上·上城期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.80 B．0.79 C．0.78 D．0.77
7．（2025九上·金东期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2025九上·义乌期末）如图，在的、边上分别取点、使得与以、、为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定、的方法，正确的有（ ）．
A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误
9．（2025九上·柯桥期末）如图，中，，，以为直径的分别交于点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2025九上·诸暨期末）等腰，，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025九上·温州期末）拋物线 的开口向下，则 的值可以取 ．（写出一个即可）
12．（2025九上·海曙期末）在 20件样品中，有一等品 10件，二等品7件，三等品3件，从中任取1件，结果为三等品的概率为 .
13．（2025九上·婺城期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米．
14．（2025九上·金东期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ．
15．（2025九上·义乌期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．
16．（2023九上·舟山期末）已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·长兴期末）已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，为的一条角平分线，在上取点，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
19．（2025九上·新昌期末）如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表．
自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 …
指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 …
指针落在黑色区域的频率p
（1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数．
（2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率．
20．（2025九上·温州期末）尺规作图（注：在答题纸上作图，并保留作图痕迹）
已知A，B是圆上两点，用直尺和圆规作圆的内接等腰三角形．
雯雯：如图1，以点A为圆心，长为半径作弧，交圆于点C，可以画出．
周周：以点B为圆心，为半径作弧，交圆于点C，也可以画出．
（1）请按照周周的说法，在图2中画出等腰三角形．
（2）雯雯思考后认为，她和周周的作法都不严谨，请说明理由．
21．（2025九上·义乌期末）已知二次函数过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最小值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值．
22．（2024九上·杭州期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
23．（2025九上·江北期末）某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供 200 人同时游玩，当游玩票价为 50 元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间（含 50 元和 80 元）浮动时，每提高 2 元，每场人数会减少 4 人．
（1）设票价为 元，请写出每场人数 关于票价 的函数关系式．
（2）已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据＂营业收入 票价 每场人数＂这一关系，求此时的票价．
（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？
24．（2025九上·江北期末）如图 1，四边形 为圆内接四边形，对角线 与 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证： ．
（2）如图 2，若点 为 的中点，求证： ．
（3）在（2）的条件下， 的面积为 2 ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】
由题意知，再根据比例的性质化等积式为比例式即可．
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，
点与的位置关系是点在圆外，
故选：C．
【分析】
设点到圆心的距离为d，半径为r，若点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，．
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：两个相似三角形面积的比为，
它们的相似比．
故答案为：D．
【分析】据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
由圆周角定理得，
故答案为： B.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
A.∵当 1时，y有最小值，∴A选项不正确；
B.∵当 时，y有最大值，∴B选项不正确；
C.∵当 时，y有最小值，∴C选项正确；
D.∵当 时，y有最大值，∴D选项不正确.
故答案为： C.
【分析】配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐一判断即得.
6．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是0.78；
故选C．
【分析】根据频率稳定性定理：用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可．
7．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连结，
是的半径，弦，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B．
【分析】连结，由题意，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧
”可得，则，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
8．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：第一种情况：
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
第二种情况：
由作图知：，
∵，
∴；
第三种情况：
由作图知：平分，E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定E、F的三种方法都正确．
故选：A．
【分析】
第一种情况，由圆内接四边形的性质可得，而已知，可利用AA判定；
第二种情况：由基本尺规作图知作，又已知，可利用AA判定；
第三种情况：由基本尺规作图知作：平分，又作的垂直平分线交AB于点E，则由角平分线的概念结合垂直平分线的性质可得，即有，同第二种情况可判定．
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
由于直径所对的圆周角是直角，则连接可得，再由等腰三角形的三线合一性质可得，再由圆的内接四边形的性质可得，又是公共角相等，则可证，再利用相似比计算即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B.
【分析】将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接PE、CE，由旋转的性质得，，由等腰直角三角形性质得到，，由周角求出，由同角的余角相等得，从而利用SAS证明，由全等三角形的对应角相等得到，由角的构成可证明，，由等角对等边得，由勾股定理得出，，则，求出，即可得到结论.
11．【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下，
∴a的值可以为 .
故答案为：
【分析】二次函数的开口方向由二次项系数a决定， 当时， 开口向上， 当 时，开口向下.
12．【答案】
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵共20件样品，三等品有3件，
∴从中任取1件，结果为三等品的概率为
故答案为： .
【分析】用三等品的件数除以所有样品的总数即可求得答案.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】
解：设米，米，
米，
由物理性质可得入射角等于反射角，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴，
∴，
即，
解得，即米．
故答案为：．
【分析】镜面相似相对简单，由于已有一组直角相等，再利用入射角等于反射角相等即可证明两三角形相似。
14．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意知：N是的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点可得，然后由线段的和差AN=AD-DN可求解．
15．【答案】解：令，则，解得或，∴，∵相邻支撑杆之间的距离为，，，∴在轴右侧，共7条，同理在轴左侧最多安装7条，∴最多可安装支撑杆14条，故答案为：14．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】由抛物线上点的坐标特征可令，则可求出的值为，则AB＝4，再由抛物线的轴对称性质可先在y轴右侧0.15米处开始安装支撑杆，则剩余距离1.85米可安装6根撑杆，且第6根撑杆距离点B0.05米，即右侧可安装7根撑杆，同理左侧也可安装7根撑杆，即最多可安装14根撑杆．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，，
，
，
当时，有，解得，，
，
，
，
点是的中点，
为三角形的中位线，即有，
，当、、三点共线等号成立，即，
故的最小值为，
故答案为：．
【分析】求出、两点的坐标，连接，取的中点，连接，，利用勾股定理得到，可得长， 利用中位线定理得出的值，然后根据三角形三遍关系的应用得到的最小值即可．
17．【答案】（1）解：，
．
（2）解：，
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据比例性质解题即可；
（2）把代入化简解题即可．
（1）解：，
．
（2）解：，
．
18．【答案】（1）证明：如图，
∵为的一条角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
∴，
解得：．
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义及等边对等角推出∠1=∠3，由内错角相等，两直线平行推出DE∥AB，进而根据平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似可得结论；
（2）由相似三角形对应边成比例建立方程，即可求解.
（1）证明：如图，
∵为的一条角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
∴，
解得：．
19．【答案】（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为，
，
答：黑色扇形图心角为90°；
（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
【知识点】扇形统计图；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用表格得出指针落在黑色区域的频率为，然后求出圆心角即可；
（2）利用频率估计概率即可解题．
（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为，
，
答：黑色扇形图心角为90°；
（2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为，
所以小明获赠小礼物的概率是，
答：小明获赠小礼物的概率是．
20．【答案】（1）解：按照周周的说法，画出等腰三角形；
（2）解：当边过圆心时，以点B为圆心，以边长为半径的弧不能交圆于另一点，此方法作不出圆内接等腰三角形．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-直线、射线、线段；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
（1）以点B为圆心，以边长为半径画弧交圆于另一点C，连接即可；
（2）当AB是直径时，无论以A还是以B圆心，以AB长为半径作的弧都无法与圆产生第三个交点，则无法作出三角形．
（1）解：按照周周的说法，画出等腰三角形；
（2）解：当边过圆心时，以点B为圆心，以边长为半径的弧不能交圆于另一点，此方法作不出圆内接等腰三角形．
21．【答案】（1）解：把代入得，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数为，
∴ 抛物线上的点距离对称轴越大函数值越小，
∴在中，且当时，二次函数有的最小值，
最小值为：；
（3）解：当对称轴在范围内时，，即，由（2）得，当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，
∴当或时，有最小值为，即，
解得，
当时，不满足；
当时，，不满足；
∴当对称轴在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6，
∴范围在直线的一边，
∴当、时，函数有最大值或最小值，
∴，
解得，．
即的值为2或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）由抛物线上点的坐标特征把代入到解析式中得关于a的方程并求解即可；
（2）先化抛物线解析式的一般形式为顶点式，由于二次项系数为负，则抛物线开口向下，且抛物线上的点距离对称轴越大函数值越小，则当时函数有最小值；
（3）由于t的值未知，因此应分类讨论，即当直线在范围内或在其范围外时，分别求出最值，再利用二次函数的最大值与最小值的和为6列方程，求出t即可判断得解．
（1）解：把代入得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数为，
∴当时，y取最大值为8，
当时，，
当时，，
∴时，当时，二次函数的最小值；
（3）解：当对称轴直线在范围内时，，即，
由（2）得，当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，
∴当或时，有最小值为，即，
解得，
当时，不满足；
当时，，不满足；
∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6，
∴范围在直线的一边，
∴当、时，函数有最大值或最小值，
∴，
解得，．
即的值为2或．
22．【答案】（1），点是中点，
，
由题可知，
，，
，，
解得，
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得
（3）；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知，，再代值求解即可；
(2)先由，得到DE=5a，DP=4a，进而知道BP=BD-DP=14.4-4a，再利用求解即可；
(3)由(1)(2)可知，所以证明即可，连接AC，证△EOF∽△COA，即可得解.
23．【答案】（1）解：
（2）解：
解得
（3）解：w
当票价为 75 时，当场营业收入最大为 11250 元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4人列出y与x的函数解析式；
(2)根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系列出方程，解方程即可；
(3)根据“营业收入=票价×每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
24．【答案】（1）证明： 四边形 为圆内接四边形，
，
，
，
，
．
（2）证明：解法一：
，
，
，
．
，
，
点 为 的中点，
，
，
．
解法二：
点 为 的中点，
，
．
，
，
，
，
.
（3）解：如图，连结 ，作 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
设 ，
在 Rt 中，
解得 舍去 ，
在 Rt 中，
解得 （舍去），
设 ，
在 Rt 中，
，
，
解得 （舍去），
的长为 ．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，即可得到解题即可；
（2）证明 ，即可得到 ，燃弧根据得到 ，进而得到，即可得到结论；
（3）连结 ，作 ，然后证明DF∥BC，设 ，则CF=2x+1，然后在 Rt 中，利用勾股定理求出x的值，再在Rt 中，中运用勾股定理求出CE长即可解题.
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