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图形与坐标 单元知识巩固卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点．则摩天轮位于点（ ）
A． B． C． D．
2．若点A(m，n)和点B(5，-7)关于x轴对称，则m，n的值分别是（ ）
A．5，7 B．5，-7 C．-5，7 D．-5，-7
3．已知点，若，，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题是真命题的有（ ）
①若a＞b，则a2＞b2；②如果直角三角形两条边的长度分别为3和4，那么斜边上中线的长度为2.5；③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④点（3，4）关于y轴对称点的坐标为（-3，4）；⑤等腰三角形的两条边长分别为3和7，则三角形的周长是13或17.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．A（﹣4，﹣5），B（﹣6，﹣5），则AB等于（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
6．若点 在第三象限，则点 一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图是一所学校的平面示意图，若用 表示教学楼， 表示旗杆，则实验楼的位置可表示成（ ）
A． B． C． D．
9．若点 在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点A出发按的规律每秒1个单位长度爬行，则2023秒时蚂蚁所在的位置是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）和（3、0）点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，此时点C的坐标为 ．
12．如果点P（6，1﹣m）在第四象限，写出的m的取值范围 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，长为的线段点在点右侧在轴上移动，，，连接，，则的最小值为 ．
14．点A的坐标为（2，﹣3），它关于坐标原点O对称的点的坐标为 ．
15．在平面直角坐标系中，点 绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ．
16．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P的坐标是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（ ），B′（ ），C′（ ）
（3）计算△ABC的面积．
18．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．
（1）已知点的“级关联点”是点”，则点的坐标为______；
（2）已知点的“级关联点”为点位于轴上，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点，使轴，且，求点的坐标．
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为（2，2），文化馆的坐标为（-1，3）.
（1）请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）直接写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场A与图书馆B相距3个单位长度，AB∥y轴，B（1，1），请在图中标出A，B的位置，并写出A点坐标.
20．某风景区中古塔、飞瀑、笔峰、望夫石四个景点的位置依次在一个边长为4km的正方形的四个顶点上(如图)。试选取适当的比例，建立适当的坐标系，确定四个顶点的坐标，并在直角坐标系中标出它们的位置。
21． 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为(1，2)、(4，1).
（1）线段A1B1是由线段AB经过平移得到的，则点A1的坐标是( )；
（2）线段A2B2是由线段A1B1经过怎样的变换得到的
（3）若点P(a，b)为线段AB上任意一点，经过上述两次变换后得到点写出点的坐标.
22．已知点A（﹣5，0），B（3，0）．
（1）在y轴上找一点C，使之满足S△ABC=16，求点C的坐标（要有必要的步骤）；
（2）在直角坐标平面上找一点C，能满足S△ABC=16的C有多少个？这些点有什么特征？
23．在△ABC中，AB=AC=6，BC=4.建立如图所示的直角坐标系，求出△ABC各顶点的坐标及△ABC关于x轴对称的△A1B1C1各顶点的坐标.
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C，交y轴于点B，动点P从点C出发，沿C→A→B以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足．
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）已知点，连接PD，AD，在（2）条件下是否存在t值，使四边形ABOD的面积是三角形APD的面积的3倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由．
25．在平面直角坐标系中，若点N（x，y）的坐标满足2x+y＝3，则我们称点N为“健康点”；若点Q（x，y）的坐标满足x﹣2y＝﹣1，则我们称Q为“快乐点”。
（1）若点A（a，b）既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点B是x轴上的“快乐点”，点C是y轴上的“健康点”，如果P为x轴上一点，且三角形BPC是三角形ABC面积的3倍，求点P的坐标；
（3）在上述条件下，直线AB与x轴所夹的锐角为α，直线AC与y轴所夹的锐角为β，试探究∠BAC与α和β之间的数量关系，并说明理由.
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图形与坐标 单元知识巩固卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点．则摩天轮位于点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．若点A(m，n)和点B(5，-7)关于x轴对称，则m，n的值分别是（ ）
A．5，7 B．5，-7 C．-5，7 D．-5，-7
【答案】A
【解析】【解答】解：∵A、B两点关于x轴对称，
∴m=5，n=7.
故答案为：A.
【分析】关于x轴对称的点的坐标特点是，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此解答即可.
3．已知点，若，，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴点所在的象限是第四象限，
故答案为：D
【分析】先根据题意判定a和b的大小，进而结合点在象限内的特征即可求解。
4．下列命题是真命题的有（ ）
①若a＞b，则a2＞b2；②如果直角三角形两条边的长度分别为3和4，那么斜边上中线的长度为2.5；③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④点（3，4）关于y轴对称点的坐标为（-3，4）；⑤等腰三角形的两条边长分别为3和7，则三角形的周长是13或17.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①若a＞b，当a=0，b=-3时，a2＜b2，此命题是假命题；
②∵直角三角形两条边的长度分别为3和4，
∴斜边长为，
∴斜边上的中线长2.5，此命题是真命题；
③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，此命题是真命题；
④点（3，4）关于y轴对称点的坐标为（-3，4），此命题是真命题；
⑤∵等腰三角形的两条边长分别为3和7，
∴3+3=6＜7，
∴此等腰三角形的腰长不能为3，只能为7
∴三角形的周长为7×2+3=17，此命题是假命题；
是真命题的有②③④.
故答案为：C.
【分析】利用有理数的乘方运算及大小比较，可对①作出判断；利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可对②作出判断；利用直角三角形的判定方法，可对③作出判断；利用关于y轴对称的点的坐标特点，可对④作出判断；利用三角形的三边关系定理及等腰三角形的性质，可对⑤作出判断。
5．A（﹣4，﹣5），B（﹣6，﹣5），则AB等于（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵A（﹣4，﹣5），B（﹣6，﹣5），
∴两点纵坐标相等，
则AB=﹣4﹣（﹣6）=2．
故选：B．
【分析】根据两点坐标特点得出AB的长度即可．
6．若点 在第三象限，则点 一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】 点 在第三象限，
，
，
则点 一定在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据点P在第三象限，即可得到P点的横坐标小于零，纵坐标小于零，根据代数式计算得到Q点的横坐标和纵坐标的范围，即可得到答案。
7．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选C．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
8．如图是一所学校的平面示意图，若用 表示教学楼， 表示旗杆，则实验楼的位置可表示成（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：实验楼的位置可表示成（2， 3）.
故答案为：B.
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案.
9．若点 在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 点 在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
， ，
点P的坐标是 ．
故答案为：A．
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只电子蚂蚁从点A出发按的规律每秒1个单位长度爬行，则2023秒时蚂蚁所在的位置是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵，，，，
∴四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，
∴矩形的周长为2（AB+BC）=10，
∴ 一只电子蚂蚁从点A出发爬行一周需10秒，
2023÷10=202······3，
∴ 2023秒时蚂蚁所在的位置在矩形ABCD与x轴的负半轴的交点处，即（-1，0）；
故答案为：C.
【分析】由ABCD的坐标，可得四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，从而得出一只电子蚂蚁从点A出发爬行一周需10秒，由2023÷10=202······3，求出蚂蚁出发第3秒时的位置即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）和（3、0）点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，此时点C的坐标为 ．
【答案】（0， ）
【解析】【解答】解：设C点坐标为（0，a），当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC=AC，平方，得
BC2=AC2，22+（4﹣a）2=32+a2，
化简，得8a=11，
解得a= ，
故点C的坐标为（0， ），
故答案为（0， ）．
【分析】作AB的中垂线，交y轴于点c，连接AC，BC，设C点坐标为（0，a），根据等腰三角形的判定，可得BC=AC进而把AC，BC放入两直角三角形中，利用勾股定理列出方程求解即可得出C点的坐标。
12．如果点P（6，1﹣m）在第四象限，写出的m的取值范围 ．
【答案】m＞1
【解析】【解答】解：∵点P（6，1﹣m）在第四象限，
∴1﹣m＜0，
解得：m＞1，
故答案为：m＞1．
【分析】根据第四象限的点坐标的特征：纵坐标小于0，列出不等式求解即可。
13．如图，在平面直角坐标系中，长为的线段点在点右侧在轴上移动，，，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设C(m，0)，
∵A(0，2)， B(0，4)，
，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P(n， 0)， 使得点P到M(0， 2)和N(-2，4)的距离和最小，
如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P'，连接.MP'，此时P'M+P'N的值最小，
P'M+P'N的最小值：=P'N+P'Q=NQ=
的最小值为
故答案为：.
【分析】设C (m， 0) ， 则有 推出要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P (n，0)，使得点P到M (0， 2) 和N(-2，4)的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P'，连接IMP'，此时P'M+P'N的值最小，求出NQ即可解决问题.
14．点A的坐标为（2，﹣3），它关于坐标原点O对称的点的坐标为 ．
【答案】（﹣2，3）
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（2，﹣3），
∴它关于坐标原点O对称的点的坐标为（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
15．在平面直角坐标系中，点 绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ．
【答案】（-3，2）
【解析】【解答】根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（3，-2），
∴点P′的坐标（-3，2）．
【分析】将点P绕原点顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
16．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P的坐标是 ．
【答案】(2015，2)
【解析】【解答】解：观察点的坐标变化可得：
第1次从原点运动到点（1，1） ，
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2） ，
第4次接着运动到点（4，0），
第5次从原点运动到点（5，1） ，
第6次从原点运动到点（6，0） ，
·······，
发现每个点的横坐标与次数相同，纵坐标是1、0、2、0，四数字一循环，
∴2015÷4=503······3，
∴ 经过第2015次运动后纵坐标为2，
∴ 动点P的坐标 (2015，2) ；
故答案为： (2015，2) .
【分析】先分别求出前6次运动后的坐标，可发现每个点的横坐标与次数相同，纵坐标是1、0、2、0，四数字一循环，据此解答即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（ ），B′（ ），C′（ ）
（3）计算△ABC的面积．
【答案】（1）解：如下图：
（2）（1，5）；（1，0）；（4，3）
（3）解：S= ×5×3=
【解析】【分析】点A′、B′、C′的坐标分别为：A′（1，5）、B′（1，0）|、C′（4，3）
【分析】（1）先分别找出点A、B、C关于y轴对称的点A′、B′、C′，再依次连接即可；
（2）根据坐标系写出各点的坐标即可；
（3）根据图形得出AB的长，以及点C到AB的距离，即可利用三角形的面积公式计算.
18．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．
（1）已知点的“级关联点”是点”，则点的坐标为______；
（2）已知点的“级关联点”为点位于轴上，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点，使轴，且，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：∵点的“级关联点”是点N，∴点N坐标为，即，
∵点N位于y轴上，
∴，
解得：，
，
∴点的坐标为；
（3）解：由（2）得：，，
轴，且，
∴点的坐标为或．
【解析】【解答】解：∵点的“级关联点”是点，
∴点坐标为，即，
故答案为：；
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标，列出坐标的算式，即可得出结论；
（2）根据关联点的定义和点的“级关联点”N位于y轴上，得到，求得m的值，进而求得点N的坐标；
（3）由（2）可求得，再轴，且，分点H在点M左侧和右侧，两种情况讨论，即可得到答案.
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为（2，2），文化馆的坐标为（-1，3）.
（1）请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）直接写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场A与图书馆B相距3个单位长度，AB∥y轴，B（1，1），请在图中标出A，B的位置，并写出A点坐标.
【答案】（1）解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示：
（2）解：体育场（-2，5）；市场（6，5）；超市（4，-1）；
（3）解：如图所示，点A，B即为所求.
A（1，4）或（1，-2）
【解析】【分析】（1）根据点的坐标建立直角坐标系即可求出答案.
（2）根据体育场，市场，超市的位置求出其坐标即可.
（3）根据两点间距离及平行于y轴的直线上点的坐标即可求出答案.
20．某风景区中古塔、飞瀑、笔峰、望夫石四个景点的位置依次在一个边长为4km的正方形的四个顶点上(如图)。试选取适当的比例，建立适当的坐标系，确定四个顶点的坐标，并在直角坐标系中标出它们的位置。
【答案】解：建立直角坐标系，选择比例为1 ： ，单位长度为1 cm，则“古塔”(0，0)， “飞瀑”(1，1)， “笔峰”(0，2)， “望夫石”'( - 1 ， 1).如图.
【解析】【分析】以古塔所在位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后根据比例尺标出位置解答即可.
21． 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为(1，2)、(4，1).
（1）线段A1B1是由线段AB经过平移得到的，则点A1的坐标是( )；
（2）线段A2B2是由线段A1B1经过怎样的变换得到的
（3）若点P(a，b)为线段AB上任意一点，经过上述两次变换后得到点写出点的坐标.
【答案】（1）(-4，2)
（2）解：线段 A2B2 是由线段A1B1 关于x轴对称得到的
（3）解：由题可得， 点的坐标为(a-5，-b)
【解析】【解答】解：（1）观察图象可知 A1 (-4，2)；
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）属于轴对称变换；
（3）先平移得到(a-5，b)，再翻折得到(a-5，-b).
22．已知点A（﹣5，0），B（3，0）．
（1）在y轴上找一点C，使之满足S△ABC=16，求点C的坐标（要有必要的步骤）；
（2）在直角坐标平面上找一点C，能满足S△ABC=16的C有多少个？这些点有什么特征？
【答案】（1）解：如图，∵A（﹣5，0），B（3，0），
∴AB=3﹣（﹣5）=3+5=8，
S△ABC= AB CO= ×8 CO=16，
解得CO=4，
当点C在y轴的正半轴时，点C的坐标为（0，4），
当点C在y轴的负半轴时，点C的坐标为（0，﹣4）；
（2）解：∵到x轴距离等于4的点有无数个，
∴在平面内使△ABC的面积为16的点有无数个，这些点到x轴的距离等于4．
【解析】【分析】（1）先求出AB的距离，再根据三角形的面积求出点C到AB的距离，然后分点C在y轴的正半轴与负半轴两种情况解答；（2）根据两平行线间的距离解答．
23．在△ABC中，AB=AC=6，BC=4.建立如图所示的直角坐标系，求出△ABC各顶点的坐标及△ABC关于x轴对称的△A1B1C1各顶点的坐标.
【答案】解：∵ AB=AC=6，BC=4 ，∴△ABC是等腰三角形，OC==2，因此在Rt△AOC中，OA=，
∴△ABC各顶点的坐标是A（0，），B（-2，0）和C（2，0），△ABC关于x轴对称，B、C点都在x轴上，
∴B、C点不变，仍为（-2，0）和（2，0）；
A点的对称点横坐标不变，纵坐标变为相反数，为-，因此A点的对称点为；
∴ △ABC各顶点的坐标及△ABC关于x轴对称的△A1B1C1各顶点的坐标是和C1（2，0）．
【解析】【分析】先用三角形三线合一的性质得出OB=OC，再用勾股定理求出OA，此时确定坐标系中△ABC各顶点的坐标，再根据关于x轴对称的点的特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.可以求出△A1B1C1各顶点的坐标.
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C，交y轴于点B，动点P从点C出发，沿C→A→B以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足．
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）已知点，连接PD，AD，在（2）条件下是否存在t值，使四边形ABOD的面积是三角形APD的面积的3倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
（2）解：由，，可得：，，
点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，
当点P在线段上时，
，
即：当时，，
当点P在线段上时，
，
即：当时，；
（3）解：，，，
∴，，，，
∴四边形ABOD的面积为，
当（点P在AC上）时，三角形APD的面积为，
∴，点P的坐标为；
当（点P在AB上）时，三角形APD的面积为，
∴，点P的坐标为
【解析】【解答】解：（1）
，
解得：
点，
，
【分析】（1）根据求出a、b，及点A坐标，根据矩形特征即可得到结论；
（2）根据，，可得：，，分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段上时，分别用含t的式子表示AP 即可；
（3）分类讨论：当点P在线段上时，当点P在线段上时，根据三角形的面积公式分别求解即可．
25．在平面直角坐标系中，若点N（x，y）的坐标满足2x+y＝3，则我们称点N为“健康点”；若点Q（x，y）的坐标满足x﹣2y＝﹣1，则我们称Q为“快乐点”。
（1）若点A（a，b）既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点B是x轴上的“快乐点”，点C是y轴上的“健康点”，如果P为x轴上一点，且三角形BPC是三角形ABC面积的3倍，求点P的坐标；
（3）在上述条件下，直线AB与x轴所夹的锐角为α，直线AC与y轴所夹的锐角为β，试探究∠BAC与α和β之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）（1，1）
（2）解：∵B是x轴上的“快乐点”，
在x﹣2y＝﹣1中，令y＝0得x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∵C是y轴上的“健康点”，
在2x+y＝3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∴S△ABC＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝，
设点P（a，0），
∴×3 |a+1|＝，
∴a＝﹣6或4，
∴点P的坐标为（﹣6，0）或（4，0）
（3）解：∠CAB＝90°﹣β+α．理由如下：
过A作AM⊥y轴交于M，过C作CH⊥y轴，
∴∠BAM＝α，∠HCA＝∠CAM＝90°﹣β，
∴∠CAB＝90°﹣β+α
【解析】【解析】（1）解：点A(a，2）代入2x+y=3得：2a+b=3，
代入x-2y=-1得：a-2b=-1，
可得不等式组
解得，
则点的坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）.
【分析】（1）将点A(a，2）分别代入2x+y=3和x-2y=-1可得二元一次方程组，解二元一次方程组即可得；
（2）先求出点B，C的坐标，再设点P的坐标为P(a，0），根据 三角形BPC是三角形ABC面积的3倍 建立方程，解方程即可得；
（3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CH⊥y轴于点H，则AM∥CH∥x轴，再根据平行线的性
质可得∠BAM和∠CAM，然后根据∠BAC=∠BAM+∠CAM求解即可得.
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