2025-2026学年九上数学上册第一章 二次函数 专题复习（含解析）

第一章二次函数专题复习
一、单选题
1．下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．关于二次函数，下列叙述错误的是（ ）
A．当时，y有最大值3 B．图象的对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有两个交点
4．已知，则二次函数的图象顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使．若，的面积为y，y关于的函数大致图象如右图所示，求顶点坐标（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数（b，c，为常数），若，记，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　）
A． B． C． D．
8．已知两个不同的点，都在二次函数的图象上，当时，y的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：
①；
②；
③；
④若，则有．
其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．抛物线的对称轴是直线 ．
12．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是 ．
13．若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与x轴的交点坐标为 ．
14．已知二次函数（为常数），点，是其图象上两点，若，则的取值范围为 ．
15．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ．
16．已知抛物线（是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的有 ．
三、解答题
17．二次函数图象如图所示，抛物线顶点为，与y轴、x轴分别交于点B和点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
18．佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的A处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点B，此时球离地面，球门高为
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内．
(3)点D为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当时佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点O和），直接写出n的取值范围．
19．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，．
(1)求b，c的值；
(2)当时，求的最大值与最小值之差；
(3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值．
20．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）．
(1)若，函数图象经过点和，求函数的表达式；
(2)若和在二次函数图象上，且，求m的取值范围；
(3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值．
试卷第1页，共3页
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《第一章二次函数专题复习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B A B D A A C
1．C
【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键．
根据二次函数的定义：形如，其中，逐项判断每个选项即可得到答案．
【详解】解：A：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意；
B：是分式，不是整式，不满足二次函数定义，不符合题意；
C：，满足二次函数定义，符合题意；
D：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记抛物线与轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．
求抛物线与轴的交点坐标，只需令，代入解析式计算的值即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与轴相交时，，
∴ 将代入，得，
∴抛物线与轴的交点坐标是，
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点问题，由二次函数解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】∵二次函数，，
∴抛物线开口向下，顶点为(2,3)，对称轴为，
A、当时，，且最大值在顶点处，故错误，符合题意；
B、对称轴为，故正确，不符合题意；
C、∵开口向下，∴当时，随增大而增大，故正确，不符合题意；
D、令，得，即，，有两个实数根，故与x轴有两个交点，故正确，不符合题意．
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，，与矛盾，
当时，， ，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
∴，
∴，
对于二次函数 ，
顶点横坐标，
顶点纵坐标，
∴二次函数的图象顶点在第二象限，
故选：B．
5．A
【分析】先证明、，从而可得是等边三角形，于是有，从而可得，再将代入求出，再求出顶点坐标即可．
【详解】解：如图，分别过A、D作的垂线，垂足分别为H、I，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，，
∴，
，
设等边的边长为a，
∵， ，
∴，
在和中，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
当时，有最小值，
∴抛物线的顶点坐标为，
又是抛物线上的点，
∴，
解得：或（舍去），
∴抛物线的顶点坐标为，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了含度的直角三角形的性质，勾股定理，把化成顶点式，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
6．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与x轴交点问题，由二次函数开口向下及根的位置关系，可知当时函数值大于0，代入计算即可得t的范围．
【详解】解：∵ 二次函数中，，
∴开口向下，
∵，
∴ 当时，函数值，
∴，
又，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键．
根据球门高为米，可得当时，，即可得解．
【详解】球门高为米，
当时，，
，
可能是．
故选．
8．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质及根与系数的关系是关键．利用根与系数的关系求出，得，代值求解即可．
【详解】解：两个不同的点，都在二次函数的图象上，
、是方程两个根，根据根与系数的关系得：
，
，
，
故选：A．
9．A
【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案．
【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶个，
则
故选：A.
10．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．
由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，即可判断①；由已知的抛物线与x轴的交点与对称轴，可得抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断②；由抛物线顶点坐标可得抛物线与直线有唯一一个交点，即方程有两个相等的实数根，根据根的判别式即可判断③；由图象可得时，为最大值，即当时，，即可判断④．
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
即，
抛物线交的正半轴，
，
，
所以①正确；
②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间．
由图象知当时，，
，
，
，
所以②错误；
③抛物线顶点坐标为，
抛物线与直线有唯一一个交点，
∴方程，即有两个相等的实数根，
，
，
因此③正确；
④由图象可得时，为最大值，
∴当时，，
∴，
所以④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
11．
【分析】本题考查二次函数的对称轴．根据抛物线的顶点式，可以直接写出对称轴．
【详解】抛物线是顶点形式，其中，因此对称轴是直线．
故答案为．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”进行计算即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是，
故答案为：．
13．、
【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系．根据一元二次方程的根为2，得出，利用对称性求出坐标即可．
【详解】解：二次函数与轴的交点坐标纵坐标为0，
即，
关于的一元二次方程的一个根为2，
所以，，
解得，，
二次函数的对称轴为直线，
所以，二次函数与轴的交点坐标为、，
故答案为：、．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，通过作差法，根据，可得，进而求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．40
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，
故答案为：40．
16．②③④
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．①③当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出，再判断a的范围；②将，代入方程，根据根的判别式即可判断；④由，，可得，所以，再根据b的范围求解后即可判断．
【详解】解：抛物线，，是常数，经过点，，
，，
，
当时，与其对应的函数值．
，
，解得：，
，
，
，，
，
故①错误，③正确；
，，
，即，
，
，
，
关于的方程有两个不等的实数根，故②正确；
，，
，
，
，
，
故④正确；
故答案为：②③④
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题成为解题的关键．
（1）设顶点式，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为．
（2）解：解方程得，，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
当时，x的取值范围为．
18．(1)
(2)球不能进球门
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，，即可求解；
（3）移动后的抛物线为，把点代入上式求出n，同理把代入函数表达式求出n，进而求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为，
设抛物线为，
把代入得，
，
抛物线表达式为；
（2）解：由题意，当时，，
球不能进球门；
（3）解：设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
舍去或，
把点代入得：，
舍去或，
．
19．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的解法，的最值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）将已知两点坐标代入函数解析式中，求得b，c的值；
（2）先写出二次函数解析式，求出最小值，再在内求出最大值，从而可求得的最大值与最小值之差；
（3）分、且、三种情况讨论，分别求出的值．
【详解】（1）解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点，，
∴，
解得：；
（2）∵函数，，
∴函数的解析式为，
，
二次项系数为，
所以抛物线的开口向上，
所以当时，有最小值2，
当时，在内，
取，则，
取，则，
所以二次函数的最小值为2，最大值为，
所以的最大值与最小值之差为；
（3）①当时，
仅当时，取得最小值，此时；
仅当时，取最大值，此时；
所以，
解得：，
，
不符合；
②当且时，即，此时最小值为2，
当取得最大值时，
即时，，
所以，
此时最大值为，
所以，
解得：或，
，
不符合，
所以此时；
当取得最大值时，
即时，，
所以，
此时最大值为，
所以，
解得：或，
因为，
所以不符合，
所以此时；
③当时，即，
仅当，取得最小值，
此时，
仅当，取得最大值，
此时，
所以，
解得：，
因为，
所以不符合，
综上所述，的值为或．
20．(1)
(2)
(3)1
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解；
（2）当时，可求抛物线的对称轴为直线，然后分在对称轴的左侧和右侧讨论，根据二次函数的性质求解即可；
（3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分若对称轴在直线左侧时，即，若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数，
∵函数图象经过点和，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，关于直线的对称点为，
∵，
∴，
∴，
综上，；
（3）解：∵当时，；当时，，
∴抛物线开口向上，
∴，
如图，若对称轴在直线左侧时，即，
∵当时，；当时，，
∴当时，取最小值，
∵，
∴此时不符合题意；
如图，若对称轴在直线右侧时，
∴当时，，当，取最小值，
∵函数图象经过点，
∴，，
∴，即，，
∴
∴，
∴的值为1．
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